最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案

最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案

第一讲

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．

1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．????4，π3 B ．????4，4π3 C ．?

???－4，－2π3 D ．?

???4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x

(x ≠0)．

把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π

3.

答案： B

2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π

4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在

这三个结论中正确的是( )

A ．①③

B ．①

C ．②③

D ．③ 解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；

tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π

4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－

3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．

答案： D

3．可以将椭圆x 210＋y 2

8

＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )

A ．???

5x ′＝2x 2y ′＝y

B ．??

? 2x ′＝5x

y ′＝2y

C ．???

2x ′＝x 5y ′＝2x

D ．???

5x ′＝2x 2y ′＝y

解析： 方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 2

2

＝4，

∴? ????2x 52＋

???

?y 22

＝4， 令?????

x ′＝2

5x ，y ′＝y

2，得x ′2＋y ′2＝4，

即x 2＋y 2＝4，

∴伸缩变换???

5x ′＝2x ，2y ′＝y

为所求．

方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，

设满足题意的伸缩变换为?

????

x ′＝λx (λ>0)，

y ′＝μy (μ>0)，

代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4， 即λ2x 24＋μ2y 2

4

＝1，

与椭圆x 210＋y 2

8

＝1比较系数得

??? λ24＝110

，μ2

4＝18，

解得????? λ＝25，μ＝1

2，

∴伸缩变换为?????

x ′＝25

x ，y ′＝1

2y ，即???

5x ′＝2x ，2y ′＝y

. 答案： D

4．极坐标方程4ρsin 2θ

2＝5表示的曲线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线的一支

D ．抛物线

解析： 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究．

4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，化为直角坐标方程：2x 2＋y 2－2x ＝5，化简，

得y 2＝5x ＋25

4

.

故该方程表示抛物线． 答案： D

5．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点????4，π

6作曲线C 的切线，则切线长为( )

A ．4

B ．7

C ．2 2

D ．2 3

解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点????4，π

6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 答案： C

6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1

cos θ

D ．ρ＝1

cos θ

解析： 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．

答案： C

7．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A ．

2

2

B ． 2

C ．2

D ．2 2

解析： 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图所示，|OC |＝2，在Rt △COD 中，∠ODC ＝π

2，

∠COD ＝π

4

，

∴|CD |＝ 2. 答案： B

8．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4

D ．ρcos θ＝－4

解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为???

?2，π

2，半径为r ＝2，

对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交； 对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切； 选项C ，D 对应的直线与圆相离． 答案： B

9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ????θ＋π

4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r

D ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r

解析： 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ???

?θ＋π

4 ＝－2r ????sin θcos π4＋cos θsin π

4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0② ①－②整理得2(x ＋y )＝－r ， 即为两圆公共弦所在直线的普通方程．

再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r . 答案： D

10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ????1，π

2的最近距离等于( ) A ．2－1 B ．5－1 C ．1

D ． 2

解析： 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.

答案： A

二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)

11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π

3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是

________.

解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知，

S △POQ ＝1

2×|OQ |×|y p |

＝12×1×3

3＋1＝3－34. 答案：

3－3

4

12．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ????4，π6绕极点逆时针旋转π

4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标 ________.

解析： 依题意，点B 的极坐标为????4，5π

12， ∵cos

5π

12

＝cos ????π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π

6

＝22×32－22×12 ＝6－2

4

， sin

5π

12

＝sin ????π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6

＝

22×32＋22×12＝6＋24

， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－2

4

＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×

6＋2

4

＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案： (6－2，6＋2)

13．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为 ________.

解析： 数形结合，易知所求轨迹是以????a 2，0为圆心，a

2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ????－π2

≤θ≤π

2. 答案： ρ＝a cos θ????－π2

≤θ≤π

2 14．点A 的直角坐标为???

?

－332，92，3，则它的球坐标为 ________.

解析： r ＝

????3322＋???

?922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π

3.tan θ＝92

33

2＝3，

∴θ＝π3

，

∴它的球坐标为????6，π3，π3. 答案： ???

?6，π3，π3 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．

解析： 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．

在直角三角形OMA 中， 由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，

即ρ＝d

cos (α－θ)

.这就是直线l 的极坐标方程．

16．(12分)在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交P A 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程．

解析： 以圆心O 为极点，x 轴正半轴为轴建立坐标系， 设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP ，

所以12·3ρ·sin θ＋12ρ·sin θ＝12×3×1×sin2θ.

整理得ρ＝3

2

cos θ.

17．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22

cos

????θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离

的最小值．

解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即????x －122＋????y －122＝12

. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.

设M ???

?12＋22cos θ，12＋2

2sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离

d ＝

???

?12＋22cos θ－????12＋22sin θ

－42

＝4－cos ???

?θ＋π

42

，

当θ＝7π4时，d min ＝32

＝322.

18．(14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ???

?θ－π

3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析： (1)由ρcos ????θ－π

3＝1， 得ρ???

?12cos θ＋3

2sin θ＝1.

从而C 的直角坐标方程为12x ＋3

2y ＝1，

即x ＋3y ＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，得N ???

?

233，π2.

(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为????0，233.

所以P 点的直角坐标为?

??

?

1，

33， 则P 点的极坐标为??

?

?

233，π6.

所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6，ρ∈R .

第二讲

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程?

???

?

x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )

A ．圆、直线

B ．直线、圆

C ．圆、圆

D ．直线、直线

解析： ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ，

∴表示一个圆．由?

????

x ＝－1－t

y ＝2＋3t

得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A

2．直线?

????

x ＝－2＋t ，

y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )

A ．7 2

B ．401

4

C ．82

D ．93＋4 3

解析： ?

????

x ＝－2＋t ，

y ＝1－t

???

?

x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－2

2

·2t ，

令t ′＝

2t ，把??

?

x ＝－2＋22t ′，

y ＝1－2

2

t ′

代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0， |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2 ＝82. 答案： C

3．点集M ＝????

??(x ，y )|?????

x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠

?，则b 满足( )

A ．－32≤b ≤3 2

B ．－3＜b ＜3 2

C ．0≤b ≤3 2

D ．－3＜b ≤3 2

解析： 用数形结合法解． 答案： D

4．已知直线?

????

x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP

→

＝λPB →

(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )

A ．t 1＋t 22

B ．t 1＋t 2

1＋λ

C ．t 1＋λt 21＋λ

D ．t 2＋λt 11＋λ

答案： C

5．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，

B ＝?

???

??

????(x ，y )??

y x ·y x －2＝－1， C ＝?

?????(ρ，θ)??

ρ＝2cos θ，θ≠k π

4，k ∈Z ， D ＝????

??(x ，y )???

???

??

x ＝1＋cos θ

y ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z ， 下列等式成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝D C ．A ＝C

D ．B ＝C

解析： 集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2)． 答案： B

6．已知圆的渐开线?

???

?

x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对

应的基圆的面积为( )

A ．π

B ．3π

C ．4π

D ．9π

解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得

?????

3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①

0＝r (sin φ－φcos φ). ②

①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，

所以基圆的面积为9π. 答案： D

7．过抛物线?

??

x ＝2t 2

，

y ＝3t (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )

A ．π

3

B ．π3或2π3

C ．π6

D ．π6或5π6

解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝3

2x ，它的焦点为????38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ????x －38，由??

?

y 2

＝3

2x ，y ＝k ???

?x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0，

设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

????34·

k 2

＋2k 22－916＝2

解得k ＝±3.故倾斜角为π3或2π

3

答案： B

8．下列双曲线中，与双曲线???

x ＝3sec θ

y ＝tan θ

(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A ．y 23－x 2

9＝1

B ．y 23－x 2

9＝－1

C ．y 23

－x 2

＝1

D ．y 23

－x 2

＝－1

解析： 双曲线的普通方程为x 23－y 2

1＝1

离心率为

23

＝233，渐近线为y ＝±33x

B 中y 23－x 2

9

＝－1

即x 29－y 23＝1其离心率为233，渐近线为y ＝33x ， 故与原双曲线的离心率及渐近线相同． 答案： B

9．已知点P 在椭圆x 2＋8y 2＝8上，且P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，则P 点坐标是( )

A ．????－83，13

B ．????

13，83 C ．(0，±1)

D ．(±22，0)

解析： 设???

x ＝1＋5cos θ

y ＝－2＋5sin θ

(θ为参数)

取x －2y ＝1＋5cos θ＋4－25sin θ ＝5＋5cos θ－25sin θ ＝5＋5sin(θ－φ)． 故最大值为10. 答案： B

10．已知直线l ：???

x ＝3t ，

y ＝2－t

(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，

则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )

A ．4＋ 3

B ．2(2＋3)

C ．4(2＋3)

D ．8＋ 3

解析： 把直线参数方程化为???

x ＝－32t ′，

y ＝2＋1

2

t ′(t ′为参数)，

代入y 2＝2x ，

求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，

t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2| ＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)． 答案： C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________.

答案： ???

x ＝225

2

(cos t ＋t sin t )

y ＝225

2(sin t －t cos t )

(t 为参数)

12．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是?

????

y ＝sin θ＋1，

x ＝cos θ(θ是参数)，以O

为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________.

解析： 由题意知，曲线C ： x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，

所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0， 化简得ρ＝2sin θ. 答案： ρ＝2sin θ

13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 2

4＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为

________，此时点M 的坐标是________.

解析： 椭圆的参数方程为???

x ＝23cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)，

则点M (23cos θ，2sin θ)到直线 x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2

＝

???

?4sin ????θ＋π3－42

.

当θ＋π3＝3

2π时，d max ＝42，

此时M (－3，－1)． 答案： 42 (－3，－1)

14．若曲线y 2＝4x 与直线?????

x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos α

cos β＝________.

解析： ∵?

????

x ＝2＋2t cos α

y ＝－4＋t cos β，

∴

x －2y ＋4＝2cos αcos β

＝2m ， 其中m ＝cos α

cos β

，