最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案

最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一讲一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③ 解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝y解析： 方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y 为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4， 即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎨⎧ λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y. 答案： D4．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析： 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究．4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，化为直角坐标方程：2x 2＋y 2－2x ＝5，化简，得y 2＝5x ＋254.故该方程表示抛物线． 答案： D5．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．23解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 答案： C6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析： 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C7．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A ．22B ．2C ．2D ．22解析： 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图所示，|OC |＝2，在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2. 答案： B8．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π2，半径为r ＝2， 对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交； 对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切； 选项C ，D 对应的直线与圆相离． 答案： B9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析： 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0② ①－②整理得2(x ＋y )＝－r ， 即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r . 答案： D10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1，π2的最近距离等于( )A ．2－1B ．5－1C ．1D ．2解析： 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________.解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知， S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－3412．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标 ________.解析： 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24，sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案： (6－2，6＋2)13．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为 ________.解析： 数形结合，易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2. 答案： ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 14．点A 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－332，92，3，则它的球坐标为 ________.解析： r ＝⎝⎛⎭⎫3322＋⎝⎛⎭⎫922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫6，π3，π3. 答案： ⎝⎛⎭⎫6，π3，π3 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析： 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．在直角三角形OMA 中， 由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交P A 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程．解析： 以圆心O 为极点，x 轴正半轴为轴建立坐标系， 设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP ，所以12·3ρ·sin θ＋12ρ·sin θ＝12×3×1×sin2θ.整理得ρ＝32cos θ.17．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .第二讲一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C ．82D ．93＋43解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0， |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝82. 答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－3＜b ＜32C ．0≤b ≤3 2D ．－3＜b ≤32解析： 用数形结合法解． 答案： D4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP→＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )A ．t 1＋t 22B ．t 1＋t 21＋λC ．t 1＋λt 21＋λD ．t 2＋λt 11＋λ答案： C5．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪y x ·y x －2＝－1， C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(ρ，θ)⎪⎪ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z ， D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z ， 下列等式成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝D C ．A ＝CD ．B ＝C解析： 集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2)． 答案： B6．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①0＝r (sin φ－φcos φ). ② ①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3， 所以基圆的面积为9π. 答案： D7．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t(t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π6解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝⎛⎭⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，由⎩⎨⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0，设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34·k 2＋2k 22－916＝2 解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B8．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θy ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A ．y 23－x 29＝1B ．y 23－x 29＝－1C ．y 23－x 2＝1D ．y 23－x 2＝－1解析： 双曲线的普通方程为x 23－y 21＝1离心率为23＝233，渐近线为y ＝±33xB 中y 23－x 29＝－1即x 29－y 23＝1其离心率为233，渐近线为y ＝33x ， 故与原双曲线的离心率及渐近线相同． 答案： B9．已知点P 在椭圆x 2＋8y 2＝8上，且P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，则P 点坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫－83，13 B ．⎝⎛⎭⎫13，83C ．(0，±1)D ．(±22，0)解析： 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θy ＝－2＋5sin θ(θ为参数)取x －2y ＝1＋5cos θ＋4－25sin θ ＝5＋5cos θ－25sin θ ＝5＋5sin(θ－φ)． 故最大值为10. 答案： B10．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析：把直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2| ＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)． 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________.答案： ⎩⎨⎧x ＝2252(cos t ＋t sin t )y ＝2252(sin t －t cos t )(t 为参数)12．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________.解析： 由题意知，曲线C ： x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0， 化简得ρ＝2sin θ. 答案： ρ＝2sin θ13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________.解析： 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线 x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)． 答案： 42 (－3，－1)14．若曲线y 2＝4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________.解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β，∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ，其中m ＝cos αcos β，∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ， 得y 2＝4(2＋2my ＋8m )， y 2－8my －8－32m ＝0. ∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m ) ＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0， 2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22，∴cos αcos β＝－1±22. 答案： －1±22三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m y ＝22t(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值． 解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m (2)m ＝1或m ＝316．(12分)求椭圆4x 2＋y 2－8x cos θ－4y sin 2θ－sin 22θ＝0中心的轨迹方程(θ为参数)，并证明无论θ取何值，椭圆的大小、形状保持不变．解析： 椭圆方程可化为4(x －cos θ)2＋(y －2sin 2θ)2＝4， 即(x －cos θ)2＋(y －2sin 2θ)24＝1， 故椭圆中心的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin 2θ，消去θ得y ＝2－2x 2(|x |≤1)． 对于所给椭圆无论θ如何变化，它的长轴长始终为4，短轴长为2，离心率32. 因此椭圆的大小形状保持不变．17．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ；(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值． 解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ， 即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36， ∴4x 2＋9y 2＝36， ∴x 29＋y 24＝1. (2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)， ∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.18. (14分)如图所示，设矩形ABCD 的顶点C ，坐标为(4,4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴，y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．解析： 设A (3cos θ，3sin θ)(0＜θ＜90°) 则|AB |＝4－3cos θ，|AD |＝4－3sin θ S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θ·sin θ. 令t ＝cos θ＋sin θ(1≤t ≤2)， 则2cos θ·sin θ＝t 2－1∴S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝⎛⎭⎫t －432＋72∴t ＝43时，矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎨⎧ cos θ＋sin θ＝43，cos θ·sin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26sin θ＝4∓26∴对应A 坐标为⎝⎛⎭⎫2＋22，2＋22或⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22.模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是() A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象． 答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3)所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)． 答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝5－32tB ．⎩⎨⎧ x ＝1－12t y ＝5＋32tC ．⎩⎨⎧x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析： 根据直线参数方程的定义，易得⎩⎨⎧x ＝1＋t ·cosπ3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D 7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析： 变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5， 所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2＋4×3＝30，故选B ．答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ．2C ． 5D ．22解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析： 由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋4sin φ)，y ＝2(sin φ－4cos φ).(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ).(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(θ－sin θ)，y ＝4(1－cos θ).(θ为参数)解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ).(φ为参数).答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析： 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案： π6或56π.15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析： 直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 22三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程． 解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0 即⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12，－1为圆心，半径为52的圆． (2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为：ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程． 19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和． 解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.。