人教版九年级数学下册第二十七章 相似复习巩固题
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 习题练习(附答案)
人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）
春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。
新人教版九年级数学下册第二十七章相似练习12套附详细解析答案
成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。
九年级数学下册第二十七章相似[27.1 第1课时 相似图形]一、选择题1．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有()图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组2．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有()图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．图K －6－4中与图K －6－3相似的图形是链接听课例题归纳总结()图K －6－3成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。
图K －6－44．下列关于相似图形的说法错误的是( )A ．相似图形的形状一定相同，大小不一定相同B ．全等图形是一种特殊的相似图形C ．同一个人在平面镜和在哈哈镜中的形象是相似图形D ．若甲与乙是相似图形，乙与丙是相似图形，则甲与丙是相似图形二、填空题5．图K －6－5②～⑥中，与图①相似的图形有________(填图形的序号).链接听课例题归纳总结图K －6－56．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题7．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。
图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．如何将图K －6－7中的图形ABCDE放大，使新图形的各个顶点仍在格点上？图K －6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] B 由观察知(a)(b)(c)(e)中的图形是相似图形．故选B.2．[解析] B 由观察知图(b)中的第3个图形与图(a)相似．应选B.[点评] 注意相似的要求是形状相同，这是判断两个图形是不是相似图形的根本标准．3．D 4.C5．③⑤⑥6．[答案] 是不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形．7．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形．(2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：[素养提升][解析] 相似图形只要求形状相同，而与位置无关，这样同学们可以有不同的画法，下图中的图形A′B′C′D′E′只是其中的一种．解：答案不唯一，如图所示．[点评]先确定各个顶点在方格图中的位置，然后再依次连接构成新图形．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。
2020年春人教版九年级数学下册第27章相似测试题课后巩固提升及答案
10．某出版社的一位编辑在设计一本书的封面时， 想把封面划分为四个矩形，其中左上角的矩 形与右下角的矩形位似 ( 如图 27-3-16) ，以给人一种和谐的感觉，这样的两个位似矩形该怎样画出 来？该编辑认为只要 A，P，C三点共线，那么这两个矩形一定是位似图形，你认为他的说法对吗？ 请说明理由．
100 m，同时高为 2 m 的测竿，其影长为 5 m，那么古塔的高为多少？
8．两个相似的五边形的对应边的比为 1∶ 2，其中一个五边形的最短边长为 3 cm，则另一个五
边形的最短边长为 (
)
A． 6 cm B ． 1.5 cm
C． 6 cm 或 1.5 cm D ． 3 cm 或 6 cm
9． ( 中考改编 ) 如图 27-1-5 ，在长为 8 cm 、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的
27 81 A. 2 B. 8 C ． 24 D ． 32 2．若把△ ABC的各边长分别扩大为原来的 5 倍，得到△ A′B′ C′，则下列结论不可能成立的 是( ) A．△ ABC∽△ A′ B′C′
1 B．△ ABC与△ A′ B′C′的相似比为
6 C．△ ABC与△ A′ B′C′的各对应角相等
图 27-3-11 1
6．如图 27-3-12 ，五边形 ABCDE与五边形 A′ B′ C′D′ E′是位似图形，且相似比为 2. 若五 边形 ABCDE的面积为 17 cm2, 周长为 20 cm，那么五边形 A′B′ C′ D′ E′的面积为 ________，周长 为 ________．
图 27-3-12 7．已知，如图 27-3-13 ，A′ B′∥ AB，B′C′∥ BC，且 OA′∶ A′ A＝4∶ 3，则△ ABC与 ________ 是位似图形，位似比为 ________；△ OAB与________是位似图形，位似比为 ________．
人教版初3数学9年级下册 第27章(相似)期中专项复习(含答案)
人教版数学九年级下册第二十七章相似期中专项复习一、单选题1．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．a ＝bB ．a ＝2bC ．a ＝2bD ．a ＝4b2．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸(0)a a > ，若所得新矩形与原矩形相似，则a 的值的个数可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在y 轴上， 如果矩形 OA B C ''' 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA B C ''' 的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点 B 的坐标是( )A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(3，2)或（-3，-2）4．如图,要判定ABC 与AED 相似,欲添加一个条件,下列可行的条件有( 1 )::AE BE AD DC =;(2)::AE AD AC AB =;(3)::AD AC DE BC =;(4)180BED C ︒∠+∠=;(5)BED C ∠=∠.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在Rt ABC 纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．2076．如图，等边三角形ABC 中，AB=3，点D 在边AB 上，且AD=1，点E 是边B 上的一动点，作射线ED ．射线ED 绕点E 顺时针旋转60°得到射线EF ，交AC 于点F ，则点E 从B→C 的运动过程中，CF 的最大值是（ ）A B ．1C ．98D 7．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝18，MN ∥AB ，则MN 的值是（ ）A．9B．94C．92D．68．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）A．5︰3B．4︰3C︰2D．2︰9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）A．3：2B．3：5C．9：4D．9：510．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=-1；④2HOMHOGSS=正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0<x<6）那么，当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？ ．12．在ABC 中，14AB BC sin ABC ==∠=，，点P 在直线AC 上，点P 到直线AB 的CP 的长为 ．13．已知：3(0)2x y y =≠，则x x y=+ ．14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ，AD ＝1，BC ＝2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 ．15．在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是 ．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，AB =D 在边AC 上， :1:3CD AD =，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果BCE A ∠=∠，那么CE = ．17．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 在 AD 上，且 13AF AD =：： ， EF 交AC 于G.若 40AC = ，则 AG = .18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .三、解答题19．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 交于点O ，且分别与直线a ，b ，c 交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，已知OA ＝1，OB ＝2，BC ＝4，EF ＝5，求DE 的长度是？20．已知91114x y z== ，且x+y+z ＝68．求x ，y ，z 的值． 21．已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，延长DE 、BC 交于点F ．求证：BF·EC=CF·AE ．22．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点F ，若 AEF ∆ 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．23．如图，已知点 D 为 ABC 的边 AB 上一点，过点 B 作 BE //AC ， BE 交 CD 的延长线于点 E ，且 ACD ABC ∠=∠ ， ABC BED S :S 4:9= ， AC 10= ，求 AD 的长．24．已知：如图，在 ABC 中， 6AB = ， 8AC = ， D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，2BD = ， 5CE = ．求证： AED ABC ∽ ．25．请阅读下列材料，并完成相应的任务．正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．如图1，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点O ，则AC ，BD 互相平分．如图2，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点M ，则点M 是线段AC 的四等分点．任务一：请你观察图1，连接AD 、DC 、CB 、AB ，则AC ，BD 互相平分，其理由是 ▲ ．任务二：请你观察图2，说明点M 是AC 的四等分点的理由．任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．在图3中的线段BC 上做两点M 、N ，使得△ABM 与△ABN 都为等腰三角形．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】1.2s或3s12．13．【答案】3 514．15．【答案】（-8，4）或（8，-4）16．17．【答案】818．【答案】15 419．【答案】解：∵OA=1，OB=2，∴AB=3，∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=，即345DE =，∴154 DE=；∴DE 的长度是154．20．【答案】解：设 91114k y zk === ， 则x ＝9k ，y ＝11k ，z ＝14k ，∴9k+11k+14k ＝68，解得：k ＝2，∴x ＝18，y ＝22，z ＝28．答：x ，y ，z 的值分别为18，22，28．21．【答案】证明：作DG ∥BC ，DH ∥AC ，则△ADG ∽△ABC ，∵D 是AB 中点，∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，∵△DGE ∽△FCE ，∴DG EGCF CE = ，∴22DG EG CF CE = ，即 2BC EGCF EC = ，∴211BC EGCF EC+=+ ，即BC CF EG EG ECCF EC+++= ，∵EG+EC=GC=AG ，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE ，∴BC CF AE CF EC += ，即 BF AECF EC= ，∴BF·EC=CF·AE ．22．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴,//AB CD AB CD = ，∴AEF CDF ∆~∆ ，∵点 E 是 AB 的中点，∴12AF AE AE FC CD AB === ，∴21124AEF CDF S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵AEF ∆ 的面积为1，∴14422CDF AEF ADF CDF S S S S ∆∆∆∆====， ，∴6ACD ADF CDF S S S ∆∆∆=+= ，∴平行四边形 ABCD 的面积= 212ACD S ∆= ．23．【答案】解：∵BE ∥AC ，∴∠EBD=∠A ，∠E=∠ACD ，∵∠ACD=∠ABC ，∴∠E=∠ABC ，∴△BED ∽△ABC.∵ABC BED S :S 4:9= ，∴24()9AC BD = ，∴23AC BD = .∴1023BD = ，解得BD=15.∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC= ，即 2AC AD AB =⋅ ，设AD=x ，则 210(15)x x =+ ，解这个方程，得 15x = ， 220x =- （不合题意，舍去），∴AD=5.24．【答案】证明：∵6AB = ， 2BD = ，∴4AD = ，∵8AC = ， 5CE = ，∴3AE = ，∴3162AE AB == ， 4182AD AC == ．∴AE ADAB AC= ，∵EAD BAC ∠=∠∴AED ABC ∽ ．25．【答案】解：任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：如图，连接AD ，BC∵//AD BC∴,DAM BCM DMA BMC ∠=∠∠=∠∴ADM CBM ∆~∆∴13AD AM CB CM ==∴M 是AC 的四等分点；任务三：如图，取点D ，E ，连接DE ，交BC 于点M ，连接MA ，则△MBA 是等腰三角形，如图：理由是：∵,DE AB BE AE ⊥=即DE 是AB 的垂直平分线，∴MA=MB∴△MBA 是等腰三角形；取点F ，连接AF ，AF 与BC 交于点N ，△ABN 是等腰三角形，如图：理由是：AB=4，AC=3，由勾股定理得，BC= 5=又CF=1，CF//AB∴1=4CN CFNB AB=，即445BN BC==∴AB=NB=4∴△ABN是等腰三角形．。
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。
2022年人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题测评试题(含答案解析)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（）A B．1.5 C D．12、如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥B C．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（）A．92B．6 C．152D．93、在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DE∥BC，AD：BD＝3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：254、如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，3S ：2S 的值为（ ）A ．12 B ．23C D 3525、若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（ ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．1436、下列图形中，不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知32a b =，那么下列等式中正确的是（ ）A ．53a b b += B ．13a b b -= C ．23a b = D ．23ab =8、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则BEEC的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1259、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C D ．16：8110、如图，DE ∥BC ，则下列式子正确的是（ ）A ．=AB BDEC AEB ．AD DEAB BC= C ．=AE ABEC ADD ．AD DEAB BC=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC275=，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 _____．2、如果5a＝4b，那么ba＝____．3、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且54OEEA=，则FGBC=________．4、如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______．5、如图，在ABCD □中，E 为CD 上一点，连结BE 并延长交AD 延长线于点F ．如果:2:3DE EC =，那么:DEF ABF S S =△△____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，O 为坐标原点，B ，C 两点坐标分别为()3,1-，()2,1．（1）以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC 放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；（3）已知(),M x y 为OBC 内部一点，写出M 的对应点M '的坐标． 2、如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 的坐标分别为()1,3，()3,2．（1）画出OAB绕点B顺时针旋转90︒后的O A B''△；''''；（2）以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出O A B''△放大后的O A B3、在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF．（1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长；（2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，则EF的长为（用含a的式子表示）．4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝A＝60°，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，顶点D、G分别在边AC、BC上，点E、F在边AB上，设AE＝x，DG＝y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时，求△CDG 与△BFG 的相似比．5、如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC ． （1）作出ABC 关于x 轴对称的A B C '''；（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出A B C '''的位似图形A B C ''''''△，使A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2；（3）若ABC 的面积为3.5平方单位，求出A B C ''''''△的面积．---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE ∽△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CEOM EM=，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM＝CEEM，即1 33 CF，∴CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．2、A【解析】【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：设CE =x ，∵四边形EFDC 与四边形BEFA 相似， ∴AB CEBE EF=， ∵AB =3，BE =2，EF =AB ， ∴323x =， 解得：x =4.5， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与四边形BEFA 相似得到比例式． 3、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.故选：C. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 4、C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512AEAB 和BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例． 【详解】解：设正方形ABCD 的边长为a ， ∵点E 是AB 上的黄金分割点，∴512AE AB，BE AE =∴AE AB ==，∴2BE a ==⎝⎭，∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭，22S BE BC =⋅=，∴)222232S a a ==，∴)2232:2S S a ==． 故选C ．【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．5、D【解析】【分析】将,,a b c 用k 表示出来，得到5,7,8a k b k c k ===，再将求出,,a b c 的结果与323a b c -+=联立求出,,a b c 的值 ，最后把所求的,,a b c 代入所求的代数式即可求解．【详解】 解：578a b c k ===， 5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+=，352783k k k ∴⨯-⨯+=， 解，得13k =，578,333a b c ∴==，= 578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=， 故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示,,a b c 是解题的关键．6、D【解析】【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．【详解】解：根据位似图形的概念，A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；D 中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形．故选D ．【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．7、C【解析】【分析】由题意设()30,a k k =≠ 则2,b k = 再逐一代入各选项进行计算与检验即可得到答案.【详解】 解： 32a b =， 设()30,a k k =≠ 则2,b k =∴55,22a b k b k +==故A 不符合题意； 321,22a b k k b k --==故B 不符合题意； 263,a k b ==故C 符合题意；32,,2233a k b k ==则,23a b ≠故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.8、B【解析】【分析】根据∥DE AC 可得BED BCA ∽△△，DOE COA ∽，再根据相似三角形的性质可得BE DE BC AC=和DOE △与COA 的相似比为1:5，进而可得15BE BC =，最后用BC 表示EC 即可求出BE EC ． 【详解】解：∵∥DE AC ，∴BED BCA ∠=∠，ODE OCA ∠=∠．∵DBE ABC ∠=∠，DOE COA ∠=∠，∴BED BCA ∽△△，DOE COA ∽． ∴BE DE BC AC=． ∵:1:25DOE COA S S =△△，∴DOE △与COA 的相似比为1:5． ∴15DE CA =． ∴15BE BC =． ∴15BE BC =． ∴45EC BC BE BC =-=． ∴14BE EC =．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．9、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B ．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．10、B【解析】【分析】由题意直接根据平行线所截线段成比例进行分析判断即可.【详解】解：∵DE ∥BC ，∴,ADE ABC AED ACB ==∠∠∠∠,∴ADE ABC ， ∴AD DE AE AB BC AC==. 故选：B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．二、填空题1、10415【解析】【分析】过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ，过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ，交FG 于L ，先证明四边形NLGD 是矩形，得到LG =ND =2，∠DNL =90°，NL =DG ，再证明四边形NHCD 是矩形，得到HH =CD =6，CH =ND =2，则125MH BC BM CH =--=；然后证明△EFG ≌△AEF 得到FG =DE ，275GE AD BC ===，则275NL DG DE EG DE ==+=+，设=DE FG x =，则2FL FG LG x =-=-，275NL x =+，证明△NMH ∽△NFL ，的MH NH FL NL=，即12652725x x =-+，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ，过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ，交FG 于L ， ∴∠NLG =∠G =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB =6，∠D =∠BCD =90°，AD BC =，∴四边形NLGD 是矩形，∴LG =ND =2，∠DNL =90°，NL =DG ，∴四边形NHCD是矩形，∴HH=CD=6，CH=ND=2，∴125 MH BC BM CH=--=；∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，又∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠EFG=∠AED，又∵AE=EF，∠D=∠G=90°，∴△EFG≌△AEF（AAS），∴FG=DE，275 GE AD BC===，∴275 NL DG DE EG DE==+=+，设=DE FG x=，则2FL FG LG x=-=-，275 NL x=+，∵∠NHM=∠NLF=90°，∠MNH=∠FNL，∴△NMH∽△NFL，∴MH NHFL NL=，即12652725x x=-+，解得10415x=，∴10415 DE=，故答案为：104 15．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、5 4【解析】【分析】由5a＝4b，结合比例的基本性质即可求出ba的值．【详解】解：∵5a＝4b，∴54ba．故答案为：54．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．3、59【解析】【分析】 利用位似的性质得到FG OF OE BC OB OA ==，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OE BC OB OA ==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．4、5或252 【解析】【分析】分情况进行讨论，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，先证△DHO ∽△DAB ，得到1=2OH HD OD AB AD BD ==，求出1152OH AB ==，1202HD AD ==，证明∠HOP =∠HPO =45°，得到OH =PH =15，则PD =HD -PH =5；当∠PFD =90°时，先求出50BD =，得到11=2522OA OB OC OD AC BD =====，从而得到∠DAO =∠ODA ；证明△OFE ∽△BAD ，推出1152OF AB ==，则10DF OD OF =-=，最后证明△PDF ∽△BDA ，则12542PD BD ==． 【详解】解：如图1所示，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，∴∠HPF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD =2OD ，∠BAD =∠OHD =90°，AD =BC =40，∴OH ∥AB ，∴△DHO ∽△DAB ， ∴1=2OH HD OD AB AD BD ==， ∴1152OH AB ==，1202HD AD ==， 由折叠的性质可得：1==452HPO FPO HPF ∠=∠︒∠，∴∠HOP =45°，∴∠HOP =∠HPO =45°，∴OH =PH =15，∴PD =HD -PH =5；如图2所示，当∠PFD =90°时，∴∠OFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=30，∴50BD=，∴11=2522OA OB OC OD AC BD=====，∴∠DAO=∠ODA，由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，又∵∠OFE=∠BAD=90°，∴△OFE∽△BAD，∴12 OF OEAB BD==，∴1152OF AB==，∴10DF OD OF=-=，∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴14 PD DFBD DA==，∴12542 PD BD==，∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或252，故答案为：5或252．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．5、4：25##425 【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ．∴△DFE ∽△AFB ， ∴2()DEF ABF S DE S AB=． ∵DE ：EC ＝2：3，∴DE ：DC ＝DE ：AB ＝2：5，∴:425DEF ABF S S =：△△ 故答案为：4：25或425 ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．三、解答题1、（1）画图见解析；（2）点B'的坐标为（-6，2），点C'的坐标为（-4，-2）；（3）点M'的坐标为（-2x，-2y）【解析】【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出B、C的对应点B'，C'，然后顺次连接O，B'，C'即可；（2）根据（1）中所作图形即可得到B'，C'两点的坐标；（3）根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△OO′O′即为所求；（2）如图所示，点B'的坐标为（-6，2），点C'的坐标为（-4，-2）；（3）∵△OO′O′是△OBC以O为位似中心，位似比为2的对应图形，点M（x，y）为△OBC内部一点，∴点M的对应点M'的坐标为（-2x，-2y）．【点睛】本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′，O′，O，则O A B''△即为所求；（2）延长OO′至O″,OO′至O″，使得OO″=2OO′,OO″=2OO′，连接O″O″，则''''即为所求O A B【详解】（1）如图，找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′，O′，O，则O A B''△即为所求；（2）如图，延长OO ′至O ″,OO ′至O ″，使得OO ″=2OO ′,OO ″=2OO ′，连接O ″O ″，则O A B ''''【点睛】本题考查了画旋转图形，在平面直角坐标系中画位似图形，掌握旋转的性质和位似图形的性质是解题的关键．3、（1）EF =2（2）72【解析】【分析】（1）根据DE ∥BC 证明ADE 是等边三角形，再根据D 是AB 中点，可证明BFD 是等边三角形，在证明DEF 是等边三角形，从而求得EF =2,（2）过点A 作AM 垂直BC 于点M ，可证DBF ∽ABM ,由相似可求出DF ，在利用勾股定理即可求出EF ．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∴∠A=∠ADE=60°，∴ADE是等边三角形，∴AD=DE=2,∵D是AB中点，∴BD=AD=2，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF=∠EDF=12∠BDE=12（180°-60°）=60°，又∵∠B=60°，∴BFD是等边三角形，∴DF=BD=2,∵DF=DE=2,∠EDF=60°，∴DEF是等边三角形，∴EF=DE=DF=2;（2）过点A作AM垂直BC于点M，∵DE∥BC，DF⊥DE，∴∠BFD=∠FDE=90°，∵∠DFB=∠AMB=90°，又∵∠B=∠B，∴DBF∽ABM,∵D为AB中点，∴1=2 DB DFAB AM,∴DF=12AM，∵AM是等边三角形BC边上的高，∴M是BC的中点，∴BM=12BC=a，∴AM，∴DF=12AM，∴在Rt DEF △中，EF 32a a （）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键．4、（1）y ＝8﹣4x ；（2）2√33 【解析】【分析】（1）依据Rt △ABC 中，∠O =90°,OO =4√3,∠O =60°，即可得到AC =4，AD =2AE =2x ，OO =12OO =12O ，再根据CD =AC -AD ，可得12O =4−2O ，进而得出y 与x 之间的函数关系式； （2）依据S =DE ×DG =√3O ×(8−4O )=−4√3(O −1)2+4√3，可得当x =1时，S 最大=4√3，再根据△DCG ∽△GFB ，即可得到OO OO =2√3=2√33，进而得出△CDG 与△BFG 的相似比． 【详解】解：（1）∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝A ＝60°，∴AC ＝4，AD ＝2AE ＝2x ，OO =12OO =12O ，∵CD ＝AC ﹣AD ，∴12O =4−2O ，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝8﹣4x ；（2）∵DE ，∴S ＝DE ×DG ×（8﹣4x ）＝﹣x ﹣1）2∴当x ＝1时，S 最大＝此时，GF ＝DE∴BG ＝2GF ＝DG ＝8﹣4＝4，∵∠C ＝∠BFG ＝90°，∠DGC ＝∠B ，∴△DCG ∽△GFB ，∴OO OO =2√3=2√33， ∴△CDG 与△BFG 的相似比为2√33． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位．【解析】【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC 关于x 轴对称的A B C '''； （2）根据位似图形的性质即可画出A B C '''以点O 为位似中心的位似图形A B C ''''''△，A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可．【详解】解：（1）如图，A B C '''，即为所求作； （2）如图，A B C ''''''△，即为所求作；（3）∵A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2， ∴A B C '''∽A B C ''''''△，O ′O ′O ″O ″=12， ∴O △O ′O ′O ′O △O ″O ″O ″=(O ′O ′O ″O ″)2=14，∵ABC 的面积为3.5平方单位，即A B C '''的面积为3.5平方单位，∴A B C ''''''△的面积为：2O △O ′O ′O ′=4×3.5=14平方单位．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
人教版九年级数学下册第27章相似 章节 基础检测含答案
27.1 图形的相似一、基础训练1.在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.下列四个结论：①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个正方形相似；④两个等腰梯形相似.其中正确的结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法正确的是（）A.相似三角形一定全等B.不相似的三角形不一定全等C.全等三角形不一定是相似三角形D.全等三角形一定是相似三角形4.已知△AB C∽△A1B1C1，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，∠A=55°,∠B=100°，则∠C1的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定5.要做甲、乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种6.把△ABC的各边分别扩大为原来3倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（）A.△AB C∽△A1B1C1B.△AB C与△A1B1C1的各对应角相等C.△AB C与△A1B1C1的相似比为3:1D.△AB C与△A1B1C1的相似比为1:37.已知线段3、4、6与x成比例线段，则x=_________________.8.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°、60°，那么另一个三角1 / 31形的最大角为__________，最小角为______________.二、能力训练.9.如图△ABC与△DEF相似，求未知边x、y的长度10.如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，线段的长度如图所示，求证：△ABC∽△ADE.2 / 313 / 3111.如图，若56DE BC AE AC AD AB ===，且△ABC 与△ADE 周长差为4，求△ABC 与△ADE 的周长.12.一个矩形截去一个边长与宽相等的正方形后，所得的矩形仍与原矩形相似，求原矩形与宽的比.27.2《相似三角形性质与判定》一、选择题1.已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为3：2，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ）A.1：1B.3：2C.6：2D.9：42.若△ABC ∽△DEF ，AB=2DE ，△ABC 面积为8，则△DEF 的面积为（ ）A.1B.2C.4D.83.如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD:BD=3:2，则CE:CA 的值为（ ）A.0.6B.2/3C.0.8D.1.54.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种B.两种C.三种D.四种5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.2B.3C.6D.546.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（）A.1B.2C.3D.97.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE=1，CE=AD=2，则AB的长是（）A.6B.5C.4D.28.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：99.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为A.40mB.60mC.120mD.180m4 / 3110.如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动( )时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为A.60 cmB.80 cmC.100 cmD.120 cm11.如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：2：4C.1：3：5D.2：3：412.如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（）A.5：8B.25：64C.1：4D.1：16二、填空题.13.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为是 .5 / 316 /3115.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若CF=6，则AF 的长为_____.16.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F.若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________.17.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9：16，则DE ：EC=_____.18.如图，AG ∥BC ，如果AF ：FB=3：5，BC ：CD=3：2，那么AE ：EC=_____.三、解答题19.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由.7 /3120.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ，在近岸分别取点B 、D 、E 、C ，使点A 、B 、D 在一条直线上，且AD ⊥DE ，点A 、C 、E 也在一条直线上，且DE ∥BC.经测量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的宽度AB 为多少米？21.如图，一块直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的BC 边上，并且使条直角边经过点D ，另一条直角边与AB 交于点Q.请写出一对相似三角形，并加以证明.(图中不添加字母和线段)22.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上.(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB.23.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG//BC，交AD于点G.(1)求证：△FGE∽△FDB；(2)求AG:DF的值.8 / 3124.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD 分别交于点G、F.DF=2CF，AB=6，求DG的长.25.已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2=EA•EC.（1）求证：∠EBA=∠C；（2）如果BD=CD，求证：AB2=AD•AC.9 / 31参考答案1.答案为：D2.答案为：B3.答案为：A4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：B9.答案为：C.10.答案为：D11.答案为：C12.答案为：D13.答案为：1：4.14.答案为：1：4.15.答案为：316.答案为：2/3.17.答案为：3：118.答案为：3:2；10 / 3119.△ABC和△DEF相似，理由如下：20.解析根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案.解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE ，∴=，又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得∴=，解得x=18，答：河的宽度为18米.21.△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵∠QPD=90°，∴∠QPB+∠BQP=90°，∠QPB+∠DPC=90°，∴∠DPC=∠PQB，∴△BPQ∽△CDP.22.解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如图，即为所作图形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP =∠ABC，11 / 31∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD =∠ABC，∴PD∥AB.23.解：24.解：在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF，即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6，∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3，PE=6∵AD∥EP ∴△PGE∽△AGD∴而PE=AD=6，∴GE=GD=故DG 的长为.25.解：（1）证明：∵ED2=EA•EC，12 / 31∴=，∵∠BEA=∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA=∠C.（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD，∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD，∵∠EBA=∠C，∴∠DBC=∠ABD，∵DB=DC，∴∠C=∠DBC，∴∠ABD=∠C，∵∠BAD=∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴=，∴AB2=AD•AC.27.3位似1.下列说法中，正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比相等.A.1B.2C.3D.42.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.3.指出下列各组位似图形的位似中点.13 / 3114 / 314.如图，△ACB 与△DFE 是位似图形，则)()()(ABBP AP ==.4题图 互动训练知识点一：位似图形的概念及性质 1.下列说法错误的是( ) A. 相似图形不一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 同一底版的两张照片是位似图形D. 放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是( )A.16B.32C.48D.643.按如下方法,将△ABC 的三边缩小为原来的21,如图,任取一点O ,连结AO 、BO 、CO ,并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF . 则下列说法中正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形 ③△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1 A.1 B.2 C.3 D.415 /313题图 4题图4.如图,五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD =2，C′D′=3. 若位似中心P 点到点A 的距离为6，则P 到A′的距离为________________.5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 和△ABC 是位似图形，DE =1，BC =3，AB =6，求AD 的长.5题图知识点二：利用位似图形进行作图6.画出图中位似图形的位似中心..7.利用位似的方法把下图缩小一倍，要求所作的图形在原图内部8.如图，已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点，且EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似，并说明你的理由.16 / 3131 8题图9. 如图，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°.9题图(1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线l为对称轴的图案.17 /知识点三：位似图形的应用10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映的银幕的规格是2 m×2 m,若影机的光源距胶片20 cm时,问银幕应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?11.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5，求矩形.ABCD与矩形EFGH的面积比12.在直角坐标系中，有一个Rt△AOB，且两直角边长分别为OA=4，OB=3，如图.(1)请直接写出A、B两点的坐标.(2)将△AOB作下列运动，画出相应的图形，指出3个顶点的坐标发生的变化(不必写计算过程).①关于原点对称；18 / 3119 / 31②将△AOB 以O 点为位似中心，缩小1倍.12题图课时达标1.如图，BC ∥ED ，下列说法不正确的是（ ）A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．B 与D 、C 与E 是对应位似点 D ．AE ︰AD 是相似比1题图 2题图2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD 的长是( ) A. 61 cm B .31 cm C. 21cm D.1 cm3.在图中，①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两个图形不是位似图形.(1)分别指出图①③各自的位似中心.(2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗?4.如图，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，则AB∥A′B′，BC∥B′C′吗?说明理.由5.如图中的图案是由A字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似变换吗?为什么?20 / 3131 5题图6.如图,△ABC和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC和△A′B′C′的位似比.6题图7.已知图，作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1.7题图21 /8.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1、P2、O在一条直线上时，在点O 处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2 cm，b2=2 cm，①号“E”的测试距离l1=8 m,要使测得的视力相同,?则②号“E”的测试距离l2应为多少9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32 dm2,上下空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为x dm,四周空白处的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式;(2)当要求空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?.(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由22 / 31拓展探究1.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC变换成△PQR的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③1题图2题图2.如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________.3.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图所示，23 / 3124 /313题图解答下列问题：(1)⊙A 的半径为__________；(2)请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形知⊙D 的圆心D 点的坐标是__________；⊙D 与x 轴的位置关系是__________；⊙D 与y 轴的位置关系是__________；⊙D 与⊙A 的位置关系是__________.(3)画出以点E(-8，0)为位似中心，将⊙D 缩小为原来的21的⊙F.27.3位似（第1课时）答案自主预习1. C. 解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应25 / 31点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC ∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC 与△A′B′C′也是位似的,且位似比为B A AB '',即为原多边形的位似比.因而④对.答案：C2. 之间，同侧，内部. 解析：根据位似图形的意义.3. (1) P 点；(2) P 点. 解析：由位似图形意义.4. DP 、EP 、DE . 解析：对应点到位似中心的距离的比等于相似比. 互动训练1. C. 解析：位似是相似的特例，选项A 、B 都正确；选项C 不能确定两张照片的位置，它们不一定位似；选项D 是正确的.答案：C2. A. 解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比. 相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.答案：A3. D. 解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为OB OE =21,即△ABC ∽△DEF,且相似比为12=OE OB .因而周长为2∶1,面积比为4∶1. 答案：D4. 9. 解析：由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案.5.解：∵△ADE 与△ABC 是位似图形,∴△ADE ∽△ABC .所以BCDE AB AD =. ∵DE =1, BC =3, AB =6, ∴316=AD . ∴AD =2,即AD 的长为2. 6.如图所示26 /317. 解：(1)在五边形ABCDE 内部任取一点O .(2)以点O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE .(3)分别在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上取点A′、B′、C′、D′，使OA ∶OA′=OB ∶OB′=OC ∶OC′=OD ∶OD′=OE ∶OE′=2.(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).7题图8. 解：四边形EFGH ∽四边形ABCD .理由：∵EH ∥AD ，∴△OEH ∽△OAD .∴∠1=∠A ，∠2=∠3，OD OH AD EH OA OE ==. 同理∠4=∠5，∠6=∠7，OCOG DC HG OD OH ==，27 / 31∠8=∠9，∠10=∠B，OB OF BC FG OC OG ==. ∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG =∠ADC .∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF =∠DCB .∴k ADEH OB OF OA OE ===. ∴OE =k·OA ，OF =k·OB .∴k OB OA OB OA k OB OA OF OE =++=++)(，即k ABEF =. ∴∠1=∠A ，∠EHG =∠ADC ，∠HGF =∠DCB ，∠10=∠B ，BCFG DC HG AD EH AB EF ===. ∴四边形EFGH ∽四边形ABCD .∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O ，不经过点O 的其它三边平行,∴四边形EFGH 与四边形ABCD 是位似形.9. 如图，9题图10. 解：位似比为k=74005.3200=,设出银幕应拉在离镜头x m 的地方,则由位似图形的性质得740020=x,所以x=780m,故银幕应拉在离镜头780m的地方.11. 解：由位似可得,两个矩形相似,∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=(OB∶OF)2.∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=9∶2512. 解：(1) A (4, 0), B(0,3).(2) ①A1(-4,0), B1(0,-3), O(0,0). 如图:②如图, A2(2,0), B2(0,23), O(0,0).课时达标1. D.2. D. 解析：易得△ABO∽△CDO, 所以212=CDAB. 所以CD=1(cm).答案：D 3. (1)①③的位似中心分别为O、P点.(2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比.4. 解：AB∥A′B′，BC∥B′C′.理由如下:因为△ABC和△A′B′C′是位似图形，所以△ABC∽△A′B′C′.所以OAAO'=ABBAOBBO''='. 所以△OA′B′∽△OAB.所以∠OA′B′=∠OAB.所以A′B′∥AB.同理可得BC∥B′C′.28 / 315. 解：不是位似变换,原因一是看形状不同,二是4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例.所以不是位似变换.6.解：六个顶点坐标为A(-1,4)，A′(-0.5,2)，B(6,2)，B′(3,1)，C(2,1)，C′(1,0.5)，位似比为2∶1.7. 解法一：(1)取关键点A、B、C、D,在图外取点P，作射线AP、BP、CP、DP；(2)在它们上面分别取A′、B′、C′、D′,使得P A′=2P A，PB′=2PB，PC′=2PC，PD′=2PD.(3)顺次连结A′、B′、C′、D′，四边形A′B′C′D′即为所求.如图(1),(1) (2) (3)解法二：(1)如图(2),在原图上取关键点A、B、C、D，在图形外取一点P，作出射线P A、PB、PC、PD；(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A′=2P A,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.解法三:(1)如图(3),在原图上取关键点A,B,C,D,在图内取一点P,作射线P A,PB,PC,PD;(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.8. 解：(1)∵△OD2P2∽△OD1P1, ∴b1∶b2=l1∶l2.29 / 3130 / 31 (2)由b 1∶b 2=l 1∶l 2, 得l 2=5 m.9. 解：(1)根据题意,得S=2×x×0.5+2×x 32×1+4×1×0.5=x+x 64+2, 即S=x+x64+2. (2)根据题意,得x+x64+2=18,整理,得x 2-16x+64=0.所以(x-8)2=0. 所以x=8.所以x+2=10.所以这张广告纸的长为10(dm),宽为832+2×0.5=5(dm). (3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为2, 所以45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . 因为矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D′.因为AC 和BD ，A′C′和B′D′都相交于O 点,所以矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′是位似图形.拓展探究1. D. 解析：本题考查图形变换的各种特征. 答案：D2. (5，4).3. (1)5. (2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切.(3)连接DE ，取DE 的中点F ，以F 为圆心，2.5为半径作圆.解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.(1)连接AC ，根据垂径定理，有勾股定理可以计算；(2)⊙A 的平移实质是圆心的平移，因此点D 的坐标为(-5,6)，由点D 的坐标看，⊙D 与x 轴相离，与y 轴相切，与⊙A 外切；(3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.31 /31。
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人教版九年级数学下第二十七章 相似复习巩固题[测试范围：第二十七章 相似 时间：40分钟 分值：100分]一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使x ＝acb，以下作法中正确的是( )图12．如图2，点D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )图2A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶13．如图3所示，P 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BP ，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是( )图3A.AB AP ＝AC ABB.AC AB ＝BC BPC ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC4．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长的比为( ) A ．2∶1 B ．1∶2 C ．4∶1D ．1∶45．如图4所示，在△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )图4A.AD DB ＝DE BCB.BF BC ＝EF ADC.AE EC ＝BF FCD.EF AB ＝DE BC6．如图5，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，在边AB 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的点P 共有( )图5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图6，一束光线从点A (4，4)发出，经y 轴上的点C 反射后，经过点B (1，0)，则点C 的坐标是( )图6A ．(0，12)B ．(0，45)C ．(0，1)D ．(0，2)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)8．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A ＝35°，∠C ′＝85°，则∠B ＝________°，∠B ′＝________°.9．若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，则较大三角形的周长为________cm.10．如图7，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP ＝3，过点A 作AP 的垂线交⊙O 于点B ，C .设PB ＝x ，PC ＝y ，则y 与x 之间的函数解析式为____________(不用写出x 的取值范围)．图711．如图8所示，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O ，此时点O 与竹竿的距离DO ＝6 m ，竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为________ m.图812．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分，连接BE ，AC 交于点F ，则S △AEF ∶S △CBF的值为________________．三、解答题(本大题共4小题，共47分)13．(11分)如图9，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC 向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A 1B 1C 1； (2)以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△A 2B 2C 2与△ABC 对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标．图914．(12分)如图10，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD DF ＝AC CG.(1)求证：△ADE ∽△ACB ； (2)若AD AC ＝23，求AFFG的值．图1015．(12分)如图11所示，BE是锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径，CD是△ABC的高．(1)求证：AC·BC＝BE·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O的直径BE.图1116．(12分)如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 cm，AC＝12 cm.点M在边AB上，以2 cm/s的速度由点B出发沿BA向点A匀速运动；同时点N在边AC上，以1 cm/s的速度由点A出发沿AC向点C匀速运动．当点M到达点A时，点M，N同时停止运动．连接MN，设点M运动的时间为t s.(1)求AB的长．(2)当t为何值时，△AMN的面积为△ABC面积的326？(3)是否存在t值，使得以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图12参考答案1．B2．B [解析] 易知DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝14，∴S △ADES 四边形BCED ＝13.故选B.3．B [解析] A 项正确，符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． B 项不正确，不符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． C 项正确，符合两角分别相等的两个三角形相似． D 项正确，符合两角分别相等的两个三角形相似．故选B. 4．B5．C [解析] ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE ＝BF ，BD ＝EF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝BF BC .∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF AB ＝CF BC ＝CEAC .∵EF ∥AB ，∴AE EC ＝BFFC.故选C. 6．C [解析] 设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x .若△PDA ∽△CPB ，则DA PB ＝AP BC ，即27－x ＝x3，解得x ＝1或x ＝6.若△PDA ∽△PCB ，则AD BC ＝AP PB ，即23＝x 7－x ，解得x ＝145.故这样的点P 共有3个．故选C.7．B [解析] 过点A 作AD ⊥y 轴于点D . ∵∠ADC ＝∠BOC ＝90°，∠ACD ＝∠BCO ，∴△OBC ∽△DAC ，∴OC DC ＝OB AD ，∴OC 4－OC ＝14，解得OC ＝45，∴点C 的坐标为(0，45)．故选B.8．60 60 [解析] 相似三角形的对应角相等，故∠A ＝∠A ′＝35°，∠C ＝∠C ′＝85°，所以∠B ＝∠B ′＝60°. 9．2510．y ＝30x [解析] 如图，连接PO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，则∠C ＝∠D ，∠PBD ＝90°. ∵P A ⊥BC ， ∴∠P AC ＝90°， ∴∠P AC ＝∠PBD ，∵⊙O 的半径为5，AP ＝3，PB ＝x ，PC ＝y ， ∴3x ＝y 10，∴y ＝30x. 11．9 [解析] 由题意，得CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ，∴CD AB ＝OD OB ，即3AB ＝66＋12，解得AB ＝9(m)． 12．4∶25或9∶25 [解析] 在▱ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF .如图①，当AE ∶DE ＝2∶3时，AE ∶AD ＝2∶5.∵AD ＝BC ，∴AE ∶BC ＝2∶5，∴S △AEF ∶S △CBF ＝4∶25；如图②，当AE ∶DE ＝3∶2时，AE ∶AD ＝3∶5.∵AD ＝BC ，∴AE ∶BC ＝3∶5，∴S △AEF ∶S △CBF ＝9∶25. 故答案为4∶25或9∶25.13．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示．(2)△A 2B 2C 2如图所示，点A 2的坐标为(－1，－4)．14．解：(1)证明∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB . (2)∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADF ＝∠C . 又∵AD DF ＝AC CG ，∴AD AC ＝DF CG ，∴△ADF ∽△ACG ， ∴AD AC ＝AF AG ＝23，∴AF FG ＝21＝2. 15．解：(1)证明：连接CE . 由BE 为⊙O 的直径知∠ECB ＝90°. ∵∠A ＝∠E ，∠ADC ＝∠ECB ＝90°，∴AC ·BC ＝BE ·CD .(2)由勾股定理，知AC ＝AD 2＋CD 2＝10，BC ＝BD 2＋CD 2＝3 5. 又∵AC ·BC ＝BE ·CD ，∴10×3 5＝6BE ，解得BE ＝5 5.16．解：(1)在Rt △ABC 中，BC ＝5 cm ，AC ＝12 cm ，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13(cm)． (2)如图，过点M 作MH ⊥AC 于点H ，则MH ∥BC ，∴△AMH ∽△ABC ，∴MH BC ＝AM AB .由题意，得BM ＝2t ，AN ＝t ，则AM ＝13－2t ， ∴MH 5＝13－2t13，解得MH ＝65－10t 13， 由题意得12·t ·65－10t 13＝12×5×12×326，解得t 1＝2，t 2＝92.答：当t 的值为2或92时，△AMN 的面积为△ABC 面积的326.(3)存在．由题意可知分两种情况．①若△AMN ∽△ABC ，则AN AC ＝AM AB ，∴t 12＝13－2t 13，解得t ＝15637.②若△ANM ∽△ABC ，则AN AB ＝AMAC ，∴t 13＝13－2t 12，解得t ＝16938. 综上，当t 的值为15637或16938时，以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似．。