高一数学下学期期末练习试题沪教版
上海市高一下学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC A 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（ ）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC A ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO A 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( ) A ．2,x sB ．231,x s -C ．231,3x s -D ．231,9x s -2．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．243．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 5．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分不同B ．甲、乙两人的中位数相同C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是83，乙的众数为876．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞7．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能10．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
沪教版高一下数学期末复习卷一和参考答案
沪教版高一（下）数学期末复习卷一日期 姓名 得分一、填空题：(共12小题,每题3分,共36分)1、的定义域是函数)23arcsin(-=x y _______________2、的反函数是函数35+=xy ________________________3、==x x x f 取最小值时，当函数cos 5)(_____________________4、的坐标为，则点）的图像恒经过定点，＜（函数P P a a x x f a 10)1(log 6)(≠-+=____________ 5、的终边在第）在第四象限，则（已知点α∠a a cos ,sin P 象限 6、=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2cos ,257cos 23ααππα则，且，已知_______________ 7、函数x x y 2cos 22sin -=的最大值是 。
8、的值域是函数)3(log )(23+=x x f ___________________9、=+∈=-ααπαααcos sin ,43,34cos sin π），则（且已知__________________ 10、如右图，长为22，宽为1的矩形木块，在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一块小木块 挡住，使木块与桌面成ο30角，则点A 走过的路 程是_____________11、若关于x 的不等式0log 2≤-x x c 在∈x （0，33]上恒成立，则实数x 的取值范围是_____________ 12、设函数)0(sin y π≤≤=x x 的图像为曲线C ，动点A(x,y)在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线于点B(A 、B 可以重合)，设线段AB 的长为)(x f ，则函数)(x f 的解析式是 。
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对的3分，否则一律得零分.13、下列函数中，以π为周期的偶函数是……………………………………………………（ ） （A ）x x y cos sin 2= （B ）x y cot 2= （C ）2cos2x y = （D ）x y 2cos 2=14. 函数x y 2sin =的图像向左平移3π个单位得到的函数为………………………………（ ） （A ） )32sin(π+=x y （B ）)32sin(π-=x y（C ）)322sin(π+=x y （D ）)322sin(π-=x y此人将，，度分别为，要求它的三条高的长、某人要作一个三角形9112115115…………（ ）（A ）作出一个直角三角形 （B ）作出一个钝角三角形 （C ）作出一个锐角三角形 （D ）不能作出满足要求的三角形 16. 对于函数xxx x f +-+-=1515log 2)(5，有下列结论：① f （-π）+f （π）=0；② f （x ）在定义域内不是单调函数；③若x ∈[-10，10]，则函数最大值为21；④值域为R ．其中结论正确的数目为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17. （本题满分8分）已知方程0cos 2sin 2=-+k x x 在x ∈[0, π]上有两解，求实数k 的取值范围。
上海高一下学期数学期末考试试卷
上海高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十），则图中阴影部分所表示的集合为（）A . {0，1，2}B . {0，1}，C . {1，2}D . ｛1｝2. （2分） (2016高一下·北京期中) 已知α，β都是锐角，cosα= ，cos（α+β）=﹣，则oosβ值为（）A . -B .C .D .3. （2分） (2016高一上·万州期中) 定义在R上的偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式xf（x）＞0的解集是（）A . （0，）B . （，+∞）C . （﹣，0）∪（，+∞）D . （﹣∞，﹣）∪（0，）4. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 在中，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·厦门期末) 用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A . 48B . 62C . 76D . 906. （2分）从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A .B .C .D . ﹣17. （2分）(2017·蔡甸模拟) 某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S的值为（）A . 1007B . 1008C . 2016D . 30248. （2分）已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2 ，且cos2A﹣3sinA+1=0，则sin（C﹣A）+ cos（2A﹣B）的取值范围为（）A . （﹣，﹣）B . （﹣，﹣ ]C . [0，﹣ ]D . （﹣，﹣）9. （2分） (2016高二上·淮南期中) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A . 2：1D . 4：310. （2分）已知函数（其中）的部分图像如下图所示，则的值为（）A .B .C .D . 111. （2分）在区间[0,6]上随机取一个数x ，的值介于0到2之间的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·平坝期中) 用二分法求方程在[ 上的根时，取中点，则下一个有根区间为（）A .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·思南期中) 已知y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=lg32+log416+6lg +lg ，若g（x）=f（x）+1，则g（﹣2）=________．14. （1分）(2016·德州模拟) 已知两个单位向量的夹角为60°，，，若，则正实数t=________．15. （1分） (2016高一下·鞍山期中) 掷三枚硬币，至少出现两个正面的概率为________．16. （1分）已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）已知函数y=3﹣4cos（2x+），x∈[﹣，]，求该函数的最大值，最小值及相应的x值．18. （15分） (2018高一下·汕头期末) 已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．19. （15分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20. （5分） (2019高三上·汕头期末) 汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成三角形（为围网）.方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形（，为围网）.记三角形的面积为，四边形的面积为 . 请分别计算，的最大值，并比较哪个方案好.21. （10分） (2016高二上·福州期中) 在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．22. （15分） (2018高一下·庄河期末) 已知圆，直线 .（1）求直线所过定点的坐标；（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.（3）已知点，在直线上(为圆心)，存在定点 (异于点 )，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市控江中学2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3. 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3. 【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题. 4.已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】 【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos 48π-. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值.【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos 48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.6.在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________． 【答案】6π或56π. 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π.【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+. 【解析】 【分析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=， 所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）【答案】395. 【解析】 【分析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】由题意可得()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.9.在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12. 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值． 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4【解析】 【分析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.【详解】由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________． 【答案】2-. 【解析】 【分析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列， ()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.12.设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、等等．记这136个二元子集1B 、2B 、3B 、、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N=≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答） 【答案】1835028 【解析】 【分析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯++⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028.【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题13.已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ++等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin sin cos cos sin 55x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ=+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.14.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】 将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值.【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17.在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N =-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】 分析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 222sin 2cos cos 2sin 2233x x x x ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =的解集为,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+． （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式.【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+，()241b f q q =+=，2242244b qq b q q ∴==-+， 0q ≠且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-.当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-，可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ； （2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2n n n a c =，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===， 且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-；由0n a >，得()330n λλ++->， 得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意； （iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。
上海市2021-2022高一数学下学期期末考试复习卷(含解析)
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的相关内容，属于中档题.
16.有穷数列(shùliè) 中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个(yīɡè)数， ，且 ，则有穷数列(shùliè) 中值为0的项数是（）
A.1000B.1010C.1015D.1030
（1）求 值：
（2）将函数 的图像向右平移 单位后，得到函数 的图像，求函数 在 上的最值，并求取得最值时的 的值.
【答案】（1）1；（2） 此时 ， 此时
【解析】
【分析】
（1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（0）＝0求出 的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（ ）的值．
故选：B．
【点睛】本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17.已知等比数列 满足 ， ，等差数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案(dá àn)】
【解析(jiě xī)】
分析(fēnxī)】
由等比数列(děnɡ bǐ shù liè)易得公比q和a2，进而(jìn ér)可得等差数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．
3.在等比数列 中， ， 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由等比中项，结合(jiéhé) 得 ，化简 即可.
【详解(xiánɡ jiě)】由等比中项得 ，得 ，设等比数列(děnɡ bǐ shù liè) 的公比(ɡōnɡ bǐ)为 ，
化简 .
故答案(dá àn)为：4
【点睛】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y-=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则a a a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32sin(π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且a 与b 的夹角为0120． （1）求b 在a 上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．5- 4． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
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2012年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
一、填空题（本大题满分36分）1、函数3()log (3)f x x 的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 ________2、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(xx f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是_______3、行列式6cos3sin6sin 3cos的值为__________4、若行列式417 5 xx 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________5、若向量a b 、满足1,2,ab且a 与b 的夹角为3，则a b ＝____________6、函数()3sin sin2f x xx 的最大值是______________7、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x 时，()lg f x x ，则满足()0f x 的x 的取值范围是__________________8、方程2210xx 的解可视为函数2y x 的图像与函数1y x的图像交点的横坐标。
若方程440x ax的各个实根12,,(4)k x x x k所对应的点14,x x i （I=1,2,…，k ）均在直线y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________________9、当时10x，不等式kx x 2sin成立，则实数k 的取值范围是___________10、在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n nnn n 中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i jn 。
当9n时，11223399a a a a ___________11、已知函数x xx f tan sin )(.项数为27的等差数列n a 满足22，na ，且公差0d .若0)()()(2721a f a f a f ，则当k =_________时，0)(k a f .12、将函数2642xxy)60(，x的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角)0(，得到曲线C .若对于每一个旋转角，曲线C 都是一个函数的图像，则的最大值为____________.二、选择题（本大题满分16分）13、“24xkkZ ”是“tan 1x ”成立的 [答]（）（A ）充分不必要条件.（B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.14、若0x 是方程31)21(x x的解，则0x 属于区间 [答] （）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）.（C ）（21,31）（D ）（31,0）15、某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为51,111,131则此人能 [答]（）A ）不能作出这样的三角形B ）作出一个锐角三角形.C ）作出一个直角三角形.D) 作出一个钝角三角形.16、在ABC 中，若C BA 222sin sin sin ，则ABC 的形状是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.三、解答题（本大题满分48分）17、（本题满分8分）已知函数)1lg()(xx f .（1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y ])2,1[(x 的反函数. 18、（本题满分8分）已知函数()sin 2f x x ，()cos g x 62x,直线()x t t R 与函数()()f x g x 、的图像分别交于M 、N 两点。
(1)当4t时，求||MN 值；(2) 求||MN 在0,2t时的最大值.19．（本题满分10分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为o120的扇形AOB 。
小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD 。
已知某人从C 沿CD 走到D 用了 10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟。
若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）20、（本题满分10分）若实数x 、y 、m 满足m y m x ，则称x 比y 远离m .（1）若21x比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33ab 比22a bab 远离2ab ab ；（3）已知函数()f x 的定义域R xZ k k xx D,,42.任取xD ，()f x 等于x sin 和xcos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.21、（本题满分12分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2012年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷答案：1、)2,0(；2、)2,0(；3、0；4、83x；5、7；6、2；7、(－1,0)∪(1,+∞) ；8、(－∞, －6)∪(6,+∞) ； 9 ；10、45；11、14；12、2arctan 3.13、A ；14、C ；15、D ；16、C ；17、解：（1）由1022x x ，得11x . 由1lg)1lg()22lg(0122x xx x 得101122x x xOyPAAODBC因为01x ，所以1010221x x x ，3132x. 由313211xx 得3132x.（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y 由单调性可得]2lg ,0[y .因为yx103，所以所求反函数是xy 103，]2lg ,0[x 18、⑴32；⑵3 19、（ 445）20、（本题满分10分）若实数x 、y 、m 满足m y mx ，则称x 比y 远离m .（1）若21x比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33ab 比22a bab 远离2ab ab ；（3）已知函数()f x 的定义域R xZ k k xx D,,42.任取xD ，()f x 等于x sin 和xcos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.（1）).2()2,(x （2）略（3）)4,4(cos )43,4(sin )(kkxxk k x xx f 性质：（1）偶函数关于y 轴对称（2）周期2T（3）)2,42(k k 单调增，)42,2(k k 单调减（4）最大值为1，最小值为2221、（本题满分12分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. （1）当5.0t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？21、解：（1）5.0t时，P 的横坐标x P =277t，代入抛物线方程24912xy中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327，得∠OAP =arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(tt vt，整理得337)(1442122t tv.因为2212t t，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144v，即25v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.xOyPA。