初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题(含答案) (72)

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题（含答案）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）△OBC≌△ABD．证明见解析；（2）当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，则∠OBC＝∠ABD.然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；（2）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．试题解析：证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB ＝AB ，CB ＝DB ，∠ABO ＝∠DBC ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD .在△OBC 和△ABD 中，,OB AB OBC ABD CB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBC ≌△ABD (SAS)．(2)∵△OBC ≌△ABD ，∴∠BOC ＝∠BAD ＝60°.又∵∠OAB ＝60°，∴∠OAE ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC ＝120°，∠OEA ＝30°，∴以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，AE 和AC 是腰．∵在Rt △AOE 中，OA ＝1，∠OEA ＝30°，∴AE ＝2，∴AC ＝AE ＝2，∴OC ＝1＋2＝3，∴当点C 的坐标为(3，0)时，以A ，E ，C 为顶点的三角形是等腰三角形．92．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E.求证：(1)∠ABD＝∠FAD；(2)AB＝2CE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明结论；（2）利用ASA证明△BAD≌△ACE，即可得AD＝CE；再由AC＝2AD=2CE即可得AB＝2CE.【详解】证明：(1)∵∠BAC＝90°，∴∠FAD＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠FAD.(2)∵CE∥AB，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，∠BAC＝∠ACE＝90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD＝CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC＝2AD，∴AC＝2CE.又∵AB＝AC，∴AB＝2CE.【点睛】本题主要考查了同角的余角相等及全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△ACE是解决本题的关键.93．如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，我们称这样的三角形为格点三角形，请你在图中画出一个与△ABC全等的格点三角形．【答案】画图见解析.【解析】分析：根据“三边对应相等的两个三角形全等”在方格纸中画出符合要求的三角形即可.详解：如下图所示，图中的△A′B′C′和△A′′B′′C′′都是符合题意的三角形．(符合条件的格点三角形不唯一，这里只选了两个)点睛：画图时，可依据“一个三角形经过平移和翻折后所得新三角形与原三角形全等”进行画图.94．如图，在ABC中，AC AB BC.⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：2APC B；⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若3AQC B，求B的度数.【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.【详解】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB，所以∠PAB=∠B，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.（2）根据题意，得BQ=BA，所以∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，所以∠BAQ=∠BQA=2x，在△ABQ中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°.【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.95．如图平行四边形ABCD 中，∠ABC=60°，点E、F 分别在CD、BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2．（1）求证：D 是EC 中点；（2）求FC 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，故D是EC的中点；（2）连接EF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出．【详解】（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中点；（2）连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键．96．已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =．（1）如图1，若AB 为边在ABC 外作ABE △，AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数；（2）如图2，ABC α∠=，ACD β∠=，6BC =，8BD =．①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为 ；②若改变α、β的大小，但90αβ+=︒，求ABC 的面积．【答案】（1）120BFC ∠=︒；（2）①AB =②ABC S =△【解析】【分析】（1）证明()AEC ABD SAS △≌△，再根据三角形外角的性质即可得到答案；（2）①以AB 为边在ABC 外作正三角形ABE ，连接CE ，根据（1）求出90EBC ∠=︒，根据勾股定理求出BE 即可得到AB 的长；②作AH BC ⊥交BC 于H ，过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取2BE AH =，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ，先证明四边形AKBH 为平行四边形，根据90EBC ∠=︒，得到四边形AKBH 为矩形得到AB AE =，再证明EAC BAD △≌△求出EC=ED=8，根据勾股定理求出AH 即可求出面积.【详解】（1）如图1，∵AE=AB ，AD AC =，60EAB DAC ∠=∠=︒， ∴EAC EAB BAC ∠=∠+∠，DAB DAC BAC ∠=∠+∠， ∴EAC DAB ∠=∠，在AEC 和ABD △中，AE AB EAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AEC ABD SAS △≌△，∴AEC ABD ∠=∠，∵BFC BEF EBF AEB ABE ∠=∠+∠=∠+∠， ∴120BFC AEB ABE ∠=∠+∠=︒；（2）①如图2，以AB 为边在ABC 外作正三角形ABE ，连接CE ．由（1）可知EAC BAD △≌△，∴8EC BD ==，∵60=︒∠BAE ，30ABC ∠=︒，∴90EBC ∠=︒．在Rt EBC 中，8EC =，6BC =，∴EB ===，∴AB BE ==．△如图2，作AH BC ⊥交BC 于H ，过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取2BE AH =，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ．∵AH BC ⊥于H ，∴90AHC ∠=︒．△BE ∥AH ，∴90EBC ∠=︒．∵90EBC ∠=︒，2BE AH =， ∴222224EC EB BC AH BC =+=+． ∵K 为BE 的中点，2BE AH =， ∴BK AH =．△BK ∥AH ，∴四边形AKBH 为平行四边形． 又∵90EBC ∠=︒，∴四边形AKBH 为矩形， ∴90AKB ∠=︒．∴AK 是BE 的垂直平分线． ∴AB AE =．∵AB AE =，AC=AD ，ABE ACD ∠=∠，∴EAB DAC ∠=∠，∴EAB EAD DAC EAD ∠+∠=∠+∠，即EAC BAD ∠=∠，在EAC 与BAD 中，AB AE EAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EAC BAD △≌△．∴8EC BD ==．在Rt BCE △中，BE ==，∴12AH BE ==，∴12ABC S BC AH =⋅=△ 【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，由（1）理解为同类项题引出辅助线是解题的关键.97．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求∠DBC 的度数。

【答案】（1）答案见解析；（2）36°【解析】【分析】AB的长为半径作弧，两弧相交于M，（1）分别以A、B点为圆心，以大于12N两点；作直线MN，即MN为线段AB的垂直平分线；（2）由AB的垂直平分线MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由∠A=36°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABD 的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得∠DBC的度数．【详解】解：（1）如图：（2）解：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，∵∠A=36°，∴∠ABD=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．98．如图，△ABC为等边三角形，DE△BC，EF△AC，FD△AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．【答案】△DEF是等边三角形【解析】试题分析：根据已知条件利用角与角之间的关系来求得△DEF的各角分别为60度，从而得出其是一个等边三角形．试题解析：△DEF是等边三角形．理由如下：∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∠ADF=∠CFE=90°，∴∠AFD=30°，∴∠DFE=180°－30°－90°=60°.同理，∠FDE=∠DEF=60°.∴△DEF是等边三角形．99．（1）如图，两条交叉的公路上分别有A，B两个车站，要在这两条公路之间的S区域内修一个货运仓库，使它到两条公路的距离相等，且又要到两个车站的距离相等，请你在图中画出这个货运仓库P的位置.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）如图，在正方形网格中，A，B，C均在格点上，在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：①分别写出B，C两点的坐标，及点B关于x轴对称的点B′和点C关于y轴对称的点C′的坐标；②在图中画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.【答案】（1）答案见解析；（2）①B（﹣1，1），C（3，1），B′（﹣1，﹣1），C′（﹣3，1）；②答案见解析．【解析】【分析】（1）首先作出AB的垂直平分线，然后再作出l1和l2的夹角角平分线，两线的交点就是P的位置．（2）①根据关于x轴、y轴对称的点的横纵坐标的关系可得结论；②根据轴对称的定义作图即可．【详解】（1）如图所示：点P即为所求．（2）①由图可知：B（﹣1，1），C（3，1）．点B（﹣1，1）关于x轴的对称点B′的坐标为（﹣1，﹣1），点C（3，1）关于y轴的对称点C′的坐标（﹣3，1）；②如图所示，四边形ABCD即为轴对称图形．【点睛】本题考查了作图﹣﹣应用设计与作图，关键是掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．还考查了作图﹣轴对称变换．100．在平面直角坐标系中，O(0，0)、B(a，b)，且a、b满足1﹣2a+a2+(b2=0．（1）求a，b的值；（2）若点A在x轴正半轴上，且OA=2，在平面内有一动点Q(不在x轴上)，QO=m，QA=n，QB=p，且p2=m2+n2，求∠OQA的度数．（3）阅读以下内容：对于实数a、b有(a﹣b)2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab．利用以上知识，在（2）的条件下求△AOQ的面积的最大值．【答案】（1）a=1，b=（2）∠OQA的度数为30°或150°；（3）当∠OQA=30°时，△AOQ的面积的最大值为2∠OQA=150°时，△AOQ的面积的最大值为2【解析】【分析】（1）由题意根据完全平方式的非负性，即可求得a和b的值；（2）根据题意易证△OAB为等边三角形，故可通过把△ABQ绕点A逆时针旋转60°得△AOC，把已知的QO＝m、QA＝n、QB＝p统一到△OCQ中，得到△OCQ是直角三角形，再加上旋转得到的∠AQC＝60°，即能求出∠OQA 的度数；但由于不确定点Q的位置，故需分点Q在△OAB内部和点Q在△OAB 外部两种情况讨论计算；（3）由题意通过构造OQ边上的高AH求得△AOQ面积的表达式，根据条件给的不等式可知，当a＝b时，ab可取得最大值为a2+b2，即OQ＝AQ时，△AOQ取得最大值；根据勾股定理把AQ＝OQ求出，即求出面积最大值；由于在（2）的条件下不确定∠OQA的度数，故需分两种情况讨论计算．【详解】解：（1）△1﹣2a+a2+(b)2=0，△(1﹣a)2+(b2=0，△1﹣a=0，b=0，△a=1，b=（2）△OA=2即A(2，0)，B(1，△OB2==，==，AB2△OA=OB=AB，△△OAB是等边三角形，△△OAB=60°，把△ABQ绕点A逆时针旋转60°得△AOC，连接CQ，△△CAQ=△OAB=60°，AC=AQ=n，OC=BQ=p，△△ACQ是等边三角形，△CQ=AQ=n，△AQC=60°，△p2=m2+n2即OC2=OQ2+CQ2，△△OCQ是直角三角形，△OQC=90°，△若点Q在△OAB的外部，如图1，则△OQA=△OQC ﹣△AQC=90°﹣60°=30°；△若点Q 在△OAB 的内部，如图2，则△OQA=△OQC+△AQC=90°+60°=150°，综上所述：△OQA 的度数为30°或150°．（3）△a 2+b 2≥2ab ，△当a=b 时，a 2+b 2=2ab 成立，即此时ab 取得最大值，过点A 作AH △OQ 于H ，如图3，△△AHQ=90°，△△AQH=30°，△AH 12=AQ 12=n ， △S △AOQ 12=OQ •AH 12=m •12n 14=mn ， △当m=n 时，S △AOQ 取得最大值214n ， △当△OQA=30°时，如图3．△OQ=AQ=n，QH===，2△OH=OQ﹣QH=n n，△OA=2，OA2=OH2+AH2，n)2=22，△(n n)2+(12解得：n2=4(2，△S△AOQ1=n2=24△当△OQA=150°时，如图4，△OH=OQ+QH=n n，△OA=2，OA2=OH2+AH2，n)2=22，△(n+n)2+(12解得：n2=4(2)，△S△AOQ1=n2=24综上所述：当△OQA=30°时，△AOQ的面积的最大值为2当△OQA=150°时，△AOQ的面积的最大值为2【点睛】本题考查完全平方式的非负性，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解一元二次方程，不等式性质，综合运用分类讨论的解题思想进行分析．。