第五章一元函数的导数及其应用复习-2020-2021学年高二数学(人教A版选择性必修第二册)

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第5章一元函数的导数及其应用2024高二数学备考复习+PPT(新教材)

3.(2021·山东德州高三阶段检测)已知函数 f(x)＝12x2＋2aln x－(a＋2)x. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实宋数老a师，数使学函精数品g工(x作)＝室f(x)＋ax＋49x3 在(0，＋∞)上单调递
增？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
室 ex0＝k，知yy00－＝eexx00x，0＝0，解得kx＝ 0＝e1. ，
【答案】 (1)D (2)D
归纳总结
导数的几何意义
1．导数几何意义的应用
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典例解析
专题 2 利用导数研究函数的单调性
例 2.已知函数 f(x)＝3ax－2x宋师2＋老数ln x，其中 a 为常数且 a≠0. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单学品调精工区间宋；老师 (2)若函数 f(x)在宋区老间师[1，数2学]作上精室为品单工调作数函室学数精，求 a 的取值范围．
(2)存在，a≥274. 因为函数g(x)＝f(x)＋ax＋94x3＝21x2＋2aln x－2x＋49x3，所以g ′(x)＝x＋2xa－2＋34x2．
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要使函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g ′(x)＝x＋2xa－2＋43x2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，即a≥－4x3＋36x2－6x在(0，＋∞)上恒成立．
法二：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－
1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a 宋老
＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以师数f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)学处精的切线方程为 y＝x.故选 D. (2)设切点坐标为(宋x0老，y师0)，数因学为品作精工室y品′＝工(e作宋数x)′室老学＝师精ex，所以 y′|x＝x0＝ex0，所以切线方程为 y－y0＝ex0(x－x0)，品即工y作＝ex0x＋y0－ex0x0.故

2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第二册单元测试AB卷第五章一元函数的导数及其应用

2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）选择性必修第二册单元测试AB 卷第五章一元函数的导数及其应用A 卷夯实基础1.已知函数()2ln f x x ax a =-+，若对任意的1x ≥，都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是( ) A.(0)1,B.)1+∞［, C.(0)+∞, D.)2+∞［, 2.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（） A ．[,)e +∞B ．2[,)2e +∞ C. 22[,)2e eD ．2[,)e +∞3.对于函数()f x ,把满足00()f x x =的实数0x 叫做函数()f x 的不动点,设()ln f x a x =,若()f x 有两个不动点,则实数a 的取值范围是( )A.(0,e)B.(e,)+∞C.(1,)+∞D.(1,e)4.已知函数()1()ln 114f x x a x ⎛⎝=--≥，若()0f x ≥恒成立，则参数a 的取值范围是( ) A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦ D.1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦5.已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．)39,e ⎡+∞⎣B ．(3,9e ⎤-∞⎦C ．)24,e ⎡+∞⎣D ．(2,4e ⎤-∞⎦6.设函数()32f x ax bx cx =++(0)a b c a ∈≠R ,,,，若不等式()()5xf x af x '-≤对x ∀∈R 恒成立，则2b ca -的取值范围为( ) A.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( )A.(],1-∞-B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.设曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线方程为10x y --=,则实数a =( ) A.1B.2C.-1D.-29.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在1221,()x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x m x +≥恒成立时m 的取值范围为( )A.(],1-∞-B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.设函数()πx f x m=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（） A. ()(),66,-∞-∞B. ()(),44,-∞-∞C. ()(),22,-∞-∞D. ()(),14,-∞-∞11.函数()()14πin f x x a cosx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在π2x =处的切线与直线10x y -+=垂直，则该切线在y 轴上的截距为______．12.函数()ln 1f x x x =+在点()e,e 1+处的切线方程为________________． 13.曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为__________．14.已知曲线x y e -=，则曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是_________. 15.已知函数2()e sin 2x f x x ax x =+--.（1）当0a =时，判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并加以证明；（2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.答案以及解析1.答案：D解析：()()22ln ln 1f x x ax a x a x =-+=--，当1x ≥时，ln 0x ≥，210x -≥，若0a ≤，则当1x >时，()0f x >，这与()0f x ≤矛盾，故0a >. ()21122ax f x ax x x -'=-=，若12a ≥，则当1x ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在)1,+∞［上单调递减，于是()()10f x f ≤=，符合题意，若102a <<，当1x >时，令2120ax ->，则1x <<1x <<()0f x '>，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，()()10f x f >=，这与()0f x ≤矛盾.故12a ≥，选D 2.答案：B 解析：若不等式()f x x对所有的2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立，即2ln a x bx x -对所有的2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立，即2ln a x x bx -对所有的2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立，即ln 0a x x -对2,(]x e e ∈都成立,即ln a x x 对2,(]x e e ∈都成立，即a 大于等于ln x x 在区间2(,]e e 上的最大值，令n (l )h x x x=,则2ln ())l (1n h x x x '=-，当2,(]x e e ∈时, 0,()()h x h x '>单调递增，所以2ln ,()(],h x x x x e e =∈的最大值为22()2e h e =,即22e a ，所以a 的取值范围为2[),2e +∞.3.答案：B解析：由ln a x x =可得(01)ln x a x x x =>≠且,设()ln xg x x=,则2ln 1'()(ln )x g x x -=所以易知()g x 在(0,1)和(1,e)上单调递减,在(e,)+∞上单调递增,所以()g x 的极小值为(e)e g =,易知1x +→时,ln x x →+∞,x →+∞时,ln x x→+∞,所以作出()g x 的大致图象如图所示,由图可知当(e,)a ∈+∞时,函数()f x 有两个不动点4.答案：B解析：由题意知，1ln 104x a x ⎛-≥ ⎝恒成立. t x=，则(]01t ∈,，21x t =，∴原不等式转化为()1ln 102t a t ---≥. 设()()1ln 12g t t a t =---，则()12122at g t a t t-'=-+=. 当0a ≤时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，()()min 10g t g ∴==，()0g t ≥恒成立.当0a >时，由210at -=，得12t a=. ①当112a ≥，即102a a<≤时，()0g t '≤，此时函数()g t 在(01,］上单调递减，()()min 10g t g ∴==，()0g t ≥恒成立.②当1012a <<，即12a a >时，若10,2t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g t '<，若1,12t a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，则()0g t '>，∴函数()g t 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()min 1012t g g a g ⎛∴=< ⎪⎝⎭=⎫，()0g t ∴≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.5.答案：A解析：()0xaf x xe x '=-≤在1[,3]2上恒成立，则2x a x e ≥在1[,3]2上恒成立，令2()e x g x x =，()2'()2e 0x g x x x =+>，所以()g x 在1[,3]2单调递增，故()g x 的最大值为()339g e =. 故39a e ≥.6.答案：C解析：由题意得()232f x ax bx c '=++.不等式()()5xf x af x '-≤对x ∀∈R 恒成立，即()()()2323250a a x b ab c ac x x -+-+--≤对x ∀∈R 恒成立，230a a ∴-=.又0a ≠，3a ∴=.不等式转化为2250bx cx ++≥对x ∀∈R 恒成立，0b ∴>且24200c b ∆=-≤，即215b c ≥.223b c b c a --∴=21253c c -≥()25255153c --=≥-.故选C 7.答案：C解析：由题得()22f x x ax a =-+.由函数()f x 在1x ，122()x x x ≠处的导数相等，得122x x a +=.()12f x x m +≥恒成立，()(2)1m f a a ∴≤≤恒成立. 令()()2g a f a =()()32122213a a a a a =-+⋅+32421)13(a a a =-++≤，则()()24441g a a a a a '=-+=--.当)0(a ∈-∞,时，()0g a '<；当)1(0a ∈,时，()0g a '>. ()g a ∴在()0-∞,上单调递减，在(0)1,上单调递增， ()()min 01g a g ∴==，()min 1m g a ∴≤=.故选C. 8.答案：B解析：将0x =代入x y ax e =-，得001y a e =⨯-=-，所以点()0,1-在曲线x y ax e =-上，对x y ax e =-求导，得x y a e '=-，则曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线的斜率为1x y a ='=-.因为曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线方程为10x y --=，所以11a -=，解得2a =. 9.答案：C解析：由题得()22f x x ax a '=-+，由函数()f x 在()1212,x x x x ≠处的导数相等，得122x x a +=，∵()12f x x m +≥恒成立，∴()()21m f a a ≤≤恒成立，令()()()()()3232142222121133g a f a a a a a a a a a ==-+⋅+=-++≤，则()()24441g a a a a a '=-+=--.当(),0a ∈-∞时，()0g a '<；当()0,1a ∈时，()0g a '>.∴()g a 在(),0-∞上单调递减,在()0,1上单调递增，∴()()min 01g a g ==，∴()min 1m g a ≤=.故选C10.答案：C解析：由题可得()πxf x m=，且()f x 在0x x =处取得极值，则()0f x =0πππ,2x k k Z m =+∈，即021,2k x m k Z +=∈，由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，得2203x m +<，显然当2m 最小时，0x 最小，则当0k =时，0x 最小，此时0x 为12m ，即22134m m >+，解得24m >，故m 的取值范围为()(),22,-∞-+∞11.答案：π12-解析：因()'π4f x x asinx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由题意得'1π12f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得2a =，又1π12f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()f x 在π2x =处的切线方程为π12y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，令0x =得12πy =-，则该切线在y 轴上的截距为π12-．故答案为：π12-． 12.答案： 2e 10x y --+= 解析：()ln 1f x x x =+，()ln 1f x x ∴=+，则()e ln e 12f =+=，∴函数()ln 1f x x x =+在点()e,e 1+处的切线方程为e 12(e)y x --=-，即2e 10x y --+=．故答案为：2e 10x y --+=．13.答案：21y x =-解析：求导函数,可得ln 2y x '=+，1x =时,21y y '==，∴曲线ln 1y x x =+在点1x =处的切线方程是()121y x -=- 即21y x =-. 故答案为：21y x =-.14.解析：x y e -=的导数为x y e -'=-，设在(),P m n 处的切线平行于直线10x y ++=，即有1m e --=-得01m n ==，，即有切点为()0,1P ，可得最短距离为点()0,1P 到直线10x y ++=的距离d =15.答案：（1）当0a =时，()cos 2x f x e x '=+-. 记()()g x f x '=，则()e sin x g x x '=-，当0x ≥时，e 1x ≥，1sin 1x -≤≤.所以()e sin 0x g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()(0)0g x g ≥=.因为()()g x f x '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数.（2）由题意，得()e cos 22x f x x ax '=+--，记()()g x f x '=，则()e sin 2x g x x a '=--，令()()h x g x '=，则()e cos x h x x '=-，当0x ≥时，e 1x ≥，cos 1x ≤，所以()e cos 0x h x x '=-≥，所以()h x 在[)0,+∞为增函数，即()e sin 2x g x x a '=--在[)0,+∞单调递增所以0()(0)e sin0212g x g a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x 为增函数，即()f x '在[)0,+∞单调递增，又(0)0f '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数，所以()(0)1f x f ≥= 所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()e 1x u x x =--，0x >，因为0x >，所以()e 10x u x '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即e 1x x >+.故2(2)e sin 2221sin 220a g a a a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '单调递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)1f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤.解析：。

第五章一元函数的导数及其应用【章末复习】高二数学单元复习(人教A版2019选择性必修第二册)

章末复习
第五章一元函数的导数及其应用
1 知识框架
2 重点题型
题型 1：导数的几何意义
1．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x ＝x 0 处的导数
f′(x 0)就是曲线 y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．
2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以
求出曲线上任意一点处的切线方程 y－y0＝f′(x 0)(x－x 0)，明

π π
f(x)在－2，2上没有极大值.

③当 a<－1 时，a<asin x<－a π
x＋1＝0，x∈－，有解，设为
2 2

因为 y＝asin x
π π
在－2，2上单调递减，

β.
2 重点题型
所以当
π

x∈－2，β时，f′(x)>0；当
(2)若函数 f(x)的极大值为
23
2,且在区间[0,3]上的最小值为- 2 ,求
a,b 的值.
分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b
满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论
标准后,分类讨论求最小值.
2 重点题型
解 (1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,
2
107
107
a= 48 ,由于 48 <3,所以不合题意,舍去.
3
综上,a=2,b=- .
2
3
a=2,b=-2.
2 重点题型

高中数学第五章一元函数的导数及其应用1.2导数的概念及其几何意义学案新人教A版选择性必修2

导数的概念及其几何意义必备知识·自主学习导思1.什么是函数在某点处的导数？它的几何意义是什么？2．导函数是如何定义的？它与函数在某点处的导数有何关系？1.函数y ＝f ()x 的自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx 的平均变化率定义式 Δy Δx ＝f ()x 0＋Δx －f ()x 0Δx实质函数值的改变量与自变量的改变量之比意义刻画函数在[]x 0，x 0＋Δx 上函数值变化的快慢(1)Δx＝x 2－x 1是正数吗？提示：Δx＝x 2－x 1可能是正数，也可能是负数，但不能为0. (2)函数的平均变化率的几何意义是什么？提示：几何意义为函数y ＝f ()x 图象上过两点P 1()x 1，y 1 ，P 2()x 2，y 2 的割线的斜率． 2．函数y ＝f ()x 在x ＝x 0处的导数(瞬时变化率)(1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f ()x 在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f ()x 在x ＝x 0处的导数． (2)记作f′()x 0 或0x x y' ，即f′()x 0 ＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0 f ()x 0＋Δx －f ()x 0Δx. (3)作用：刻画函数在某点处函数值变化的快慢．(1)函数y ＝f ()x 在x ＝x 0处的导数一定存在吗？提示：当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx 的极限存在，则函数y ＝f ()x 在x ＝x 0处可导，否则在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)函数y ＝f ()x 在x ＝x 0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗？提示：还可以表示为f′()x 0 ＝lim Δx→0f ()x 0－Δx －f ()x 0－Δx ＝x x lim f()x －f ()x 0x －x 0等．3．导数的几何意义函数f(x)在x ＝x 0处的导数f′(x 0)就是切线P 0T 的斜率k 0，即k 0＝lim Δx→0f （x 0＋Δx）－f （x 0）Δx ＝f′(x 0).(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个． (2)曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导． 4．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，y ＝f′(x)就是x 的函数，称它为y ＝f(x)的导函数(简称导数). (2)记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f （x ＋Δx）－f （x ）Δx.f′(x)与f′(x 0)相同吗？它们之间有何关系？提示：f′(x)与f′(x 0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x 0)是函数f(x)在x ＝x 0处的导数值，是函数f′(x)在x ＝x 0时的函数值．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的函数值．( × )提示：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数值．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．( ×)提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．( √)提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．( ×)提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝a B．f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】选C.f′(x0)＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.3．(教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是( )A.x＝－5处比x＝－2处变化快B.x＝－4处呈上升趋势C.x＝1和x＝2处增减趋势相反D.x＝0处呈上升趋势【解析】选D.根据导数的几何意义：f′(－5)＞0，f′(－4)＞0，f′(－2)＝0，f′(0)＜0，f′(1)f′(2)＜0，判断可知D错误．4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．【解析】设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x 0)＝1，又0°≤α＜180°，所以α＝45°. 答案：45°关键能力·合作学习类型一求函数在某点处的导数(数学抽象、数学运算)1．已知函数y ＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则lim Δx→0 f （1＋Δx）－f （1）2Δx ＝( )A ．12B ．2C ．1D ．－1【解析】选C.由题意可得：lim Δx→0 f （1＋Δx）－f （1）2Δx＝12 lim Δx→0 f （1＋Δx）－f （1）Δx ＝12 f′(1)，即：lim Δx→0f （1＋Δx）－f （1）2Δx ＝12×2＝1.2．设曲线f(x)＝ax 2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12D ．－1【解析】选A.因为f′(1)＝lim Δx→0a （1＋Δx）2－a×12Δx＝lim Δx→0 2aΔx＋a （Δx）2Δx ＝lim Δx→0 (2a ＋aΔx)＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.3．求函数f(x)＝x 在x ＝1处的导数．【解析】由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f′(1) ＝lim Δx→0 f （1＋Δx）－f （1）Δx ，而f （1＋Δx）－f （1）Δx＝1＋Δx－1Δx ＝11＋Δx＋1，又lim Δx→011＋Δx＋1 ＝12 ，所以f′(1)＝12 .求函数y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0)) 处的导数的三个步骤【补偿训练】若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则limh→0f（x0＋h）－f（x0－h）h等于( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0【解析】选B.因为Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.所以limh→0f（x0＋h）－f（x0－h）h＝2limh→0f（x0＋h）－f（x0－h）2h＝2f′(x0).类型二导数的意义在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算)【典例】一质点做抛物线运动，已知在t s时，质点的运动路程(单位：m)为s()t＝8－3t2.(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1 s时的瞬时速度，并说明它们的意义．四步内容理解题意条件：质点的运动路程与时间t的函数关系式结论：(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1 s时的瞬时速度，并说明它们的意义．思路探求(1)按照平均速度的定义式计算；(2)取平均速度的极限即为瞬时速度．书(1)因为s()t＝8－3t2，写表达所以Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，所以质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为：v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)质点在t＝1 s时的瞬时速度即s′(1).s′()1＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.质点在t＝1 s时的瞬时速度为－6 m/s，说明在第1 s附近，质点的运动路程每秒大约减少6 m．题后反思当导数值为正值时，说明运动的方向与位移是一致的；当导数值为负值时，说明运动的方向与位移是相反的．关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生．可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小．1．某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】选B.从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．2．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．【解析】根据导数的定义，得f′(100)＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 f （100＋Δx）－f （100）Δx＝lim Δx→0（100＋Δx＋100＋Δx＋3）－（100＋100＋3）10Δx＝lim Δx→0⎝⎛⎭⎪⎫110＋100＋Δx－1010Δx＝lim Δx→0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110×（100＋Δx＋10）＝110 ＋110×（10＋10）＝0.105. 100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2.类型三导数几何意义的应用(数学抽象、数学运算) 角度1 求切线方程【典例】已知曲线C ：y ＝x 2.求曲线在x ＝1点处的切线方程．【思路导引】可先求出切点坐标，再求切线的斜率，最后利用点斜式得出切线方程．【解析】把x ＝1代入y ＝x 2得y ＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x ＝1＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 （1＋Δx）2－1Δx＝lim Δx→0(Δx＋2)＝2，所以k ＝y′|x ＝1＝2.所以曲线y ＝x 2在P(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.求曲线y ＝x 2＋1过点P(1，0)的切线方程．【解析】设切点为Q ()a ，a 2＋1 ，k ＝lim Δx→0 f （a ＋Δx）－f （a ）Δx＝lim Δx→0(2a ＋Δx)＝2a.所以在Q 点处的切线方程为y －(a 2＋1)＝2a(x －a).(*) 把点(1，0)代入(*)式得－(a 2＋1)＝2a(1－a). 解得a ＝1± 2 .再把a ＝1± 2 代入到(*)式中．即得y ＝(2＋2 2 )x －(2＋2 2 )或y ＝(2－2 2 )x －(2－2 2 ).这就是所求的切线方程．角度2 导数值的大小与函数图象变化间的关系【典例】1.已知函数y ＝f(x)的图象是下列四个选项中的图象之一，且其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )【解析】选B.由函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y ＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．2．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y ＝－x 2＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤x≤2 来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．【解析】因为Δy Δx ＝[－（x ＋Δx）2＋4（x ＋Δx）]－（－x 2＋4x ）Δx＝－2x·Δx＋4Δx－（Δx）2Δx ＝－2x ＋4－Δx，所以y′＝lim Δx→0Δy Δx ＝－2x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤x≤2 . 由于y′＝－2x ＋4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 上是减函数，且0≤y′≤1，故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x 达到2时坡度接近0°.1．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，求在点(x 0，y 0)处的切线方程，先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0). (2)若点(x 0，y 0)不在曲线上，求过点(x 0，y 0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．导数几何意义理解中的两个关键点关键点一：y ＝f(x)在点x ＝x 0处的切线斜率为k ，则k ＞0⇔f′(x 0)＞0；k ＜0⇔f′(x 0)＜0；k ＝0⇔f′(x 0)＝0.关键点二：|f′(x 0)|越大⇔在x 0处瞬时变化越快；|f′(x 0)|越小⇔在x 0处瞬时变化越慢．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值和切点的坐标．【解析】设直线l 与曲线C 相切于点P(x 0，y 0)，因为f′(x)＝lim Δx→0f （x ＋Δx）－f （x ）Δx＝lim Δx→0（x ＋Δx）3－2（x ＋Δx）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx ＝3x 2－4x.由题意可知，直线l 的斜率k ＝4，即3x 20 －4x 0＝4，解得x 0＝－23 或x 0＝2，所以切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927 或(2，3).当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927 时，有4927 ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 ＋a ，a ＝12127 ；当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127 时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927 ；当a ＝－5时，切点为(2，3).【补偿训练】已知f(x)＝x 2＋2.求： (1)f(x)在x ＝1处的导数； (2)f(x)在x ＝a 处的导数．【解析】(1)因为Δy Δx ＝f （1＋Δx）－f （1）Δx＝（1＋Δx）2＋2－（12＋2）Δx ＝2＋Δx，当Δx 趋近于0时2＋Δx 趋近于2，所以f(x)在x ＝1处的导数等于2.(2)因为Δy Δx ＝f （a ＋Δx）－f （a ）Δx ＝（a ＋Δx）2＋2－（a 2＋2）Δx＝2a ＋Δx，当Δx 趋近于0时，2a ＋Δx 趋近于2a ，所以f(x)在x ＝a 处的导数等于2a.课堂检测·素养达标1．设f′(x 0)＝0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【解析】选B.f′(x 0)＝0，说明曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率为0，所以与x 轴平行或重合．2．已知函数y ＝f(x)的图象如图，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是( )A.0>f′(x A )>f′(x B ) B ．f′(x A )<f′(x B )<0 C ．f′(x A )＝f′(x B )D ．f′(x A )>f′(x B )>0【解析】选B .f′(x A )和f′(x B )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，故f′(x A )<f′(x B )<0.3．曲线y ＝9x 在点(3，3)处的切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C．135° D．60°【解析】选C.令y ＝f(x)＝9x ，因为曲线f(x)＝9x 在点(3，3)处的切线的斜率为k ＝f′(3)＝lim Δx→0 f （3＋Δx）－f （3）Δx ＝lim Δx→0 93＋Δx －3Δx＝lim Δx→0－33＋Δx ＝－1，所以切线的倾斜角为135°.4．(教材练习改编)曲线f(x)＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】f′(－2)＝lim Δx→0 f （－2＋Δx）－f （－2）Δx＝lim Δx→0 2－2＋Δx＋1Δx＝lim Δx→01－2＋Δx ＝－12，所以切线方程为y ＋1＝－12 (x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.答案：x ＋2y ＋4＝05．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．【解析】因为Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2，所以Δy Δx ＝6＋3Δx，所以y′＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 (6＋3Δx)＝6.。

第五章一元函数的导数及其应用全章总结提升课件高二上学期数学人教A版选择性

解 (1)函数
1
f(x)在[ ,1]上单调递增,
2
1
∴f'(x)=2x-a+ ≥0

即
1
在[ ,1]上恒成立,
2
1
1
a≤2x+在[2,1]上恒成立,
1
2x+≥2
1
2·=2
2,当且仅当
2
x= 2 时,等号成立,
∴a≤2 2,∴a 的取值范围为(-∞,2 2].
(2)g(x)=x2-f(x)=ax-ln x,x∈(0,e].
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;
当a>0时,f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,在(-∞,ln a)上单调递减.
(2)由(1)知当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;
当a>0时,当ln a≤0,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,不符合题意;
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);
(2)如果该市规划办邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总
利润最大?并求出该最大值.
解 (1)S
1 2
1 2
扇形 OBD= R θ,S△OBD= R sin
2
2
θ,S
1 2
弓=f(θ)= R (θ-sin
2
θ),θ∈(0,π).
最大利润
1 2
y=2R (100sin
1 2
θ+50θ-55π)=2R (50
y 最大,
65π
3 − 3 )元.
规律方法解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的

新教材人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用知识点考点解题方法提炼汇总

第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义..................................................................................................... - 1 -5.1.1变化率问题 ......................................................................................................... - 1 -5.1.2导数的概念及其几何意义.................................................................................. - 6 -5.2导数的运算 .................................................................................................................. - 11 -5.2.1基本初等函数的导数........................................................................................ - 11 -5.2.2导数的四则运算法则........................................................................................ - 11 -5.2.3简单复合函数的导数........................................................................................ - 15 -5.3导数在研究函数中的应用........................................................................................... - 20 -5.3.1函数的单调性 ................................................................................................... - 20 -5.3.2函数的极值与最大(小)值 ................................................................................. - 26 - 5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题1．平均变化率对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1.(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．(3)平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1＝f x1＋Δx－f x1Δx.思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？[提示]Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率ΔyΔx可正可负可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x －f x 0x －x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx为割线P 0P 的斜率．(2)当P 点逐渐靠近P 0点，即Δx 逐渐变小，当Δx →0时，瞬时变化率lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx就是y ＝f (x )在x 0处的切线的斜率即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .求平均变化率【例1】 (1)如图，函数y ＝f (x )在[1，5]上的平均变化率为( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2 (2)函数y ＝－2x 2＋1在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率为________． (1)B (2)－4－2Δx [(1)Δy Δx＝f5－f 15－1＝1－35－1＝－12.故选B. (2)Δy ＝－2(1＋Δx )2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx (2＋Δx )，所以平均变化率为Δy Δx ＝－2Δx 2＋ΔxΔx＝－4－2Δx .]1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；第二步，求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；第三步，求平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．求瞬时速度[探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1，1＋Δt ]这段时间内的平均速度？[提示] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ [提示] 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．【例2】某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度ΔsΔt――――→令Δt →0计算lim Δt →0 Δs Δt ―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt＝s 1＋Δt －s1Δt＝1＋Δt 2＋1＋Δt ＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －sΔt＝0＋Δt2＋0＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴limΔt→0(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又ΔsΔt＝s t＋Δt－s t0Δt＝(2t0＋1)＋Δt.lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s t，则求物体在t＝t时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝s t0＋Δt－s t0.2求平均速度：v＝Δs Δt.3求瞬时速度v：当Δt→0时，ΔsΔt→v常数.求函数在某点的切线斜率及方程【例3】(1)已知函数y＝x－x，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．[思路探究](1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．(2)求x＝1时瞬时变化率―→切线斜率―→切线的方程(1)2[∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴斜率k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝1＋1＝2.](2)[解]显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2＋1－12＋1Δx＝limΔx→0Δx2＋2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤5.1.2导数的概念及其几何意义1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f (x)在x＝x处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？[提示] f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．2．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝f x－f xx－x.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k，即k0＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．3．导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.求函数在某点处的导数【例1】 (1)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh等于( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数． (1)B [∵Δx ＝(x 0＋h )－(x 0－h )＝2h . ∴lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．故选B.](2)解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx →0时分母不为0. 2函数在x 0处的导数f ′x 0只与x 0有关，与Δx 无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.导数几何意义的应用的图象可能是( )A B C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )A B C D[思路探究](1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B(2)B[(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝f x在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′x0＞0；k＜0⇔f ′x＜0；k＝0⇔f ′x0＝0.关键点二：|f ′x0|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在x处瞬时变化越慢.求切线方程[探究问题]1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？[提示]y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示]曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路探究](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点x0，y0―→求y′|x＝x―→由y′|x＝x＝y－1x－1求x0，y0―→写切线方程[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx3－1Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x2，由题意可知k PQ＝y′|x＝x，即y－1x－1＝3x2，又y0＝x3，所以x3－1x－1＝3x2，即2x3－3x2＋1＝0，解得x0＝1或x 0＝－12.①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－12，－18，相应的切线方程为y＋18＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋12，即3x－4y＋1＝0.1．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x2”，求曲线在x＝1点处的切线方程[解]把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx2－1Δx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2，∴k＝y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.2．(变条件、变结论)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．[解]设切点为Q()a，a2＋1，k＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＝limΔx→0(2a＋Δx)＝2a.∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．解的a＝1± 2.再把a＝1±2代入到(*)式中．即得y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)．这就是所求的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则1．几个常用函数的导数(1)f (x)＝c(常数)，则f ′(x)＝0；(2)f (x)＝x，则f ′(x)＝1；(3)f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x；(4)f (x)＝x3，则f ′(x)＝3x2；(5)f (x)＝1x，则f ′(x)＝－1x2；(6)f (x)＝x，则f ′(x)＝12x.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则 (1)和差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)．利用导数公式求函数的导数(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)∵y ＝cosπ6＝32，∴y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝－5x －6.(3)∵y ＝x 2x ＝x 2x 12＝x 32，∴y ′＝32x 12.(4)∵y ＝lg x ，∴y ′＝1x ln 10. (5)∵y ＝5x ，∴y ′＝5x ln 5.(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝cos x .1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．利用导数的运算法则求导数1．如何求函数y ＝tan x 的导数？ [提示] y ＝tan x ＝sin xcos x，故y ′＝sin x′cos x －cos x′sin xcos x 2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x.2．如何求函数y ＝12sin 2x 的导数？[提示] y ＝12sin 2x ＝sin x cos x∴y ′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x . 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 3＋sin x ；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x ＋1x －1. [解] (1)y ′＝(x 3＋sin x )′＝(x 3)′＋(sin x )′＝3x 2＋cos x . (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝3×2x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12.1．(变条件)把例2(2)的函数换成“y ＝x 2－sin x 2cos x2”，求其导数．[解] ∵y ＝x 2－sin x 2 cos x 2＝x 2－12sin x∴y ′＝2x －12cos x .2．(变条件)把例2(3)的函数换成“y ＝x tan x ”，求其导数． [解] y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形.另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导.导数计算的综合应用【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋3，若f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．[思路探究] (1)先求导，列方程求解．(2)先求导，由条件可知1，2是导函数的两个零点． (1)B (2)f (x )＝2x 3－9x 2＋12x [(1)∵f (x )＝ax x 2＋3，∴f ′(x )＝a x 2＋3－2ax 2x 2＋32＝3a －ax 2x 2＋32.∵f ′(1)＝12，∴3a －a 42＝12，解得a ＝4.故选B.(2)因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .]三次函数求导问题由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.这类题目比较受学生的青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等.5.2.3 简单复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．复合函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝ln 3xe x.[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5x－1ln 2.(4)∵(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x.∴y′＝ln 3x′e x－ln 3x e x′e x2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤三角函数型函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)y＝cos x2⎝⎛⎭⎪⎫sinx2－cosx2；(2)y＝x2＋tan x.[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解](1)∵y＝cos x2⎝⎛⎭⎪⎫sinx2－cosx2＝cosx2sinx2－cos2x2＝12sin x－12(1＋cos x)＝12(sin x－cos x)－12，∴y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin x－cos x－12′＝12(sin x－cos x)′＝12(cos x＋sin x)．(2)因为y＝x2＋sin xcos x，所以y′＝(x2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos x′＝2x＋cos2x－sin x－sin xcos2x＝2x＋1cos2x.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.导数运算法则的综合应用1．若直线y＝x＋b与曲线y＝e x相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？[提示]设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex，所以e x＝1，即x0＝0，∴点P(0，1)．由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.2．曲线y＝a e x＋x ln x在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x＋b，你能求出a，b的值吗？[提示]∵y′＝a e x＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝a e＋1，∴2＝a e＋1，∴a＝e－1.∴切点为(1，1)，将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故a＝1e，b＝－1.【例3】(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )A． 5 B．2 5C．3 5 D．0(2)设曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.[思路探究](1)设P x0，y0―→由y′|x＝x＝2求P x0，y0―→点到直线的距离求最小值(2)求y′|x＝0―→由y′|x＝0＝2求a的值(1)A(2)2[(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x－1，∴y′|x＝x＝22x0－1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.(2)令y＝f (x)，则曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x)＝e ax，所以f ′(x)＝(e ax)′＝e ax·(ax)′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e0＝a，故a＝2.]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m ＝0的最小距离为25”，求m的值．[解]由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝22x0－1＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，∴|2－0＋m|5＝25，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.2．(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值．[解]函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝1x，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝1x＋1.设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y＝1m·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝1n＋1(x－n)＋ln(n＋1)．整理后对比得⎩⎪⎨⎪⎧1m ＝1n ＋1，ln m ＋1＝ln n ＋1－n n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝－12，因此b ＝1－ln 2.利用导数的几何意义解题时的注意点 1求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性1．函数f (x )的单调性与导函数f ′(x )正负的关系定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )＞0 单调递增 f ′(x )＜0单调递减[提示] f (x )是常数函数．2．判断函数y＝f (x)的单调性第1步：确定函数的定义域；第2步：求出导数f ′(x)的零点；第3步：用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．3．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)导函数与原函数的关联图象数f ′(x)的图象可能为( )(2)已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )(1)D(2)B[(1)由f (x)的图象可知，y＝f (x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x＜0时，有f ′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)＞0，故排除B.故选D.(2)法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.利用导数求函数的单调区间(1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2e －x .[思路探究] 先求定义域，再对原函数求导，结合导数f ′(x )的正负确定函数的单调区间．[解] (1)f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x，由x ＞0，f ′(x )＞0，解得x ＞33.由x ＞0，f ′(x )＜0，解得0＜x ＜33.∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.(2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e－x－x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：x (－∞，0)0 (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0＋ 0－f (x )↘f (0)＝0 ↗f (2)＝4e2↘∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数f x 的定义域； 2求导函数f ′x ；3解不等式f ′x ＞0或f ′x ＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx 的单调区间.含有参数的函数单调性的讨论[思路探究] 先对原函数求导得g ′(x )＝－ax ＋12x －1x(x ＞0)，再对a 分类讨论得函数g (x )的单调性．[解] 由题意可知g ′(x )＝1x－2ax ＋a －2＝－ax ＋12x －1x(x ＞0)．∵a ＜0，g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x(x ＞0)，(1)当a ＜－2时，∵－1a ＜12，∴g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x ＞0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (2x －1)＞0，易得函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，同理可得在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上单调递减； (2)当a ＝－2时，g ′(x )＝2x －12x≥0恒成立，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a ＜0时，∵－1a ＞12，∴g ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a 2x －1x ＞0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (2x －1)＞0，易得函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增，同理可得在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上单调递减．利用导数研究含参函数f x 的单调区间的一般步骤1确定函数f x 的定义域； 2求导数f ′x ；3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；4在不同的参数范围内，解不等式f ′x ＞0和f ′x ＜0，确定函数fx 的单调区间.已知函数的单调性求参数的范围1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )＞0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示] 不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在x ＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x )＞0是y ＝f (x )在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f (x )为可导函数，且在区间(a ，b )上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x )满足什么条件？[提示] f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)．【例4】已知函数f (x )＝x 3－ax －1为单调递增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] fx 单调递增―→f ′x ≥0恒成立―→分离参数求a 的范围[解] 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.1．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1，1)，求a 的取值范围．[解] 由f ′(x )＝3x 2－a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3，当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a3＝1，即a ＝3. 2．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1，1)上单调递减，求a 的取值范围．[解] 由题意可知 f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立，∴⎩⎨⎧f ′－1≤0，f ′1≤0，，即⎩⎨⎧3－a ≤0，3－a ≤0，∴a ≥3.即a 的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1，1)上不单调，求a 的取值范围． [解] ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1，1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.故a 的取值范围为(0，3)．1．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理 f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．2．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．不含参数的函数求极值(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y ↗极大值↘极小值↗当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞) y′＋0＋0－0＋y ↗无极值↗极大值108↘极小值0↗x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.一般地，求函数y＝f x的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，f x在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断f x在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f x在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.含参数的函数求极值极值．[思路探究] 求导―→解f ′x ＝0―→比较极值点大小―→进行讨论求极值[解] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2)＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3.①当a ＞0时，a 3＜a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 2 a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝3时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0.②当a ＜0时，a 2＜a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 3 a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a3时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.综上，当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a ＜0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327.函数极值的注意点 1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.由极值求参数的值或取值范围f x x 3ax 2bx a 2x a ( )A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3(2)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 没有极值，则( )A ．a ＝－1B ．a ≥0C ．a ＜－1D ．－1＜a ＜0[思路探究] (1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a ，b ，注意检验极值的存在条件．(2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)(1)C (2)A [(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由题意得⎩⎨⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧ a ＝－3b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，当⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3，时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值，不符合题意．∴a ＝4.故选C.(2)f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋1，x ＞0，当a ≥0时，a x＋1＞0，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＞0，得x ＞1.f (x )在x ＝1处取极小值．当a ＜0时，方程a x＋1＝0必有一个正数解x ＝－a ，①若a ＝－1，此正数解为x ＝1，此时f ′(x )＝x －12x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a ≠－1，此正数解为x ≠1，f ′(x )＝0必有2个不同的正数解，f (x )存在2个极值．综上，a ＝－1.故选A.]已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f ′x ；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为f ′x ≥0或f ′x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f (x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．由f ′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f (x)的递减区间是(－2，3)．由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示．2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有几解？[提示]方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．【例4】已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0；当x>1时，f ′(x)>0.所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a.因为方程f (x)＝0有三个不同实根，所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎨⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2)．1．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？[解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ，若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0，所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围．[解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根，只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0，即a ＜－2或a ＞2.3．(变条件、变结论)讨论方程ln xx＝a 的根的情况．[解] 令f (x )＝ln xx，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗1e↘因此，x ＝e 是函数f (x )的极大值点，极大值为f (e)＝e ，函数f (x )没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜1e时，ln xx＝a有两个不同的根；当a＝1e或a≤0时，ln xx＝a只有一个根；当a＞1e时，ln xx＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.第2课时函数的最大(小)值与导数1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．。

2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用导数的四则运算法则课件新人教A版选择性必修第二册

知识点 3 导数的运算法则 (1)和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝ f ′(x)±g′(x) ． (2)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝ f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) ； ②[cf(x)]′＝ cf ′(x) ．
(3)商的导数 gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
(1)y＝3x [因为 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率 k＝3，所以切线方程为 y＝3x．]
(2)[解] 由已知得 f ′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′ ＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′·cos x＋(cx＋d)(cos x)′ ＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x．
4 ．函数 y ＝ sin x ＋ ex 在点 (0,1) 处的切线方程为 _________________．
仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形．另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式，然后求导．
[跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝x2－sin2xcos2x；
类型 2 利用运算法则求导数【例 2】求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6；
[解] y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－ 5．

高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第3课时导数在函数有关问题

第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点）1。

借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常,按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1）求出函数f （x）的定义域;（2)求导数f ′（x)及函数f ′(x）的零点；(3)用f ′（x）的零点将f （x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负,并得出f （x）的单调性与极值；(4)确定f （x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f （x）的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示]（1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．（2)求实际问题的最大(小）值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如：长度、宽度应大于0,销售价为正数等．1．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”）(1)用导数研究实际问题要先求定义域．（）(2）方程x e x＝2有两个不相等的实数根．(）（3）做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．()［提示］（2）令y＝x e x，，则y′＝e x（x＋1）．由于x＞－1时，y′＞0,x＜－1时，y′＜0。

∴x＝－1时y＝x e x取到最小值－错误!。

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设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
P o
即:
y=f 割 (xQ) 线
切T 线
x
返回
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
Δy)，则ΔΔyx等于( )
A．3＋2Δx
B．4＋Δx
C．4＋2Δx
D．3＋Δx
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝4Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4＋2Δx.
x 0
f (x) lim f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
x2 x1
lim f (x) f ' (x)
x 0
x
导数
基础知识梳理
liΔxm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
y′|x＝x0
liΔxm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
基础知识梳理
f(x＋Δx)－f(x)
y′
＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
返回
例 5：若函数 f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则 f π4的值为________. 解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx， ∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝ 2－1. 故 f π4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒f π4＝1.
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1) ＝4，则a的值等于( )
• 答案：C
例1：若f′(x0)＝－3，则
lim △ x 0
f(x0＋h)－f(x0－h) h
等于(
)
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
解析：
lim x0
f(x0＋h)－f(x0－h) h
＝ lim x0
f(x0＋h)－f(x0)－[f(x0－h)－f(x0)] h
＝
lim x0
f(x0＋hh)－f(x0)＋
答案：B
2．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x ＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________.
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx；
课堂互动讲练
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝
lnx x2＋1.
【解】 (1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)
－f′(x0)，故选 B.
考点 2 曲线的几何意义例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝________.
图 4－1－1 解析：观察图 4－1－1，设 P(5，f(5))，过 P 点的切线方程为 y－f(5)＝f′(5)(x－5)，即 y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它与 y＝－x＋5 重合，比较系数知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故 f(5)＋f′(5)＝2.
lim x0
f(x0－h)－f(x0) －h
＝f′(x0)＋f′(x0) ＝－6.
故选 B.
【互动探究】
1．设函数
f(x)在
x0
处可导，则 lim △ x 0
f(x0－Δx)－f(x0) Δx
等于( B )
A．f′(x0)
B．－f′(x0)
C．f (x0)
D．－f (x0)
解析：△lixmf0(x0－ΔΔxx)－f(x0) ＝－△lixm0f[x0＋(－(－ΔΔxx)])－f(x0) ＝
(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． [代[又(则思2(自3)入切设 P)路主求(便线1切点解曲,1得的点拨)答线是斜斜坐]]过曲率率标点线(，为1为(P)上1验((k)21A∵的2),证＝(设0ay)点，点的′－出，1aP切＝a切1)在2，＝线－点曲－方x坐1线2.13程标，上．，，找求等导式后求，坐把标P点．坐标 ∴解P得为a＝切±点，3，所∴求A切( 线3，的斜33率)或为A′k＝(－f′(31，)＝－－313.)．所代以入曲点线斜在式方P 程点得处的y－切3线3＝方－程13为(x－y－13＝)或－y(＋x－331＝)，－13(x＋ 3)．
7.若f(Байду номын сангаас)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
返回
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
第五章一元函数的导数及其应用复习
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2
平均变化率为:
Y=f(x)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
②函数的瞬时变化率
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－
. 2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2
(5)y＝ln(3x－2)＋e2x－课1. 堂互动讲练
[例1] 已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
liΔxm→0
Δx
2．导数的几何意义
意切义线函，的数就y是＝斜曲率f，(x线过)在y点＝x＝Pf(的xx)0切在处线点的方P导(程x数0，的y几0)处何的
为：
y－y0＝f′(x0)(x－x．0)
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线 y PT称为曲线在点P处的切线.