2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第九章 9.3圆的方程

§9.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |， 即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_______________． 答案 (x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9解析 由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.圆的方程1．已知圆C 过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －3)2＋(y －2)2＝13解析 方法一 (几何法)k AB ＝5－01－6＝－1，则AB 的垂直平分线方程为y －52＝x －72，即x －y －1＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，r ＝(6－3)2＋(0－2)2＝13，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )2＋(0－b )2＝r 2，(1－a )2＋(5－b )2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝13，故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________． 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析 根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝⎛⎭⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.3．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值是________． 答案 7解析 四点共圆，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋0＋5D ＋0＋F ＝0，1＋0－D ＋0＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0，将D (a,3)代入得a 2－4a －21＝0. 解得a ＝7或a ＝－3(舍)．思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值． ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．与圆有关的轨迹问题例1 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练1 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 与圆有关的最值问题例2 (1)已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________． 答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.本例(2)中，求y －x 的最大值和最小值．解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.本例(2)中，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题．②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. ∵直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.1．圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0的圆心坐标为( ) A ．(1，3) B ．(1，－3) C ．(－1，3) D ．(－1，－3)答案 D解析 圆M 的圆心坐标为x ＝－D2＝－1.y ＝－E2＝－ 3.故选D.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a,0))，且半径r ＝|a |.∴当E ＝F ＝0且D <0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，0，半径为|D |2，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.4．(2019·贵阳模拟)圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4 答案 A解析 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x－1)2＋(y －2)2＝2，故选A.5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4答案 B解析 根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6．已知方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(1，－1) D ．(0，－1)答案 D解析 由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0知所表示的圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，当k ＝0时，r max ＝12×4＝1，此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，所以圆心的坐标为(0，－1)．7．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 8．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________． 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．9．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________． 答案 x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________________． 答案 x ＋y －1＝0解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，圆心C 的坐标为(2,1)， 因为过点M 的最短弦与CM 垂直， 所以k CM ＝1－02－1＝1，所以最短弦所在直线方程为y －0＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.11．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2)x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝|5＋3|2＝42，则|QM|的最小值为32－16＝4.13．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是________________．答案[－3，－1]∪[1,3]解析圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a|≤22＋2，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．答案74解析设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|P A|2＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2.x20＋y20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x20＋y20)max＝(5＋1)2＝36，∴d max＝74.15．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b 的最小值是( ) A ．2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号，故选C.16．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线x －2y ＝0上，圆C 经过点A (4,0)，但不经过坐标原点，并且直线4x －3y ＝0与圆C 相交所得的弦长为4. (1)求圆C 的一般方程；(2)若从点M (－4,1)发出的光线经过x 轴反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在直线的方程(用一般式表达)． 解 (1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为圆心C 在直线x －2y ＝0上，所以a －2b ＝0，① 又因为圆C 经过点A (4,0)，所以(4－a )2＋b 2＝r 2，② 而圆心到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4a －3b |42＋(－3)2＝|4a －3b |5，易得d ＝r 2－22，即|4a －3b |5＝r 2－22，③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，r ＝13，又因为(x －2)2＋(y －1)2＝5经过坐标原点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，舍去.r ＝5故圆C 的标准方程为(x －6)2＋(y －3)2＝13，化为一般方程为x 2＋y 2－12x －6y ＋32＝0. (2)点M (－4,1)关于x 轴对称的点为N (－4，－1)， 反射光线所在的直线即为NC 所在的直线， 又因为C (6,3)．所以反射光线所在直线的方程为y ＋1x ＋4＝3＋16＋4，所以反射光线所在直线的一般式方程为2x －5y ＋3＝0.。