2017年秋学期海南省海口市微课大赛---初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计
初高衔接3：韦达定理
初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理一元二次方程02=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．例1. 已知a ，b 是方程0142=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)22b a +，33b a +； (2)b a 11+，ba ab +； (3)b a - ．分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知4=+b a ，1=ab .于是(1)中：142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .(2)中：411=+=+abb a b a ， 1422=+=+abb a b a a b . (3)因为ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，所以32=-b a ．注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．例2 .已知α，β是方程012=--x x 的两根，写出一个以α1，β1为两根的一元二次方程，并求βα86+的值．分析与解 由韦达定理知1=+βα，1-=⋅βα，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+111111βααββαβα，从而以α1，β1为两根的一元二次方程为01)1(2=---x x ,即012=-+x x ．由韦达定理知αβ-=1，代入知ααβα88866-+=+.下面来写6α：因为α是方程的解，所以有αα+=12，从而24)1(αα+=)1(21αα+++= α32+=所以有426ααα⋅=)32)(1(αα++= )1(352αα+++=58+=α从而有1386=+βα． 注 事实上，令xt 1=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根的一元二次方程．一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么有d cx bx ax +++23))()((321x x x x x x a ---=32132312123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x ab x x x 321323121321例3. 设α，β，γ是三次方程0133=+-x x 的三个根．(1)以α1，β1，γ1为根的三次方程是______________； (2)以βα11+，γβ11+，αγ11+为根的三次方程是______________．分析与解 由三次方程的韦达定理知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅=++=⋅+⋅+⋅=++=++.11110111111,3111γβααβγγβααγγββααβγαβαγβγγβα，所以以α1，β1，γ1为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x即01323=+-x x ． (2)先计算三根和有)11()11()11(αγγββα+++++)111(2γβα++=6=因为211γγγαββαβα=--=+=+,所以我们知道这三根就是2α，2β，2γ，从而三根积为1)(2=αβγ．最后计算222222αγγββα++的值．先介绍一个三项的完全平方式ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.从而有222222αγγββα++)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=9=综上知所求的三次方程为019623=-+-x x x ．最后给出两道练习：练习一 已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两根，求2221x x +，3231x x +，)1)(1(21++x x ，2111x x +，21x x -的值．答案 7，18，5，3，5．练习二 已知a ，b ，c 是方程0164223=---x x x 的三个根，求cb a 111++，222c b a ++的值．答案 −6，10．提示 ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
韦达定理PPT教学课件
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
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电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理ppt
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∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
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1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
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当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
韦达定理——精选推荐
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。
他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
给出三次方程不可约情形的三角解法。
著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
解析几何韦达定理二级结论
解析几何韦达定理二级结论韦达定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了一个三角形内部的点与三边上的点所构成的三个小三角形的面积之和等于整个大三角形的面积。
在韦达定理的基础上，还有一些二级结论，本文将就这些二级结论进行详细的解析。
一、韦达定理我们先回顾一下韦达定理的内容。
韦达定理指出，对于一个任意三角形ABC，如果P是三角形内部的一个点，那么有以下等式成立：△PAB + △PBC + △PCA = △ABC其中，△PAB表示由点P和线段AB所构成的三角形。
这个定理的证明可以通过向量法、面积法等多种方法来完成，但由于本文不得包含数学公式和计算公式，因此将不对韦达定理进行详细的证明。
二、二级结论在韦达定理的基础上，我们可以得到一些有趣的二级结论。
接下来，将逐一介绍这些二级结论。
1. 三点共线对于任意三角形ABC，如果点P在三角形的边AB上，那么点P与点C必定共线。
换句话说，点P在边AB上的投影点必定在边AC或边BC上。
这个结论可以通过反证法来证明。
假设点P不与点C共线，那么根据韦达定理，△PAB + △PBC + △PCA = △ABC成立。
然而，由于点P不与点C共线，所以△PCA的面积为0，从而导致△PAB + △PBC 的面积之和等于△ABC的面积，与韦达定理相矛盾。
因此，点P必与点C共线。
2. 三角形中点对于任意三角形ABC，如果点P是三角形内部的一个点，那么它与三角形的三个顶点A、B、C所构成的三个小三角形的面积之和等于整个三角形的面积。
这个结论可以通过韦达定理进行证明。
根据韦达定理，△PAB + △PBC + △PCA = △ABC。
而根据三角形的面积公式，△ABC = 1/2 × AB × h，其中h为三角形ABC到边AB的距离。
同理，△PAB = 1/2 × AP × h1，△PBC = 1/2 × BP × h2，△PCA = 1/2 × CP × h3。
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《韦达定理及其应用》教学设计
设计者：海口二中庞桔云
一.教材分析
《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
二.学情分析
本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：
三.教学目标
知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。
过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.
四.教学重、难点
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段
教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.
教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.
六.教学过程。