Z变换、采样保持以及数字控制器和数字滤波器的实现(重要)

= ∑ x ( nT0 ) z − n
部分分式法:
n =0 ∞
Ai X ( s) = ∑ i =1 s + p i
n
X ( z) = ∑
留数计算法:
i =1
n
n
Ai z z − e − piT0
z
pi T0
X ( z ) = ∑ res[ X ( p i )
i =1 n ⎧
z−e d ri −1 ⎡ z 1 ( s − p i ) ri X ( s ) = ∑⎨ ( ri − 1)! ds ri −1 ⎢ z − e sT0 ⎣ i =1 ⎩
本章结构
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 Z变换 脉冲采样和数据保持 从采样信号中重构原信号 脉冲传函 数字控制器和数字滤波器的实现
从采样信号中重构原信号
采样定理 • 如果采样频率比初始信号包含的最高频率还要 高，则连续信号的振幅特征可以在采样信号中保 留。 • 为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信 号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高 频率的两倍，即
X ( z ) = Z [ X ( s )] = (1 − z −1 ) Z [
(1 − e−Ts ) X (s) = G ( s) s
G (s) ] s
• 如果 G( s) 带有一阶保持器 ，则 其Z变换 −Ts 2 Ts + 1 X ( z ) = Z [(1 − e ) G ( s )] 2 Ts Ts + 1 = (1 − z −1 ) 2 Z [ 2 G ( s )] Ts
连续信号 阶梯信号
图2-2 应用零阶保持器恢复信号
零阶保持器
其幅频特性和相频特性如图2-3所示
′ G h ( jω )
π -2 π -3 π
G h ( jω )
ωS
2ω S
3ω S
ω
图2-3 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的传递函数为Gh 0 ( jω ) 的幅值为 sin(ωT / 2) 1 − e −Ts | Gh 0 ( jω ) |= T | | Gh = ωT / 2 s
零阶保持器
• 虽然零阶保持器的性能不是很好，但它仍是一个 低通滤波器。在采样前增加低通滤波器可以有效
1 地滤去系统大于 ω s的部分。 2
• 零阶保持器的精度依赖于ω s，当采样周期T越小， 保持器的输出越接近于原来的连续信号。
一阶保持器
一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外 推，它的外推输出式中t'为kT到(k＋1)T之间的时 间变量。如图2-4所示 。 x(kT ) − x[(k − 1)T ] ' ' x(kT + t ) = x(kT ) + t （2-3） T
z = eT0 s
则式(2-1)可改写成如下形式
X ( z) =
*
若式(2-2)的级数收敛，则称 X ( z)为离散时间函数 x* (t )的 Z变换，记为
n = −0
∑ x ( nT )z
0
∞
−n
（2-2）
Z [ x* (t )] = X ( z )
Z 变换
• 在Z变换中，由于只考虑连续时间函数在采样 时刻时的采样值，因此，连续时间函数 x (t )与 离散时间函数 x* (t)具有相同的 Z 变换。即
从采样信号中重构原信号
理想滤波器 的滤波特性为
G ( jω ) =
其频率特性如图2.7
1 0
ω ≤ ωs / 2
ω > ωs / 2
G ( jω )
(2-7)
-
ωs
2
ωs
2
ω
图2-7 理想滤波器的频率特性
从采样信号中重构原信号
• 理想滤波器的频谱如下给出
⎧ ⎪1, Gl ( jω ) = ⎨ ⎪0, ⎩ 1 1 − ωs ≤ ω ≤ ωs 2 2 elsewhere
Z
变换
Z 变换定义：
设连续时间函数 x(t )可以进行拉普拉斯变换，其拉氏 变换为 X ( s ) 。连续时间函数 x(t ) 经采样周期为 T0 的 x* (t ) ，可写成 采样器采样后，变成离散信号
x* (t ) =
n =−∞
∑ x(nT )δ(t − nT )
0 0
∞
Z 变换
• 考虑到当 n < 0 时， x ( nT 0 ) = 0 ，上式可写成
Z
变换
−z(z −1−T) z z2(T −1+e−T )+z(1−e−T −Te−T ) = + −T = 2 (z −1) z −e (z −1)2 z −e−T (T −1+e−T )z−1 +(1−e−T −Te−T )z−2 = (1−z−1)2(1−e−T z−1)
•
如果G ( s ) 带有零阶保持器，则 其Z变换
x* (t ) = ∑ x( kT )δ (t − kT )
k =0 ∞
x* (t )
x(t )
图2-1 连续信号 (t ) 与断续信号 x* (t) x
脉冲采样和数据保持
• 其拉普拉斯变换:
X * ( s ) = ∑ x(kT )e − kTs
∞
• 其Z 变换:
k =0

X ( z ) = ∑ x(kT ) z − k
(2-5)
一阶保持器的频率特性为
sin 1 − e − jωT 2 2 ) 2 e j (θ −ωT ) ) = T 1 + (ωT ) 2 ( Gh ( jω ) = T (1 + jωT )( ωT jωT 2 (2-6)
ωT
一阶保持器
式中
θ ＝tg-1 ω T
图2-6就是按上式得到的幅频特性。虚线为零阶保 持器的频率特性
k =0
∞
脉冲采样和数据保持
• 数据保持器: 数据保持是从一个离散时间序列x(kT)产生一个连 续信号h(t)的过程。
h( kT + τ ) = anτ n + an −1τ n −1 + L + a1τ + a0
或
h( kT + τ ) = anτ n + an −1τ n −1 + L + a1τ + x ( kT )
]
⎤⎫ ⎥⎬ ⎦⎭ s= p
i
Z
变换
1 X ( s) = 2 例1 给定 s ( s + 1) ，利用左半平面上的卷
积分求X(Z)。 X 解： ( s) 有一个重极点s = 0 和一个单极点 s = −1， 于是由公式可得 ，
X ( z) = ∑[residue of X (s) z at pole of X (s)] Ts z −e 1 d 2 1 z 1 z lim [s 2 ] + lim[(s +1) 2 ] = Ts Ts s →0 ds s→−1 (2 −1)! s (s +1) z − e s (s +1) z − e 1 z −z[ z − eTs + (s +1)(−T )eTs ] = lim + s→0 (s +1)2 ( z − eTs )2 (−1)2 z − e−T
离散时间控制系统的 Z平面分析
何熠
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Z 变换
Z 变换由来： • 在《自动控制原理》中，线性连续系统的动态特 性可以由微分方程描述，并利用拉普拉斯变换法 分析线性连续系统的动态与稳态特性。 • 相应地，线性离散系统的动态特性可以用线性差 分方程描述，并利用基于拉普拉斯变换法的Z变换 法分析线性离散系统的动态与稳态特性。由于Z变 换是由拉普拉斯变换导出的，因而可以把Z变换看 成拉普拉斯变换的一种变形。
如果数据保持器是n阶多项式，称之为n阶保持器。
脉冲采样和数据保持
• 零阶保持器：零阶保持器是一个积分器，它的 输入为一系列脉冲。 零阶保持器的传递函数：
1− e−Ts Gh0 (s) = s 一阶保持器的传递函数：
1 − e−Ts 2 Ts + 1 Gh1 (s) = ( ) s T
零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时 刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采 样时刻。如图2-2所示，零阶保持器的输出为阶梯 信号。
ω s ≥ 2ω max
或
T≤
2π 2ωmax
从采样信号中重构原信号
• 虽然理论上只要ω s > 2ω1 就可以了，但是考虑 到闭环系统的稳定性和其它因素， 一般 ω s 取 10ω1 到 20ω 之间。
1
从采样信号中重构原信号
E(jω)
- ω max
E * ( jω )
0
ω max
1 T
ω
(a) 连续信号e（t）的频谱
x(t ) x(t ) x h (t )
0 t 2t 3t ….. 图2-4 应用一阶保持器恢复信号
一阶保持器
一阶保持器的脉冲响应函数应该如图2-5所示.
②单位斜坡 ⑥单位斜坡 h(t) ①单位阶跃 ⑤单位阶跃 1 -T 0 -1 a）一阶保持器的脉冲响应函数 T t ③2×单位阶跃 ④2×单位斜坡 b）脉冲响应函数的分解
′ G h ( jω )
-π π -2
ωS
2ω S
3ω S
ω
G h ( jω )
图2-6 一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）
脉冲采样和数据保持
总结： 实际的采样器和零阶保持器在数学上由脉冲采样 器和传递函数 (1 − e−Ts ) / s来代替，这使得实际离散 系统在数学上变为连续系统，同时在数学表达上 出现了eTs 项，如果将 eTs 变换为z，我们就可以用 z平面的相关知识代替拉普拉斯变换去分析离散系 统。因此，一般有：s域用于分析连续系统，z域 用于分析离散系统，s域与z域之间存在 eTs → z 的 变换关系。