数字滤波器的原理和设计方法

� 1. v平面到z平面的映射 v−1 = F(z−1)是 v−1的有 理函数；
� 2. v平面的单位圆内部映射成z平面的单位 圆内部。
� 最简单的映射：把一个LPF变换成另一个 LPF
� 由图可见，除a = 0外，频率标度有明显的扭 曲。
� 如果数字原型低通滤波器的截止频率 θ p ， � 要求的数字低通滤波器的截止频率为ωp， � 则有
实现方法： IIR：N阶IIR，常采用递归结构； FIR： N阶FIR，常采用非递归结构
4.2 IIR数字滤波器的基本网络结构
� 无限脉冲响应（IIR）滤波器有以下特点 � (1)系统的单位脉冲响应是无限长的； � (2)系统函数在有限z平面上有极点存在； � (3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是
� �表示方法：线性差分方程、系统函数、框
图或流图。
N
M
� �差分方程： y(n) = ∑ ak y(n − k) + ∑ bk x(n − k)
k =1
k=0
� �系统函数：
M
∑ H (z) =
bk z −k
k =0
= Y(z)
∑N
1− ak z −k
X (z)
k =1
基本运算的方框图及流图表示图
双线性变换法的频率变换关系
� 如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸 变，转换关系为
21 ΩP = T tan( 2 ωP )
21 ΩS = T tan( 2 ωS )
� 双线性变换是一种稳定的变换。
(1)双线性变换是简单映射； (2)双线性变换是稳定的变换；即模拟滤 波器在s平面左半平面的所有极点经映射 后均在z平面的单位园内。
� 例 设IIR数字滤波器的系统函数为
。
8z3 − 4z2 + 11z − 2
H(z) =
(z − 1 )(z2 − z + 1 )
4
2
解：先将H(z)写成z-1的多项式形式
8 − 4z −1 + 11z −2 − 2z −3 H(z) =
1 − 5 z −1 + 3 z −2 − 1 z −3 448
数字低通滤波器的技术要求
� 2. 设计步骤 � ①根据实际需要给定滤波器的技术指标；
� ②由技术指标计算滤波器的系统函数H(Z)或单位 � 取样响应h(n)，即用一个稳定的因果系统逼近这些
指标； � ③用有限精度的运算实现H(Z)或h(n) ，包括选择运
算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长。
4.4.1 冲激响应不变法
k =0
� FIR系统仅在处有N-1阶极点，在其它地方没有 极点，有(N-1)个零点分布在有限Z平面内的任 何位置上。
4.3.1 直接型
N −1
差分方程： y(n) = ∑ h(k)x(n − k)
k=0
系统函数：
N −1
∑ H (z) = h(n)z−k
k =0
= h(0) + h(1)z−1 + h(2)z−2 + ... + h(N −1)z−(N−1)
� 不同点：
4.4.3数字Butterworth滤波器
� 模拟Butterworth滤波器的幅度平方函数:
Ha ( jΩ) 2 =
1
2N
⎛Ω⎞
1+
⎜ ⎝
Ωc
⎟ ⎠
N称为滤波器的阶数。 当Ω=0时，|H (jΩ)|=1； Ω=Ωc时，|Ha(jΩ)|=1/ 2 ， Ωc是3dB截止频率。
频谱响应图：
第4章数字滤波器的原理和设计
� 主要内容： � 4.1 引言 � 4.2 IIR数字滤波器的基本网络结构 � 4.3 FIR数字滤波器的基本网络结构 � 4.4 IIR数字滤波器的设计方法 � 4.5 IIR数字滤波器的频率变换 � 4.6 FIR数字滤波器的设计方法 � 4.7 FIR数字滤波器与IIR数字滤波器的比较
h(n)=±h(N-1-n)
� 式中h(n)为实序列，N是h(n)的长度。
考虑 h(n) = h(N −1− n)偶对称, N取偶数
�设
H (z)
=
N −1
∑
h(n)
z
−n
=
N 2−1
∑
h(n)
z
−n
+
N −1
∑
h(n)
z
−n
n=0
n=0
n=N 2
令m=N-1-n N 2−1
N 2−1
∑ ∑ H (z) = h(n)z−n + h(N −1− m)z−(N −1−m)
FIR滤波器直接型结构
� 4.3.2 级联型
� 将H(z)写成几个实系数二阶因式的乘积可得 到另一种形式：
N −1
� 系统函数： H (z) = ∑ h(n)z−k
k =0
M
∏ = (β0k + β1k z−1 + β2k z−2 )
k =1
� 特点： � 1、每一个基本节控制一对零点； � 2、乘法器较多
� ④计算Y (k) = X (k) × H(k)； � ⑤计算的反变换，即：y(n) = IDFT[X (k ) × H(k )]
FIR滤波器快速卷积型结构图
特点：能对信号进行高速处理。需要实时处 理时采用此结构。
� 4.3.4 线性相位型 � FIR数字滤波器的主要特性之一就是可以设
计成严格线性相位特性。可以证明线性相 位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)应该满足 下面条件
� 4.3.3 快速卷积型 � 已知两个长度为N的序列的线性卷积，可用 2N-1点的循环卷积来代替。 FIR滤波器输出： y(n) = x(n) ∗ h(n)
� ①将x(n)和h(n)都延长到N点； � ②计算x(n)的N点DFT，即：X(K)=DFT[x(n)] ；
� ③计算h(n)的N点DFT，即：H(K)=DFT[h(n)] ;
结构上是递归的。
� 4.2.1 直接I型
�H(z)=H1(z)H2(z)
N阶IIR滤波器的直接I型流程图
� 直接I型，先实现H1(Z)，再实现H2(Z) 。
� 特点：先实现系统函数的零点，再实现极 点；需要2N个延迟器和2N个乘法器。
M
∑ H1(z) = bk z−k
k =0
1 H2(z) = N
� 由此得到所要求的低通滤波器的系统函数 � 为：
� 4.5.2频率变换的设计公式
4.6 FIR数字滤波器的设计方法
� 基本特性： � 1. FIR滤波器永远是稳定的（极点均位于原点）； � 2. FIR滤波器的冲激响应是有限长序列； � 3. FIR滤波器的系统函数为多项式； � 4. FIR滤波器具有线性相位。 � 设计的基本方法： � 窗函数法，频率抽样法和等波纹逼近法等。
∑ 1− ak z−k
k =1
� 4.2.2 直接II型 当IIR数字滤波器是线性非移变系统时，有：
�H(z) =H1(z) H2(z)
� =H2(z) H1(z)
1
M
H2(z) = N
∑ H1(z) = bk z−k
∑ 1− ak z−k
k =0
k =1
N阶IIR滤波器的直接II型流程图
直接II型，先实现H2(Z)，再实现H1(Z) 。 特点：先实现系统函数的极点，再实现零点； 需要N个延迟器和2N个乘法器。
的频谱相互重迭，经典滤波器无能为力。
� 现代滤波器：从含有噪声的时间序列中估计出信 号的某些特征或信号本身。现代滤波器将信号和噪
声都视为随机信号。包括Wiener Filter、 KalmanFilter、线性预测器、自适应滤波器等。
� (2)经典滤波器从功能上分：低通(LP)、高通 (HP)、带通(BP)、带阻(BS)，均有AF和DF 之分。AF和DF的四种滤波器的理想幅频响应 如下图所示。
4.1 引言（Introduction）
� 4.1.1 滤波原理 对输入信号起到滤波作用。对线性非移变系 统(如图4.1所示)，有：
线性非移变系统的滤波作用
� 一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离 散时间系统，可用差分方程、脉冲响应 h(n)、 传输函数H(z)及频率响应H(ejω)来描述
巴特沃斯幅度特性和N的关系
� 当Ω>Ωc时，随Ω加大，幅度迅速下降。下 降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降的 速度愈快，过渡带愈窄。
� 特点： � 通带内幅度响应最平坦； � 通带和阻带内幅度特性单调下降； � N增大，通带和阻带的近似性越好，过渡带
越窄； � 存在极点，零点在∞。
三阶巴特沃斯滤波器极点分布
数字滤波器的描述方法
� 4.1.2 滤波器的实现方法 � 模拟滤波器（Analog Filter-AF）： � 只能硬件实现－R、L、C、Op、开关电容。
� 数字滤波器（Digital Filter-DF）： � 硬件实现－延迟器、乘法器和加法器； � 软件实现－线性卷积的程序。
� 4.1.3 滤波器的分类 � (1)一般分为经典滤波器和现代滤波器： � 经典滤波器：假定输入信号中的有用成分和希望 去除的成分各自占有不同的频带。如果信号和噪声
n=0
m=0
N 2−1
N 2−1
∑ ∑ = h(n)z−n + h(N −1− n)z−(N −1−n)
n=0
n=0
� 线性相位FIR DF的网络结构
4.4 IIR数字滤波器的设计方法
� IIR数字滤波器的设计方法 � 1. 技术指标 � 数字滤波器的传输函数：H(ejω)= |H(ejω)|ejω � 图表示低通滤波器的 幅度特性，ωp和ωs 分别称为通带截止频率 和阻带截止频率。通带 频率范围为0≤ω≤ωp