1978年高考数学全国卷

1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要

求做第七题）

一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.

解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a

则.42,222

2

πππππa a a a r a r =??

? ??=?==体积

3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

2

2 5.化简： 二 .（本题满分14分）

已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指

.

254:.)

()1.0()4(41 2

1

2

1

4

323

1

2

1

b b a ab =

?

??

? ??----原式解

出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=

k

2;

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=

k

2，半短轴=2

2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y

如图 3）k<0时，方程为

三．（本题满分14分）

（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C

Y Y Y

X

X y=-2

1

442

2=+-y k x

点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△

ADC

∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD

∴CD 2=AM ·BN

四．（本题满分12分）

18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.

log 59log 5log 9log 45.

log 182log 18log 22b b a a b a b

a

=≠==∴=?++=

==?+- 已知求解

五．（本题满分20分）

已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于

a ,b,c

的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）

M C N

A B D

212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=?=+∴=?+=?=++=+==-+++===+<==∴=? 解又而由可知是的两根解这方程得设

则得12045758;cos 45cos 60 4.

c a b c AD DB b a =?-?=?∴=

====+=?+?=又知上的高等于

六．（本题满分20分）

22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.

3

3sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..

2

sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.

1

sin ()

3

sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.

2

ααααπ

αβ=+==∴+=

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？

2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任

.

2

2:0,

2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知

一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等

解：用配方法得：

2

214545.2445

0,450,4

2145

2.(,),

24

2m 11455

x -,,

22443

:..4

,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++?

?=+-∴- ?

??

+==-

++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条

直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,1151

93

(),(),().42

42

42

m x y y x y x y x =-+

=-+

=++

=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线

与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得

x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a

因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交

而这与m 无关

因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等

一九七八年副题

)

1(222)]1()1[(45,1.

1,

1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴?

-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当

1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求的值6

5cos 4

030sin 2

π

π

-+?-?ctg tg 解：原式=3/4

（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积

解：)(3

3

12131322cm V ππ=

-??= .)3

5()9125(30)5001()52(10)5( 2

1

21

21

1

的值计算+-+--

解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：

1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和

求根为

2

11

,1

x x 的方程 略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/40

1/x 1·1/x 2=-1/40

所求方程为：40x 2+39x-1=0.

3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：

为所求之定义域

且且解的定义域求函数12.01,0525:.

1

)

525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x x

CD

BD

AC AB ACD ABC =

=??22的面积的面积

证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD

2

2

AC AB ACD ABC =??∴的面积的面积

作AE ⊥BD 于点E ，则

.2

121

CD

BD

AE CD AE

BD ACD ABC =??=??的面积的面积

4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α

求证：α

αα

αtg atg CN tg atg BM -=

+=

34,34

证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，

1,,22

2,122BE BM ME BM BM

ME tg BM ED a BM α=

=∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：

α

αtg atg CN -=

34

5．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：

A

B E F D

1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方

2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0

2224

3

2

2

222222

222222

222

24:1)1,

4

44()4442()

44

44 (2x )(4)(2)()

44

44 (2x )2(2x )()

44

4 (2x ).

4

()p q

m p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++?+--=---+?+--=---?+-=--∴ 证等于一个二次三项432222432222222

2)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)

(1)(4)

4(1)(2)4

,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m ab m b q p a p b a b -+++++=++=-++++-=??=+?∴?

+=??+=?-=-=

式的平方

由可得代入得将的表达式代入2

224),2(1)2,

4

[44(1)]0.0,44(1)0.

q p p m p p p q m p p q m -+=-?∴--+=≠∴--+= 得

6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中a ,b 不同时为0

求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=0

2

2

2

2

cos ,sin :b

a a y b

a b y +=

+-

=设证

则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π

又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 2

22b a ab

+-

cos2x=cos2y=cos 2

y-sin 2

y=2

22

2b

a b a +-

代入②，得

222222

22222(),2()()0.

abA a b B C a b a b

abA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 2

3,233(--

而倾斜角为300

的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,8

2

(

的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点

1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图

2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式

3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、

B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积

解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q

的方程为

222:3

:1:x 2

L y x C x y Q y =+==

草图如图

Y X

2)由

2213

21

:(),(y x A x x y PA f x x x ?=

?=-??+=?

=

≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为

2222322

1:

()2

:().(02

3)7

.

241

.

471

().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ?=

?=

??+=?

=≤≤=≤≤'?=='?==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分

Y

L