高考数学专题复习

2009届新课标数学考点预测（8）

三角恒等变换

一、考点介绍

经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用，由此出发，导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换，从而发展学生的推理能力和运算能力． 1．和与差的三角函数公式

（1）向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

（2）用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

（3）用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．

二、高考真题

1．（2007年宁夏、海南文9）

．若

cos 2π2sin 4αα=-

?- ?

?，则cos sin αα+的值为（）

Ａ．2-

Ｂ．12-Ｃ．1

〖解析〗

由22cos 2sin )2sin()422

cso α

ααπα==+=-

-, ∴sin α+cos α=12

．〖答案〗Ｃ．

2（2008年高考海南卷7）.0

3sin 702cos 10--=（ C ）

C. 2

〖解析〗

22223sin 703cos 203(2cos 201)

22cos 102cos 102cos 10

----===---．〖答案〗C ．

3（2007年江苏卷11）．若13

cos(),cos()55

αβαβ+=

-=，则tan tan αβ=．〖解析〗由条件得：1cos cos sin sin 5αβαβ-=，3

cos cos sin sin 5

αβαβ+=，

所以1sin sin 5

αβ=，2cos cos 5αβ=，所以tan tan αβ=1

2．

〖答案〗1

．

4（2007浙江理12）．已知1sin cos 5θθ+=，且324

θππ

≤≤，则cos2θ的值是．

〖解析〗将1sin cos 5θθ+=两边平方得12

sin cos 25

θθ=-，

所以249(sin cos )12sin cos 25θθθθ-=-=，则7

sin cos 5

θθ-=±，

又324θππ≤≤，所以cos 0,sin 0θθ<>，所以7sin cos 5

θθ-=，故227

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25

θθθθθθθ=-=+-=-．

〖答案〗7

-．

5（2008年广东卷理12）.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．

〖解析〗21cos 21

()sin sin cos sin 222

x f x x x x x -=-=

-,此时可得函数的最小正周期22

π=

=．

〖答案〗π．

6（2008年江苏卷15）．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标

分别为

105

．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；

（Ⅱ）求2αβ+的值．

〖解析〗由条件的cos 10αβ=

=，因为α,β为锐角，所以

sin αβ= 因此1

tan 7,tan 2

αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=

tan tan 31tan tan αβ

αβ

+=--

（Ⅱ）2

2tan 4tan 21tan 3βββ=

=-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβ

αβαβ

++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022

αβ<+<

，∴2αβ+=34π。

7（2008年福建卷17）已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域．〖解析〗（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =

2sin()1,sin().662

A A ππ-=-=

由A 为锐角得,.663

A A πππ

-==

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

cos ,2

A =

所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2

f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3

当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2

??-???

．

三、名校试题

1（天津汉沽一中2009届高三月考文8）．2

()(sin cos )1f x x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

〖解析〗∵2

()(sin cos )112sin cos 1sin 2f x x x x x x =--=--=- ∴()sin 2()sin 2()f x x x f x -=--==-,22

T π

π==．〖答案〗D ．

2（2008~2009学年福建厦门质检四）．已知3sin 2(2)52πααπ=

<<，()1tan 2

αβ-=，则()tan αβ+=( )

A ．2-

B ．1-

C ．112

- D ．11

2 〖解析〗由3sin 2(2)52πααπ=

<<得3

tan 24

α=-，又tan()tan(2())αβααβ+=--tan 2tan()

21tan 2tan()

ααβααβ--==-+-．

〖答案〗A ．

3（2008~2009学年宁夏5）.3cos(2)5cos 0αββ++=，由tan()tan αβα+的值为( ) A.±4 B.4 C.-4 D.1

〖解析〗由3cos(2)5cos 0αββ++=得：3cos()5cos()0ααβαβα++++-=，即3[cos cos()sin sin()]5[cos cos()sin sin()]0ααβααβααβααβ+-+++++= 所以8cos cos()2sin sin()0ααβααβ+++=，所以tan()tan 4αβα+=-．〖答案〗C ．

4 (苏州市2009届高三教学调研测试13) ．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3

，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为_________．

〖解析〗由条件得2sin 2sin((

))03A A A π+--=，

则22sin 2sin 2cos

cos2sin 33A A A ππ+-=

，

则1sin 22A A -=，sin(2)3A π-=

又A 为锐角，所以3

A π

=，所以△ABC

5（2008-2009学年度广东六校第三次联考理12）．已知26cos sin =+αα)4

,0(π

α∈，则)4

5sin(π

α-

=．

〖解析〗由26cos sin =+αα)42πα+=，sin()42

πα+=

又)4

0(π

α∈，所以12π

α=

，所以571sin()sin()462

ππα-

=-=．〖答案〗2

．

6（山东省临沂市08—09学年度模拟试题17）．已知函数21

()sin cos cos 2222

x x x f x =+-．

（Ⅰ）若()4

f α=

，(0,)απ∈，求α的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]4

π-

上最大值和最小值．

〖解析〗（Ⅰ）11cos 1()sin 222x f x x +=

+-1

(sin cos )2x x =+)4x π=+

由题意知：()sin()244f παα=

+=1

sin()42

πα+=． ∵(0,)απ∈，即5(,)444

ππα+∈， ∴546

ππα+=，712πα=．

（Ⅱ）∵4

απ-

≤≤，即504

α≤+

≤

，

∴max ()()4

f x f π

，min 1()()2

f x f π==-． 7（辽宁省部分重点中学协作体

2008

年高考模拟）.已

).cos ,(sin ),cos sin 2,cos sin 2(,0x x b x x x xm a ωωωωωωω=-+=>

)(.)(x f b a x f ?=图像上相邻的两个对称轴的距离是

（1）求ω的值；（2）求函数]2

0[)(π

在区间x f 上的最大值和最小值．

〖解析〗x x x x x x b a x f ωωωωωωcos )cos sin 2(sin )cos sin 2()(-++=?=……（2分）

x x x x ωωωω22cos cos sin 3sin 2-+=

)2cos 1(21

2sin 232cos 1x x x ωωω+-+-=

)42sin(22321)2cos 2(sin 23+-=+-=

πωωωx x x …………6分（1）因为函数)(x f 的图象上相邻的两个对称轴间的距离是

所以函数)(x f 的最小正周期T=π，则1=ω………………8分

（2）.2

)42sin(223)(,1+-=

=πωx x f ]2,0[π

∈∴x

3,4[4

2π

ππ

∈-

∴x ，

则当0442=-=-

x x 即π

时，)(x f 取得最小值－1；当)(,8

2x f x x 时即π

取得最大值

.2123+…………12分 8 (天津一中2008-2009月考理17）．已知,,A B C 为锐角ABC ?的三个内角，两向量

(22sin ,cos sin )p A A A =-+，(sin cos ,q A A =-1sin )A +，若p 与q 是共线向量.

（1）求A 的大小；

（2）求函数232sin cos()2

C B

y B -=+取最大值时，B 的大小. 〖解析〗（1）

22// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=

22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+=1

cos 2A 2

∴=-

0<2A<π，002A 120 A=60∴=∴

（2）

00A=60 B+C=120∴

201y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B 2B 22-=-+

12B cos 2B+1=sin(2B )126

--+ 2B B 62

π-

当时，即=

．

9(2009连云港市高三年级第二次调研考试数学模拟试题15) ．设向量(cos ,sin )m θθ=，

(22sin ,cos )n θθ=+，),2

(ππθ--∈，若1m n ?=，

求：（1）)4sin(πθ+的值；（2）)7

cos(πθ+的值．

〖解析〗（1）依题意，cos sin )sin cos )m n θθθθ?=+

cos )θθ=+4sin()4πθ=+，又1m n ?=4

)4sin(=+πθ．

（2）由于),23(ππθ--∈，则)4

,45(4πππθ--∈+

结合4

)4sin(=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ

则7cos()12θπ+11

cos[()]43

θππ=++11(4242=-?-?8=-．四、考点预测

（一）考点预测

高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：

（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；

（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；

（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

复习时要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等．

（二）考点预测题

1（2007年山东高考题5）．函数sin(2)cos(2)63

y x x π

=+++的最小正周期和最大值分别

为（）

（A ）,1π（B ）π（C ）2,1π（D ）2π〖解析〗sin(2)cos(2)63

y x x π

sin 2cos

cos 2sin

cos 2cos

sin 2sin

x x x x π

=++-cos 2x =．

〖答案〗A ．

2（山东济宁市2008-2009学年度质量检测4）．已知3

)6sin(

=+απ

，则 )23

2cos(απ

-的值等于_______________.

〖解析〗由3

1)6sin(=+απ得：27cos 2()12sin ()669ππαα+=-+=，即7

cos(2)39πα+=，

所以27

cos(2)cos((2))339ππαπα-=-+=-．

〖答案〗7

-．

3（天津汉沽一中

2008~2009

届月考理

15）．已知向量

)cos sin 1()cos sin 2sin 1(x x ,,x x x,+=-+=，设函数.)(b a x f ?=

（Ⅰ）求)(x f 的最大值及相应的x 的值；（Ⅱ）若,θf 58)(=

求)24

(2cos θπ

-的值. 〖解析〗)cos sin ,1()cos sin ,2sin 1()(x x x x x x f +?-+=?=I ）（

)cos )(sin cos (sin 2sin 1x x x x x +-++= x x x 22cos sin 2sin 1-++=

x x 2cos 2sin 1-+= )4

2sin(21π

-+=x

∴当2242πππ+=-k x ，即)(8

3Z k k x ∈+=π

π时，21)(max +=x f ．

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知, x x x f 2cos 2sin 1)(-+=

2cos 2sin 1)(=-+=∴θθθf .

2cos 2sin =-∴θθ，两边平方得

2592cos 2sin 21=-θθ. 25

164sin =∴θ 25

4sin )42cos()24(2cos =

=-=-∴θθπθπ．解法2：由(Ⅰ)知

()1)4

f π

θθ=+-

1)45

πθ∴+-=

sin(2)

θ∴-=

216

cos 2(

2)12sin (2)4425

πθθ∴-=--=

．

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．