高中数学对数函数练习题突破训练
对数函数经典练习题
高中45分钟过关检测§2.8 对数函数一、选择题(每小题3分，共15分)1.图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取101,53,54,3四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.53,101,3,34 2.函数y =)12(log 21-x 的定义域为 A.(21,+∞) B.［1,+∞) C.( 21,1] D.(－∞,1］ 3.函数y =lg(x+12－1)的图象关于 A.x 轴对称B.y 轴对称C.原点对称D.直线y =x 对称 4.已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是 A.1＜b ＜a B.1＜a ＜bC.0＜a ＜b ＜1D.0＜b ＜a ＜15.已知A ={x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y =log a x (a ＞0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为 A.π2B.2π C.π－2 D. 2π或π2 二、填空题(每小题3分，共15分)6.设函数f (x )=)12(log 12+-x a 在区间(－21，0)上恒有f (x )>0,则a 的取值范围是__________. 7.函数y =(0.2)x －1的反函数是__________.8.已知log a 32<1,则a 的取值范围是__________.9.函数f (x )=|lg x |，则f (41),f (31),f (2)的大小关系是__________. 10.函数f (x )=x 2－2ax +a +2，若f (x )在［1，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是__________，若f (x )在［0，a ］上取得最大值3，最小值2，则a =__________.三、解答题(共20分)11.(6分)已知m >1,试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小.12.(7分)已知f (x )=(3－2x －x 2)21，求y =f (lg x )的定义域、值域、单调区间.13.(7分)已知函数f (x )=log a (a －a x )且a >1，(1)求函数的定义域和值域；(2)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(3)证明函数图象关于y =x 对称.参考答案一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D二、6.－2＜a ＜－1或1＜a ＜27.y =log 0.2(x +1)(x ＞－1)8.a ＞1或0＜a ＜32 9.f (41)＞f (31)＞f (2) 10.(－∞,1］ 1三、11.解：当lg m ＞1即m ＞10时，(lg m )0.9＞(lg m )0.8；当lg m =1即m =10时，(lg m )0.9=(lg m )0.8；当0＜lg m ＜1即1＜m ＜10时,(lg m )0.9＜(lg m )0.8.12.定义域［3101，10］，值域［0，2］，增区间［3101，101］，减区间［101，10］ 13.(1)定义域为(－∞,1)，值域为(－∞,1)(2)解：设1＞x 2＞x 1∵a ＞1,∴12x x a a，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1x a ) 即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞,1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)则a －a x =a y ,x =log a (a －a y )∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1)图象关于y =x 对称.。
高中数学人教A版必修第一册 课时训练 分层突破 对数函数的图象和性质的应用(习题课)
第2课时对数函数的图象和性质的应用(习题课)选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g 13π，b=log 3π，c=log 4π，则( A )A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22. 综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数， 所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是;若x∈[1，92]，则函数f(x)的值域是.解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)= -log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数，所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x2-2ax+3，则y=lo g12t在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a≥2,4-4a+3≥0,所以a≥2，且a≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9;(1)求f(3)的值.(2)令t=log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.解:(1)因为函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9，故f(3)= log327·log39=3×2=6.(2)令t=log3x，19≤x≤9，则-2≤t≤2，且f(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]，故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数，g(x)=λf(x). (1)求实数a 的值;(2)若g(x)≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围. 解:(1)函数f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数， 则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0， 故函数f(x)=ln e x =x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x 是奇函数，满足条件，所以a=0. (2)由(1)知f(x)=x ，g(x)=λx ，则λx ≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，即λ≤log 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log 2x 在x ∈[2，3]上单调递增，最小值为log 22=1， 所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。
指数函数与对数函数专项训练(解析版)
指数函数与对数函数专项训练一、单选题1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．50,3⎛⎫⎪C ．()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知，2350x x ->，即(35)0x x ->，所以0x <或53x >.故选：C.2．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪D ．()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增，∴()327x f x x =+-在R 上单调递增；又()12f =-，327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，故选：B.3．（23-24高一上·云南昆明·期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为23 1.65x y -=⨯．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：671.6520.2,1.6533.3≈≈）（）A ．水华面积占比每月增长率为1.65B ．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到60%左右C ．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D ．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ，由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长，故A 错误；对于B ，当8x =时，8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈，故B 正确；对于C ，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C 错误；对于D ，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D 错误.故选：B.4．（23-24高一上·云南昭通·期末）()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，幂函数()g x 过点M ，则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+，令11x -=，得2x =，()124f =，则()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()g x x α=，则124α=，即2α=-，即()2g x x -=，∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A6．（23-24高一上·云南·期末）若()21()ln 1||f x x x =+-，设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大，即()0,x ∈+∞，()21()ln 1||f x x x =+-单调递增，因为()()33a f f =-=，()0.3(ln2),2b f c f ==，且00.3112222=<<=，0ln2lne 1<<=，所以0.3ln 223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即b c a <<，也就是a c b >>.故选：D7．（23-24高一下·云南·期末）设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,2B ．(2,3]C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=，解得()2f x =或()f x a =，函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，函数值的集合为(2,3]，在(0,1]上单调递减，函数值的集合为[0,)+∞，在[1,)+∞上单调递增，函数值的集合为[0,)+∞，在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点，由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，此时23a <≤，所以实数a 的取值范围是(2,3].故选：B8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若()12:lo g 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=，则012a <-<，解得13a <<；对于1:39a q -<，则12a -<，解得3a <；因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知函数()()2ln 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -=-<，此时()()2ln 2f x x x =-无意义，故A 错误；对于B ，由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞，满足()[)0,1,+∞⊆-+∞，所以函数()f x 的值域是R ，故B 正确；对于C ，由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦，且定义域为()(),02,-∞+∞ ，它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-，即函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D ，由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故D 错误.故选：BC.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则下列结论中正确的是（）A ．122x x +=-B ．1204x x <<C ．()41,4x ∈D ．342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知，12()224x x +=⨯=--，故A 项错误；对于选项B ，因120x x <<，由上述分析知124x x +=-，则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=，因12x x ≠，故有1204x x <<，即B 项正确；对于选项C ，如图，因0x ≤时，2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤，0x >时，2()|log |f x x =，依题意须使20|log |2x <<，由2|log |0x >得1x ≠，由2|log |2x <解得：144x <<，故有3411,144x x <<<<，即C项正确；对于选项D ，由图知2324log log x x -=，可得341x x =，故431x x =，则343322x x x x ++=，3114x <<，不妨设21,(,1)4y x x x =+∈，显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减，故23334x x <+<，即342x x +的取值范围是(333,4)，故D 项错误.故选：BC.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数()ln f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈B ．对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C ．对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()1212f x f x x x ->-D ．对12,0x x ∀>，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项，由于1y x =在R 上单调递增，2ln y x =在()0,∞+上单调递增，故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，故由零点存在性定理可得，方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈，A 正确；B 选项，()ln f xy xy xy =+，()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++，显然,0x y ∀>，由于xy 与x y +不一定相等，故()()f x f y +与()f xy 不一定相等，B 错误；C 选项，由A 选项可知，()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()12120f x f x x x ->-，C 正确；D 选项，12,0x x ∀>，均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+，由于12122x x x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立，故1212ln ln 2x x x x +≥，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AC 三、填空题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,513．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数()ln(1)f x x =+，2()g x x a =-+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时，()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为：(0,).+∞14．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ，则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ，若10M 是10位数，则M 的值为.（参考数据：0.9 1.1107.94,1012.56≈≈）【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<，两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<，即910lg 10M ≤<，所以0.9lg 1M ≤<，即0.91010M ≤<，又M 为正整数，所以8M =或9M =.故答案为：8或9四、解答题15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.16．（23-24高一上·云南昭通·期末）化简求值：(1)()13103420.027π4160.49--++；(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】（1）()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=；（2）ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17．（23-24高一上·云南·期末）已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数．(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性；(2)若对于任意t ∈R ，不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =，证明见解析(2)3k <-【详解】（1）因为()f x 是奇函数，函数的定义域为R ，所以(0)0f =，所以1033m-=+，所以1m =，经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <，则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数，故12()()0f x f x ->．所以()f x 在R 上是单调减函数（2）由（1）知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因为()f x 是奇函数，所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2262t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2360t t k -->，从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-．所以k 的取值范围是3k <-．18．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （0a >且1a ≠）．(1)讨论()f x 的单调性（不需证明）；(2)若2a =，（ⅰ）解不等式3()2≤f x x；（ⅱ）若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-，求t 的值．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）(](],10,1-∞-⋃；（ⅱ）2t =-或2t =【详解】（1）若1a >，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增；若01a <<，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减．（2）（ⅰ）3()2≤f x x ，即132()022xx x --≤，设13()2()22xx g x x=--，则(1)0g =，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，当0x >时，()g x 单调递增，由()(1)g x g ≤，解得01x <≤，根据奇函数的性质，当0x <时，()(1)g x g ≤的解为1x ≤-，综上所述，3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃．（ⅱ）2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-，令22x x m --=，因为[]1,1x ∈-，则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()()22g x h m m tm ==++，其图象为开口向上，对称轴为m t=-的抛物线，①当32t -≤-，即32t ≥时，min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-，解得2t =．②当3322t -<-<，即3322t -<<时，222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-，解得1152t =，2152t =-矛盾．③当32t -≥，即32t ≤-时，min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-，解得2t =-．综上所述，2t =-或2t =．19．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数()e (0)x f x mx m =-<．(1)求(1)f -和(0)f 的值，判断()f x 的单调性并用定义加以证明；(2)设0x 是函数()f x 的一个零点，当1em <-时，()02f x k >，求整数k 的最大值．【答案】(1)1(1)e f m --=+，(0)1f =，()f x 在定义域R 上单调递增，证明见解析，(2)整数k 的最大值为1-【详解】（1）1(1)e f m --=+，(0)1f =，判断()f x 在定义域R 上单调递增，证明如下：在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---，因为12x x <，0m <，所以12e e x x <，120x x -<，0m ->，所以12e e 0x x -<，12()0m x x --<，所以1212(e e )()0x x m x x ---<，即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()f x 在定义域R 上单调递增．（2）由题意得0()0f x =，即00e 0x mx -=，1em <-，则10e m +<，即0(1)0()f f x -<=，由()f x 是R 上的增函数，所以01x -<，又0(0)10()f f x =>=，所以010x -<<，0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-，令01e (ext =∈,1)，则22()2(1)1g t t t t =-=--，所以()g t 在1(e ,1)上单调递减，所以()()11g t g >=-，即0(2)1f x >-，当1em <-时，0(2)f x k >，所以1k ≤-，所以整数k 的最大值为1-．。
高一数学同步练习——对数函数练习题及解答解析
对数资料（1） 对数与对数函数测试题一、 选择题： 1．已知3a=5b= A ，且a 1＋b1= 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x= lg(10a)＋lga1，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2) lg x ＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)．61 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值范围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x =31log 121＋31log 151，则x 的值属于区间( )．(A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lgba )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a= 4b= 6c，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )．(A)．20 (B)．19 (C)．21 (D)．22 10．若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x 21为( )．(A)．321 (B)．331 (C)．21 (D)．42 11．若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(21)x]在定义域上是( )． (A)．增函数且y ＞0 (B)．增函数且y ＜0 (C)．减函数且y ＞0 (D)．减函数且y ＜012．已知不等式log a (1－21+x )＞0的解集是(－∞，－2)，则a 的取值范围是( )． (A)．0＜a ＜21 (B)．21＜a ＜1 (C)．0＜a ＜1 (D)．a ＞1 二、 填空题13．若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 14．已知a = log 7.00.8，b = log 1.10.9，c = 1.19.0，则a ，b ，c 的大小关系是_______________．15．log12-(3＋22) = ____________．16．设函数)(x f = 2x(x ≤0)的反函数为y =)(1x f -，则函数y =)12(1--x f 的定义域为________．三、 解答题17．已知lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，且有a ＋b ＋c = 0，求xcb 11+·yac 11+·xba 11+的值．18．要使方程x 2＋px ＋q = 0的两根a 、b 满足lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，试确定p 和q 应满足的关系． 19．设a ，b 为正数，且a 2－2ab －9b 2= 0，求lg(a 2＋ab －6b 2)－lg(a 2＋4ab ＋15b 2)的值． 20．已知log 2[ log 21( log 2x)] = log 3[ log 31( log 3y)] = log 5[ log 51( log 5z)] = 0，试比较x 、y 、z 的大小．21．已知a ＞1，)(x f = log a (a －a x)．⑴ 求)(x f 的定义域、值域； ⑵判断函数)(x f 的单调性 ，并证明； ⑶解不等式：)2(21--x f＞)(x f ．22．已知)(x f = log 21[ax2＋2(ab)x －bx2＋1]，其中a ＞0，b ＞0，求使)(x f ＜0的x 的取值范围．参考答案：一、选择题：1．(B)．2．(B)． 3．(D)．4．(C)．5．(D)．6．(C)．7．(B)．8．(A)． 9．(A)．10．(D)．11．(C)．12．(D)． 提示：1．∵3a＋5b= A ，∴a = log 3A ，b = log 5A ，∴a 1＋b1= log A 3＋log A 5 = log A 15 = 2，∴A =15，故选(B)．2．10x= lg(10 a)＋lga 1= lg(10a ·a1) = lg10 = 1，所以 x = 0，故选(B)． 3．由lg x 1＋lg x 2=－(lg3＋lg2)，即lg x 1x 2= lg 61，所以x 1x 2=61，故选(D)．4．∵当a ≠1时，a 2＋1＞2a ，所以0＜a ＜1，又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，即a ＞21，综合得21＜a ＜1，所以选(C)． 5．x = log 3121＋log 3151= log 31(21×51) = log 31101= log 310，∵9＜10＜27，∴ 2＜log 310＜3，故选(D)．6．由已知lga ＋lgb = 2，lga ·lgb =21，又(lg ba )2= (lga －lgb)2= (lga ＋lgb)2－4lga ·lgb = 2，故选(C)．7．设3a= 4b= 6c= k ，则a = log 3k ，b= log 4k ，c = log 6k ，从而c 1= log k 6 = log k 3＋21log k 4 =a 1＋b 21，故c 2=a 2＋b1，所以选(B)． 8．由函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则函数u(x) = ax 2＋2x ＋1应取遍所有正实数，当a = 0时，u(x) = 2x ＋1在x ＞－21时能取遍所有正实数； 当a ≠0时，必有⎩⎨⎧≥-=∆.44,0a ＞a ⇒0＜a ≤1．所以0≤a ≤1，故选(A)．9．∵lga = lg(27×811×510) = 7lg2＋11lg8＋10lg5 = 7 lg2＋11×3lg2＋10(lg10－lg2) = 30lg2＋10≈19.03，∴a = 1003.19，即a 有20位，也就是M = 20，故选(A)．10．由于log 3( log 2x) = 1，则log 2x = 3，所以x = 8，因此 x 21-= 821-=81=221=42，故选(D)． 11．根据u(x) = (21)x 为减函数，而(21)x ＞0，即1－(21)x ＜1，所以y = log a [1－(21)x]在定义域上是减函数且y ＞0，故选(C)． 12．由－∞＜x ＜－2知，1－21+x ＞1，所以a ＞1，故选(D)． 二、填空题13．21a ＋23b 14．b ＜a ＜c ． 15．－2． 16．21＜x ≤1 提示： 13．lg 54=21lg(2×33) =21( lg2＋3lg3) =21a ＋23b ． 14．0＜a = log 7.00.8＜log 7.00.7 = 1，b = log 1.10.9＜0，c = 1.19.0＞1.10= 1，故b ＜a ＜c ．15．∵3＋22= (2＋1)2，而(2－1)(2＋1) = 1，即2＋1= (2－1)1-，∴log 12-(3＋22) =log 12-(2－1)2-=－2．16．)(1x f-= log 2x (0＜x ≤1＝，y =)12(1--x f 的定义域为0＜2x －1≤1，即21＜x ≤1为所求函数的定义域． 三。
4.3对数(AB分层训练)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破
4.3 对数考点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.考点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1).(一) 求对数型函数的定义域问题例1．（1）、下列对数式中，与指数式79x =等价的是（ ）A ．7log 9x =B ．9log 7x =-C ．7log 9x =D ．log 97x =【答案】C【分析】根据指数式与对数式的关系直接判断即可.【详解】对于A ，7log 9x =等价于97x =，A 错误；对于B ，9log 7x =-等价于79x -=，B 错误；对于C ，7log 9x =等价于79x =，C 正确；对于D ，log 97x =等价于()790,1x x x =>≠，D 错误.故选：C.（2）．（2021·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【分析】对于A ：由对数的定义即可判断；对于B ：用对数的定义即可判断；对于C ：由常用对数的定义即可判断；对于D ：由自然对数的定义即可判断.【详解】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log x a a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式训练1-1】、（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子()211log 2x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．1,22⎛⎫ ⎪C ．(),2-∞D ．()1,11,22⎛⎫ ⎪(二) 对数与指数互化例2．（1）、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）A ．45625=与4log 6255=B ．2100.01-=与lg 0.012=-C ．41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭与41log 162-=D ．1293=与91log 32=（2）、（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )A ．0101=与lg 1＝0B ．1327-＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 55＝1与51＝5【答案】ABD【分析】根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.【详解】对于A ，0101=lg10⇔=，A 正确；对于B ，132711127log 333-=⇔=-，B 正确；对于C ，23log 9239=⇔=，C 不正确；对于D ，15log 5155=⇔=，D 正确.故选：ABD.(三) 解对数方程例3．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若2log 3x =-，则x =_______.【答案】18##0.125【变式训练3-2】、（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程()3ln log 0x =的解是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．3【答案】D【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.【详解】∵()3ln log 0x =，∴03log e 1x ==，∴3x =.故选：D.例4．（2023·全国·高一假期作业）求下列各式中x 的值．(1)()()345log log 1log x =(2)()()345l 0log lo og g x =【答案】(1)645x =；(2)625.【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可；（2）利用对数式与指数式的关系化简即可.【详解】（1）由()()345log log 1log x =可得，()453log log x =，则354l 6g 4o x ==，所以645x =.（2）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，(四) 用对数型公式及换底公式化简求值例5．（1）、（2020·全国高一课时练习）log513＋log53等于（）A．0B．1C．－1D．log510 3【答案】A【解析】因为555511log log 3log 3log 1033⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭.故选：A.【变式训练5-2】、（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数,x y 满足：32272x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11x y +=________．(五) 与对数有关的条件求值问题例7、（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3，求()2log 5a +log 2log 50a a ⋅的值.【答案】1.【解析】∵2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3，∴lg 0a >，min 21111()lg 24lg 4lg 3lg (lg )lg lg f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24(lg )3lg 10a a --=，∴(4lg 1)(lg 1)0a a +-=，则lg 1a =，∴10a =.∴()222log 5log 2log 50(lg5)lg 2lg50(lg5)lg 2(lg51)lg5(lg5lg 2)lg 21a a a +⋅=+⋅=++=++=.例8、（2021·安顺市第三高级中学（文））（1）已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，求x y 的值．（2）设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=求12x x +的值．【答案】（1）4x y =；（2）1.【分析】（1）利用对数运算化简已知条件，因式分解然后求得x y的值.（2）利用换元法化简已知条件，结合函数()2ln f x x x =+的单调性求得121x x =+.【详解】（1）由2lg(2)lg lg x y x y -=+得2lg(2)lg()x y xy -=，∴2(2)x y xy-=∴22540x xy y -+=，∴()(4)0x y x y --=，即1x y=或4．又0,0,20x y x y >>->， ∴1x y =舍去，故4x y=．（2）由题意得()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，()()22ln 1213x x -+-=，令21x t -=，则2ln 3t t +=．∵()2ln f x x x =+在(0,)+∞单调递增，∴1t x =，∴121x x =+．【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数型函数的单调性，属于中档题.(六) 对数的综合应用例11．（1）、（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为()12013%34.711+≈，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为()12013%0.026-≈，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：lg103 2.013≈，lg 97 1.987≈）（ ）A ．28B ．38C ．60D ．100【答案】B（2）、（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足0lg lg(1)lg n X n p X =++，其中0X 为DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（ ）（参考数据：0.250.2510 1.778,100.562-≈≈）A ．22.2%B ．43.8%C ．56.2%D ．77.8%()2429a a ∴＝＝；故答案为：9.【变式训练11-2】．（2022·江西·高二开学考试）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L ．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L ，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少13，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．8B ．9C ．10D ．11。
高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)
高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。
15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。
16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。
18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。
高一对数函数题型练习(全)
对数函数知识梳理一、对数函数的定义一般地，函数(，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．二、对数函数的图象与性质图象定义域值域性质过定点，即时，减函数增函数特别提醒：当且时，函数的与的图象关于轴对称．三、底数对对数函数图象的影响底数对对数函数图象的影响：当时，“底大图低”，当时，“底大图高”．设，，，的图象，则必有．题型训练题型一对数函数的定义1.函数是对数函数，则实数2.已知函数(，且)满足，则3.下列函数是对数函数的是（）A．B．（，且）C．D．（，且）4.已知对数函数过点，则的解析式为？5.函数为对数函数，则等于（）A．B．C．D．题型二图像问题1.图中曲线是对数函数的图象，已知值取，，，，则相应于，，，的值依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，2.如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则，，，与的大小关系为？3.已知，且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4.函数，则使的集合是（）A．B．C．D．5.已知，且，则函数与的图象只能是（）A．B．C．D．6.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．题型三过定点1.函数（，且）的图象必经过点（）A．B．C．D．2.函数（，且）的图象恒过点？3.函数的图象必经过定点的坐标为（）A．B．C．D．4.已知函数恒过定点，则5.函数的图象恒过定点？6.函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则．题型四对数函数定义域和值域1.求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4)．2.函数的值域为（）A．B．C．D．3.函数，的值域是？4.函数的定义域为？5.求下列函数的定义域．(1)．(2)；(3)；(4)（，且）．6.若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（）A．B．C．D．7.函数的定义域为（）A．B．C．D．8.若函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为，则？9.设函数（，）在上的最大值是，最小值是，且，则实数（）A．B．C．或D．或10.求下列函数的定义域、值域：(1)；(2)．题型五比大小1.比较大小：和，和．2.设，，，则（）A．B．C．D．3.比较下列各组中两个值的大小．(1)，；(2)，(，且)；(3)，；(4)，．4.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．5.设，，则（）A．B．C．D．6.设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．7.已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．题型六解不等式1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．或3.满足不等式的所有实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.不等式的解集为（）A．B．C．D．题型七含参问题1.若（，且），则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.若，则取值范围是（）A．B．C．D．或3.设，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．4.在中，实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．5.(1)已知，则的取值范围为；(2)已知，则的取值范围为；(3)当时，，则的取值范围是．题型八复合函数1.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．2.求函数的定义域、值域和单调区间．3.若函数，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．。
【高中数学专项突破】专题26对数函数（含答案）
【⾼中数学专项突破】专题26对数函数（含答案）【⾼中数学专项突破】专题26 对数函数题组1 对数函数的概念1.给出下列函数：①y ＝23log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10x B.y=log 3x 2 C.y=lnxD.y=log 13（x –1）3.下列各函数中，表⽰同⼀函数的是（） A.与y=x+1B.y=x 与（a ＞0且a≠1）C.与y=x ﹣1D.y=lgx 与题组2 对数函数的定义域4.函数y =1g （1-x ）+22x x -++的定义域是（） A.[]2,1B.[)1,1- C.[]1,2-D.(]1,2 5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（） A.[]1,1-B.[]3,5-C.35 ,44??-D.13 ,226.函数y=的定义域是（）A.（1，2]B.（1，2）C.（2，+∞）D.（﹣∞，2） 7.函数y ＝＋lg （2－x ）的定义域是（）A.（1，2）B.[1，4]C.（1，2]D.[1，2）8.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x ＋1)是偶函数，(x －1)f′(x)<0.若x 12，则f(x 1)与f(x 2)的⼤⼩关系是（）A.f(x 1)B.f(x 1)＝f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.不确定9.已知全集U ＝R ，集合?U A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x >2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |x >2} B.{x |22} 10.函数f(x)264x -log 2(2sin x －1)的定义域是________.11.设函数f （x ）=-x +2，则满⾜f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______.12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______.题组3 对数函数的实际应⽤13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只14.⼀个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下⼀个细微的⼩孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为()3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有⼀半的沙⼦，则再经过（）min ，容器中的沙⼦只有开始时的⼋分之⼀. A.8B.16C.24D.3215.我们处在⼀个有声世界⾥，不同场合，⼈们对声⾳的⾳量会有不同要求.⾳量⼤⼩的单位是分贝（dB ），对于⼀个强度为I 的声波，其⾳量的⼤⼩η可由如下公式计算：010lgII η=（其中0I 是⼈⽿能听到的声⾳的最低声波强度），则60dB 的声⾳强度1I 是50dB 的声⾳强度2I 的（） A.7610倍C.10倍D.7ln 6倍16.对于任意实数x ，符号[]x 表⽰x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最⼤整数，例如[]22=；[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27++++的值为（） A.42B.43C.44D.4517.已知某种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，现给某病⼈静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为ymg .()1y 与x 的关系式为______；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______⼩时(精确到0.1).(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈18.2012年9⽉19⽇凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中⼼⽤“长征三号⼄”运载⽕箭，以“⼀箭双星”⽅式，成功将第14和第15颗北⽃导航卫星发射升空并送⼊预定转移轨道.标志着中国北⽃卫星导航系统快速组⽹技术已⽇臻成熟.若已知⽕箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞⾏器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空⽓阻⼒的条件下，假设⽕箭的最⼤速度y 关于x 的函数关系式为：[ln()2)]5ln 2y k m x m =+-+ (其中k≠0).当燃料重量为(1)e m 吨(e 为⾃然对数的底数，2.72e ≈)时，该⽕箭的最⼤速度为5km ／s.(1)求⽕箭的最⼤速度y(千⽶／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .(2)已知该⽕箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该⽕箭的最⼤飞⾏速度达到10千⽶／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?专题四不同函数增长的差异19.图中曲线是对数函数log ay x =的图象，已知a 取3，43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，3520.在天⽂学中，天体的明暗程度可以⽤星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满⾜212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的⽐值为( ) A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-21.函数()1ln f x x x ??=-的图象⼤致是（） A. B.C. D.22.函数2ln 2()||x f x x x =的图象⼤致为（）A. B.C. D.23.⾼为H 、满缸⽔量为V 的鱼缸的轴截⾯如图所⽰，现底部有⼀个⼩洞，满缸⽔从洞中流出，若鱼缸⽔深为h 时⽔的体积为v ，则函数()v f h =的⼤致图像是（）A. B.C. D.25.已知()()1log 011axf x a a x+=>≠-，(1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.26.（1）求满⾜不等式()20.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数22()log log 24x xf x =?的最⼤值和最⼩值. 专题26 对数函数题组1 对数函数的概念1.给出下列函数：①y ＝23log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有⾃变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数. 故选A2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10xB.y=log 3x 2C.y=lnxD.y=log 13（x –1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=log a x （a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x =x ，y=23log x =23log x 、y=()13log 1x -都不是对数函数，只有y=lnx 是对数函数.故选C.3.下列各函数中，表⽰同⼀函数的是（） A.与y=x+1【解析】对于选项A ：函数的定义域不包含1，⽽⼀次函数y=x+1的定义域是R ，显然不是同⼀个函数.对于选项B ：因为=xlog a a=x ，且定义域都为R ，所以为同⼀个函数.对于选项C ：函数=|x|﹣1与⼀次函数y=x ﹣1的对应法则不同，故不是同⼀个函数.对于选项D ：函数y=lgx 的定义域为x ＞0，⽽函数y=lgx 2的定义域是x≠0，显然不是同⼀个函数. 故选B.题组2 对数函数的定义域4.函数y =1g （1-x ）22x x -++的定义域是（） A.[]2,1 B.[)1,1- C.[]1,2-D.(]1,2 【答案】B【解析】要使原函数有意义，则：210,20x x x ->??-++≥? 解得-1≤x ＜1；∴原函数的定义域是[-1，1）. 故选B.5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（） A.[]1,1- B.[]3,5-C.35 ,44??-D.13 ,22-【答案】A【解析】∵函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，即-2≤x≤6，得-1≤x+1≤7，∴f（x）的定义域为[-1，7]，由-1≤3-4x≤7，可得-1≤x≤1.∴函数y=f（3-4x）的定义域是[-1，1].故选：A.D.（﹣∞，2）【答案】B【解析】∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，⼜在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选B.7.函数y＝＋lg（2－x）的定义域是（）A.（1，2）B.[1，4]C.（1，2]D.[1，2）【答案】D【解析】由得，由得，两部分取交集为.8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0.若x12，则f(x1)与f(x2)的⼤⼩关系是（）A.f(x1)B.f(x1)＝f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.不确定【答案】C【解析】由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数递减.当x<1时，f′(x)>0，函数递增；因为函数f(x ＋1)是偶函数，所以f(x ＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1f(x2).若x1<1，则x2>2－x1>1，此时由f(x2)f(x2)9.已知全集U＝R，集合?U A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝( )A.{x|x>2}B.{x|2C.RD.{x|x<0或x>2}【答案】D【解析】∵?U A ＝{x |0≤x ≤4}，∴A ＝{x |x <0，或x >4}.∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >4}∪{x >2} ＝{x |x <0，或x >2}.选D10.函数f(x)--?? ? ? ???????【解析】由题意，得2640210x sinx ?-≥?->?，①，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得6π＋2k ππ＋2k π(k ∈Z). 所以不等式组的解集为117513,,,866666πππππ--?? ? ?11.设函数f （x ）=-x +2，则满⾜f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______. 【答案】5,3?-∞【解析】根据题意，函数()2f x x =-+，则(1)(2)[(1)2][(2)2]35f x f x x x x -+=--++-+=-+，若(1)(2)0f x f x -+>，即350x -+>，解可得：53x <，即x 的取值范围为5(,)3-∞；故答案为：5(,)3-∞.12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______. 【答案】a ≥2【解析】∵全集U=R ，B={x|-1＜x ＜2}，∴?U B={x|x≤-1或x≥2}，∵A={x|x ＜a}，A ∪（?U B ）=R ，∴a≥2，则a 的取值范围为a≥2. 故答案为：a≥2题组3 对数函数的实际应⽤13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只【答案】A【解析】由题意，繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y=alog 2（x+1），这种动物第1年有100只∴100=alog2（1+1），∴a=100，∴y=100log 2（x+1），∴当x=7时，y=100 log 2（7+1）=100×3=300. 故选A.14.⼀个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下⼀个细微的⼩孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有⼀半的沙⼦，则再经过（）min ，容器中的沙⼦只有开始时的⼋分之⼀. A.8 B.16C.24D.32【答案】B 【解析】依题意有8bae-= 12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln228t b b y ae--==-∴=∴= 当容器中只有开始时的⼋分之⼀，则有ln2ln2881188t t aea e --=∴= 两边取对数得ln21ln 3ln22488t t -==-∴=，所以再经过的时间为24-8=16min .故选B. 15.我们处在⼀个有声世界⾥，不同场合，⼈们对声⾳的⾳量会有不同要求.⾳量⼤⼩的单位是分贝（dB ），对于⼀个强度为I 的声波，其⾳量的⼤⼩η可由如下公式计算：010lgII η=（其中0I 是⼈⽿能听到的声⾳的最低声波强度），则60dB 的声⾳强度1I 是50dB 的声⾳强度2I 的（）A.76倍 B.7610倍C.10倍D.7ln 6倍【答案】C【解析】解：由题意，令106010I lgI =，解得，61010I I =?，令2210I I = 故选：C.16.对于任意实数x ，符号[]x 表⽰x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最⼤整数，例如[]22=；[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27++++的值为（） A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3=[]33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++?++00111111222223=++++++++++++?+++，(6个1，18个2) 62183=+?+45=.故选：D .17.已知某种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，现给某病⼈静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为ymg .()1y 与x 的关系式为______；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______⼩时(精确到0.1).(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈【答案】25000.8xy =? 7.2【解析】()1由题意知，该种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，给某病⼈注射了该药物2500mg ，经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为()2500(120%)25000.8x xy mg =?-=?，即y 与x 的关系式为25000.8xy =?；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，令25000.8500x ?≥，0.80.2x ∴≥，7.20.80.2≈，0.8xy =是单调减函数，7.2x ∴≤，所以要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2⼩时. 故答案为()125000.8xy =?，()27.2.18.2012年9⽉19⽇凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中⼼⽤“长征三号⼄”运载⽕箭，以“⼀箭双星”⽅式，成功将第14和第15颗北⽃导航卫星发射升空并送⼊预定转移轨道.标志着中国北⽃卫星导航系统快速组⽹技术已⽇臻成熟.若已知⽕箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞⾏器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空⽓阻⼒的条件下，假设⽕箭的最⼤速度y 关于x 的函数关系当燃料重量为1)m 吨(e 为⾃然对数的底数，2.72e ≈)时，该⽕箭的最⼤速度为5km ／s.(1)求⽕箭的最⼤速度y(千⽶／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .(2)已知该⽕箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该⽕箭的最⼤飞⾏速度达到10千⽶／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道? 【答案】(1) 10ln()m x y m+= (2) 应装载516吨【解析】(1)依题意，把)1,5x m y ==代⼊函数关系())ln ln5ln2y k m x ??=+-+?，解得k=10，所以所求的函数关系式为())10ln ln5ln2y m x ??=+-+=?10ln m x m +?? ???(2)设应装载x 吨燃料⽅能满⾜题意，此时816,10m x y =-=，代⼊函数关系式10ln m x y m +??= ?，得816ln1816x =-，解得516x =吨，故应装载516吨燃料⽅能顺利地把飞船发送到预定的轨道.专题四不同函数增长的差异19.图中曲线是对数函数log a y x=的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则相应于1C，2C，3C，4C的a值依次为()343，35，110343，35C.433，35，110D.433110，35【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数log a y x=的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C，2C，3C，4C的a值从⼩到⼤依次为：C，2C，1C，由a343，35，110四个值，故1C，2C，3C，4C的a3，43，35，110，故选：A.20.在天⽂学中，天体的明暗程度可以⽤星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满⾜212152–lgEm mE=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的⽐值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满⾜12125lg2Em mE-=,令211.45,26.7m m=-=-,()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E Em mE E=?-=-+==.故选A.21.函数()1ln f x x x ??=-的图象⼤致是（） A. B.C. D.【答案】B【解析】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数⽆意义，可排除D ；⼜∵当1x >时，函数1 y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ?=-单调递增，可排除C ；故选B.22.函数2ln 2()||x f x x x =的图象⼤致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，⼜()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ；⼜因为11()2ln 024f =<，故排除D. 故选：B23.⾼为H 、满缸⽔量为V 的鱼缸的轴截⾯如图所⽰，现底部有⼀个⼩洞，满缸⽔从洞中流出，若鱼缸⽔深为h 时⽔的体积为v ，则函数()v f h =的⼤致图像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意知，函数的⾃变量为⽔深h ，函数值为鱼缸中⽔的体积，所以当0h =时，体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着⽔深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.24.下列散点图中，估计有可能⽤函数lg (0)y a b x b =+>来模拟的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于函数lg y x =在定义域内单调递增，且是上凸的，⼜0b >，所以当0x >时，lg (0)y a b x b =+>的图象是单调递增且上凸的. 故选：C.25.已知()()1log 011axf x a a x+=>≠-， (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.【答案】（1）()1,1-；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】(1)由>0 ，解得x ∈(－1,1).(2)f(－x)＝log a＝－f(x)，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f(x)是奇函数.(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－126.（1）求满⾜不等式()20.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数22()log log 24x xf x =?的最⼤值和最⼩值. 【答案】（1）228x ≤≤；（2）max ()2f x =.min1()4f x =-.【解析】（1）令0.5log t x =，则原不等式可化为22990t t ++≤，由⼆次函数图象解得332 t -≤≤-，即0.533log 2x -≤≤-.⼜30.53log 0.5--=，320.53log 0.52--=，∴3320.50.5x --≤≤，即8x ≤≤.（2）将()f x 变形为关于2log x 的形式：()()22222()log 1log 2log 3log 2f x x x x x =-?-=-+2231log 24x ?=--.由（1）知23log 32x ≤≤.∴当23log 2x =，即x =min 1()4f x =-；当2log 3x =，即8x =时，max ()2f x =.。
高一数学对数函数练习题
高一数学对数函数练习题高一数学对数函数练习题在高中数学中，对数函数是一个非常重要的概念。
它在各个领域都有广泛的应用，尤其是在科学和工程领域。
对数函数的特点是可以将复杂的指数运算转化为简单的加减运算，从而简化计算过程。
为了帮助同学们更好地理解和掌握对数函数，下面将给出一些高一数学对数函数练习题。
练习题一：已知log2(x) = 3，求x的值。
解析：根据对数函数的定义，log2(x) = 3 可以转化为2^3 = x，即x = 8。
练习题二：已知log3(a) = 2，求a的值。
解析：根据对数函数的定义，log3(a) = 2 可以转化为3^2 = a，即a = 9。
练习题三：已知log5(b) = -2，求b的值。
解析：根据对数函数的定义，log5(b) = -2 可以转化为5^(-2) = b，即b = 1/25。
练习题四：已知log4(c) = 1/2，求c的值。
解析：根据对数函数的定义，log4(c) = 1/2 可以转化为4^(1/2) = c，即c = 2。
练习题五：已知loga(1/8) = -3/2，求a的值。
解析：根据对数函数的定义，loga(1/8) = -3/2 可以转化为a^(-3/2) = 1/8，即a = (1/8)^(-2/3) = 2。
练习题六：已知logb(27) = 1/3，求b的值。
解析：根据对数函数的定义，logb(27) = 1/3 可以转化为b^(1/3) = 27，即b = 27^3 = 19683。
练习题七：已知log2(x) + log2(x + 8) = 4，求x的值。
解析：根据对数函数的性质，log2(x) + log2(x + 8) = log2(x(x + 8))。
所以，log2(x(x + 8)) = 4 可以转化为2^4 = x(x + 8)，即16 = x^2 + 8x。
整理得到x^2 + 8x - 16 = 0，解这个二次方程可以得到x的值。
专题09 对数与对数函数(重难点突破)原卷版附答案.pdf
ab 2b
2
.
11
（2）. 求下列函数的定义域： 1
(1)f(x)＝lg(x－2)＋x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 【解析】 (1)要使函数有意义,需满足Error!解得 x>2 且 x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,＋∞)． (2)要使函数有意义,需满足Error!解得－1<x<0 或 0<x<4, 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
底数,N 叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M ②loga N ＝logaM－logaN；
B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D．
3
y ln(2 x)
（3）．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )
A．a>1,b<0
B．a>1,b>0
C．0<a<1,b>0
D．0<a<1,b<0
（4）．当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
例 2 求下列函数的定义域：
1
1
(1)f(x)＝
；(2)f(x)＝ ＋ln(x＋1)；
1
2－x
log x＋1
2
1
1
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义,则 log x＋1>0,即 log x>－1,解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义
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A 组 基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫12，b ＝log 2，c ＝log 123，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合．答案：D4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( )A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．答案：D5．(2018·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析： 若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B. 答案：B6. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.答案：D7．(2018·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.答案：D9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足()()3log 22a f f >-，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：本题主要考查函数的奇偶性及单调性．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a <3，故选B.答案：B10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝f (log 4)＝f (－2)＝f (2)， 又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D. 答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－22＝－f ⎝⎛⎭⎫22＝－⎝⎛⎭⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1.当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14B.⎝⎛⎭⎫121＋log 25C.12D.120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫12＝14×⎝⎛⎭⎫12＝14×15＝120，故选D. 答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B.答案：B3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x， 根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1.若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：根据题意，log a b ＞1⇔log a b －log a a ＞0⇔log a ba＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜ba ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b a＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 或⎝ ⎛ a ＞1b ＞a .当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 时，0＜b ＜a ＜1，∴b －1＜0，b －a ＜0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞a 时，b ＞a ＞1，∴b －1＞0，b －a ＞0.∴(b －1)(b －a )＞0.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A.答案：A6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln1＋x1－x＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A.答案：A7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1.∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n <1，m＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D.答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( )A ．10 B.34 C.710D.32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D.答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.答案：C11．设方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A.答案：A12．(2017·江西红色七校模拟)已知函数f (x )＝lne x e －x，若 f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝12⎣⎡ f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f⎦⎤⎝⎛⎭⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． ∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，114．(2018·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。