初中数学变式训练几例

初中数学变式训练
一、概念的变式训练
数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。

因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。

如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，
例题：16的平方根是。

变式1：16的正的平方根是。

16的负的平方根是。

变式2：的正的平方根是。

变式3：已知的平方根是，则= 。

二、公式、法则、定理等的变式训练
数学基础知识、基本概念(定义、定理、性质、公式、法则)是解决数学问题并产生新问题的起点。

在复习公式、定理的教学中，不要直接呈现现成的结论，而应充分利用特例、实验等手段，设计系列问题变式。

利用问题变式来明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围、注意事项等关键之处，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确的演算能力。

从而引发学生遐思绵绵，培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性。

例1、出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因。

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(×)图1
(2)垂直于半径的直线是圆的切线． (×)图2
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(√)图3
图1 图2 图3
例2、完全平方公式“”的新课讲授时我设置了如下的变式训练：
计算：(1) , (2) ,
(3) ,(4)。

比如在学习了完全平方公式后，对于的展开为三项二次式，学生基本上都能够掌握，但是这还不能说明学生已经掌握了完全平方公式。

通过下面的变形：
学生通过完成上述填空，不但深化了对完全平方公式的理解，而且锻炼了学生的逆向思维能力。

最后在学生能纯熟的运用完全平方公式后，老师再提出变形：
例3如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC 的面积为S，则（）
A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关
变式一、3、如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，
四边形也是矩形，，则．
变式二、正方形、正方形和正方形的位置如图4所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：（Ａ）10 （Ｂ）12
（Ｃ）14 （Ｄ）16
例3、例如：“求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形o”一
般学生解决这个问题是不困难的，顺题深入还可以提出以下问题。

变式1：顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式5：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形?
变式6：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形?
三、题目形式的变式训练
例题的教学采取学生议练，教师点拨、评讲相结合，着重引导学生解决如何设所求
函数的解析式、怎样建立方程组。

从例题出发，组织变式训练，提高训练效率。

1、多题一解，培养学生触一通类的数学思维能力。

例题：已知二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的解析式。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数的图像与轴、轴的交点A、C，并且经过点，求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点、。

且对称轴是直线，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点，且在轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于、两点，又知二次函数的对称轴是直线，求这两个函数的解析式。

2、一题多变，培养学生思维的深刻性。

例题：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF 是平行四边形吗？请说明理由。

（引导学生分析，完成此例题）
图1
变式训练：
变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？
变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？
变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？
变式4:如图2：在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO 的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？若结论成立，那么直线EG、FH有什么位置关系？
图2 图3
变式5:如图3在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个点；G、H是对角线BD上的两点。

已知AE=CF，DG=BH，上述结论仍旧成立吗？
四、思维变式教学
思维变式往往指题目变式(多题一解)与方法变式 (一题多解)的综合。

“数学是训练思维的体操”，在初中数学复习教学过程中，要尽量让学生体会到蕴藏在数学问题中的“生命”价值，充分利用问题变式培养学生思维的严谨性、灵活性、深刻性、敏捷性、发散性和独创性，使学生举一反三、融会贯通，从而从多角度、多层次、全方位地去思考问题、寻求答案的优良思维品质。

例1、在复习求一元二次方程：x’—5x+6=0的根时，可以进行以下变式：
变式1：你能结合二次函数图像求出x’—5x+6 >0的x取值范围吗?
变式2：你能结合二次函数图像求出／—5x+6 <0的x取值范围吗?
例2、写出符合以下三个条件的一个函数解析式要求：写出过程
1>过点(3,1)
2>在第一象限内，y随x的增大而减小
3>当自变量的值是2时，函数值小于2
例3、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；
变式一、求直线与轴的交点的坐标及△
的面积；
变式二、求方程的解（请直接写出答案）；
变式三、求不等式的解集（请直接写出案）.
例4、已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），
△ABE与△ADG的面积关系是： ____________．
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），
△ABE与△ADG的面积关系是：____________．并证明你的结论
（3）运用：已知三角形ABC，AB=5cm,AC=3cm,分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），
则图中阴影部分的面积和最大值是. ____________
五、条件变化的变式训练
解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多变”类训练。

在教学中老师要善于设置“一题多解”类变式训练，引导学生能从不同的角度，不同的条件，同一的思想方法来思考解决不同几个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来,达到以创新方式来解答问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

例1、正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上．分别连接BD、BF、FD，得到△BFD．
(1)在图①～图③中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均
为3，请通过计算填写下表：
正方形CEFG的边长 1 3 4
△BFD的面积
(2)若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想S△BFD的大小，并结合图
③证明你的猜想．
例2、如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S
△APD +S
△BPC
=S
△PAB
+S
△PCD
填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△
ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。

在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。

请你任选其中一个结论证明。

初中数学复习课问题变式教学中变式方式、形式以及内容，要根据教材的内容和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的问题变式，有助于学生把知识学活，实践证明，变式教学能摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，让学生成为学习的主人，减小差生面，培养学生良好的思维品质，提高教学效益。

有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生的思维，为学生后续学习创造更好的条件、打下更坚实的基础。