图论GraphTheory教学讲义
合集下载
图论(Graph Theory)
第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。
其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。
1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。
我们记(),G V E =表示此图形。
图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。
边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。
此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。
边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。
若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。
定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。
G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。
01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。
图论讲座
指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排 名员工去完成 项任务， 每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员 工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。 如何分配工作方案可以使总回报最大？
2013.11.10
中国邮递员问题(CPP－chinese postman problem)
图论的起源
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士 数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七 座桥”。 1857年，凯莱发现了“树”。 1895年，哈密尔顿提出周游世界游戏。
2013.11.10
图论的运用
近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发 展，大大促进了图论研究和运用，图论的理论 和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建 筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、 社会学等学科中。
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题的数学模型
2013.11.10
图与网络
图与网络是运筹学(Operations Research)中一 个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济 管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信 息技术通讯与网络技术等诸多领域。下面将要 讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流 问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。
2013.11.10
最短路问题(SSP—shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货 物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵 横交错，因此有多种行车路线，这名司机应该 选择哪条路线？假设货柜车行车速度是恒定的， 那么这一问题相当于需要找一条从甲地到乙地 的最短路。
图 论(Graph Theory) ----图与网络模型及方法
图论讲义
v5
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d
H
6
H’
b
G’
d b
f c e
G ≅ G’ 1→a,2→b,3→c, 4→d
H ≅ H’ 1→a,2→b,3→c, 4→d,5→e,6→f
非同构图举例 存在结点数及每个结点对应度都相等的两 个图仍然不同构的情况.一个例子如 下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
1.3 端点，关联边，相邻，次 端点，关联边，相邻， • 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数， 指向该节点的弧的数目称为负次数， 为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– • 次数为 0 的点称为孤立点 的点称为孤立点 孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的 悬挂点(pendant vertex) 点称为悬挂点 点称为悬挂点 定理 1：图中奇点的个数总是偶数个 ： 1.4 链，圈，路径，回路，欧拉回路 路径，回路， • 相邻节点的序列 {v1′′ ,v2′′ ,…, vn′′} 构成一条链(link)，又称 构成一条链 ， 行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 为行走 ；首尾相连的链称为圈 ， 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 • 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径 路径 ； 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径 向路径(directed path) 则称为有向路径 • 首尾相连的路径称为回路(circuit)； 首尾相连的路径称为回路 回路 ；
11
一摆渡人欲将一只狼,一头羊, 例 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河 西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河， 西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河， 并且狼与羊,羊与菜不能独处.给出渡河方法. 并且狼与羊,羊与菜不能独处.给出渡河方法. 用四维0 向量表示( 解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河 西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0), 1,否则取0),共有 西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有 24 =16 种状态.在河东岸的状态类似表示. 种状态.在河东岸的状态类似表示. 由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不 由题设,状态 , , 是不 允许的,从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0) 允许的,从而对应状态 也是不允许的. 也是不允许的. 以可允许的 允许的10个状态向量作为顶点 向量作为顶点,将可能互 以可允许的 个状态向量作为顶点 将可能互 相转移的状态用线段连接起来构成一个图. 相转移的状态用线段连接起来构成一个图 根据此图便可找到渡河方法 渡河方法. 根据此图便可找到渡河方法.
离散数学-第11章
3
图论简介
• 1856年，哈密顿在给格雷夫斯的信中提出一个游戏：用正十二面体 上20个顶点表示20个城市，要求游戏者沿着各边行走，走遍每个城 市一次且仅一次，最后回到原出发城市。这个游戏促使人们研究如 何判断一个图有无这一性质，如果有，则又如何确定这样的路径， 即称之为哈密顿图。这是一个至今尚未完全解决的问题。 • 1962年，中国数学家管梅谷提出一个所谓“中国邮路问题”：邮递员 带着邮件从邮局出发，走遍他所管辖的每一条街道，最后回到邮局， 如何选择路线，使走的路程最短。1967年，埃德蒙兹给出中国邮路 问题一个好的解法。 • 图论虽有200年的历史,但受计算机科学发展的刺激,发展极其迅速。 上世纪60年代以来图论在各种学科领域中得到了广泛应用。图论在 理论上也得到了新的发展，如图特等发展了拟阵理论，贝尔热等发 展了超图理论，埃尔德什等发展了极图理论等。 • 本书介绍图的基本概念、路与回路、图的矩阵表示、欧拉图与汉密 尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用、二 部图、匹配等。各章节主要知识点关联如图4.0.0所示。
9
11.1 图的概念
解 图11.1.1中(a),(b)分别给出了无向图G和有向图D的图形表示。
e1 v1 e3 v5 e7 e2 e4 e8 v4
(a)
e1 v2 e5 e6 e4 v3 d a
e2 b e3 e5 e6 e7
(b)
c
图11.1.1 例11.1.1无向图G和有向图D
10
11.1.2 简单图、多重图和同构图
回路
关联 矩阵
邻接 矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
可 达 矩 阵
平面图的着色
哈密顿图 欧拉图 生成树
树
森林
图论讲义第1章-图的概念
图论与网络流理论（Graph Theory and Network Flow Theory）高随祥中科院研究生院专业基础课学时/学分：60/3本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。
主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。
为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。
内容提要第一章 图的基本概念图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章 图的连通性割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章图的着色问题点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章网络流理论有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。
[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
图论GraphicTheoryppt课件
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边 ，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
2020/8/1
v2
v7
v1
v3 3 1 v5
v6
v8
2
v4 v9
(3)接着去掉(v3,v2)
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件：
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边 ，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
v2
v7
v1
v3
v5
v6
v8
v4 v9
2020/8/1
v2
v7
v1
v3
v5
v6
v8
v4 v9
解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶 点的度是否都是偶数。
d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2，
d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4，
d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。
Hamilton图。
• 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道
路，则称这条道路为Hamilton道路。
2020/8/1
• 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为 n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有 d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条 Hamilton道路。
• 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒 有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条 Hamilton回路。
vk
v2
v1
vp-1
vp
vL
与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的 Hamilon道路。
2020/8/1
b、去某边后不能造成图形的不连通。
2020/8/1
v2
v7
v1
v3 3 1 v5
v6
v8
2
v4 v9
(3)接着去掉(v3,v2)
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件：
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边 ，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
v2
v7
v1
v3
v5
v6
v8
v4 v9
2020/8/1
v2
v7
v1
v3
v5
v6
v8
v4 v9
解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶 点的度是否都是偶数。
d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2，
d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4，
d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。
Hamilton图。
• 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道
路，则称这条道路为Hamilton道路。
2020/8/1
• 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为 n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有 d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条 Hamilton道路。
• 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒 有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条 Hamilton回路。
vk
v2
v1
vp-1
vp
vL
与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的 Hamilon道路。
2020/8/1
GRAPH THEORY 图论
一筆畫問題 (Euler Tour)
哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)
中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題
哈密頓（Hamilton）環遊世界問題
如何一次歷遍二十個城市 而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle
路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列， 其中的點兩兩不相同 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs
任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有向边(directed edge) 无向边(indirected edge) 平行边(parallel edge ) 自回路（环）(Self-loop / Ring)8来自图的基本概念 2(2)
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章 图 论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
n
de(gvi) de(gvi)m
i1
i1
24
定理 2 （Hankshaking）
设图G是具有n个顶点、m条边，V(G)={v1,v2,···,vn}， 则
n
degv(i) 2m
i1
推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数。
25
常用的简单图
赋权图 无向完全图 有向完全图 竞赛图 正则图
b
两个端点a和b之间平行边的条数
称为边(a,b)（或<a,b>）的重数
自回路（环）(Self-loop / Ring) v1
两个端点重合的无向（有向）边。
10
图的基本概念 3
边与结点的关系
设边e的端点为a和b
边e关联(incident)于顶点a和b（或a和b关联边e） a、b是邻接（相邻）的(adjacent)
(a)
(b)
(c)
13
图的基本分类（2）
多重图(multiple graph)：含平行边的图 简单图(simple graph)：无环和平行边的图
a
b
c
14
图的基本分类（3）
根据图中结点的数目可分为： 有限图(finite graph)：顶点个数有限的图 无限图(infinite graph)：顶点个数无限的图
15
回顾
类型
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图 有限图 无限图
特点
所有边都有方向 所有边都无方向
既有有向边又有无向边 有平行边
无平行边和环 结点数有限 结点数无限
16
练习题
判断下面给出的两个图的类型。
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图
无向图
有向图 简单图
17
图的基本分类（4）
底图 定向图 逆图
A
V(G)表示图G的结点集
E(G)表示图G的边集。
B
D
图G可记为<V(G),E(G)>或<V,E> C
有n个顶点和m条边的图记为(n,m)图或称 为n阶图。
6
注意：图论中研究的图只关心图的结点之 间是否有边相连，不关心结点的位置和边 的长短
A
B
D C
B
D
A
C
7
图的基本概念 2(1)
边(edge)
26
赋权图
赋权图是顶点或边附加了信息的图。 顶点或边中附加的信息称为权。
27
赋权图例
A
5
B 15 C
20
8
2
1D
7
2 4
F
E
6
28
普通图和赋权图
[比较] 对普通图，主要研究结点和边之间的拓扑关系
度，连通，通路等性质
赋权图给普通图附加了数量关系
距离，成本，代价，规模等性质
29
无向完全图
c
21
结点的度（1）
结点v的度: 指结点v关联的边数， 记为deg(v)或d(v)。
注意：每个环看作两条边
d(c)=4
c
d(d)=2
d
b d(b)=2
a d(a)=4
22
结点的度（2）
有向图中，度可分为：出度(out-degree)和入度 (in-degree)
结点v的出度: 以v为起点的有向边的数目 记为deg+(v) 或d+(v)
11
图的基本类型（1）
根据图中边的类型可将图分为：
无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 混合图(mixed graph)
多重图(multiple graph) 简单图(simple graph)
12
图的基本类型（2）
无向图(undirected graph)：所有边都是无向边的图。 有向图(directed graph)：所有边都是有向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。
v1
v2
<v1,v2>
无向边(indirected edge)
边的两个端点都可以作始点和终点的边 v1
v2
端点为v1和v2的无向边表示为 (v1, v2) 或v1v2
9
图的基本概念 2(2)
边(edge)
平行边(parallel edge )
两结点之间的多条无向边或
多条方向相同的有向边称为平行边。 a
任意两个不同的顶点间都有一条边关联的无向简单图 称为无向完全图
n阶无向完全图记为：Kn
K1
K2
K3
K4
K5
30
有向完全图
任意两个不同的顶点之间都有两条方向相反的有向边 相连并且每一个顶点都有一条自回路的有向图 称为有向完全图
31
完全图边数
n阶无向完全图的边数是多少？ n(n-1)/2
n阶有向完全图的边数是多少？ n2
18
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章 图 论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
n
de(gvi) de(gvi)m
i1
i1
24
定理 2 （Hankshaking）
设图G是具有n个顶点、m条边，V(G)={v1,v2,···,vn}， 则
n
degv(i) 2m
i1
推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数。
25
常用的简单图
赋权图 无向完全图 有向完全图 竞赛图 正则图
b
两个端点a和b之间平行边的条数
称为边(a,b)（或<a,b>）的重数
自回路（环）(Self-loop / Ring) v1
两个端点重合的无向（有向）边。
10
图的基本概念 3
边与结点的关系
设边e的端点为a和b
边e关联(incident)于顶点a和b（或a和b关联边e） a、b是邻接（相邻）的(adjacent)
(a)
(b)
(c)
13
图的基本分类（2）
多重图(multiple graph)：含平行边的图 简单图(simple graph)：无环和平行边的图
a
b
c
14
图的基本分类（3）
根据图中结点的数目可分为： 有限图(finite graph)：顶点个数有限的图 无限图(infinite graph)：顶点个数无限的图
15
回顾
类型
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图 有限图 无限图
特点
所有边都有方向 所有边都无方向
既有有向边又有无向边 有平行边
无平行边和环 结点数有限 结点数无限
16
练习题
判断下面给出的两个图的类型。
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图
无向图
有向图 简单图
17
图的基本分类（4）
底图 定向图 逆图
A
V(G)表示图G的结点集
E(G)表示图G的边集。
B
D
图G可记为<V(G),E(G)>或<V,E> C
有n个顶点和m条边的图记为(n,m)图或称 为n阶图。
6
注意：图论中研究的图只关心图的结点之 间是否有边相连，不关心结点的位置和边 的长短
A
B
D C
B
D
A
C
7
图的基本概念 2(1)
边(edge)
26
赋权图
赋权图是顶点或边附加了信息的图。 顶点或边中附加的信息称为权。
27
赋权图例
A
5
B 15 C
20
8
2
1D
7
2 4
F
E
6
28
普通图和赋权图
[比较] 对普通图，主要研究结点和边之间的拓扑关系
度，连通，通路等性质
赋权图给普通图附加了数量关系
距离，成本，代价，规模等性质
29
无向完全图
c
21
结点的度（1）
结点v的度: 指结点v关联的边数， 记为deg(v)或d(v)。
注意：每个环看作两条边
d(c)=4
c
d(d)=2
d
b d(b)=2
a d(a)=4
22
结点的度（2）
有向图中，度可分为：出度(out-degree)和入度 (in-degree)
结点v的出度: 以v为起点的有向边的数目 记为deg+(v) 或d+(v)
11
图的基本类型（1）
根据图中边的类型可将图分为：
无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 混合图(mixed graph)
多重图(multiple graph) 简单图(simple graph)
12
图的基本类型（2）
无向图(undirected graph)：所有边都是无向边的图。 有向图(directed graph)：所有边都是有向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。
v1
v2
<v1,v2>
无向边(indirected edge)
边的两个端点都可以作始点和终点的边 v1
v2
端点为v1和v2的无向边表示为 (v1, v2) 或v1v2
9
图的基本概念 2(2)
边(edge)
平行边(parallel edge )
两结点之间的多条无向边或
多条方向相同的有向边称为平行边。 a
任意两个不同的顶点间都有一条边关联的无向简单图 称为无向完全图
n阶无向完全图记为：Kn
K1
K2
K3
K4
K5
30
有向完全图
任意两个不同的顶点之间都有两条方向相反的有向边 相连并且每一个顶点都有一条自回路的有向图 称为有向完全图
31
完全图边数
n阶无向完全图的边数是多少？ n(n-1)/2
n阶有向完全图的边数是多少？ n2
18
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b