离散数学讲义-图论
离散数学——图论
提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完 全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。
基本通路一定是简单通路，但反之简单通路 不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。
定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长 度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。 任一通路中如果删去所有回路，必得基本通 路。 任一回路中如删去其中间的所有回路，必得 基本回路。
例1：教材121页。
结点次数
引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)
结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为 结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展
图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
有向连通图
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
《离散数学图论》课件
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学(第21讲)图论
C
S
|
证明(续1)
1) 若k＝n，则P为G中经过所有结点的路径，即 为哈密尔顿路径。 2) 若k＜n，说明G中还有在P外的结点，那么此 时可以证明存在仅经过P上所有结点的基本回 路，证明如下： a) 若在P上v1与vk相邻，则v1v2…vkv1为仅经过 P上所有结点的基本回路。
S
W
U
S T
XDC
XDC
S
W
U
S T
C
S
|
例
a
S
W
c (a) (b) (c) (d)
U
S T
既存在哈 密尔顿路 径，又存 在哈密尔 顿回路， 即为哈密 尔顿图。 XDC
既不存在哈 密尔顿路径， 也不存在哈 密尔顿回路。
既存在哈密 尔顿路径， 又存在哈密 尔顿回路， 即为哈密尔 顿图。
存在哈密尔 顿路径，但 不存在哈密 尔顿回路。
S
W
U
S T
XDC
C
S
|
尽量避免走桥 求欧拉图中欧拉回路的算法-------Fleury算法：
S
W
U
S T
1. 任取v0∈V，令P0＝v0； 2. 设P0＝v0e1v1e2…eivi，按下面的方法从 E-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1： 1) ei+1与vi相关联； 2) 除非无别的边可选取，否则ei+1不应该为 G'＝G-{e1,e2,…,ei}中的桥； 3）当2）不能再进行时，算法结束。
短的路径（即为通过图中所有边的简单路径）； 欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最 短的回路（即为通过图中所有边的简单回路）。
XDC
S
W
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学讲义-图论
图论图的基本概念和性质 图的连通性及可达性 图的矩阵表示Euler图与Hamilton图 平面图对偶图与着色树与生成树根树及其应用图论简介一、图的基本概念一个图是一个序偶<V,E>,记为G＝<V,E>，其中：V＝{v1,v2,v3,…,v n}是一个有限的非空集合,v i(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点,V 为结点集；E＝{e1,e2,e3,…,e m}是一个有限的集合，e i(i＝1,2,3,…,m)称为边,E为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应。
二、图的类型1)若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；2)若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向边(或弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾).v是边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；图的类型（续）3)在一个图中，关联结点v i和v j的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点v i 和v j相关联，而v i和v j称为邻接点，否则称为不邻接的；4)关联于同一个结点的两条边称为邻接边；5)图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)；图的类型（续）6)图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；7)仅由孤立结点组成的图称为零图；8)仅含一个结点的零图称为平凡图；9)含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图；10)每条边都是无向边的图称为无向图；11)每条边都是有向边的图称为有向图；图的类型（续）12)有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
13)在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边，在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边，两结点v i，v j间相互平行的边的条数称为边(v i，v j)或<v i，v j>的重数；图的类型（续）14)含有平行边的图称为多重图。
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
离散数学——图论
例子
❖ 邮递员信件问题 ❖ 城市街道问题 ❖ 一笔画问题 ❖ 公交线路问题
有向欧拉图的判定
❖ 一个有向图G有欧拉通路当且仅当G是连通的，且 除了两个结点外，其余结点的引入次数等于引出次 数，且这两结点中，一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度比出度多1.
❖ 当研究的对象能被抽象为离散的元素集合和 集合上的二元关系时，用关系图表示和处理 十分方便。
§8.1图的基本概念
❖ 图论的起源可以追溯到1736年由瑞士数学家 欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)撰写的一 篇解决“哥尼斯堡七桥问题”的论文。
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
（vi1,vi2,…, vik）,称这种边的序列为图的通路。 Vi1、vik分别为起点、终点。通路中边的条数称
为通路的长度。 若通路的起点和终点相同，则称为回路。
简单通路、基本通路
❖ 简单通路：通路中没有重复的边。 ❖ 基本通路：通路中没有重复的点。 ❖ 简单回路和基本回路。 ❖ 基本通路一定是简单通路，但反之简单通路
前者称为结点集(Vertex set)，后者称为边集（Edge set）。
一般用G=<V，E>表示图。
❖ 例子：教材116页例8.1，例8.2
❖ 根据图中边的方向，分为有向图、无向图。
❖ 边关联：有向边lk=(vi,vj)，其中vi称为起点，vj称为 终点。无论边是否有向，称lk与vi,vj相关联。
全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。 ❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一