图论是离散数学
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学——图论
提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完 全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。
基本通路一定是简单通路，但反之简单通路 不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。
定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长 度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。 任一通路中如果删去所有回路，必得基本通 路。 任一回路中如删去其中间的所有回路，必得 基本回路。
例1：教材121页。
结点次数
引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)
结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为 结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展
图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
有向连通图
离散数学的基本概念与应用
离散数学的基本概念与应用离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论。
与连续数学相对应，离散数学主要关注离散化的问题，如整数、图论、逻辑等。
本文将重点介绍离散数学的基本概念和应用领域。
一、离散数学的基本概念1. 整数论：整数论是离散数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中包括最大公约数、最小公倍数、同余关系、剩余类等概念和定理。
这些概念和定理在密码学、编码理论等领域有重要应用。
2. 图论：图论是离散数学的重要分支，研究图以及与图相关的问题。
图是由节点和边构成的数学模型，可以用来描述实际问题中的关系和连接。
图论在计算机科学、网络优化、运筹学等领域有广泛应用。
3. 逻辑：逻辑是数学中研究命题和推理的学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑可以用来分析和验证证明过程的正确性。
逻辑在人工智能、计算机科学等领域有广泛应用。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，研究离散结构的组合性质和计数问题。
它包括排列组合、图的着色、树的计数等内容，广泛应用于密码学、信息论、统计学等领域。
二、离散数学的应用领域1. 计算机科学：离散数学在计算机科学中有广泛并且重要的应用。
例如，图论可以用来研究网络拓扑结构、路径规划等问题；逻辑可以用于编程语言的设计和验证；组合数学可以用于算法分析和优化等。
2. 信息科学：离散数学在信息科学中也有重要应用。
密码学是其中的一个典型例子，通过利用整数论和组合数学的概念，可以设计出安全可靠的密码算法；信息论中的编码理论也涉及到离散数学的知识。
3. 运筹学与管理科学：离散数学在运筹学和管理科学中有广泛应用。
图论可以用于最优路径规划、网络流等问题；排队论可以用于优化生产调度和资源规划等领域。
4. 统计学与概率论：离散数学的一些概念和方法也被应用于统计学和概率论中。
例如，组合数学可以用于计算组合问题的概率；逻辑可以用于推理和证明的建立等。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论，具有广泛的应用领域。
离散数学的主要内容
离散数学的主要内容离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学学科。
它的主要内容包括集合论、图论、逻辑、代数系统等。
集合论是离散数学的基础，它研究的是集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们可以学习到集合的基本概念和运算、集合之间的关系、集合的基本定理等等。
集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在数据库设计中，我们需要使用集合运算来实现数据的查询和处理。
图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们可以学习到图的基本概念、图的遍历算法、最短路径算法、最小生成树算法等等。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机网络中，我们需要使用图论来设计网络拓扑结构和路由算法。
逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是命题和命题之间的关系。
在逻辑中，我们可以学习到命题逻辑、谓词逻辑、命题的推理规则等等。
逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如在人工智能领域中，我们需要使用逻辑来实现知识表示和推理。
代数系统是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是数学对象之间的代数关系。
在代数系统中，我们可以学习到群论、环论、域论等等。
代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如在密码学中，我们需要使用代数系统来设计加密算法和解密算法。
除此之外，离散数学还包括了排列组合、图论算法、离散概率论、离散优化等等内容。
这些内容在计算机科学中都有着广泛的应用，例如在算法设计中，我们需要使用排列组合来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
总的来说，离散数学是计算机科学中非常重要的数学基础学科，它涉及到了计算机科学中的许多重要问题和应用。
学好离散数学对于计算机科学专业的学生来说是非常重要的。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学简明教程
离散数学简明教程
第一章：数论基础
数论是离散数学中的基础部分，主要研究的是整数及其性质。
这一部分内容将介绍整除、质数、合数、素数定理等基本概念，以及一些重要的数论问题，如中国剩余定理、费马大定理等。
第二章：集合论
集合论是离散数学的基础理论之一，主要研究的是集合及其性质。
这一部分内容将介绍集合的基本概念、集合的运算、幂集、二元关系等基本概念，以及一些重要的集合论定理，如鸽笼原理、康托尔定理等。
第三章：图论
图论是离散数学中最为重要的分支之一，主要研究的是图形的性质和结构。
这一部分内容将介绍图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和欧拉回路、哈密尔顿路径和哈密尔顿回路等基本概念，以及一些重要的图论定理，如克鲁斯卡尔定理、普利姆定理等。
第四章：逻辑学
逻辑学是离散数学的另一个基础理论，主要研究的是推理和证明。
这一部分内容将介绍命题逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑等基本概念，以及一些重要的逻辑学定理，如哥德尔完备性定理、塔斯基不可定义定理等。
第五章：算法分析
算法分析是离散数学的一个重要应用领域，主要研究的是算法的时间和空间复杂度。
这一部分内容将介绍算法分析的基本概念、大O 符号、递归算法等基本概念，以及一些重要的算法分析定理，如阿克曼函数不可计算性定理等。
图论教学大纲
图论教学大纲图论教学大纲引言：图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图结构。
图论在计算机科学、电信网络、社交网络等领域都有广泛的应用。
为了提高学生的图论理解和应用能力，制定一份完善的图论教学大纲是必要的。
一、基础概念与术语1. 图的定义与基本术语：节点、边、度、路径等。
2. 有向图与无向图的区别与应用场景。
3. 连通性与连通图的性质。
4. 子图与超图的概念及应用。
二、图的表示与存储1. 邻接矩阵与邻接表的比较与选择。
2. 图的存储结构的选择与实现。
3. 图的遍历算法：深度优先搜索与广度优先搜索。
三、图的性质与算法1. 图的同构与同构判定算法。
2. 图的连通性与连通分量的计算。
3. 图的割点与割边的定义与算法。
4. 最短路径算法：Dijkstra算法与Floyd-Warshall算法。
5. 最小生成树算法：Prim算法与Kruskal算法。
四、应用案例分析1. 电信网络规划与优化中的图论应用。
2. 社交网络中的图论算法与分析。
3. 交通网络与路径规划中的图论应用。
4. 电力系统与供应链管理中的图论应用。
五、拓展与深入研究1. 图的扩展应用领域与前沿研究方向。
2. 图论在人工智能与机器学习中的应用。
3. 图论与其他学科的交叉研究与合作。
结语：通过本教学大纲的学习，学生将能够掌握图论的基本概念与术语，理解图的表示与存储方法，掌握图的性质与算法，以及应用图论解决实际问题的能力。
同时，拓展与深入研究的内容将为学生提供更广阔的学术发展空间。
图论作为一门重要的学科，将为学生的学习和未来的职业发展带来巨大的价值。
离散数学——图论
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哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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比如，顶点3的度是3。
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Input Output
Total
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• 有向图中，分入度和出度两部分，满足： TD(v) =
ID(v) + OD(v) 。
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比如，顶点3的入度是1，出度为1，
度为2
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7.2 图的相关术语
7.2.5 度
• 一般地，若图G中有n个顶点，e条边或弧，则图中
边与顶点的度的关系如下：
能否从河岸或小岛 出发，通过每一座 桥，而且仅仅通过 一次回到原地？
1736 年 29 岁的欧拉解决了该问题，这也意味新的 数学分支——图论的诞生
7.1 图的定义和基本术语
7.1.1 背景
• 四色问题（世界三大数学难题之一）
证明不论地图多么复 杂，最多使用四种颜 色就能保证相邻地区 使用不同颜色。
• G1是有向图（包含弧的图）
7.1 图的定义和基本术语
1
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3
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G1
7.1.3 图的基本术语
• G2是无向图（没有弧的图） • G2中有边(1,4), (1,2), (2,3),
(2,5), (3,5), (3,4) • 无序对（x，y）表示x和y之间的
一条边（edge）。所谓无序对， 就是指（x，y）等同于（y，x） • 1条边等于2条弧，即(1,4)等于 <1,4>加上<4,1>
• 图就是数据元素间为多对多关系的 1
2
数据结构。怎么理解？
3
• 线性表是一对一关系：每一对结点
中，前者只有一个直接后继，后者只 4
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有一个直接前驱
• 树是一对多关系：每一对结点中，前者可能有多个直
接后继（孩子），而后者只能有一个直接前驱（双亲）
• 图中每一对顶点中，它们都同时可能有多个邻接点
7.1 图的定义和基本术语
7.2 图的相关术语
7.2.8 路径和回路
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3
4
• 无向完全图：有n（n-1）/2条边的无向图（这意 味着图中每个顶点和其余n-1个顶点都有边相连）
7.2 图的相关术语
7.2.2 子图
• 设有两个图G=（V，R）和图G / =（V/，R/）,若 V/V且R/ R，则称图G/为G的子图。
• 有向图的子图
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2
7.1.2 图的定义
• 图的形式化定义 与线性结构、树型结构有什么不同？
ADT Graph { 数据元素：V={vi| vi∈D0, i=1,2,…,n, n≥0, D0为某一数据对象} 结构关系：R＝｛<vi,vi+1> | vi, vi+1∈D0, i=1,2, …,n-1｝ 基本操作： • 常规操作：创建/初始化，销毁，清空，插入，删除，查找/
v/）与顶点v和v/ 相关联。
4
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G2
Hale Waihona Puke 比如，顶点3的邻接点是顶点2,4,5
1
2
• 对于有向图G=（V，R）而言，若
弧<v，v/>∈R，则称顶点v邻接到
顶点v/，顶点v/ 邻接自顶点v。
3
4
7.2 图的相关术语
G1
7.2.4 顶点的位置序号
• 同一个顶点的多个邻接点之间有无前后次序？
• 我们需要将图中的顶点按某种序列排列起来。顶
为权。
• 网（赋权图）：带权的图。
15 2
4
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7.2 图的相关术语
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3
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5
4
5
7.2.7 图的种类
• 有向图（Directed Graph, DG） • 有向网（Directed Network, DN） • 无向图（Undirected Graph, UDG） • 无向网（Undirected Network, UDN）
定位 ，遍历 • 新增操作：找到本顶点的第一个邻接点，找到本顶点的下一
个邻接点，插入/删除弧 }
7.1 图的定义和基本术语
7.1.3 图的基本术语
• 图G1中有4个顶点（vertex） （一个顶点对应一个数据元素）
• G1中有弧<1,2>,<1,3>,<3,4>, <4,1>
• <x，y>表示从顶点x到顶点y的 一条弧（arc），并称x为弧尾 （tail）或起始点，称y为弧头 （head）或终端点。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯用计算机化了 1200个小时，作了100亿次判断，完成证明
7.1 图的定义和基本术语
7.1.1 背景
• 本课程主要不是要解决图论中的问题——这是离 散数学的任务。 • 本课程的任务是理解已有的解决方案，把它转化 成算法和程序。
7.1 图的定义和基本术语
7.1.2 图的定义
点在这个人为的随意排列中的位置序号称为顶点
在图中的位置。
比如，右下图中各顶点的顺序是顶点1,2,3,4
1
2
注意：实际的图中，圈内的数值可
能是指顶点的位置序号，也可能是
数据元素的值，根据上下文确定 3
4
7.2 图的相关术语
7.2.5 度
• 无向图中，顶点v 的度（Degree）是指和v相关联
的边的数目，记作TD(v)。
n
TD(Vi )
原因是1条边/弧与2
e i1 2
个顶点相关联
1
2
比如，右图中有5个顶点（度分别
是2,3,3,2,2）和6条边，满足：
3
e=6=(2+3+3+2+2)/2
4
5
7.2 图的相关术语
7.2.6 权和网
• 在实际应用中，有时图的边或弧上往往与具有一定
意义的数（比如距离或耗费等信息）有关，该数称
23
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G1的子图举例
4
G1
还有子图吗？
7.2 图的相关术语
7.2.2 子图
• 无向图的子图
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G2
1
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G2的子图举例
7.2 图的相关术语
7.2.3 邻接点
• 对于无向图G=（V，R），如果边 1
2
（v，v/）∈R，则称顶点v，v/互
3
为邻接点，即v，v/ 相邻接。边（v，
1
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G2
7.1 图的定义和基本术语
7.1.4 本章的假设
• 我们只讨论简单图（Simple Graph），即没有自环 也没有多重边的图。
• 自环：两个顶点为同一顶点的边。
1
• 多重边：两个点之间不止一条边。
1
4
7.1 图的定义和术语
2. 图的相关术语
7.2.1 完全图
• 有向完全图：有n（n-1）条弧的有向图（这意味着 图中每个顶点和其余n-1个顶点都有弧相连）。
1. 图的定义和基本术语
7.1.1 背景
• 图状结构是四大逻辑结构之一，是一个非线性结 构。 • 我们这里涉及的是图论（Graph Theory）的基 本内容。图论是“离散数学”中的重要内容之一。 • 图论的应用非常广泛，有很多经典的问题。
7.1 图的定义和基本术语
7.1.1 背景
• 哥尼斯堡七桥问题