LIN讲义GO在图论中的应用
图论及其应用PPT课件
图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
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图论及其应用第一章 一些特殊图类： （1） 完全图(complete graph) 例4
K3
K4
K5
K5
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图论及其应用第一章
（2） 二部图 (bipartite graph)：若图G 的顶点集可 划分为两个非空子集X 和Y，使得任一条边有一个 端点在X 中，另一个端点在Y 中，则称G 为二部图 （或偶图），记为G＝ (X U Y , E) ，(X ,Y ) 称为G 的一个划分（二分类）。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
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图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
Go语言中的人工智能和深度学习模型的实现方法和工具推荐
Go语言中的人工智能和深度学习模型的实现方法和工具推荐Go语言（Go）作为一门高效、可靠和易于使用的编程语言，已经逐渐成为人工智能（AI）和深度学习（DL）领域的首选工具。
本文将介绍在Go语言中实现人工智能和深度学习模型的方法，并推荐一些常用的工具。
在Go语言中实现人工智能和深度学习模型的方法主要包括以下几个方面：数据准备、模型构建、训练和推理。
首先，在数据准备阶段，我们需要加载和处理数据集。
Go中有一些流行的库，如gonum、gorgonia和golearn，可以用于数据加载、转换和预处理。
然后，我们需要构建模型。
Go语言提供了一些简单且易于使用的库，如tfgo和golearn，用于构建常见的神经网络模型，如多层感知机（MLP）、卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）。
此外，Go还提供了一些与图像处理相关的库，如gocv和goimage，可以用于构建图像识别和处理模型。
在模型构建完成后，我们需要进行训练。
Go语言中的机器学习库可以帮助我们进行模型训练。
例如，Gorgonia是一个用于构建和训练深度学习模型的强大库，它提供了灵活的张量操作和自动微分功能。
除此之外，还有一些基于Go语言实现的深度学习框架，如go-dnn和go-deeplearning。
最后，我们需要使用训练好的模型进行推理。
在Go语言中，我们可以使用已训练的模型对新的数据进行预测。
一些库，如Glot和tfgo，提供了对训练模型的封装和使用示例。
除了以上提到的方法和工具，还有一些其他的库和框架也可以在Go语言中实现人工智能和深度学习模型。
例如，goml是一个机器学习库，提供了多种常见的机器学习算法实现；go-ml-transpiler是一个将机器学习模型转换为Go可执行文件的库，使模型的部署更加便利。
总结一下，在Go语言中实现人工智能和深度学习模型需要依次完成数据准备、模型构建、训练和推理等步骤。
Go语言提供了一些强大的库和框架，如gorgonia、tfgo和goml等，可以帮助我们完成这些任务。
图论知识及运用举例
图论知识及运用举例1 概论图论中的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
图是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
下面将要讨论最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等。
2 图的基本概念2.1 无向图一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。
其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集（vertex set ）或节点集（node set ）， )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点（vertex ）或节点（node ）；},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集（edge set ），)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =，被称为该图的一条从i v 到j v 的边（edge ）。
当边j i k v v e =时，称j i v v ,为边k e 的端点，并称j v 与i v 相邻（adjacent ）；边k e 称为与顶点j i v v ,关联（incident ）。
如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图G 中相邻。
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network ）。
图论及其应用
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
图论第三章
是G 的顶点割。
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图论及其应用第三章 （2）k 顶点割：含有k 个元素的顶点割。 注：1）1 顶点割与割点是两个不同的概念。
u
{u} 是1 顶点割，但 u 不是割点
v
v 是割点，但 {v} 不是1 顶点割
2）G 连通且无环，则 v 是割点
(G v ) (G )
{v} 是1顶点割
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图论及其应用第三章 （2）k 边割 {e}为1 边割 {e}为割边。
（3）G 的连通度 (G ) 定义如下：
min{ k | G 有 k 边割 }， G 是非平凡图 (G ) 0， G 是平凡图
注： 1） (G ) 0
G 平凡或不连通
2）G 是含有割边的连通图
( n ≥l )
(G ) 1 (G xy ) (G )
(G ) 1 (G x )
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图论及其应用第三章 三. 连通度的基本结果
。 证明：（1）先证 。 若G 平凡或不连通，则
定理3.1
0
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图论及其应用第三章
例5
G
(G ) ( 2 ), (G ) ( 3 ), (G ) ( 4 )
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图论及其应用第三章 例6
A 4-edge-connected graph G such that G－{x1, x2, x3, x4} is connected
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(G ) 1
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图论及其应用第三章 3） (G ) k 0 G 的k 边割均为键
（4）k 连通图：若 (G ) k ，则称G 为k 边连通图 的。 注第三章 例4 1、分别找G1和G2两个边割； 2、给出它们的边连通度。 v2 v1 v5 v6 v9 v 7 v8 v4 G1 v3 v1 v3 G 2 v8 v2 v4 v5 v6 v7
图论及其应用
一个最小边割集。
连通度
定义：如果0<k≤λ(G),则称G是k-边连通图。
定理：图G是k-边连通图当且仅当对E(G)的任 意一个子集E1，若|E1|≤k-1，则G\E1仍是连通 图。
连通度
定理：对p 简单图G,有
(1) (G) (G),(G) (G); (2) (G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (3)(G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (4)对G的任意一个顶点u， (G) 1 (G u); (5)对G的任意一条边e，(G) 1 (G e) (G).
（v0-vk）路P，且E(P) E(W ) 。
若P是一条路，x与y为顶点，用
表示这条路。
当G为简单图时，W=v0e1v1e2v2···vk-1ekvk，可简写为 W=v0v1v2···vk-1vk。
路和圈
对于图G中两个给定的顶点u和v,若存在（u-v）路，则 必存在长度最短的（u-v）路P0，称P0的长度为u，v的 距离，记为dG(u,v)或d(u,v)。
Байду номын сангаас
连通图
定理：设D是连通的有向图，则D是强连通的当 且仅当D的每一条弧都含在某一有向圈中。
连通度
定义：设连通图G=(V,E)不是完全图,V1是V(G)的一个
非空真子集,若G\V1非连通,则称V1是G的点割集。若点 割集V1含有k个顶点,也称V1是G的k-点割集。
定义：图G是p 阶连通图，令
（G）
表示n个点的回路。
有向图D的有向途径是指交替地出现点和弧的一个有限非空序列
W=v0a1v1a2v2···akvk ，对于i=1,2,···,k,弧ai的起点是vi1,终点是vi，简称W是一条（v0-vk）有向途径。在严格有向图中， 可用v0v1···vk表示有向途径。
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名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
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一副对联、一句勉励
上联： 做人做事做第一 下联： 创新创业创世界 横批： 众志成城 千里之行，始于足下， 兴趣是最好的老
A Friendly Introduction to Graph Theory, Fred Buckley,Marty Lewinter.
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学习方法
目的明确 态度端正 理论和实践相结合 充分利用资源 逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
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课程考核
平时成绩 （10%） 图论应用的小论文 （60%） 开卷考试 （30%）
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
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1
主要内容
图论前言 数学预备知识
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2
前言
课程目标 学时和学分 教学大纲 教材和主要参考资料 课程考核
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3
图论学科简介 （1）
哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的解
满足
x, y,zS
a) 自反性 (x,x)R b) 对称性 c) 传递性 ((x ,y ) R ) ((y ,x ) R )
(x ,y ) R 且 (y ,z ) R (x ,z ) R
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等价关系与同余 （2）
xymodn
对于“模n同余”是等价关系，其等 价类成为模n的余数类或者同余类， 所有的同余类构成的集合
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具有相同顶点的边称为平行边，两个端点重合 的边称为环．在无向图中，没有环和平行边的图 称为简单图，任意一对顶点都有一条边相连的简 单图称为完全图．任意两个顶点之间有且只有一 条弧相连的有向图称为竞赛图．
在图中，两个顶点u和v之间由顶点和边构成的 交错序列（使u和v相通）称为链（通道），没有 重复边的通道称为迹，起点与终点重合的通道称 为闭通道，不重合的称为开通道，没有重复顶点 （必然边也不重复）的开通道称为路，起点与终 点重合的路称为圈（回路）．如果顶点u和v之间 存在通道，称u和v是连通的，任意两个顶点都连 通的图称为连通图．
一步是i --> j，否则就不是。由此，我们就可方便的确 定出最短路径;
@for(roads(i,j): P(i,j)=@if(FL(i) #eq# W(i,j)+FL(j),1,0));
end
部分计算结果： FL(A) 6 FL(B) 4 FL(C) 3 FL(D) 1 FL(E) 3 FL(F) 4 FL(G) 0 最短路线为 A B D G 以上计算程序是通用程序，对其它图，只需在 此程序基础上对数据作一些修改即可。
j1
所有从其它顶点到达该顶点的弧中必然也有一条
弧在最短路上，因而必有：
n
X ji 1
2．0－1规划法
用0－1规划法也能求解最短路问题，其思路如 下．
设起点为1，终点为n．引入0－1型决策变量Xij， 如果弧(i , j)在最短路上，则Xij=1，否则Xij=0．
对于除了起点1和终点n以外的任意一个顶点i，
如果，
说明从i出发的所有弧中必然有一条弧
n
在最短路X 上ij 1，也就是说最短路经过该顶点，此时
程序中的语句roads(cities,cities)/ A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; 定义 的集合称为稀疏集合，本例中cities有7个成员，但 是并非每个城市到其它6个城市都有路相通，只有 部分城市之间有路，故定义衍生集合roads时用列 举法列出有路相通的每对城市 。
可以用动态规划的方法来求最短路问题，下面 举例说明其算法原理。
2.算法原理
举例：
3
D
1
2
B3Biblioteka A1EG
2
3
4
C3
4
1
F
图中A,B,...,G表示7个城市，连线表示城市之间 有道路相通，连线旁的数字表示道路的长度Wij， 现要从城市A到G找出一条最短路线。
该问题有三个阶段，第一阶段从A到B或C，第 二阶段到D,E或F，第三阶段到终点G，我们从终 点向前倒过来找。
无圈的连通图称为树，如果一棵树T包含了图G 的所有顶点，称T为G的生成树．
如果图G的每条边e都对应一个实数C(e)，称C(e) 为该边e的权，称图G为赋权图．通常称赋权的有 向图为网络．
二、最短路问题
1.动态规划法
(1)问题的描述
给定N个点Pi(i=1,2,...,n)组成集合{Pi}，集合中任 一点Pi到另一点Pj的距离用Wij表示，如果Pi到Pj没 有 弧 联 结 ( 无 通 路 ) ， 则 规 定 Wij=+∞ ， 又 规 定 ， Wii=0 (i=1,2,...,n)，指定一个终点PN，要求从Pi点出 发到PN的最短路线。
data: W=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
enddata N=@SIZE(CITIES); FL(N)=0; !终点的F值为0; @for(cities(i) | i #lt# N: FL(i)=@min(roads(i,j):W(i,j)+FL(j)));
!递推计算各城市F值; !显然，如果P(i,j)=1,则点i到点n的最短路径的第
f(B)=min{WBj+f(j)}=4，j是上一步考察过的三个点D,E,F； 同理f(C)=min{WCj+f(j)}，而
WCD+ f(D)=2+1=3
WCE+ f(E)=3+3=6
故F(C)=3；
WCF+ f(F)=1+4=5
第一阶段，出发点只有一个A，从A出发分别经 过B,C,至终点G的里程分别为：
N是终点，1是起点， j是与i相联,上一步考察过， 且与终点相通、f(j)为已知的点。
编写LINGO程序如下： model: sets: cities/A,B,C,D,E,F,G/: FL; !定义7个城市; roads(cities,cities)/
A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; !定义哪些城市之间有路相联，W为里程，P用 来存放最短路的路径; endsets
精品
LINGO在图论中的应用
图是一种直观形象地描述已知信息的方 式，它使事物之间的关系简洁明了，是分 析问题的有用工具，很多实际问题可以用 图来描述。
一、图的基本概念
图论是以图为研究对象的数学分支，在图论 中，图由一些点和点之间的连线所组成．
称图中的点为顶点（节点），称连接顶点的 没有方向的线段为边，称有方向的线段为弧．所 有线段都没有方向的图称为无向图，所有线段都 有方向的图称为有向图，既有边也有弧的图称为 混合图．
第 三 阶 段 ， 从 D,E,F 到 G 的 最 短 路 分 别 为 1,3,4 ， 记 为 f(D)=1,f(E)=3,f(F)=4；
第二阶段，与D,E,F有连线的出发点为B和C，从B出发 分别经过D,E,F，至终点G的里程分别为：
WBD+ f(D)=3+1=4
WBE+ f(E)=3+3=6
WBF+ f(F)=1+4=5 故B到G的最短路是上述三者的最小值(4)，可以写成
WAB+ f(B)=2+4=6 WAC+ f(C)=4+3=7 故A到G的最短路是上述两者的最小值6，可以 写成f(A)=min{WAj+f(j)}=6，j是上一步考察过的两 个点B,C，现在已经到了起点，结束运算，从A到 G的最短路为6。 上述算法可以简写成
f(i)m j {W iinjf(j),}iN1, ,2,1 f(N )0