复变函数 柯西公式
无界区域上的柯西公式
无界区域上的柯西公式
无界区域上的柯西公式是柯西不等式（Cauchy's Inequality）或柯西积分不等式（Cauchy's Integral Inequality）的一般形式，它是数学家 Augustin-Louis Cauchy 在1823年在他的文章《Théorie analytique des fonctions discontinues》中引入的。
它用于研究函数在定义域内的发展情况，主要用于表达在无界区域上构建函数的性质和极值的估计。
柯西公式的定义为：对任意复变函数f（z），有
\left | \int_\Gamma f(z)\,dz \right |^2 \leqslant
\int_\gamma\int_\gamma |f(z)|^2 ds\,dt
其中Γ为无界区域上无端点可观测的任何路径，ds和dt是Γ上的微小元素长度。
柯西公式可以用于研究不同函数的变化性，并可以应用于分析函数f（z）在整个无界区域上的极值及极限。
其中ds和dt是Γ上的微小元素长度，它们可以用于计算函数极值点的位置，从而可以创建函数的极值图。
另外，柯西公式还可以用来分析函数在无界区域上的拐折情况，这是因为它可以用来检查函数在该区域的一致性和变化，从而为函数的拐折情况提供一定的指导性意见。
总而言之，柯西公式是一个无界区域上最重要的数学定理，在无界区域上有着广泛的应用，可以应用于微分方程、复变函数研究、函数极值分析以及拐折情况分析等不同领域。
复变函数课件：3_3柯西积分公式
使以Lρ 为边界的闭圆盘包含在D内(如图).
记 D ρ 为D挖去以Lρ 为边界的 开圆盘所得到的闭区域.
f (ξ ) 于是f (ξ )及 在 D ρ 上连续,在区域Dρ内解析. ξ −z
所以由定理3.2.7有,
f (ξ ) f (ξ ) ∫L ξ − z dξ = ∫Lρ ξ − z dξ .
证 作以z0心，以ρ (0 < ρ < ρ 0 )为半径的圆Lρ，
根据多连通区域上的柯西积分定理得
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = ∫Lρ z − z0 dz.
上式对满足0 < ρ < ρ 0的任何ρ 成立，于是
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = lim0 ∫Lρ z − z0 dz. ρ→ f ( z) 下证 lim ∫ dz＝2π if ( z0 ). ρ →0 Lρ z − z 0 f ( z0 ) dz 由于2π if ( z0 ) = f ( z0 ) ∫ =∫ dz , 则 Lρ z − z Lρ z − z 0 0
π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + 2 1 z −1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
3z − 1 dz. 例3 计算I = ∫ | z | = 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 解 显然f ( z ) = 只有一个奇点z = −1在 | z |< 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 内, 且函数g ( z ) = 在 | z |< 2内解析,在 | z |≤ 2内连续. z −3
复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用-34页精选文档
C2: z 1 it,0 t 1，所以
Re(z)dz Re(z)dz Re(z)dz
C
C1
C2
1
tdt
1
1 idt
1
i
0
0
2
可见，在本题中，C 的起点与终点虽然相同，
但路径不同，积分的值也不同．
dz
例中心，计r算为半径c (的z 正z方0 )向n，1其n中为C整以数z0为
解：C 的方程为
接而成，则 f(z)dz f(z)dz f(z)dz
L
L 1
L 2
(2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即
Lkf(z)dzkLf(z)dz
(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和
（差），即 L [f1 (z) f2 (z)]d zL f1 (z)d z L f2 (z)d z
(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号. 即
蜒 n
f(z)dz
f(z)dz0, C
C
k1 Ck
Cn C3
n
Ñ Ñ f(z)dz f(z)dz,
C
k1 Ck
C1 C2
其中 C及Ck均取正 ; D方向
这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!
柯西积分公式
有界区域的单连通柯西积分公式
定理
（柯西积分公式） 如果 f ( z ) 在有界
区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭
dz
例中心，计r算为半径c (的z 正z方0 )向n，1其n中为C整以数z0为
d z
(zz) zz0r
n1 0
0 2i
n0 n0
fnz2n !iÑ lfzn1d,n1,2,L
Ñ 例 计算积分 I z n dz，其中 n 为整数。 l
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
复变函数-柯西积分定理
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
3z 1 3z 1 dz dz C（ C 1 2 ( z 1)( z 3) z 1)(z 3)
3z 1 3z 1 z 3 dz z 1 dz C2 z 3 z 1
C1 : | z | r1 C2 : | z 1 | r2
由复合闭路定理 , 得到:
C
1 1 1 dz 2 dz 2 dz 2 C C 1 z 2 z z z z z
C
1 1 1 1 由于 2 z z ( z 1) z z 1 z
于是, 得到
C
f ( z )dz 0
C
推论 如果 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 则 f ( z )dz 与路线 C 无关，仅由路线 C 的起点及终点来确定。
说明: (1) 曲线C D ;
(2) 若 C D, f ( z) 在 D 及 C 解析, 则
C
f ( z )dz 0
§3.2 柯西积分定理
问 题: f ( z ) 在 什 么 条 件 下 , f ( z )dz 仅 与 积 分 路 径 的 起 点
C
和终点有关 , 而与积分路径无关呢 ?
定理(柯西积分定理) 若 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f ( z ) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
解 :由柯西积分公式知 , 当 z 在 C 内时,
f ( z ) 2i ( 3 2 7 1) z 2i ( 3 z 2 7 z 1）
f ( z ) 2i (6z 7)
复变函数柯西积分公式
复变函数柯西积分公式
柯西积分，即Cauchy Integral Formula，包括复变函数的一种重要的积分公式，是复变函数理论的基础。
柯西积分的出现极大地拓展了复变函数数学研究的视野，把它带入一个完整的复变函数空间，使科学家们能够有效地描述物理和复杂体系的运作。
柯西积分可以表示为：在复平面上的无界区域Ω中，若C为边界，a则是内部点，f（z）为一个连续的复变函数，则：
$$\oint_{C} f\left(z\right)dz=2 \pi i
\sum\left(f\left(a_{k}\right)\right)$$
其中，a_{k}为区域Ω内的根，且取出其中局部极小值。
因此，柯西积分也可以表述为，当根的改变对应的复变函数的值的积分之和。
此外，当区域Ω趋近于无界时，柯西积分也可以表示为简单的复变函数积分表达式。
柯西积分是复变函数研究中的基础，它被广泛用于使函数能够有效地描述物理和复杂体系的运作，以及用于解决合理的分析表示中的无限级数的和等问题。
由于柯西积分的出现，复变函数数学研究更加深入并常常被用于数学研究以及工程中，如信号处理、电磁学、电动学和更多其他领域。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
柯西-阿达马公式
柯西-阿达马公式 柯西-阿达马公式（Cauchy-Riemann formula）是复变函数的基本定理之一，用于描述复变函数的导数性质和解析条件。
该公式由法国数学家积尼·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和意大利数学家拉法埃勒·阿达马（Giuseppe Cardano）共同推导得出。
本文将详细介绍柯西-阿达马公式的定义、推导过程以及其在复变函数中的应用。
柯西-阿达马公式是一种关于解析函数的导数性质的定理。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在开集D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)为实函数，而z = x + yi是D中的任意复数。
如果f(z)在D中可导，则f(z)满足柯西-阿达马方程，即：∂u/∂x = ∂v/∂y (1)∂u/∂y = -∂v/∂x (2) 其中∂u/∂x、∂v/∂y、∂u/∂y和-∂v/∂x分别为u和v的偏导数。
在求解导数性质时，我们可以通过路径积分的方法获得柯西-阿达马公式的表达式。
设f(z)是定义在D上的可导函数，z0是D中一个固定的点，z是D中的任意一点。
1. 首先，定义一个与直线段L（起始点为z0，终点为z）相切的路径P。
2. 根据路径积分的定义，我们可以计算路径积分I： I = ∫[z0,z] f(z)dz (3) 3. 将路径P的长度不断分割成n个等分的小段，每个小段长度为Δz = (z - z0)/n。
4. 由于f(z)在D中是可导的，我们可以将积分I写成Riemann和的形式： I = ∑[k=1,n]f(zk*)Δzk (4)其中zk*是路径P中每个小段的一个代表点。
5. 当n趋近于无穷大时，对于任意一条路径P，路径积分I必存在极限值，即I与路径P的选取无关。
6. 为了证明柯西-阿达马公式，我们可以将路径P由直线段L转变为两条垂直于实轴和虚轴的直线段。
这样，在路径积分I的表达式中，虚部的积分项将相互抵消，只保留实部的积分项。
复变函数04
由C－R方程 － 方程
∂u ∂v ∂ u dy + g ( x ) ⇒v=∫ = ∂x ∂ y ∂x
再利用上式结果， 再利用上式结果，求v(x, y)的偏导数 的偏导数
∂v ∂ ∂u ∂u d y + g ′( x ) = − = ∫ ∂ x ∂ x ∂x ∂y
解出g 再求g 的积分, 解出 ′ (x), 再求 ′ (x)的积分 得到 的积分 得到v(x, y). 已知v(x, y), 求u(x, y)的方法基本相同 的方法基本相同. 已知 的方法基本相同
I = i∫
2π
0
f ( z0 + re )dθ
iθ
由于f 连续 连续, 由于 (z)连续 并且积分 I 在C上的值与 r 上的值与 无关, 无关 令 r → 0 得： f(z) → f(z0) 即
I = i∫
2π
0
f ( z0 )dθ = 2 πi f ( z0 )
4
f (z) dz = 2 π i f ( z 0 ) 即 ∫ C z−z 0 上式称为柯西积分公式 柯西积分公式 f(z)在区域 内解析; 在区域D内解析 若f(z)在区域D内解析; C为D内的任何一条正向简单闭曲线 内的任何一条正向简单闭曲线; 为 内的任何一条正向简单闭曲线 它的内部完全含于D; 它的内部完全含于 z0为C内的任意一点 则 内的任意一点. 内的任意一点 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2 πi
15
部和虚部具有任意阶的连续偏导数， 部和虚部具有任意阶的连续偏导数，将上 式中的两个等式分别对x和 求偏导数 求偏导数， 式中的两个等式分别对 和y求偏导数，得
∂ u ∂ v ∂ u ∂ v , = =− 2 2 ∂x ∂y∂x ∂y ∂x∂y 2 2 ∂ v ∂ v 当二阶偏导数连续时 , = ∂y∂x ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v 从而 2 + 2 = 0 ; 同理 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y
2.2柯西定理
dz z 1
2
1
l
( z 1 2
l
1
1 z 1
)dz
数学物理方法
i
例2.2.4 计算积分
z sin z d z
0
【解】 由于 z sin z 在复平面内处处解析， 因而积分与路径无关，可用分部积分法得
i 0
z sin z d z
i 0
z d ( cos z )
1 2 co s z2Biblioteka 为它的一个原函数，根b
据复积分的牛顿－莱布尼兹公式有
b a
z sin z d z
2
1 2
co s z
2 a
1 2
co s a co s b
2
2
数学物理方法
例 2.3.3
计算 i
sin zdz
2
i
sin zdz
2
解：
i
i
i
i
例2.3.6 计算 i
e
2z
dz
解：
3 i i
e dz
2z
1 2
1
3 i i
e d 2z
2z
e
2z
3 i i
2 1
e 6 i e 2 i 0 . 2
作业
计算积分：
数学物理方法
z3 5
dz z
z 1 e
2
数学物理方法
例2.3.5计算
1
z sin zdz
0
解：
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2)
C
ez dz . 2 2 ( z 1)
e dz . (n 为整数 ) 例6 求积分 n z z 1
三、一些结论
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1. 柯西不等式
若函数f z 在以z0为圆心，为半径的圆周 C上及其内部解析，如果对z C，有 M ( ) max f ( z ) ，则
高阶导数公式提供了计算某些复变函数 沿闭路积分的一种方法.
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f ( ) f (z) C ( z )n1 dz 2 i n!
(n)
例5 计算下列积分 , 其中 C 为正向圆周 : z r 1.
1)
C
cos z dz; 5 ( z 1)
第三章 复变函数的积分
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§3.2 柯西公式
学习要点
熟练掌握柯西积分公式
熟练掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
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1. 问题的提出
设f ( z )在以圆C :| z z0 | r0 (0 r0 )为边界 的闭圆盘上解析，f ( z )沿C的积分为零。 考虑积分 f (z) I dz C z z 0
练习 计算下列积分
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cos z 1. dz . 2 z 4 z -2 1
2 i cos2
e 2. dz . 2 z( z 1) z 3
z
i (e e 1 2)
二、高阶导数公式
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
例3 设f ( z )在闭区域D内解析，D的边界C是
由光滑或分段光滑曲线所组成若f ( z )在 C上恒为常数，证明f ( z )在D上恒为常数.
例4
设f ( z )与g( z )在区域D内解析，C为D内的 任意一条简单闭曲线，它的内部全含于 D, 如果f ( z ) g( z )在C上所有点成立， 试证f ( z ) g( z )在C内所有点处成立。
2、公式给出了解析函数的一个积分表达式. 1 f ( ) f (z) d 2 i C z 3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分 1 f (z) 的一种方法 f ( z0 ) dz 2 i C z z0
例1 求下列积分
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定理1 (柯西公式)
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界 区域, 设f ( z )在D及C所组成的闭区域D上解析， 那么在D内任一点z，有
1 f ( ) f (z) d 2 i C z
C是D的正向边界，我们称它为柯西公式。
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注解 1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域 内任一点所取的值可以用它在边界上的值表 (这是解析函数的又一特征) 示出来。
1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在； f (z) 2) 在上述闭圆盘上 不解析，I的值 z z0
不一定为0;
例如： f ( z ) 1时，I 2 i .
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现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。
作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 C : z z0 ,
练习 设 C 是不通过 z0 的简单闭曲线,
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z z 求 g ( z0 ) dz . 3 ( z z0 ) C
4 2
答案
z0 在 C 外, g( z0 ) 0;
z0 在C 内, g( z0 ) 2(6 z0 1)πi .
2
C
f ( z )dz 0
那么f ( z )在D内解析 .
小结
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柯西积分公式是复积分理论中的重要公式 它表述了: 一个解析函数在区域内部的值 可以用它在边界上的值通过积分表示。 1 f ( ) f (z) d . 2 i C z 并且解析区域内每一点的所有的导数也可 通过积分公式计算。
定理2 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数,
它的 n 阶导数为:
f
(n)
n! f ( ) (z) d n 1 2πi C ( z )
( n 1,2,)
其中 C为在函数 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z的任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内 部全含于 D.
f
(n)
n! f ( ) (z) d n 1 2 i C ( z )
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
若函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有 任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析 函数 所以函数在一个区域内的解析性是很强的条 件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异 注意区分解析函数的导数与实函数的导数的 不同
根据闭路变形原理知, 得
f (z) f (z) C z z0 dz C z z0 dz
因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。
由 f ( z ) 的连续性,
哈 尔 滨 工ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程 大 学 复 变 函 数
在C 上函数 f ( z ) 的值将随着 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,
| z z0 |
柯西不等式
f
n
z0
n!
M ( )
n
n 1,2,3,
注：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关；
2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数.
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整函数：在整个复平面解析的函数 3. 莫勒拉定理
若f ( z )在区域D内连续，且对于D内的任一条 简单闭合曲线C , 有
C
f (z) dz 将接近于 z z0
C
f ( z0 ) dz . ( 缩小) z z0
C
1 f ( z0 ) dz 2 if ( z0 ). dz f ( z 0 ) C z z z z0 0
2. 柯西公式
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sin z 1) dz 2 i z 4 z
1
z 1 2) z 1 2 z 3 dz . z 4
3)
zi
1 1 z( z 2 1) dz .
2
例2 计算积分
C
sin
4 dz , 其中 C : 2 z 1
z
1 1 1) z 1 ; 2) z 1 ; 3) z 2. 2 2