半参数模型与最小二乘配置模型的比较
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半参数估计
t (s(t ))2 dt S T FG1F T S
1
tn
（4-5）
h 1 , i j j 1 1 (h j h j 1 ), i j 1 f ij 1 h 1 , i j 2 j 0, others
在实际问题中，由于影响观测值的因数较多，其函数关系复杂而且对其认识较少
，如果不考虑模型的误差影响，近似地按上述参数模型进行估计，就会对估值产 生较大的影响，甚至会导致错误的结论。
为了克服上述问题，20世纪80年代就发展起来了半参数回归模型。其表达式如下：
L Bx S
E () 0;
和 x S
的方差如下:
D( x ) HD(l ) H T D(S ) 02 M ( I BH )Q( I BH )T M T
点 击
4、半参数估计的自然样条函数法
与观测方程对应的误差方程为：
V Bx B l
s(ti ) si
li B(ti ) s(ti )
式子（4-4）中的前一项是残差的平方和，后一项就是补偿项。 我们知道，一个函数，当其一阶导数比较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近 的，而曲率小，在几何上叫做平滑，而且自然样条函数插值是最光滑的曲线插值， 所以 (s(t )) dt 可以来刻画 s(t ) 的光滑程度。
tn 2 t1
i
补偿最小二乘原理的补偿项可以表达为：
(li B(ti ) s(ti2 tn i 1 t1 n
（4-1）
（4-2）
可以找到唯一满足上述条件的自然样条插值函数，因此可以把观测方程改写为：
（4-3）
补偿最小二乘原理是在最小二乘法的目标函数上增加一个包含非参数部分的补 偿项，即： （4-4）
利用半参数模型求解板块运动参数
， ｎｏ４５ ｇｕ５２ ｚ ０） ｈ ０
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｒｅ ｕｍ ｕ ｔ ｎ ｅ ｃ ｎ ｉ ｎ ｄｔｒ ｎ ｇｔｅｐｒｍｅ ｒ ｏ ｐａｅｍ ｖｍ ｎ ｂ ｅｓ ｓ ｒ ｃ ｎｏｄ ｒ ｏ ｓｒ ｏ ｎ ｙ ｄｆ ｉ ｃ ｓｉ ｅｅ ｉ ｈ ａａ ｔ ｓ ｆ ｌ ｏｅ ｅ ｔ ｙｌ ｔ ｔ ｍａ ｉｅ ｅ ｍｉ ｎ ｅ ｔ ａ
Ｖ Ｔ１ ｍｏ Ａ ｄ １
１ 引言
近十几年来 ， 随着空间大地测量技术的发展 ， 高 精 度 、 时空分 辨 率 的 观测 数 据 的积 累 为研 究 地 壳 高
ＩＲ ２０ 对 台站 进 行 筛 选 后 ， 用 欧 拉 定 理 求 解 Ｔ Ｆ００， 利 板块 运 动参数 ，。上 述 理 论 的基 础 是认 为全 球 大 ２ Ｊ
Ｍ ｉ ｇ Ｆ ｎ 。 ａ ｄ Ｃｈ ｉＨｏ ｇ ｈ ｕ ｊ ｎ ｅ ｇ ， ｎ ａ ｎ ｚ ｏ ｊ
＼ ｎｔ Ｌ ｕｕ １８ 矗 （ｎ９１Ｐ Ｈｉ ４０蜘 帆 ｓ６５ Ａ ａａ ８ ２ ｔ３ｏ ｈ ０ １ ｉ ｉｏｆ ）ｔ０ ｆ Ｉｕ Ｕｅ
．
ｓｕ ｒ（ Ｓ ｅ ｏ ， ｅｈ ｖ ｅ ｕ ｍ ｐ ｒｍ ｔｃｍ ｄｌ ａｅ ｉｃｍ ｅ ｓｔ Ｓｐｉ ｉｌ．Ｗｉ ｉ ｍ ｄｌ ｑ ａｅ Ｌ ）ｍ ｔ ｄ ｗ ａｅｓｔ ｐａｓ ｉａａ ｅ ｉ ｏ ｅ ｂ ｓｄＯ ｏ ｐ ｎａｅ Ｌ ｒ ｃ ｅ ｈ ｅ ｒ ｌ ｄ ｎｐ ｔ ｔ ｓ ｏ ｅ， ｈｈ
对 板 块 运 动 的 研 究 主 要 基 于 ＩＲ 框 架 下 的 ＴＦ
收 稿 日期 ：０ ７１ ） ２ ０ —１４１
文章编 号 ：６ １５ ４ （ ０ ８ ０ －１ ４０ １７ —９ ２ ２ ０ ） ３０ ０ －５
利 用 半参 数 模 型 求解 板 块 运 动参 数
6.4 半参数模型解析
• 由于半参数模型估计的收敛速度慢于参数模型，必须有足 够多的样本才能实现半参数模型的估计。 • 半参数离散选择模型=关于解释变量的参数部分+关于随 机误差项的非
• 建议不作为课堂教学内容。
§6.4半参数计量经济学模型
一、半参数线性回归模型 二、半参数二元离散选择模型
说明
• 从模型设定的角度，在实际应用研究中，一部分解释变量 与被解释变量的关系是可以设定的，而一部分难于设定， 提出了半参数模型问题。 • 从技术角度，完全非参数模型估计的收敛速度随着解释变 量的增加而越来越慢，存在“维数诅咒 ” ，提出了半参 数模型问题。 • 半参数模型在应用研究，特别在微观经济等领域具有广泛 应用 。因为对于微观计量经济学模型，一般需要比较多 的解释变量。 • 半参数模型与微观计量经济学模型结合，是一个方向。本 节以半参数离散选择模型为例。
• 最小二乘核估计不能估计出非参数部分函数的导 数，在具体应用中具有较大的局限性。
• 最小二乘局部线性估计可以估计出非参数部分函 数的导数，该估计方法在实际应用中被广泛使用。 • 半参数线性模型的最小二乘局部线性估计分三步 进行估计。
• 第一步：先设β已知，基于以下模型，得到g(x)的 局部线性估计,同时也可以获得其导数的估计。
一、半参数线性回归模型
1、半参数回归模型
Yi βZi g (Xi ) i , i 1, 2,
Zi (Z1i , , Z d0i )
,n
X i ( X1i ,, X d1i )
• 模型的参数部分作为主要部分，把握被解释变量的大势走 向，适于外延预测；非参数部分，可以对被解释变量作局 部调整，使模型更好地拟合样本观测值。 • 模型没有常数项。如果有了常数项，则模型不可识别。 • 随机误差序列均值为零，与所有解释变量不相关。
• 建议不作为课堂教学内容。
§6.4半参数计量经济学模型
一、半参数线性回归模型 二、半参数二元离散选择模型
说明
• 从模型设定的角度，在实际应用研究中，一部分解释变量 与被解释变量的关系是可以设定的，而一部分难于设定， 提出了半参数模型问题。 • 从技术角度，完全非参数模型估计的收敛速度随着解释变 量的增加而越来越慢，存在“维数诅咒 ” ，提出了半参 数模型问题。 • 半参数模型在应用研究，特别在微观经济等领域具有广泛 应用 。因为对于微观计量经济学模型，一般需要比较多 的解释变量。 • 半参数模型与微观计量经济学模型结合，是一个方向。本 节以半参数离散选择模型为例。
• 最小二乘核估计不能估计出非参数部分函数的导 数，在具体应用中具有较大的局限性。
• 最小二乘局部线性估计可以估计出非参数部分函 数的导数，该估计方法在实际应用中被广泛使用。 • 半参数线性模型的最小二乘局部线性估计分三步 进行估计。
• 第一步：先设β已知，基于以下模型，得到g(x)的 局部线性估计,同时也可以获得其导数的估计。
一、半参数线性回归模型
1、半参数回归模型
Yi βZi g (Xi ) i , i 1, 2,
Zi (Z1i , , Z d0i )
,n
X i ( X1i ,, X d1i )
• 模型的参数部分作为主要部分，把握被解释变量的大势走 向，适于外延预测；非参数部分，可以对被解释变量作局 部调整，使模型更好地拟合样本观测值。 • 模型没有常数项。如果有了常数项，则模型不可识别。 • 随机误差序列均值为零，与所有解释变量不相关。
高维数据下两类半参数模型的稳健估计与变量选择
高维数据下两类半参数模型的稳健估计与变量选择高维数据下两类半参数模型的稳健估计与变量选择在当今信息时代，大数据的快速发展带来了高维数据的普遍存在。
高维数据具有特征维度较多、样本容量相对较小的特点，给统计学方法的应用提出了巨大挑战。
在高维数据中，半参数模型被广泛应用于估计和变量选择。
本文将介绍高维数据下的两类半参数模型的稳健估计与变量选择的方法。
首先，我们将介绍高维数据下的线性模型，即回归分析中的线性回归模型。
在传统的线性回归模型中，我们假设目标变量与自变量之间存在线性关系，并使用最小二乘法估计回归系数。
然而，在高维数据中，最小二乘法估计会受到维数灾难的影响，导致估计结果的不稳定性和过拟合问题。
因此，稳健估计在高维数据分析中变得尤为重要。
稳健估计是指对异常值、噪声等干扰因素具有较强鲁棒性的估计方法。
在高维数据下，稳健估计可以通过引入正则化项来降低模型的复杂度，进而实现变量选择和模型收敛。
常见的稳健估计方法包括Lasso回归、岭回归和弹性网络等。
Lasso 回归通过约束回归系数的L1范数，实现了变量选择的效果。
岭回归则通过引入L2范数来平衡模型的拟合和复杂度，有效防止过拟合问题。
弹性网络是Lasso回归和岭回归的结合，综合了两者的优点。
这些方法在高维数据下能够提高估计结果的稳定性和可解释性，并实现对关键变量的筛选。
其次，我们将介绍高维数据下的非线性模型，即逻辑回归模型。
逻辑回归模型常用于分类问题，主要用于预测二分类或多分类的结果。
在高维数据中，逻辑回归模型同样会受到维数灾难的困扰。
为了解决这个问题，我们可以使用稳健估计方法和变量选择技术。
在逻辑回归模型中，我们通常使用对数几率函数来建模目标变量与自变量之间的关系。
然而，在高维数据下，过多的自变量会导致模型过于复杂，同时也会带来模型的不稳定性。
为了解决这个问题，我们可以使用稳健估计方法，例如岭回归和弹性网络。
这些方法可以通过限制回归系数的范数，降低模型的复杂度，从而提高模型的鲁棒性和可解释性。
半参数估计及其与最小二乘估计的比较与分析
Ｌ ＝ Ｂ
ｎｘ１ ｎ ￣ｔ￡ ×１
观测值 用有 限个 未 知参 数 表 达 并 假 定 这 些参 数 不 具备 随机性 ， 且 总 是归 结 为 线 性模 式 ， 其本 质 而 即 是一 种线 性 参 数 表 达 模 式 … 。事 实 上 ， 代 测 绘 现 技术条 件下 ， 整个 ｉ量 平差 系统 是有 众 多 因素 共 同 贝 ０ 确定 的 ， 中一 些影 响 因素与 观测值 函数 关 系并 不 其 明确 ， 谈不 上线 性 表 达 ， 有 限 个 参数 很 难 完 全 更 仅 确定¨ ， ２ 因此 ， 要 对 这 部 分 因素 给 予 不 同 考 虑 。 Ｊ 需
上 世纪 ８ ０年代 末 发 展 起 来 的半 参 数 回归 分 析 ， 由 于兼顾 了参 数估 计 与非参 数估计 的特 点 ， 尤其 适合 解决测 量 数据 处 理 问题 。半参 数 模 型 对 于 与 观 测
＋ Ｓ ＋Ａ
ｎ ｌ × ｎ×ｌ
（ ） １
式 （ ） ， 是 观测 向量 ， １中 Ｂ是 系数矩 阵 ， 是 参 数
据处 理方 法 。
其 中 表示 ｎ维 残 差 向 量 。在 式 （ ） 式 （ ） ， １和 ２中 待估 参数 为 ｔ 个 和 ｒ个 Ｓ １ ．而 方 程 只有 １个 ， ３ 所
以半参数 模 型是 一种 秩亏模 型 ， 按常规 方 法不能 唯
一
解 出全部 未知 参 数 ， 得 到 唯一 解 ， 要 必须 附 加 约
１ ２ 半 参数模 型 的补偿 最小 二乘 解 ．
值 函数 关 系 已知部分 的参 数采 取 与 Ｌ 计类 似 的 ｓ估 方法 ， 即将 这部 分参 数完 全参 数化 。对 于 函数 关 系 未知 或难 以用 函数 关 系 表 达 的 因 素不 采 用 任 何 具
ｎｘ１ ｎ ￣ｔ￡ ×１
观测值 用有 限个 未 知参 数 表 达 并 假 定 这 些参 数 不 具备 随机性 ， 且 总 是归 结 为 线 性模 式 ， 其本 质 而 即 是一 种线 性 参 数 表 达 模 式 … 。事 实 上 ， 代 测 绘 现 技术条 件下 ， 整个 ｉ量 平差 系统 是有 众 多 因素 共 同 贝 ０ 确定 的 ， 中一 些影 响 因素与 观测值 函数 关 系并 不 其 明确 ， 谈不 上线 性 表 达 ， 有 限 个 参数 很 难 完 全 更 仅 确定¨ ， ２ 因此 ， 要 对 这 部 分 因素 给 予 不 同 考 虑 。 Ｊ 需
上 世纪 ８ ０年代 末 发 展 起 来 的半 参 数 回归 分 析 ， 由 于兼顾 了参 数估 计 与非参 数估计 的特 点 ， 尤其 适合 解决测 量 数据 处 理 问题 。半参 数 模 型 对 于 与 观 测
＋ Ｓ ＋Ａ
ｎ ｌ × ｎ×ｌ
（ ） １
式 （ ） ， 是 观测 向量 ， １中 Ｂ是 系数矩 阵 ， 是 参 数
据处 理方 法 。
其 中 表示 ｎ维 残 差 向 量 。在 式 （ ） 式 （ ） ， １和 ２中 待估 参数 为 ｔ 个 和 ｒ个 Ｓ １ ．而 方 程 只有 １个 ， ３ 所
以半参数 模 型是 一种 秩亏模 型 ， 按常规 方 法不能 唯
一
解 出全部 未知 参 数 ， 得 到 唯一 解 ， 要 必须 附 加 约
１ ２ 半 参数模 型 的补偿 最小 二乘 解 ．
值 函数 关 系 已知部分 的参 数采 取 与 Ｌ 计类 似 的 ｓ估 方法 ， 即将 这部 分参 数完 全参 数化 。对 于 函数 关 系 未知 或难 以用 函数 关 系 表 达 的 因 素不 采 用 任 何 具
半参数回归与模型精化
孙海燕等 ： 参数 回归 与模型精化 半
不准确 ， 或观测值 中有系统误差 ， １并 不能严 式（ ）
格成 立 ， 而应 改写为 ： Ｌ ＝Ｂ ｘ＋Ｓ ＋ （） ２
参数分量的估值 、 参数分量 的估值及 观测值改 正数 ｖ 。通过分析得到的非参数分量 ， 就可以重 新认识所选 的数学模型， 从而实现对模型的精化。
式中， ２ ｓ＝［１ … 】 是一个描述模型误差或 系统误差的 ｎ维未知向量 。考虑一般的情形 ， 可
认为模型误差或观测值的系统误差的性态非常复 杂， 无法用少数参数表示 ， 因此给每个观测方程增 加一个待定量 ， 也就是所谓 的非参数分量。这样 在观测方程中既有参数分 量又有非参 数分量 ， 因 此式 （） ２ 称为半参数模 型 。 Ｊ
法． 出了相应的套式 。最后构违 了一 个模拟 的平差 问题 ， 路 对半参数法和最 小二乘法的计算结果进行 了比较。
计算表明 ． 半参数岳能够发现并识荆模型误 差或观刹值 中的系统误差 。 关 键词 ： 模型误差 ； 系统误差 ； 半参敦 回归 ； 模型精化 ； 化矩 阵； 滑参数 正规 平
中国法 分类号： ２ ７ １Ｐ ０ Ｐ ０ ；２ ７ ２
在 测量 数据 处 理 中 ， 常假 定 观 测 误 差 只含 通 有偶然 误差 ， 含 系统 误 差 和 粗差 Ｊ 不 ｔ。观测 值 的
性组合平差 也是 削弱系统 误差影响 的一个办法。 如在 Ｇ Ｓ Ｐ 定位测量时 ， 用相位的差分作为观测值 求解参数， 可以有效地削弱钟差、 电离层及大气层 的影响。卫星信号在电离层及大气层的延时是研 究电离层与大气层性质十分有用的信息 ． 但在提高 定位精度的同时也失去了这些信息。 上述问题得不到很好解决的主要原因在于没
模型误差的诊断及半参数补偿方法
模型误差的诊断及半参数补偿方法建模过程中的各种近似求解以至于线性参数模型中不可避免地含有模型误差。
为提高解算结果的精度，先采用线性参数模型的常用假设检验法进行统计检验，检验结果不同时，再利用半参数补偿最小二乘估计法对模型误差进行补偿，并利用模拟算例进行验证，结果表明，半参数模型可以有效地处理线性参数模型中存在的模型误差。
标签：平差系统；模型误差；假设检验；半参数模型0 前言平差系统的线性模型一般可归结为高斯-马尔可夫（G-M）模型，即：，，式中，，误差方程为：。
最小二乘平差参数的估值具有最优无偏性，具有无偏性和渐进最优性，这些良好的统计性质都是基于模型中不存在模型误差[1-4]，但在实际平差系统中，由于种种原因产生的模型误差，尤其建模近似在平差模型中的表现更为突出[4]。
因此，研究模型误差诊断的识别与补偿方法，是平差系统建模最优化和参数估计最优化的前提，具有重大的理论和现实意义。
1 参数模型检验流程图2 算例分析应用文献[1]的数据进行计算，并将模拟的系统误差引入，误差方程式为：3 结论经典G-M模型在平差系统的函数模型存在模型误差时很难发现和识别模型误差；若模型误差忽略不计，将会给参数估值带来不利影响；本文采用半参数模型补偿最小二乘估计解算，同时考虑了参数与非参数因素，对数据精度的提高起到了很好的作用。
由此说明半参数方法补偿模型误差相对来讲是处理平差模型存在的模型误差的一种较好的方法。
本文的研究还是初步涉足，尚且存在问题需进一步深入探讨。
参考文献：[1]武漢大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003：83-85.[2]陶本藻.测量数据处理的统计理论和方法[M].北京：测绘出版社，2007.[3]张朝玉，陶本藻.平差系统模型误差及其设计方法研究[J].武汉大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[4]张朝玉，陶本藻.平差系统的模型误差及其识别方法研究[J].武漢大学学报（信息科学版），2005，30（10）：897-899.[5]丁士俊. 测量数据的建模与半参数估计[D]. ：武汉大学，2005.作者简介：贾宁（1996-），女，安徽宿州人，在读研究生，研究方向：地理信息系统开发与应用。
非线性半参数模型最小二乘近邻估计
』ｔ ／， ≤ ｃ一 是 ≤
ｌ ０ ｋ＜ ｉ 一 ， Ｃ ≤
（） ２
１ 最小 二 乘 近 邻 估 计
设非线 性半 参数模 型 为ｌ ： ＿ ２ ］
Ｌ 一 ＿ Ｘ）＋ ｇ（ ）＋ Ａ， 厂 （ ｆ （） １
时 ， 为均匀 近邻权 函数 ， 称 ｋ为介 于 １ 与 之 间的整
摘 要 ：目前 对 非 线 性 半 参数 模 型 的研 究 尚处 于 初 级 阶段 ， 于 非 线 性 半 参 数 模 型 的 计 算 理 论 还 关 未 见 实 质性 报 道 ． 于 非线 性 半 参 数 模 型 最 小 二 乘 近 邻 估 计 ， 出 了其 参 数 分 量 和 非 参 数 分 量 估 基 给 计 的 构造 式 ， 出 了 参 数分 量 和非 参 数 分 量 顾 及 二 次 项 直 接 解 法 的 非 线 性 直接 解 法 ． 于 工 程 实 导 基
数； 当取 （ Ｃ ， ， 为 Ｃ ，２… Ｃ ）
』 ｔ ‘ 一 ＋ ／ ≤ ｃ 一 是 ， ≤是 ，
１ ０ 一 ， Ｃ
取 （ Ｃ ， ， 为 Ｃ ，２… Ｃ ）
（） ３
其 中， （ ． ｘ）为 非 线 性 已 知 函数 ， 一 （ Ｘ ， ， 厂 Ｘ Ｘ ， ２… ｘ ） Ｐ≥ １ ， 是未知参数 ， 是 ｉ （ ｄｐｎ ｅｔ － ｅ ｔ ｉ ｉ ｅｅ ｄｎｌ ｉ － ｄｎ ｙｄ ｎｉ ｌ ｉ ｒ ｕｅ 独立 同分 布 ） ｔ ａ ｙｄｓ ｉ ｔｄ ｃ ｌ ｔｂ 随机 子样 ， ∈ Ｅ ， ｔ ｏ １， ｉ． ］ △ 是 ｉ 随机误差 ， Ｅ（ ） ０ Ｅ（ ） ｄ 且 一 ， 一 ＜ Ｃ ， 与 相互独 立 ， （ ） 定义在［ ，］上的未知 ｘｔ 。 ｇ ・是 Ｏ１ 函数．记 Ｌ 一 （ Ｌ ， ， （ Ｌ ，２ … Ｌ ） ， ｘ）一 （ （ ， ＾ ｘ）
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^
然后根据 和 g! 。
g = G Y+ X 和
^
^
g!= Gp Y + X ! 即可以计算 g
^
2. 2 半参数模型的解算方法
一般最小二乘配置模型 : L = nB X + nG Y+ n ∀1 ∀m m ∀ 1 ∀ 1 t∀ 1
[ 2]
( 17)
式中, L 为观测向量 ; Y 为随机参数向量; X 为信号; 为观 T 测噪声; X = (X 1, X 2 ) ; X 1 为观测点信号 ; X 2 为未测点信 号。 rank(B ) = m; rank(K ) = t , 和 X 的随机特性为 : E ( ) = 0, D = 0 p , EX = E (X 1, X 2 ) 与式 ( 17) 对应的误差方程为 :
- 1. 806 2 ) ; 未测点 P ! 1 和 P! 2 的重力异常估值为: ( - 0. 824 5 - 0. 639 7)
3. 2 实例 2
本例取自参考文献 [ 3], 图 1为某工程四等 GPS网的 一部分, 其中包含 7个进行了三等水准联测的点。表 2列 出了 7 个 GPS 点的平面 位置及 正常高、 大 地高和 高程 异常。
摘
要: 针对重力高程异常估值的计算, 采用半参数模型 L = BX + S +
和最小二乘配置模型两种方法来计算, 通
过算例比较, 分析半参数模型和最小二乘配置法的区别与联系。 关键词: 半参数; 最小二乘配置; GPS 中图分类号: P223 文献标识码: B 文章编号: 1672- 5867 ( 2010) 05 - 0206- 03
^- L V = BX^ + G Y
2 -1 T
2 最小二乘配置模型和半参数模型的解算 方法
2. 1 最小二乘配置模型的解算方法
仍用 Lx, Lx!表示 被当作虚拟观测值的先验 期望 x , , 将信号 X, X ! 当作非随机参数 , 按广义最小二乘原理 , x! 可写出观测方程
[ 1]
( 18)
T
3 实例比较
( 8)
-
D x !x - D
x
Dx! -D
x!
- D x! D
3. 1 实例 1
本实例取自参考文献 [ 1], 设已知 P 1 ~ P4 4个观测点 的重力异常观测值 L 和它们的坐标 xi , y i ( 见表 1), 观测误 差 (噪声 )的方差为 D = ( 0. 03 ) E, 试求 P 1 ~ P 4 和未测 点的重力异常估值。 表 1 P 1 ~ P4 观测点的重力异常和平面位置 Tab . 1 The gravity abnorm al and horizontal po sition of the observa tion points of P1 ~ P4
点号 P1 P2 L ( mG al) - 0. 55 - 0. 23 0. 58 - 1. 8 x( m ) 640 440 140 620 500 460 y (m ) 480 400 140 180 300 300
2
L = GY + X + a2 ] : 1 x1 - x 0 y1 - y 0 1 x2 - x 0 1 x3 - x 0 1 x4 - x 0 y2 - y 0 y3 - y 0 y4 - y 0
T -1 T
(L - BX )
( 7)
式中, M = B (B PB + ! R ) B P。这样当正规化矩阵 R 正 定时, 根据实际问题, 通过选取适当的平滑因子 !和正规 化矩阵 R, 就可以得到 X, Y 的唯一解。
^ ^
V = BX + G Y - L 此时观测值 Lx , Lx, L 的方差阵为: Dx D xx ! - Dx D = 列观测方程: 式中 Y = [ a0 a1
T -1 T T -1 T Y^ = (G P (I - M )G ) G P ( I - M )L ^ - 1 -1 -1 ^
( 6)
( 20) ( 21) ( 22)
L = BX + G Y + 相应有误差方程: Vx = X^ - Lx Vx ! = X^!- Lx !
^ ^
X = PXX ! (PXX ! + P )
T
1. 2 最小二乘配置模型
若设重力异常的随机部分 (信号 ) nX , 若在这 n 个点 ∀1 上得到了重力异常观测值 nL , 噪声 (观测误差 ) 为 n ∀1, 则 ∀1 在这几个观测点上的重力异常值 g 应为 : g = L - = GY + X ( 3)
1 半参数模型和最小二乘配置模型
1. 1 半参数模型
第 33 卷 第 5 期 2010 年 10 月
测绘与空间地理信息
GEOMAT ICS & SPAT IAL I N FORMAT ION TECHN OLOGY
Vo. l 33, N o . 5 O ct . , 2010
半参数模型与最小二乘配置模型的比较
米 川, 张永杰
(河南省地质测绘总院 , 河南 郑 州 450006)
工作。
第 5期
式中, Gp 与 G 的计算公式相似。 由式 ( 3) 式可得到观测方程
[ 1]
米
川等 : 半参数模型与最小二乘配置模型的比较 X ! = D x !, x (D x + D )
^
-1
207
(L - G Y )
^ ^
( 16)
:
L = GY + X + ( 5) 用最小二乘配置法求重力异常, 就是以 ( 5) 式为数学 模型来确定信号 X, X ! 和倾向参数 Y ! 的最佳估值 X^, X^! 和 Y, 然后由 ( 3)和 ( 4) 两式求得各点的重力异常最佳估值。 在数学模型 ( 5 ) 中, 既包含有倾向参数 Y, 又包含有信号 X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数 Y 和具有随 机性信号的最优估值的方法, 就是最小二乘配置法, 简称 为配置法, 也称为拟合推估。
Bn ) 均为 n 维列向量, 在上述模型中如果
的数学期望
E ( ) = S 0, 那么该模型中就包含有系统误差; 为了将系 统误差从偶然误差中提取出来 , 可以在 ( 1)模型中引入非 参数分量 S, = S + ! , 则式 ( 1)可改写为 : L = BX + S + ! ( 2) 2 2 - 1 式中, ! 表示偶然误差, E ( ) != 0, D = D = 0 Q = 0P , S = ( s1 , s2, , sn ) 为一个描述模型误差或观测值系统误 差的 n维未知非随机向量 , Si 表示第 i 个观测值中的系统 误差 ( i = 1 , 2 , , n), 通常称之为非参数分量 ; p 为对称正 定矩阵, 是观测值 L 的权。这样在观测方程中既有参数分 量又有非参数分量, 因此式 ( 2)被称为半参数模型。
0 引
言
式中, 式中 L = ( l1 ,
T
L = BX + T , ln ) , ( 1 ,
,
n
) , B = (B 1,
T
Hale Waihona Puke ( 1) ,随着现代测量技术的发展 , 经典的参数数据处理方 法有时不能满足精度的要求, 尤其是当测量数据中包含 不可消除的复杂的系统误差时。因此 20世纪 80年代发 展起来的半参数模型越来越受到关注。到目前为止 , 对 半参数模型的研究 , 归纳起来主要的估计方法有 : 补偿最 小二乘法、 二阶段估计法、 两步估 计法和稳健 - M 估计 等。但所用的参数和语言都是纯数学的、 相对抽象的, 与 具体应用中的实际意义关系不大。例如 , 补偿最小二乘 准则中的两个重要量: 光滑因子和正则矩阵 ; 偏核光滑估 计中的光滑矩阵, 这些量都是一些纯数学含义的量, 没有 很直接的测量上的意义。同时这些方法的研究更多的是 集中于由于非参数分量的引入, 函数方程如何求解的问 题上, 对系统误差仍然有过多的假设。这里就是通过算 例对半参数模型和最小二乘模型进行比较 , 得出半参数 模型更适合于对重力高程拟合的计算。
Y = {G (D x + D ) G } G (D x + D ) L D Y^ = {G (D x + D ) G }
^, X^ ! 计算信号的估值 X : ^
T -1 - 1
^
T
- 1
-1
T
- 1
( 13) ( 14)
X = D x (D x + D )
- 1
(L - G Y )
^
( 15)
方法一 用最小二乘配置法的解算: 我们这里解算信号方差 D x, D x!和协方差 D x !x 按希尔 D ( 0) 沃年公式 D ( s) = 2 , 从而利用公式 ( 13 ~ 16 ) 可以得 s 1+ 2 d
g != ( - 0 . 815 5 - 0. 639 5) 方法二 用半参数模型解算: -1 正规化矩阵选用距离法中 规定的选取方法 , R = (Sij ) n ∀ n , 利用广义交叉核实法 , 选取平滑因子 , 计算平滑 因子 != 1, 由式 ( 20), ( 21), ( 22)计算得: Y= ( - 7 . 947 0 - 2. 195 5 0. 535 2) , X = ( - 5. 491 9 - 9 . 194 0 - 13. 535 0 T - 5 . 598 1) , X^ ! = ( - 8. 532 8 - 9 . 411 0)
T T
^
- 0. 203 4
T
0. 083 8 - 0 . 074 5) , X^!= ( - 0 . 142 6 - 0. 163 0) , P 1 ~ P 4 的重力异常估值为:
然后根据 和 g! 。
g = G Y+ X 和
^
^
g!= Gp Y + X ! 即可以计算 g
^
2. 2 半参数模型的解算方法
一般最小二乘配置模型 : L = nB X + nG Y+ n ∀1 ∀m m ∀ 1 ∀ 1 t∀ 1
[ 2]
( 17)
式中, L 为观测向量 ; Y 为随机参数向量; X 为信号; 为观 T 测噪声; X = (X 1, X 2 ) ; X 1 为观测点信号 ; X 2 为未测点信 号。 rank(B ) = m; rank(K ) = t , 和 X 的随机特性为 : E ( ) = 0, D = 0 p , EX = E (X 1, X 2 ) 与式 ( 17) 对应的误差方程为 :
- 1. 806 2 ) ; 未测点 P ! 1 和 P! 2 的重力异常估值为: ( - 0. 824 5 - 0. 639 7)
3. 2 实例 2
本例取自参考文献 [ 3], 图 1为某工程四等 GPS网的 一部分, 其中包含 7个进行了三等水准联测的点。表 2列 出了 7 个 GPS 点的平面 位置及 正常高、 大 地高和 高程 异常。
摘
要: 针对重力高程异常估值的计算, 采用半参数模型 L = BX + S +
和最小二乘配置模型两种方法来计算, 通
过算例比较, 分析半参数模型和最小二乘配置法的区别与联系。 关键词: 半参数; 最小二乘配置; GPS 中图分类号: P223 文献标识码: B 文章编号: 1672- 5867 ( 2010) 05 - 0206- 03
^- L V = BX^ + G Y
2 -1 T
2 最小二乘配置模型和半参数模型的解算 方法
2. 1 最小二乘配置模型的解算方法
仍用 Lx, Lx!表示 被当作虚拟观测值的先验 期望 x , , 将信号 X, X ! 当作非随机参数 , 按广义最小二乘原理 , x! 可写出观测方程
[ 1]
( 18)
T
3 实例比较
( 8)
-
D x !x - D
x
Dx! -D
x!
- D x! D
3. 1 实例 1
本实例取自参考文献 [ 1], 设已知 P 1 ~ P4 4个观测点 的重力异常观测值 L 和它们的坐标 xi , y i ( 见表 1), 观测误 差 (噪声 )的方差为 D = ( 0. 03 ) E, 试求 P 1 ~ P 4 和未测 点的重力异常估值。 表 1 P 1 ~ P4 观测点的重力异常和平面位置 Tab . 1 The gravity abnorm al and horizontal po sition of the observa tion points of P1 ~ P4
点号 P1 P2 L ( mG al) - 0. 55 - 0. 23 0. 58 - 1. 8 x( m ) 640 440 140 620 500 460 y (m ) 480 400 140 180 300 300
2
L = GY + X + a2 ] : 1 x1 - x 0 y1 - y 0 1 x2 - x 0 1 x3 - x 0 1 x4 - x 0 y2 - y 0 y3 - y 0 y4 - y 0
T -1 T
(L - BX )
( 7)
式中, M = B (B PB + ! R ) B P。这样当正规化矩阵 R 正 定时, 根据实际问题, 通过选取适当的平滑因子 !和正规 化矩阵 R, 就可以得到 X, Y 的唯一解。
^ ^
V = BX + G Y - L 此时观测值 Lx , Lx, L 的方差阵为: Dx D xx ! - Dx D = 列观测方程: 式中 Y = [ a0 a1
T -1 T T -1 T Y^ = (G P (I - M )G ) G P ( I - M )L ^ - 1 -1 -1 ^
( 6)
( 20) ( 21) ( 22)
L = BX + G Y + 相应有误差方程: Vx = X^ - Lx Vx ! = X^!- Lx !
^ ^
X = PXX ! (PXX ! + P )
T
1. 2 最小二乘配置模型
若设重力异常的随机部分 (信号 ) nX , 若在这 n 个点 ∀1 上得到了重力异常观测值 nL , 噪声 (观测误差 ) 为 n ∀1, 则 ∀1 在这几个观测点上的重力异常值 g 应为 : g = L - = GY + X ( 3)
1 半参数模型和最小二乘配置模型
1. 1 半参数模型
第 33 卷 第 5 期 2010 年 10 月
测绘与空间地理信息
GEOMAT ICS & SPAT IAL I N FORMAT ION TECHN OLOGY
Vo. l 33, N o . 5 O ct . , 2010
半参数模型与最小二乘配置模型的比较
米 川, 张永杰
(河南省地质测绘总院 , 河南 郑 州 450006)
工作。
第 5期
式中, Gp 与 G 的计算公式相似。 由式 ( 3) 式可得到观测方程
[ 1]
米
川等 : 半参数模型与最小二乘配置模型的比较 X ! = D x !, x (D x + D )
^
-1
207
(L - G Y )
^ ^
( 16)
:
L = GY + X + ( 5) 用最小二乘配置法求重力异常, 就是以 ( 5) 式为数学 模型来确定信号 X, X ! 和倾向参数 Y ! 的最佳估值 X^, X^! 和 Y, 然后由 ( 3)和 ( 4) 两式求得各点的重力异常最佳估值。 在数学模型 ( 5 ) 中, 既包含有倾向参数 Y, 又包含有信号 X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数 Y 和具有随 机性信号的最优估值的方法, 就是最小二乘配置法, 简称 为配置法, 也称为拟合推估。
Bn ) 均为 n 维列向量, 在上述模型中如果
的数学期望
E ( ) = S 0, 那么该模型中就包含有系统误差; 为了将系 统误差从偶然误差中提取出来 , 可以在 ( 1)模型中引入非 参数分量 S, = S + ! , 则式 ( 1)可改写为 : L = BX + S + ! ( 2) 2 2 - 1 式中, ! 表示偶然误差, E ( ) != 0, D = D = 0 Q = 0P , S = ( s1 , s2, , sn ) 为一个描述模型误差或观测值系统误 差的 n维未知非随机向量 , Si 表示第 i 个观测值中的系统 误差 ( i = 1 , 2 , , n), 通常称之为非参数分量 ; p 为对称正 定矩阵, 是观测值 L 的权。这样在观测方程中既有参数分 量又有非参数分量, 因此式 ( 2)被称为半参数模型。
0 引
言
式中, 式中 L = ( l1 ,
T
L = BX + T , ln ) , ( 1 ,
,
n
) , B = (B 1,
T
Hale Waihona Puke ( 1) ,随着现代测量技术的发展 , 经典的参数数据处理方 法有时不能满足精度的要求, 尤其是当测量数据中包含 不可消除的复杂的系统误差时。因此 20世纪 80年代发 展起来的半参数模型越来越受到关注。到目前为止 , 对 半参数模型的研究 , 归纳起来主要的估计方法有 : 补偿最 小二乘法、 二阶段估计法、 两步估 计法和稳健 - M 估计 等。但所用的参数和语言都是纯数学的、 相对抽象的, 与 具体应用中的实际意义关系不大。例如 , 补偿最小二乘 准则中的两个重要量: 光滑因子和正则矩阵 ; 偏核光滑估 计中的光滑矩阵, 这些量都是一些纯数学含义的量, 没有 很直接的测量上的意义。同时这些方法的研究更多的是 集中于由于非参数分量的引入, 函数方程如何求解的问 题上, 对系统误差仍然有过多的假设。这里就是通过算 例对半参数模型和最小二乘模型进行比较 , 得出半参数 模型更适合于对重力高程拟合的计算。
Y = {G (D x + D ) G } G (D x + D ) L D Y^ = {G (D x + D ) G }
^, X^ ! 计算信号的估值 X : ^
T -1 - 1
^
T
- 1
-1
T
- 1
( 13) ( 14)
X = D x (D x + D )
- 1
(L - G Y )
^
( 15)
方法一 用最小二乘配置法的解算: 我们这里解算信号方差 D x, D x!和协方差 D x !x 按希尔 D ( 0) 沃年公式 D ( s) = 2 , 从而利用公式 ( 13 ~ 16 ) 可以得 s 1+ 2 d
g != ( - 0 . 815 5 - 0. 639 5) 方法二 用半参数模型解算: -1 正规化矩阵选用距离法中 规定的选取方法 , R = (Sij ) n ∀ n , 利用广义交叉核实法 , 选取平滑因子 , 计算平滑 因子 != 1, 由式 ( 20), ( 21), ( 22)计算得: Y= ( - 7 . 947 0 - 2. 195 5 0. 535 2) , X = ( - 5. 491 9 - 9 . 194 0 - 13. 535 0 T - 5 . 598 1) , X^ ! = ( - 8. 532 8 - 9 . 411 0)
T T
^
- 0. 203 4
T
0. 083 8 - 0 . 074 5) , X^!= ( - 0 . 142 6 - 0. 163 0) , P 1 ~ P 4 的重力异常估值为: