离散数学教学课件 (4)
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离散数学及其应用 第2版课件第4章 关系
2021/4/1
第4章 关系
定义4.7 A×B的任意子集R称为A到B的二元关系。特 别当A＝B时，称R为A上的二元关系。其中称为空关系， A×B称为全关系。
关系可以推广到n元关系，我们主要讨论二元关系。 在计算机领域中，关系的概念也是到处存在的。如数据 结构中的线性关系和非线性关系，数据库中的表关系等。 例如，若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{a，b，c}，则R＝ {<1，a>，<1，b>，<2，b>，<3，a>}是A到B的关系，S＝{<a， 2>，<c，4>，<c，5>}是B到A的关系。
第4章 关系
4.2 关系及其表示
4.2.1 关系
世界上存在着各种各样的关系。人和人之间有“同志”关 系、“师生”关系、“上下级”关系；两个数之间有“大于” 关系、“等于”关系、“小于”关系；两个变量之间有“函数” 关系；程序之间有“调用”关系等。所以，对关系进行深刻的 研究，对数学和计算机都有很大的用处。
定义4.6 令R为二元关系，DR＝{x|y(xRy)}和RR＝ {y|x(xRy)}分别称为R的定义域(或前域)和值域。关系R的域记 为FR＝DR∪RR。
例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个 二元关系，则DH＝{1，2，3}，RH＝{2，4}，FR＝{1，2，3，4}。
2021/4/1
第4章 关系
定义4.8 若IA是A上的二元关系，且满足IA＝{<x， x>|x∈A}，则称IA为A上的恒等关系。
定理4.5 若R和S是集合A到B的两个二元关系，则： (1)DR∪S＝DR∪DS。 (2)DR∩SDR∩DS。 (3)DR－DSDR－S。 (4)RR∪S＝RR∪RS。 (5)RR∩SRR∩RS。 (6)RR－RSRR－S。
第4章 关系
定义4.7 A×B的任意子集R称为A到B的二元关系。特 别当A＝B时，称R为A上的二元关系。其中称为空关系， A×B称为全关系。
关系可以推广到n元关系，我们主要讨论二元关系。 在计算机领域中，关系的概念也是到处存在的。如数据 结构中的线性关系和非线性关系，数据库中的表关系等。 例如，若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{a，b，c}，则R＝ {<1，a>，<1，b>，<2，b>，<3，a>}是A到B的关系，S＝{<a， 2>，<c，4>，<c，5>}是B到A的关系。
第4章 关系
4.2 关系及其表示
4.2.1 关系
世界上存在着各种各样的关系。人和人之间有“同志”关 系、“师生”关系、“上下级”关系；两个数之间有“大于” 关系、“等于”关系、“小于”关系；两个变量之间有“函数” 关系；程序之间有“调用”关系等。所以，对关系进行深刻的 研究，对数学和计算机都有很大的用处。
定义4.6 令R为二元关系，DR＝{x|y(xRy)}和RR＝ {y|x(xRy)}分别称为R的定义域(或前域)和值域。关系R的域记 为FR＝DR∪RR。
例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个 二元关系，则DH＝{1，2，3}，RH＝{2，4}，FR＝{1，2，3，4}。
2021/4/1
第4章 关系
定义4.8 若IA是A上的二元关系，且满足IA＝{<x， x>|x∈A}，则称IA为A上的恒等关系。
定理4.5 若R和S是集合A到B的两个二元关系，则： (1)DR∪S＝DR∪DS。 (2)DR∩SDR∩DS。 (3)DR－DSDR－S。 (4)RR∪S＝RR∪RS。 (5)RR∩SRR∩RS。 (6)RR－RSRR－S。
《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学课件第六章第4讲
乘法幺元，并记为e，如果U中的元素存在乘法逆元，就 用a-1表示。
定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。
证明：对环<U，+， > ，a，b ，cU，有：
a（b +c）=a b +a c （b +c） a= b a+ c a ∵（U，+）是群，故必存在幺元，θU，使得 a （b+θ）=a b= a b +θ= a b + a θ 由于群满足消去律，故 θ=a θ （b+θ） a = b a =b a+θ= b a+θ a ∴θ=θ a ∴ a θ=θ a=θ 故加法幺元“θ”是乘法的零元，
注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。
例： 设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>，其中I是整 数集合，+ 运算是一般的加运算，V1 和 V2 是否同构？
解：作映射 f：I2I，f(x) =2x， 则 f 是双射。 对任何a，bI， f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b) 因此，V1 和 V2 同构
2、域的定义
对具有两个二元运算的代数系统（A，+，.>，如果 （1）<A， + >是交换群； （2）<A-{θ}，.>是交换群;
（3）“ . ”对“+ ”满足分配律
则称<U， + ， .>是域。
有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算 构成的代数系统是域。
<Q；+， . ><R；+， .>、 <C，+，.>都是域
定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。
证明：对环<U，+， > ，a，b ，cU，有：
a（b +c）=a b +a c （b +c） a= b a+ c a ∵（U，+）是群，故必存在幺元，θU，使得 a （b+θ）=a b= a b +θ= a b + a θ 由于群满足消去律，故 θ=a θ （b+θ） a = b a =b a+θ= b a+θ a ∴θ=θ a ∴ a θ=θ a=θ 故加法幺元“θ”是乘法的零元，
注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。
例： 设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>，其中I是整 数集合，+ 运算是一般的加运算，V1 和 V2 是否同构？
解：作映射 f：I2I，f(x) =2x， 则 f 是双射。 对任何a，bI， f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b) 因此，V1 和 V2 同构
2、域的定义
对具有两个二元运算的代数系统（A，+，.>，如果 （1）<A， + >是交换群； （2）<A-{θ}，.>是交换群;
（3）“ . ”对“+ ”满足分配律
则称<U， + ， .>是域。
有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算 构成的代数系统是域。
<Q；+， . ><R；+， .>、 <C，+，.>都是域
离散数学——有限集与无限集(课件)
说明：要想证等势，必须找出一一对应的关系。
§4.3 无限集的性质
例4.5 自然数集 N={0,1,2,3……}与其子集S={1,3,5……}均为无限集，且N~S
N：0 1 2 3 … n … ↕ ↕ ↕↕ ↕ ↕↕
S: 1 3 5 7 … 2n+1…
此例说明了无限集的一个特性：一个无限集可以同它的一个 真子集等势 。
§4.3 无限集的性质
(2)集合大小的比较 ➢ 有限集大小的比较，用“相等”、“不相等” ➢ 无限集大小的比较，用“等势”、“不等势” 等势即为基数相同，由此立即可知：所有可列集的基
数均为א0。
(3)可列集是最小的无限集 没有比基数א0更小的无限集，但存在比基数א0更大的 无限集。如实数集。
§4.3 无限集的性质
构造一S内的实数r=0.b0b1b2…bn… 其中当aii≠1时，bi=1
当aii=1时，bi=2 因为b0≠a00，所以r ≠x0 因为b1≠a11，所以r ≠x1
… 因为总有一位不同，所以r ≠xi ，这与r S矛盾， 即(0，1)是不可列的。 2、证明S~R，即建立一一对应关系。设R中的元素为y，S中的元 素为x，因为S不可列，所以只能建立关系式：
∀x S，可表示为x=0.y1y2y3…(yi {0,1,…9}) 假设S是可列的，则它的元素可依次排列：x0，x1，x2，… 且我们有 x0=0.a00a01a02…a0n… x1=0.a10a11a12…a1n… … xm=0.am0am1am2…amn… … 只需证还能找到一个元素rS，但r不在x0，x1，x2，…中
§4.3 无限集的性质
证明： 1、构造无限集M的一真子集M' 。 先从M中任取一个元素m1，剩余部分为M-{m1}—无限集 再从M-{m1}中任取一元素m2，剩余部分为M-{m1，m2} … 继续下去，取出m3，m4，…，得到一个无限集合M1 M1={m1，m2 ，…，}，令M2=M-M1(若M可列，M2为空)
§4.3 无限集的性质
例4.5 自然数集 N={0,1,2,3……}与其子集S={1,3,5……}均为无限集，且N~S
N：0 1 2 3 … n … ↕ ↕ ↕↕ ↕ ↕↕
S: 1 3 5 7 … 2n+1…
此例说明了无限集的一个特性：一个无限集可以同它的一个 真子集等势 。
§4.3 无限集的性质
(2)集合大小的比较 ➢ 有限集大小的比较，用“相等”、“不相等” ➢ 无限集大小的比较，用“等势”、“不等势” 等势即为基数相同，由此立即可知：所有可列集的基
数均为א0。
(3)可列集是最小的无限集 没有比基数א0更小的无限集，但存在比基数א0更大的 无限集。如实数集。
§4.3 无限集的性质
构造一S内的实数r=0.b0b1b2…bn… 其中当aii≠1时，bi=1
当aii=1时，bi=2 因为b0≠a00，所以r ≠x0 因为b1≠a11，所以r ≠x1
… 因为总有一位不同，所以r ≠xi ，这与r S矛盾， 即(0，1)是不可列的。 2、证明S~R，即建立一一对应关系。设R中的元素为y，S中的元 素为x，因为S不可列，所以只能建立关系式：
∀x S，可表示为x=0.y1y2y3…(yi {0,1,…9}) 假设S是可列的，则它的元素可依次排列：x0，x1，x2，… 且我们有 x0=0.a00a01a02…a0n… x1=0.a10a11a12…a1n… … xm=0.am0am1am2…amn… … 只需证还能找到一个元素rS，但r不在x0，x1，x2，…中
§4.3 无限集的性质
证明： 1、构造无限集M的一真子集M' 。 先从M中任取一个元素m1，剩余部分为M-{m1}—无限集 再从M-{m1}中任取一元素m2，剩余部分为M-{m1，m2} … 继续下去，取出m3，m4，…，得到一个无限集合M1 M1={m1，m2 ，…，}，令M2=M-M1(若M可列，M2为空)
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
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定理13.15:[G;·]为群, HG,H为G的子 群, 当且仅当,对任a,bH,有a·b-1H。
推论13.6：当H为G的子群时,H的单位元 就是G的单位元,a H它在H中的逆元就是 它在G中的逆元a-1。
例 ： [ H1;·] 和 [ H2;·] 是 群 [ G;·] 的 子 群 ， 则 [H1∩H2;·]也是群[G;·]的子群。 [H1∪H2;·] 是否是群[G;·]的子群？ 例：[G;·]是群，gG,设H={gn|nZ},则 [H;·]是[G;·]的子群。
记为ab(mod H)。
定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任 a,bH,有ab-1H。
定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。 证明:自反
对称 传递
[a]={x|xG,且xa(mod H)} ={x|xG,且xa-1H}
={ha|hH} 以a为代表元的等价类实质上是a从右边 乘H中的每个元素而得到的集合，
例：设群G的元素a的阶是n，则ar的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 分析：要证ar的阶是n/d,则要证：
(ar)1：群G,若有aG, 对任gG, 存在
kZ,使得 g=ak,就说群G可以由元素a生成, 是 循 环 群 ;a 为 它 的 一 个 生 成 元 。 将 它 表 示 成 G=(a)。当 G的阶有限时, 称它为有限循环群; 否则称为无限循环群。
三、循环群
1.元素的阶 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对 于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
元素a的阶有限的特征：
若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 ak=al，
如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。
例:对于群[{1,-1,i.-i};],1=i0,-1=i2,-i=i3, 即1,-1,i.-i都可以由ik表示,是循环群,i是生成元。 类似地，1=(-i)0,-1=(-i)2,i=(-i)3,-i是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中，4个元素，称为4阶循环群。
例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k 1(即1k) 即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样 -1也是生成元。
(ak)=k (2)G={e,a,a2,an-1},定义:GZn, (ak)=[k]
因为整数加法群与同余类加法群的构造 已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完 全清楚的。
§3 子群、正规子群与商群
一、子群 定义13.12:[G;·]为群,HG且H,如果
[H;·]也为群时, 称它为G的子群。
必有这样的子群:
G与{e}, 称为平凡子群; 真子群。
定理13.14:[G;·]为群,HG,H是G的子群,当 且仅当
(1)·关于H封闭 (2)任一hH必有h-1H 证明:必要性:当H是G的子群时, (1)和(2)成立。 充分性: 当hH必有h-1H,由封闭性知h·h-1H, 即单位元eH; 又因为HG, 而[G;·]为群,满足结合律,所以在H 中·也满足结合律, 而条件(2) 任一hH必有h-1H ,说明H中每个元 素有逆元,所以[H;·]是群,是G的子群。
定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, am=e当且仅当n|m。
定理(一)：若G是有限群，则G中的每个 元素的阶都是有限的。
例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。
先证：G是群，对任意aG，当a的阶有 限时，a的阶与a-1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q
定理13.16：[G;·]群,H,HG,且|H|<+, 则[H;·]为[G;·]的子群, 当且仅当运算·在 H 中满足封闭性。
例：循环群的每个子群一定是循环群。
二、陪集
a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。 定 义 ： 设 [ H;] 是 群 [ G;] 的 子 群 ， 对 任 意
a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H
例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素 gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成 的循环群。
例：若a是无限循环群[G;*]的生成元， 则a的阶无限。
定理13.13:G为循环群,a为其一个生成元,则 G的结构完全由元素a的阶决定:
(1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群 [Z;+];
(2)当a的阶为n时,G同构于同余类加法循环 群 [Zn;]。 证明:(1)G={ak|kZ},定义:GZ,
gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同 理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。
G Ha aH
aG
aG
例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有 右陪集。这里E表示偶数全体。 例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的 所有非平凡子群是:
H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群 A3。现在考察H1的陪集。
e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5}
3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H
H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13,
4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。
作业:P171 18, 20, 25 补充:1.群G是阶为偶数的有限群,则G中阶为2 的元素个数一定是奇数.
Ha Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪 集。
设[H;]是群[G;]的子群，aG，则 (1)bHa当且仅当ba-1H (2)baH当且仅当a-1bH
定义13.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G 中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进 行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为
的2.设r 和G是s 阶rs阶子循群环, 证群明,(r:,sG)==1H, 1HH12和={Hh12h分2|h别1为HG1, h2H2} [3H.[1H∪1;H·]2;和·] 是阶否[ 是H2群;·][G是;·]群的子[ G群;·？] 的说明子理群由， 且且4.设仅h2H当H1H,H2}12,H是H2=2GHH的12=H子{1h,群其2h,1中证|hH1明1HHH211=并H{2h且是1hhG22|的h1H子2H}群1并当