安培环路定律—恒定磁场的旋度方程
真空中恒定磁场的基本规律
P dS
S
PdV
V
P P
14
( 2 ) 极化电荷面密度
紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元 的dS极
化电荷为
dqP qnldS cos PdS cos P dS
故得到电介质表面的极化电荷面密度为
SP P en
S P
dS en
15
4. 电位移矢量 介质中的高斯定理
• 载流圆环轴线上的磁感应强度：
B(0, 0,
z)
ez
0 Ia 2
2(a2 z2 )3
2
4
z
2
I M 1
载流直线段
z
M
ao
y
x
I
载流圆环
5
例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电
流圆环位于xy平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图 所示。采用圆柱
其中 0(1 e ) r0 称为介质的介电常数，r 1 e 称为介
质的相对介电常数（无量纲）。
* 介质有多种不同的分类方法，如： • 均匀和非均匀介质 • 各向同性和各向异性介质 • 时变和时不变介质
• 线性和非线性介质 • 确定性和随机介质
恒定场的散度（微分形式） 磁通连续性原理（积分形式）
B(r ) 0
S B(r ) dS 0
磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和
终点的闭合曲线。
2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理
恒定磁场的旋度（微分形式）
B(r ) 0J (r )
安培环路定理（积分形式）
B(r)dl
I2dl2 (I1dl1 R12 )
10恒定磁场 - 安培环路定律
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ ） 0 I1 I 2
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
4.4 磁偶极子
1 定义： 磁偶极子是指所围成的
面积趋近于0时的载流回路， 用矢量磁偶极矩表示。
0 M A dV 4π V R 4π
J M M
0
M en S R dS
磁化电流模型
两种磁化电流密度与磁化强度的关系为 ：
K M M en
4.5 磁媒质
总结以上分析可得：
① 媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看做是由磁化电流
产生的磁场（见公式4-5-10和4-5-11）。 分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述； ② 与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥--沙伐定律产 生恒定磁场；
图 磁偶极子受磁场力而转动
4.5 磁媒质
1 磁化的概念：
无外磁场作用时，介质对外不 显磁性， n mi 0
i 1
图3.2.14 介质的磁化
在外磁场作用下，磁偶极子 发生旋转， n
mi 0
i 1
4.5 磁媒质
2 磁化强度：
磁媒质中单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为
磁化强度。
M lim
m
i 1
n
i
V 0
V
（A/m）
矢量磁位：
0 m eR A 2 dV 4 V R
磁偶极子模型
4.5 磁媒质
3 等效磁化电流密度：
磁化后，媒质中形成新的电流，称为磁化电流。形成磁化 电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以又称为束缚电
磁感应强度;安培环路定律恒定磁场基本方程与分界面上的衔接条件
0
式中， 0 为真空中的磁导率
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
返 回
上 页
下 页
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
磁路及其计算
返 回 上 页 下 页
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度 的概念。 掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。 了解磁位及其边值问题。
返 回
上 页
下 页
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law ) 两个载流回路之间的作用力 F
K ( r ) ( r r ) 0 B d S 3 4 πS r r
0
面电流
毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。
返 回 上 页 下 页
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。 解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz， 式中 R z B 2 4 πL R d z e d le d z sin e zsin e R d R
2 2
I d l e 0 R
2
I B d z 2 2 3 2 L 2( 4 π z)
L 1
0
I L L 0 1 2 [ ] 2 2 2 2 4 π L L 1 2 I 0 ( sin sin 1 2) 4 π
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
4.2 真空中的磁场方程
0
0
0 I d 0 2
图4.2.11 证明安培环路定律用图
（4）安培环路与若干根电流交链
B dl 0 I k
该结论适用于其它任何带电体情况。
强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。
0J(x ,y ,z ) dV 4R V 由 B 0 A 0 B A A 称磁矢位(Magnetic vector potential)，单位： wb/m（韦伯/米）。 磁矢位A也可直接从 Biot Savart Law 导出。
图4.2.12 无限大截流导板
L
B dl B1L B2 L 0 KL
例 2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。 ˆ 解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，B B( )
0 K ˆ y 2
x 0
1) 0 R1 取安培环路 ( R1 ) 交链的部分电流为
B dl 0 I
C
B dS 0
S
B 0 B 0 J
磁通连续磁力线是无头无尾的 磁场是涡旋场 电流是涡旋分布的磁场的源
磁场是有旋无散场旋度源是电流密度
当电流分布具有一定的对称性时，可以直接利用安培环路定律很方便的计算磁场。
例1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度B 解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋） 根据对称性 B1 B2 B 0 K ˆ x 0 y 2 B
4.2 真空中的磁场方程
Contents
1 2 3 磁通量连续性定理 安培环路定律 真空中恒定磁场方程
一、
磁通连续性原理
1. 恒定磁场的散度
可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。
磁场高斯定理 安培环路定理
R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。
解：视为无限多平行长 直电流的场。 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
B
b
l
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
稳恒磁场的安培环路定理公式
稳恒磁场的安培环路定理公式稳恒磁场的安培环路定理公式揭示了电流在磁场中所受到的力和磁感应强度之间的关系。
这个定理在物理学中扮演着重要的角色。
本文将以通俗易懂的方式介绍这个定理的公式以及其背后的物理原理，希望能够给读者带来指导意义。
安培环路定理的公式是通过一条封闭的路径来描述电流在磁场中所受到的力的总和。
这个路径被称为安培环路，通常采用一个简单的闭合曲线来表示。
具体而言，公式可以表达为：$\sum\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdotI_{enc}$，其中$\sum \overrightarrow{B} \cdot\overrightarrow{dl}$表示安培环路上磁感应强度与微小路径元素的内积之和，$\mu_0$是真空中的磁导率，$I_{enc}$表示通过安培环路所围成的面积的电流。
从这个公式可以看出，磁感应强度与路径元素之间的内积是电流所受到的力的量度。
如果磁感应强度和路径元素之间的内积为正值，那么电流将受到一个向内的力；反之，如果内积为负值，电流将受到一个向外的力。
这里需要注意的是，安培环路定理只对稳恒磁场成立，也就是说磁场的强度和方向在空间中不发生变化。
安培环路定理的公式可以通过一个具体的例子来更加生动地说明。
假设有一根直导线通有电流$I$，而周围存在一个磁场$\overrightarrow{B}$。
我们可以通过一个半径为$r$的圆形安培环路来观察这个过程。
根据公式，我们可以计算出磁感应强度在安培环路上的线积分。
在这个例子中，由于磁场的方向与路径元素的方向相同，内积将永远为正值。
因此，电流在环路上将受到一个向内的力。
这个力的大小可以由公式计算得出。
安培环路定理不仅在理论上有重要意义，它还在实际中广泛应用。
例如，当我们需要设计电磁铁时，可以根据安培环路定理来确定所需的电流和磁感应强度，从而使电磁铁能够产生所需要的磁场。
真空中恒定磁场的安培环路定理
dI
dB dB dB dB
P
I 当r R时, I内 r 2 R2
B
L
r2 B 2 r 0 2 I R
0 I B r 2 2 R
R
7
r
2、求无限长螺线管内的磁感应强度。设螺线管长 为L，共有N匝线圈，通有电流I。 解：管内中部磁场均匀，方 向与管平行；管外中部贴近管 P b a 壁处磁场很弱，B=0。 作一长方形环路abcda c d B dl B dl B dl B dl B dl
二、安培环路定理的应用举例 1、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体 半径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I R 解：沿圆周L的B环流为 P B dl B 2 r 0 I内
( L)
当r R时,
0 I B 2 r
I内 I
B 2 r 0 I
l B dl 0 I
I
l
d
B dlIrl3
(2) 闭合曲线不包围长直电流：
B1
dφ
B2
dl 2 dl
1
I
r1
r2
0 I 0 I B1 B2 2π r1 2π r2 μ0 I B1 dl1 dφ 2π μ0 I B2 dl2 dφ 2π l B dl l B1 dl1 l B2 dl2
abcda ab bc cd da
B ab
0
0
0
N )B dl 0 ab L I 0 abn I (L
B 0 n I
8
例题 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度； （2）通过螺线管截面的磁通量。 I 解：与螺线管共轴的圆周上各点 B大小相等，方向沿圆周切线。 r 0 N I B dl B 2 r
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
磁场是有旋场(涡旋场)，与磁场的散度方程一致
磁感线与电流垂直并相互交链
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
A 0 Jc (r)dV
4 V
R
0
4
V
J
c
(r
)
1 dV R
0 Jc (r) dV
4 V
R
0 Jc (r) dS 0
4 S R
4 V
R
0
4
V
Jc (r)2
1 R
dV
0 V Jc (r) (r r)dV
R r r
2 1 4 (r r)
r r
冲激函数
0Jc (r )
B 0Jc (r )
Bdl l
S ( B) dS 0
S JC dS 0
Ii
4.3 安培环路定律— 恒定磁场的旋度方程
电工基础教研室 由佳欣
真空中的安培环路定律
Bdl l
0
S JC dS 0Ii来自在真空稳恒磁场中，B 沿任一闭合路径的积分，等于0 乘以
该闭合路径所包围的各电流的代数和
B 对任意闭合曲线L 的环流不恒等于零，磁场是非保守立场，
没有磁势的概念
B 0JC
R r r
1 1 RR
(F) F F (F) F F
恒定电流场是无源场
Jc 0
由于所有电流分布被包含在积分区域内，因此没有电流通过 界面S，面积分为零，则有 A 0
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
2 A 0 2 Jc (r) dV