基于反应谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
基于状态空间理论的砼重力坝振动响应分析
基于状态空间理论的砼重力坝振动响应分析摘要：介绍了一种基于状态空间理论的多自由度结构系统动力响应分析算法，将结构动力学的平衡方程经过一定的变换得到状态空间方程，再将该方程嵌入卡尔曼滤波算法，最终得到多自由度系统的状态随着系统输入的实时更新。
将该算法运用于混凝土重力坝算例，分别进行不同观测噪声水平的动力响应计算，并且将得到的动力响应信息与有限元软件数值模拟的结果进行比较，均具有较高的相似度，说明该算法的有效性，并且抗噪能力强，具有一定的工程应用价值。
关键词：状态空间理论；重力坝；动力响应；振动一、引言结构的动力响应分析和求解方法主要有振型分解反应谱法[1-2]、底部剪力法[3-4]和时程分析法[5-6]。
振型分解反应谱法计算精度较高，但是其需要用到结构的前大多数阶振型，而实际结构的自由度相当大甚至无穷大，这必然导致计算量的剧增，实际应用时具有一定的不可操作性；而底部剪力法仅适用于以剪切变形为主的重量和刚度沿高程分布均比较均匀的结构（否者会出现鞭梢效应[7]），当建筑结构的高度在40m以上或者结构的基频较小时，地震作用下将不能忽略结构的高阶振型影响，这必然导致其计算精度的降低；理论上，时程分析法是最准确的结构动力响应分析算法，可以在全时域内对结构进行实时分析[8-9]，但是由于其求解的复杂性以及外界激励的随机性，在实际工程运用时具有一定的困难，但随着计算机技术的发展和控制论中状态空间理论的发展，为这一精确方法的实际运用提供了捷径。
二、结构动力学的状态空间方程由结构动力学的基本知识[18]写出N个自由度结构系统的平衡方程：d（1）式中：M，L和K分别为多自由度结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；g(t)为N维激励。
g定义状态矢量y，其包含有位移矢量和速度矢量：（2）故方程（1）可以转换成状态空间形式：（3）式中：系统矩阵和控制矩阵如下：（4）（5）式中：表示a×b的零矩阵，表示a×b的单位矩阵。
重力坝分析的改进有限元等效应力法
重力坝分析的改进有限元等效应力法杨会臣;贾金生;郑璀莹【摘要】本文提出了重力坝分析的改进有限元等效应力法,分析了改进前后应力计算结果的变化,研究表明,当网格尺寸较大时,改进的等效应力方法具有更高的精度.对比研究了采用有限元等效应力方法、材料力学方法计算应力在结果上的相同点和不同点.分析表明,有限元等效应力法在解决应力集中的同时,还能反映地基刚度对建基面竖向正应力分布的影响,从而解决了材料力学的一些限制.结合我国第一座胶结颗粒料永久工程—守口堡工程的设计,详细分析了地基刚度对坝基面应力分布的影响,取得了很好效果.【期刊名称】《中国水利水电科学研究院学报》【年(卷),期】2013(011)002【总页数】5页(P112-116)【关键词】重力坝;有限元等效应力方法;材料力学方法;守口堡工程【作者】杨会臣;贾金生;郑璀莹【作者单位】中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室,北京100038;中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室,北京100038;中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室,北京100038【正文语种】中文【中图分类】TV641.31 改进的有限元等效应力法有限元等效应力法由我国学者首先提出[1-4]，其基本思想是将某一截面上有限元计算的应力结果等效为作用在该截面上的一组内力，然后利用材料力学的方法计算截面上的应力分布，以避免角缘处有限元计算结果的应力集中。
有限元等效应力法分析拱坝的文献[5-7]很多，但用于研究重力坝应力分布的文章还比较少[8-9]。
图1 有限元应力计算网格对于图1所示的有限元计算网格，xi处的竖向正应力为，xi+1处的竖向正应力为，则该截面上的等效内力为[8]：式中：N为截面轴力；M为截面弯矩；x0为截面转动中心；li=xi+1-xi；B为截面宽度，取1。
根据材料力学偏心受压构件正应力计算公式，结点i处的有限元等效应力即为：其中：L为截面长度；I为截面绕x0的转动惯量。
第四节重力坝的应力分析
W 6 M
a
B
B2
b
12 M B2
坝体内部应力计算图
（三）内部应力的计算
2、坝体内剪应力τ。呈抛物线分布
a1 b1x c1x2
3、坝内水平正应力σx。呈三次分布
x a2 b2 x c2 x2 d2 x3 接 近 直
线，对中小型工程可近似假定σx呈直线分布
运用期坝踵垂直应力不应出现拉应力（计扬压力）， 可按下式计算：
WR M RTR 0
AR
JR
WR B
6M R B2
0
规范要求，坝踵和坝体上游面的垂直应力的核算应按作用的标准值分别 计算作用的短期组合和长期组合。
2)短期组合下游坝面的垂直拉应力核算
•施工期属短暂状况，坝体下游面的垂直拉应力应不大于
x a3 b3x
4、坝内主应力σ1和σ2。(见课本P56式(3-48))
(四)考虑扬压力时的计算方法。
1、边缘应力 1)计算W和M计入扬压力 2)计算u 、xu、d、xd时
pu用 pu-puu代入 pd 用pd-pdd代入 2、求解坝内应力 可先不计扬压力计算、x、y，然后再 叠加由扬压力引起的应力
1、水平截面上的正应力σyu、σyd。 2、剪应力τu和τd。 3、水平正应力σxu和σxd。 4、主应力σ1u，σ2u和σ1d，σ2d。
1、水平截面上的正应力σyu、σyd。
根据偏心受压公式，坝
体上下游边缘垂直正应
力：
yu
W B
6M B2
yd
W B
6M B2
2、剪应力
4、边缘主应力
由于两个主应力面互相正交，由微分体
有限元等效应力法在重力坝强度分析中的应用
有限元等效应力法在重力坝强度分析中的应用范书立;陈健云;郭建业【期刊名称】《水利学报》【年(卷),期】2007(038)006【摘要】采用有限元法进行重力坝坝体应力分析时,坝踵、坝址的应力计算结果一直无法作为设计坝体断面的依据.本文将有限单元法所求得的应力合成截面内力,用材料力学公式求出重力坝建基面上任意点对应的线性化等效应力,并分析了影响有限元等效应力的各种因素.研究结果表明,有限元等效应力法有效地避免了坝踵、坝址的应力集中现象,解决了坝踵应力随网格的变化而变化的问题,计算出的建基面应力具有数值稳定性,得出的应力结果可以按现行的重力坝设计规范规定的应力标准评价重力坝坝体安全度.因此,结合有限元结果和等效应力法计算的坝踵、坝址应力结果,可为重力坝坝体强度的综合评定提供相应的依据.【总页数】7页(P754-759,766)【作者】范书立;陈健云;郭建业【作者单位】大连理工大学,海岸与近海工程国家重点实验室,辽宁,大连,116023;大连理工大学,海岸与近海工程国家重点实验室,辽宁,大连,116023;大连理工大学,海岸与近海工程国家重点实验室,辽宁,大连,116023【正文语种】中文【中图分类】TV64.3【相关文献】1.有限元等效应力法在拱坝设计中的应用 [J], 肖伟荣;苏志敏;唐涛2.重力坝分析的改进有限元等效应力法 [J], 杨会臣;贾金生;郑璀莹3.等效结构应力法在高强钢疲劳寿命预测中的应用 [J], 邹艳妮;李耀;罗东4.等效结构应力法在塔机关键焊缝疲劳强度研究中的应用 [J], 付玲;李耀;罗东;吴达鑫;佘玲娟5.等效结构应力法原理及其在转向架焊接构架疲劳寿命分析中的应用 [J], 薛俊谦;李向伟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第四节--重力坝的应力分析
Gravity Dam Located onBatholith
第四节重力坝的应力分析
目的：
1、为了检验大坝在施工期和运用 期是否满足强度要求；
2、为解决设计和施工中的某些问 题，如砼分区，某些部位的配 筋等提供依据。
应力分析的过程：
1、进行荷载计算及荷载组合 2、选择合适的方法进行应力计算 3、检验大坝各部位的应力是否满
位等）的局部应力、个别部位（如宽缝重力坝的头部、闸 墩、导墙等）的应力等步骤，必要时分析坝基的上、下游 局部应力及内部应力。
三、材料力学方法
（一）基本假定 1、坝体砼为均质，连续各向同性
的弹性材料。 2、取单宽坝体作为固结在地基上
的悬臂梁计算，且不受两侧坝体的影 响。
3、水平断面上的垂直正应力σy是 直线分布。 （二）**边缘应力的计算
2)短期组合下游坝面的垂直拉应力核算
•施工期属短暂状况，坝体下游面的垂直拉应力应不大于
100kPa，其计算式为
Wc M cTc 100 (kPa)
Ac
Jc
第四节 重力坝的应力分析
其他： 坝体内一般不容许出现主拉应力，但以下情况例外：①宽
缝重力坝离上游面较远的局部区域，可出现拉应力，但不 得超过混凝土的容许拉应力；②当溢流坝堰顶部位出现拉 应力时，可考虑配置钢筋；③廊道及其它孔洞周边的拉应 力区域，宜配置钢筋，以承受拉应力。
坝体主应力 分布示意图
作业2
图与荷载同作业1，砼强度等级C10，标准抗压 强度fkc=10MPa，坝基为较完整的微风化花岗片 麻岩，标准抗压强度fkR=80MPa 试核算基本组合的设计洪水位情况下 (1)计算坝基面A、B及折坡处水平面C、D点的应 力x、y、及主应力； (2)坝趾B抗压强度和坝踵A应力是否满足要求； (3)根据所计算的稳定安全系数及应力情况．讨论 此坝断面设计是否得当；
基于反应谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
Wj 6 M j B - B2
E E 式中: Rj, yu , Rj, yd 分别为上下游边缘正应力; Wj 为计算截面上与第 j 阶振型对应的轴向约束力; Mj 为计算
摘 要: 提出了由有限元法得到的振型求解振型内力及振型等效 应力, 并根据反应 谱法理论 求解重力 坝等效 动应力 响
应的 分析方法。本文对四个在建或拟建的重力坝, 用悬臂梁反应谱 法和有限元等效应力法分别进行了计算, 比较了坝 体
几个 典型部位等效动应力响应。结果表明, 在坝体体型有突变的地 方, 有限元等效应力法相较悬臂梁法所 得值有明显 的 增高 , 更敏锐的反映出了应力集中对坝体垂直动应力的影 响。本文 提出的方法简单易行, 比悬臂梁反应谱 法更能反映 坝
N2j ) C2X
第 5期
李同春等: 基于反应 谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
21
式中: SE 为地震作用效应; Si 、Sj 分别为第 i 阶、第 j 阶振型的地震作用效应; m 为计算采用的振型数; Qij 为第 i
阶、第 j 阶振型的振型相关系数; Ni , Nj 分别为第 i 阶、第 j 阶振型的阻尼比; CX 为圆频率比, CX = XjPXi ; Xi , Xj 分
由弯曲变形和剪切变形产生的水平振动, 忽略坝体的竖向振动, 也忽略转动惯量 的影响[ 3] 。如图 1 所示, 将重力坝简化为一固结于地基的悬臂梁, 取单位厚度重
力坝坝段为分析对象, 将整个坝段沿高度按任意间距划分成 N - 1 段, 结点号自
下至上为 1 至 N, 结点 1 固定于地基上。取 y 轴向上, 当只考虑坝体由弯曲变形
体体型的影响。
关键词: 水工结构; 等效动应力; 反应谱法; 悬臂梁法; 有限元法; 重力坝
基于重力坝应力计算及稳定分析的优化设计
基于重力坝应力计算及稳定分析的优化设计重力坝是一种常见的水利工程结构，其稳定性是设计中需要考虑的重要问题。
在设计重力坝时，需要对其应力进行计算和稳定性进行分析，并进行优化设计。
首先，重力坝的应力计算需要考虑以下几个方面。
首先是坝体自重的计算，包括坝体上升水压力和上升地下水压力。
其次是坝顶压力的计算，包括抗倾覆稳定和抗滑移稳定的力学分析。
还需要考虑水侧坝体的压力计算，包括水压头的作用和大坝的承压强度。
最后是岩质坝体的应力分析，考虑岩性、节理的影响及坝体的变形与稳定性。
为了保证重力坝的稳定性，需要进行稳定分析。
稳定分析主要包括抗倾覆稳定和抗滑移稳定两个方面。
抗倾覆稳定分析是为了防止重力坝在承受水压力的作用下发生倾覆。
抗滑移稳定分析是为了防止重力坝在地基土的滑移力的作用下发生移动。
通过合理选择坝体的高度、坝基的强度和选择合适的岩质材料，可以有效地提高重力坝的稳定性。
在重力坝的优化设计中，可以从以下几个方面进行考虑。
首先是合理选择重力坝的形式，可以是三角形、梯形或者圆弧形等不同形式，根据工程实际情况进行选择。
其次是选择合适的坝基处理措施，包括混凝土垫层、防渗墙等，可以提高坝体的稳定性。
另外，可以考虑采用辅助措施，如设置消能防冲设施、阻水排水系统等，提高重力坝的安全性。
最后，可以进行不同形式的优化设计，如遗传算法、模拟退火算法等，寻找最优设计方案，既能满足工程要求，又能提高工程的经济性和可行性。
综上所述，基于重力坝的应力计算及稳定分析的优化设计是一个综合性的工程问题。
通过合理的应力计算和稳定分析，可以提高重力坝的稳定性。
同时，通过优化设计，可以选择合适的形式和措施，提高工程的安全性和经济性。
因此，在重力坝的设计中，需要综合考虑各种因素，进行全面的分析和优化设计。
基于有限元法的大坝应力、变形及稳定分析
论￣弹性理论数值解法的基本概念和步骤 [９] 如下ꎮ
物ꎬ 主要利用自身重力维持坝身的稳定ꎮ 通常采用
反应坝体及坝基不同部位的应力分布和变位场ꎮ 有
的单元ꎬ 采用位移函数法ꎬ 公式如下:
限元法( ＦＥＡ) 起始于 ２０ 世纪中叶ꎬ 经过 ７０ 年的不
{ ｕｖ} ＝ [ Ｎ] { δ}
断 研 究 发 展ꎬ 并 通 过 ＡＮＳＹＳ、 ＡＤＩＮＡ、 ＭＡＲＫ、
{ δ} ＝ [ Ｋ] －１ { Ｐ}
再利用式(３) 和式(４) 计算单元应力ꎮ
(７)
１ ２ 抗滑稳定计算公式
混凝土重力坝抗滑稳定安全系数是分析其稳定
的重要 指 标ꎮ 混 凝 土 重 力 坝 设 计 规 范 抗 剪 断 公
式 [１０] 采用的是刚体极限平衡法ꎮ 本次以抗剪断公
式为基础ꎬ 将有限元计算出的滑动面各单元 σ ｎｉ 和
计算方法ꎬ 基于有限元法分析后的坝体平面应力
{ σ} ＝ [ Ｄ] { ε}
成果ꎬ 代入调整后抗滑稳定系数公式求出稳定系
{ σ} ＝ [ σ Ｘ σ ｙ τ ｘｙ ] Ｔ
数ꎮ 文中以非溢流坝段为例ꎬ 采用有限单元法计
定性ꎮ
１２８
}
式中ꎬ { σ} —应力矩阵ꎬ [ Ｄ] —弹性矩阵ꎮ
算应 力、 变 形、 抗 滑 稳 定 系 数ꎬ 综 合 评 定 其 稳
２０１９ 年第 １１ 期
设计施工
水利规划与设计
ＤＯＩ: １０ ３９６９ / ｊ ｉｓｓｎ １６７２￣２４６９ ２０１９ １１ ０３２
基于有限元法的大坝应力、 变形及稳定分析
艾子欣ꎬ 陈海霞ꎬ 郭穗丰
( 湖南省常德市水利水电勘测设计院ꎬ 湖南 常德 ４１５０００)
摘要: 文章采用有限元法ꎬ 通过建模、 网格化分、 加载、 求解、 后处理等一系列过程ꎬ 对该坝的应力、 变形及抗
基于三维有限元的某重力坝应力变形特性分析
基于三维有限元的某重力坝应力变形特性分析乌日晗【摘要】重力坝作为主要坝型之一在人类筑坝治水历史长河中发挥着举足轻重的作用,特别是随着我国西部水电能源建设的飞速发展,将有一批高重力坝水电工程投入建设和运营,这些大坝均位于高山峡谷之中,工程规模大,地质环境复杂,其坝与地基稳定安全问题是须长期关注和解决的关键科学技术难题.本文采用三维有限元法分析了某重力坝正常工况下的应力变形特性,对其正常工作状态和应力变形规律进行了深入分析.【期刊名称】《吉林水利》【年(卷),期】2018(000)001【总页数】4页(P32-34,55)【关键词】重力坝;应力;位移;有限元【作者】乌日晗【作者单位】辽宁省蓡窝水库管理局,辽宁辽阳 111000【正文语种】中文【中图分类】TV642.31 引言重力坝的历史非常的悠久，大约在公元前两千九百年，人类就建造了第一座重力坝。
但由于重力坝结构简单，安全稳定，到现在还在被广泛采用[1]。
重力坝是在上游水压力、下游水压力及坝基扬压力等荷载的作用下，主要依靠坝体自身重量产生的抗滑力来维持坝体的稳定，尽管该类坝型体积足够大，本身具有很强的稳定能力[1]，但是由于各种原因，重力坝失事还时有发生。
大坝的失事往往会给国民经济和人民的生活水平造成比较大的影响，美国的圣弗朗西斯大坝，基础沉陷，坝体开裂严重，最终滑移崩溃，伤亡四百多人[2]。
美国奥斯汀大坝，坝基岩体中页岩泥化，坝体抗剪强度剧烈降低，引起坝基渗漏，导致坝体和坝基滑移，使整个坝体遭到毁灭性的破坏，给下游群众带来了灾难性的破坏[3]。
人类一直十分关注和重视重力坝的应力应变状态和坝体的抗滑稳定。
现今，人们对重力坝的抗滑稳定问题认识更深，提出了大量分析解决方法。
但是，由于很多因素都可以影响到大坝的抗滑稳定，而且这些因素中的有些因素还很难确定，到现在仍没有充分的理论依据，很大程度上还是依赖于工程师的工程经验。
因此，分析重力坝在正常运行过程中的应力变形特性、合理评价大坝工作性态对于长期安全运行是非常有必要的。
坝体的有限元建模与应力应变分析1
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。
图2－1 坝体的计算分析模型选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3模型施加约束✓ 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束✓ 给斜边施加x 方向的分布载荷：ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK单元控制 纵边20等分；上下底边15等分结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK。
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= X2 [ mci ] { Ui } + X2 [ mcc ] { Uc } - [ mci ] { Ui } - [ kcc ] { Uc }
( 7)
由此根据( 7) 式可求得第 j 阶振型对应的上下游边缘正应力。
E E Rj, y u =
Wj 6 M j B + B2
( 8)
E E Rj, y d =
LI Tongchun, HU Jigang, ZHAO Lanhao, ZHANG Liping ( College of Water Conservancy and Hydropower Engineering , Hohai University , Nanjing 210098)
Abstract: This paper presents an equivalent dynamic stress analysis for gravity dams based on the response spectrum method and finite element ( FE) analysis, and proposes a formula to directly calculate the internal forces and equivalent stresses for each vibration mode from the finite element method ( FEM) data of vibration modes. The equivalent stresses of four dams under construct ion or proposed are computed as test cases by the response spectrum method of cantilever model or by FEM, with the equivalent dynamic stresses compared for several typical locations. The results show that the equivalent stress obtained from the FE vibrat ion modes is better than that from cantilever model. The former can reasonably reflect the stress concentration due to the sudden change of dam prof ile. The proposed method of FE equivalent stress analysis is easy to implement . Key words: hydraulic structure; equivalent dynamic stress; response spectrum method; cantilever method; finite element method; gravity dam
第 28 卷 第 5 期 2009 年 10 月
水力发电学报 JOURNAL OF HYDROELECTRIC ENGINEERING
Vol. 28 No. 5 Oct. , 2009
基于反应谱法的重力坝有限元等效动应力响应分析
李同春, 胡继刚, 赵兰浩, 张丽萍
( 河海大学水利水电工程学院, 南京 210098)
文中以四个在建或拟建的重力坝为例, 比较了有限元和悬臂梁两种离散方法在求解重力坝结构自振特性及 反应谱法动等效应力响应方面的差异, 从而说明了采用有限元法求解结构自振特性, 再用反应谱法求解重力坝动 力响应的必要性。
1 反应谱法等效应力计算基本原理
111 悬臂梁法
在重力坝的悬臂梁法地震动力分析中, 通常只考虑坝体在水平地震作用下
和剪切变形产生的水平振动, 由结构动力学知识[ 4] , 柔度矩阵 D可以表达为:
j
E Dij = Dji =
dy k ( yj - yk ) ( y i - y k ) PEI + kPGB
( 1)
k= 1
式中: Dij 为结点 i 作用单位力时在结点j 引起的水平位移; dy k 为结点 k 控制的上
E 移响应 ui = Gi Bikg UiPX2i ; 振型惯性力 Fi = Mai ; 振型应力 R( j ) i =
Bj 2Ij
N
(
k= j+ 1
yk
-
yj ) F ( k) i ; 振型坝底剪力 Si =
N
E F( k) i。
k= 1
根据5水工建筑物抗震设计规范6的规定, 采用振型分解反应谱法计算地震作用效应时, 可由各阶振型的地震
20
水力发电学报
2009 年
的应力沿截面呈非线性分布, 在坝踵和坝趾及断面突变处有明显的应力集中现象。 为此, 本文提出了由有限元分析得到的振型求解振型内力及振型等效应力, 并根据反应谱法理论求解重力坝
等效动应力响应的分析方法。这样使得有限元反应谱和悬臂梁反应谱的应力计算方法是一致的, 其主要差异在 于是否对结构进行简化。
摘 要: 提出了由有限元法得到的振型求解振型内力及振型等效 应力, 并根据反应 谱法理论 求解重力 坝等效 动应力 响
应的 分析方法。本文对四个在建或拟建的重力坝, 用悬臂梁反应谱 法和有限元等效应力法分别进行了计算, 比较了坝 体
几个 典型部位等效动应力响应。结果表明, 在坝体体型有突变的地 方, 有限元等效应力法相较悬臂梁法所 得值有明显 的 增高 , 更敏锐的反映出了应力集中对坝体垂直动应力的影 响。本文 提出的方法简单易行, 比悬臂梁反应谱 法更能反映 坝
( 6)
由于方程( 3) 和( 5) 完全等价, 则由方程( 3) 解出结构振型后, 代入式( 6) 就可直接求解出给定截面上的约束内
力; 其表达式为:
{ f c } = - {f c} = [ kci ] { Ui } + [ kcc ] { Uc } - X2 [ mci ] { Ui } - X2 [ mcc ] { Uc }
Wj 6 M j B - B2
E E 式中: Rj, yu , Rj, yd 分别为上下游边缘正应力; Wj 为计算截面上与第 j 阶振型对应的轴向约束力; Mj 为计算
c Ñ, Ò
m m U ci
cc Ñ , Ò
c Ñ, Ò
f c Ñ, Ò
式中: 下标 c 代表指定截面上的结点; i 表示非指定截面上的结点; { f c } Ñ , { f c } Ò 分别代表指定截面上 Ñ 、Ò两个
子结构间的约束内力, 由作用力与反作用力的关系有:
{fc} Ñ + {fc} Ò = 0
作者认为在计算机内存、计算速度及有限元计算分析软件高速发展的当今, 已无必要再采用简化的悬臂梁法 作为重力坝自振特性的基本分析方法。但是目前的应力控制标准主要是针对材料力学方法制定的, 其主要特点 在于控制应力是根据截面内力按等效线性分布假定由材料力学公式计算得到。而常规的由有限元分析直接得到
收稿日期: 2009-04-21 基金项目: 国家自然科学基金委员会资助项目( 90510017) 作者简介: 李同春( 1963) ) , 男, 博士, 教授. E- mail: ltchhu@ 163. com
由弯曲变形和剪切变形产生的水平振动, 忽略坝体的竖向振动, 也忽略转动惯量 的影响[ 3] 。如图 1 所示, 将重力坝简化为一固结于地基的悬臂梁, 取单位厚度重
力坝坝段为分析对象, 将整个坝段沿高度按任意间距划分成 N - 1 段, 结点号自
下至上为 1 至 N, 结点 1 固定于地基上。取 y 轴向上, 当只考虑坝体由弯曲变形
别为第 i 阶、第 j 阶振型的圆频率。
112 有限元法
有限元反应谱法的分析思路和悬臂梁法基本相同, 其基本方程形式同( 3) , 主要差别在于沿上下游方向有限
元的单元数量可以任意选择。为了和悬臂梁法得到的结果具有可比性, 本文根据有限元内力法[ 5] 的基本原理, 利
用有限元得到的振型, 从有限元的静力平衡原理出发, 直接求解得到不同振型下给定截面上对应的有限元内力。
作用效应按平方和方根组合。当两个振型的频率差的绝对值与其中一个较小的频率之比小于 011 时, 地震作用
效应宜采用完全二次型方根组合:
mm
E E SE =
Qij S iS j
ij
( 4)
Qij =
( 1-
8
Ni Nj ( Ni &C2X ) 2 + 4NiNj CX ( 1+ C2X) + 4( N2i +
首先用该指定截面将整个有限元模型分为坝体( 记为 Ñ) 与地基( 记为 Ò) 两个子结构, 并对这两个子结构在
该指定截面上施加一组大小相等、方向相反的约束内力, 则可建立与方程( 3) 完全等价的另一组方程:
k ii kic
Ui
- X2 mii mic
Ui
0
=
( 5)
k k U ci
cc Ñ , Ò
体体型的影响。
关键词: 水工结构; 等效动应力; 反应谱法; 悬臂梁法; 有限元法; 重力坝
中图分类号: TV312
文献标识码: A
FE equivalent dynamic stress analysis based on response spectrum method for gravity dams
0 前言
水工建筑物抗震设计规范[1] ( 以下简称规范) 规定, 重力坝分析应以同时计算弯曲和剪切变形的动、静材料力 学方法为基本分析方法, 即悬臂梁法[ 2] 。而随着数值计算技术的发展, 有限单元法作为一种比较成熟的计算离散 方法, 在结构数值计算领域已得到广泛的应用, 能够很方便地模拟重力坝的施工过程、材料分区、孔洞、坝体- 库水 - 地基系统的相互作用以及复杂的地质条件和边界条件, 具有材料力学方法无可比拟的优势。因此, 规范也同时 规定, 对于工程抗震设防类别为甲类, 或结构复杂, 或地基条件复杂的重力坝, 宜补充作有限元法动力分析。目前 规范规定重力坝的动力分析方法主要采用振型分解反应谱法。