习题四

第四章 控制系统的稳定性复习及习题课１ 基本概念（１） 稳定性的定义 外部稳定；内部稳定；李氏稳定；渐近稳定；大范围渐近稳定；不稳定。

（２） 李氏第二法的基本判据 （３） 线性系统李氏函数的求法 ２ 基本要求（１）理解和掌握有关系统稳定性的基本概念和基本定理，包括外稳和内稳的定义、相关定理及两者的关系； （２）理解和掌握李氏第二法有关线性系统稳定性的判别方法和一般步骤，了解非线性系统的李氏分析方法。

（３）学会并掌握利用MATLAB 判断系统的稳定性。

注意：应从物理概念上理解稳定性的定义，不被书中的数学描述所迷惑。

可以将它的数学描述类比于高等数学中的极限定义，微分定义。

思考题1怎样判定二次函数的正定、负定、半正定、半负定？ （线性代数内容复习）（赛尔维斯特判据）[]11121n 121222n 212n 111n2nn n p p p p p x x x p p x n nTij i j i j n x p V(x )p x x x Px x p ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ ， 根据赛尔维斯特(Sylvester)，可以通过判断对称矩阵P 的定号性来确定二次型函数的定号性。

11111122212211121n 21222n 1n2nn p 0p p p p p p 0 p p n n p p det p ...p det p ∆=⎛⎫⎡⎤∆=> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥∆=> ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 则（1） 矩阵P 正定的充要条件是所有的顺子主子式都是正的，即012i ,(i ,,...n )∆>=； （2） 矩阵P 负定的充要条件是00i ,i ,i >⎧∆⎨<⎩偶奇（3） 矩阵P 半正定的充要条件是01210i ,i ,,..n ,i n ≥=-⎧∆⎨==⎩；（4） 矩阵P 半负定的充要条件是00i ,i ,i ≥⎧⎪∆≤⎨⎪⎩偶奇=0,i=n2 什么是外部稳定性?什么是内部稳定性?外部稳定性和内部稳定性性有什么关系?什么是李氏稳定性？什么是平衡点？根据输入输出描述来研究系统的稳定性性属于外部稳定性分析。

对输入的不同性质可引出不同的稳定性定义。

普通应用的是有界输入有界输出（BIBO ）稳定。

对于零初始状态的线性系统BIBO 稳定的充要条件是对任意有界输入，其输出是有界的。

依据状态空间描述来研究系统的稳定性属于内部稳定性分析。

如果由任意非零初始状态引起的零输入响应有界且渐近，即0o t lim x (t )→∞=成立，则称线性系统在初态时刻内部稳定。

内部稳定性可根据状态转移矩阵直接判断。

即充要条件是00t lim (t,t )→∞Φ=对于线性定常系统，若内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO 稳定即外部稳定，但BIBO 稳定不能保证系统为内部稳定。

在系统完全能控和完全能观测的条件下，系统外部稳定与系统内部稳定等价。

李氏稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长的时间”后系统恢复到平衡状态的能力。

即李氏稳定性是相对于系统的平衡状态的。

对于线性定常系统，当Ａ非奇异时，存在唯一的平衡点即原点。

而非线性系统的平衡点可能有多个。

平衡态可由0x(t )= 求出。

由于非零平衡点总可由坐标变换将其移到坐标原点，故大多将坐标原点作为平衡点来研究。

3 古典控制理论中的系统稳定性与李雅普诺夫意义下的稳定性有什么区别？ 答：（1）古典控制理论中的稳定指的是指输入输出稳定性，与系统状态无关；而李雅普诺夫意义下的稳定性是指系统的内部稳定性，反映了系统状态在偏离平衡状态后，是否仍能保持在平衡状态附近、甚至回到平衡状态的系统能力。

（2） 对于古典控制理论中的稳定性是利用系统的传递函数定义的，因此必须要假定系统的初始条件为零。

对象是线性定常单输入单输出系统，采用的方法是判断系统的极点位置等，仅适用于线性定常系统稳定性分析。

（3） 李雅普诺夫意义稳定性理论适合于线性和非线性系统，时变和时不变系统，多变量系统。

通过分析系统能量的变化来判断系统的稳定性；李氏方法不仅适合于分析，而且更重要 的是可用于控制系统的设计，尤其是在非线性系统和自适应控制系统常常是将稳定性作为首要的控制目标。

4 请说出李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定的区别和联系，并说明它们的几何意义。

答：李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定的区别在于： （1） 李雅普诺夫意义下稳定指的是当系统初始状态在平衡状态的一个小范围内时，其之后的状态也一定在平衡状态附近。

（2） 渐近稳定性首先要求是稳定的，而且随着时间的推移，系统的状态回复到平衡状态。

（3） 大范围渐近稳定不再要求初始状态在平衡状态附近，而可以是任意的。

因此，对任意初始状态出发的轨线都逼近于平衡状态，当然，系统的平衡状态也是惟一的。

李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定的联系是：大范围渐近稳定⇒渐近稳定⇒李雅普诺夫意义下稳定。

几何意义：李雅普诺夫意义下稳定指的是，当时间无限增加时，从球域内出发的状态轨线不会超出球域；李雅普诺夫意义下的渐近稳定指的是，当时间无限增加时，从球域内出发的状态轨线不仅不会超出球域，而且最终收敛到原点；大范围渐近稳定指的是，当为整个状态空间时，系统的状态都会随着时间的推移趋向于原点。

因此，大范围渐近稳定是最高的，渐近稳定次之，李氏稳定再次之。

5 李雅普诺夫稳定性的定义是什么？它适用于哪些系统？答：考虑系统的平衡状态，如果对任意给定的，存在一个(与和初始时刻有关)，使得从球域内任一初始状态出发的状态轨线始终都保持在球域内，则平衡状态称为是李雅普诺夫意义下稳定的。

进一步，如果平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当时，始于原点邻域中的轨线，则平衡状态称为在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的。

它既适用于线性系统，也适用于非线性系统，既适用于时变系统，也适用于时不变系统，既适用于连续系统，也适用于离散系统。

6 李雅普诺夫稳定性定理的物理意义是什么？答: 李雅普诺夫稳定性定理的物理意义是：针对系统引入一个虚拟的能量函数（即李雅普诺夫函数），其本身要求是正定的。

该能量函数沿系统轨线关于时间的导数是负定的表明了：当系统运动时，其能量随时间的推移而持续地减少，直至消耗殆尽，则系统的状态就回到平衡状态，从而系统是渐近稳定的。

7 什么是李氏第一法? 李氏第一法又称间接法。

它通过系统状态方程的解或根来判别系统的稳定性。

李氏第二法也称直接法。

它不求出状态方程解，而是通过构造一个广义的能量函数来直接判别系统的稳定性。

李氏第一法的基本结论：(1)线性定常系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵Ａ的特征根均具有负实部。

(2)非线性定常系统可在平衡点用微偏线性化的方法变成线性定常系统。

微偏线性化就是进行泰勒级数展开，将展开式的一次近似式构成Ａ（雅可比矩阵），再用线性定常系统的判据来判别。

(3)线性时变系统可用范数的概念来分析稳定性。

8 如何根据李氏定理（第二法）判别系统的稳定性？对于任何系统包括线性系统和非线性系统，首先假定能找到一个广义的能量函数，也就是李氏函数v(x,t )，如果0v(x,t )>即正定，而判定的充分条件是（1）0000v(x,t )v(x,t ),v(x,t )(x )<≤≠≠ ，渐近稳定（2）0v(x,t )≤ ，李氏稳定 （3）0000v(x,t )v(x,t ),v(x,t )(x )>≥≠≠ ，不稳定。

因此，判定系统的稳定性的关键在于能否找到或者构造一个合理的李氏函数。

这是李氏第二法的关键。

李氏定理并没有提供构造李氏函数的一般方法。

所以，尽管李氏定理原理上是简单的，但实际应用中尤其是在非线性系统中并非易事。

不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经有了一些可行的构造李氏函数的方法。

9 构造李氏函数的方法（即李氏第二法的应用） 9.1 线性定常系统的李氏函数（掌握）对任给的一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定的矩阵P ，满足+=-T A P PA Q ，则标量函数v(x )=T x Px 就是要找的具有二次型形式的李氏函数，而v(x )=T x (-Q)x 。

为计算方便，常取Q =I ，+=-T A P PA I ，只要根据检验P 是否正定，就可判定系统的稳定性了。

9.2 线性时变连续系统（了解）在平衡点附近，大范围一致渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的连续实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵Q(t)，存在一个连续的实对称、一致有界和一致正定的矩阵P(t)，使得 T P(t)=-A (t)P(t)-P(t)A(t)-Q(t)，则李氏函数就是[]v x(t ),t =T x (t)P(t)x(t)。

9.3线性定常离散系统（理解）在平衡点附近，大范围一致渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定的实对称矩阵Q ，存在一个正定的实对称矩阵P ，满足T G P G -P =-Q ，那么李氏函数就是[]v x(k )k k =T x ()Px()。

9.4 非线性系统的李氏函数构造法（介绍）非线性不同于线性系统，没有统一的公式可用，但可针对具体问题具体分析。

针对非线性关系是解析的单值函数，阶次不太高（4阶以下），也有几种实用的工程方法。

一种是一次近似法。

即在平衡点附近线性化后，用其一次近似式，变成线性定常系统。

而变量梯度法也是一种应用性很强的方法。

10 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么是否能断定此系统不稳定？为什么？ 答：如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，我们也不能断定此系统不稳定，因为李雅普诺夫稳定性定理给出的稳定性条件仅仅是充分的，而非必要。

当系统是线性时，其条件就是充分必要的. 李雅普诺夫函数的形式并不是唯一的，其中最简单的形式是二次型函数，二次型函数一定适合线性系统，但对非线性系统，不一定都是这种最简单的形式。

习题四参考答案4-1试确定下列二次型是否为正定的。

（1）2221231223134262V(x )x x x x x x x x x =+++-- （2）222123122310462V(x )x x x x x x x =---++ （3）222123122313104224V(x )x x x x x x x x x =+++-- 解：（1） 二次型写成矩阵形式[]1123231 1 -1 1 4 -3-1 -3 1T x V(x )x Px x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，矩阵P 的三个顺序主子式分别为： 123101 1 -11 10 1 4 -301 4-1 -3 1det ,det ∆=>⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥∆=>∆=< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据塞尔维斯特准则，V (x )不是正定的。