九年级下册第二章《二次函数》第一节
九下 第二章 二次函数第一节 教学设计 (于海峰)
第二章二次函数第一节二次函数概念以及表示方法想一想：并把结果写在下面相应的横线上1、正方形边长用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？2、圆半径用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？3、圆半径为1，若半径再增加x，那么增加的面积用y表示，如何用x 表示y？4、一个数平方的2倍，再加这个数，再减少1得到另一个数，若第一个数用x表示，得到的这个数用y表示，如何用x表示y？（1）（2）（3）（4）5、果园有橙子树100棵时每棵树平均能结橙子600个，若多种一棵，导致平均每棵树少结5个橙子。
（1）问题中变量有那些。
（2）设增种了x棵树，则总共有棵树，导致每棵少结个橙子，那么平均每棵结橙子个（3）设总产量为y，则x和y的关系式表示为（4）列表计算总结：二次函数概念：一般地，若对于两个变量x和y，y可以用x表示成cbxaxy++=2的形式（cba,,是常数，且0≠a），我们把y叫做x的二次函数。
二次函数特征：（1）x的最高次数（2）二次项为，二次项的系数为（3）看分母，它是一个方程自己写几个二次函数：（1）（2）（3）（4）设银行年利率为x，若存款额为100元，两年后本息合计为y 元，则如何用x表示y？（注第一年利息计入下年本金）随堂练习：【例1】 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式． 【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？ （5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？ 课后练习:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2．当m 时，y=（m －2）x22-m 是二次函数．3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=21mv2（m 为定值）．（1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：（2 6．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π 9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ） A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 10．下列函数中，二次函数是（ ）A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x＋111．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x 元，每天所赚利润为y 元，请你写出y 与x 之间的函数表达式？14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a （m ），则正方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？15．⑴已知：如图菱形ABCD 中，∠A=60°，边长为a ，求其面积S 与边长a 的函数表达式．⑵菱形ABCD ，若两对角线长a ：b=1：3，请你用含a 的代数式表示其面积S ． ⑶菱形ABCD ，∠A=60°，对角线BD=a ，求其面积S 与a 的函数表达式．16．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．17．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．。
2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
初三数学第二章第一节二次函数
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B A C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20
件，计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种 产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件, 再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) 件，即两年后的产
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
y=kx+b (k≠0) 变 量 之 间 的 关 系
一次函数 正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y k k 0 . x
二次函数
？
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
九年级数学下册 第二章 二次函数 1 二次函数教学课件 (新版)北师大版
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质第1课时教学课件湘教版20200323312
1．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是 y＝ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
2.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系是:h=4.9t2，h是t的 二次 函数，它的图象的顶点 坐标是 （0，0）. 3.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y=-2x2 （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
你会用描点法画二次函数 y 1 x2 的图象吗?
2
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些
负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：
x －3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x2 4.5 3.125 2 0.5 0.125 0 0.125 0.5 2
2 2.5 3 2 3.125 4.5
描点：在平面直角坐标系 内，以x取的值为横坐标， A′ 相应的函数值为纵坐标， B′ 描出相应的点，如图 连线：
－4 －3 －2－1
5
A
4
3
B
2 1
1 2 34
【观察】
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B ′ ，……，它 们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴对称， 点B和点B ′也是……
由此你能作出什么猜测？
y=2x2
y=x2
函数y=2x2 的图象与y=x2
的图象相比，有什么共
同点和不同点.
o
x
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有
什么规律？
2新北师版初中数学九年级下册精品课件.1 二次函数
证明：∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1， ∴∠B＝∠C＝45°. ∴∠BDA＋∠BAD＝135°. ∵∠ADE＝45°， ∴∠BDA＋∠CDE＝135°. ∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE.
(2)设 BD＝x，AE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围．
答案显示
1．一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c___(a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数．一个函数是二次函数，经过整理后必须同时满 足以下三个条件： (1)关于自变量的式子是__整__式______； (2)自变量的最高次数是__2________； (3)二次项系数__不__为__0____．
＝－1 时，y＝1＋2－m＋m＝3.
9．(中考·白银)二次函数 y＝x2＋bx＋c 中，若 b＋c＝0，则它的
图象一定经过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
【点拨】由 b＋c＝0，得 c＝－b.将每个选项的 x 值代入 y＝x2＋
bx－b，如果相应计算的 y 恰好是对应的纵坐标，即可得出正确
8．无论 m 为何实数，二次函数 y＝x2－(2－m)x＋m 的图象总是
过定点( A )
A．(－1，3)
B．(1，0)
C．(1，3)
D．(－1，0)
【点拨】由题意得，二次函数图象经过的定点与 m 值无关，即
把 x 值代入函数表达式时，含有 m 的项不存在，又 y＝x2－(2－
m)x＋m＝m(x＋1)＋x2－2x，所以 x＋1＝0，即 x＝－1.所以当 x
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第1课时 由两点确定二次函数的表达式
解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
1
解得 a .
8
1
2
y
(
x
8)
9.
∴所求的二次函数的表达式是
8
二、自主合作，探究新知
典型例题
例3：已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这
时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 =
（k≠0)关系式时，
通常需要 1 个条件.
思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，
通常又需要几个条件？
二、自主合作，探究新知
探究：确定二次函数表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所
道图象上一个点的坐标.
(2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系
数，所以需要知道图象上两个点的坐标.
(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那
么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二、自主合作，探究新知
做一做：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）
− + = ,
∴
+ + = −,
= −,
解得
= −,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
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课题：2.1 二次函数一、课标要求：（一）内容标准：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（二）能力目标：通过分析实际问题，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，引出二次函数的概念，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析：（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节，属于“数与代数”领域中的“函数”。
二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要模型。
学生已经学习了函数，一次函数和反比例函数。
研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境，引出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。
（二）学情分析一、学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利方程解决一些实际问题。
（2）支持性条件：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型；经历过合作学习的过程，具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系，多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。
多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍，因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难，针对这一问题，采取策略：从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手，使学生积极参与数学学习活动，把数学问题和实际问题相联系，同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强对数学的好奇心和求知欲。
三、教学重点、难点分析：本节通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
所以确定：重点：1.探索和表示二次函数的过程及归纳二次函数定义。
2.通过对实际问题的分析，体会函数的模型思想。
难点：准确分析和建立两个变量之间的二次函数关系。
四、 教学目标：1.了解二次函数的定义，能判断一个函数是否是二次函数。
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系,并尝试利用求值的方法解决实际问题3．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验，体会函数的模型思想，进一步培养良好的数学应用意识。
五、目标检测A 组：1.下列函数中y 是x 的二次函数的有（ ）① y=-5x ²+6； ②y=2x ²； ③y=（x ＋3）2－2x 2； ④26x y． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.当m 为何值时，函数y=（m ＋2）x ▕m ▏＋2x －1是二次函数？A 2B -2C ±2D 不确定。
3.半径为3的圆，如果半径增加2x ，则圆的面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．S=2π（x ＋3）2B ．S=9π＋xC ．S=4πx 2＋12x ＋9D ．S=4πx 2＋12πx ＋9π4.一农民用40m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x,菜园的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
当x =12m时，计算菜园的面积.B组：如图，在矩形ABCD中,AB=6,BC=8 , E为线段BC上的动点(不与B、C重合) .连结DE ,作EF⊥DE , EF与射线BA交于点F ,设CE=x，BF=y ，求y关于x的函数关系式;六、教学过程：（一）、构建动场：活动一1.在喷泉的水流经过的路线中，水流的高度是时间的函数吗？是一次函数吗？反比例函数吗？2.篮球经过的路线中，篮球的高度是时间的函数吗？是一次函数吗？反比例函数吗？3.学过的一次函数，反比例函数的一般形式是什么？性质是什么？（二）自主学习、交流探究活动二：认真读题并解答问题（以学生自学为主，教师根据学生实际学习情况及时指导、及时评价）情景1、已知正方形的边长是x，你能表示它的面积s与边长的关系吗？y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？自变量x的取值范围是什么？情景2、某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y=即：y= y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？其中自变量x的取值范围是什么？情景3、某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？自变量x的取值范围是什么？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．（4）上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？情景4、已知矩形的周长为40cm ，它的面积可能是100cm 2吗？可能是75cm 2吗？还可能是多少？你能表示矩形的面积和一边长的关系吗？设计意图：函数是较抽象的概念。
通过此题让学生再次回忆之前已经学习过的变量、自变量、因变量、函数，一次函数和反比例函数等概念，通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系然的体验。
建模：上面问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?说一说二次函数的定义及一般形式呢?一般地，形如_______________________（其中a ，b ，c 是常数，且0a ≠）的函数叫做x 的二次函数。
你能举出一个二次函数吗？思考：1．a 为什么不能是0？2．对于二次函数y=ax 2+bx+c 中的b 和c 可否为0？若b 和c 各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？随堂练习：练习1．下列函数中，哪些是二次函数？并指出相应的a,b,c 的值。
（1）s=3-2t² (2)23+=x y (3) S=Л r²(4) y=3(x-1)²+1 （5）y=ax ²+bx+c （6）xy 2=练习2. 两数的和是20，设其中一个数是x ，你能写出这两数之积y 的表达式吗？练习3.圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm ,圆的面积增加ycm 2(1)写出y 与x 之间的关系式； (2) 当圆的半径分别增加1cm, 2cm 时，圆的面积各增加多少？活动目的：通过练习加强对二次函数的理解，练习3利用代入求值解决问题，使学生体会到函数是解决实际问题的有效模型。
总结：(1)关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数,且a ≠0.(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(3)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)还有以下几种特殊表示形式:① y=ax² -------- (a ≠0,b=0,c=0,).②y=ax²+c -- --- - (a ≠0,b=0,c ≠0). ③ y=ax²+bx ---- - - (a ≠0,b ≠0,c=0).例1：m 取何值时，函数23)1122-++=--x xm y m m （是二次函数？（三）综合建模： 通过本节课的学习，你有哪些收获？设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的理解，同时使知识系统化.（四）当堂检测：A 组：1.下列函数中y 是x 的二次函数的有（ ）① y=-5x ²+6； ②y=2x ²； ③y=（x ＋3）2－2x 2； ④26x y． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.当m 为何值时，函数y=（m ＋2）x ▕m ▏＋2x －1是二次函数？A 2B -2C ±2D 不确定。
3.半径为3的圆，如果半径增加2x ，则圆的面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．S=2π（x ＋3）2B ．S=9π＋xC ．S=4πx 2＋12x ＋9D ．S=4πx 2＋12πx ＋9π4．一农民用40m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x,菜园的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
当x =12m 时，计算菜园的面积.B 组：如图，在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8 , E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合).连结DE ,作EF ⊥DE , EF 与射线BA 交于点F ,设CE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数关系式;设计意图：通过1、2题反馈对目标1的达成情况，3、4题检测目标2、3的达成情况。
六、作业布置：A组：习题2.1 1、2、3题B组：习题2.1 4题七、板书设计：八、教学反思：。