高二数学期中模拟试卷2+参考答案
期中考试模拟卷02(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷02测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值为（）A ．-1或3B ．1或-3C ．-1或-3D ．1或32．已知向量(2,3,0)a =- ，(0,3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影数量为（）A ．B ．13C ．95D ．95-3．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a = ，AD b = ，AA c '=，则下列与向量A C' 相等的表达式是（）A ．a b c-++ B ．a b c-+ C ．a b c -- D ．a b c+-r r r 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA BC =，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的正弦值为（）A ．9B ．89C ．9D ．95．如图，点A ､B ､C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A ．63B 66C ．24D 346．直线l 1:y =ax +b 与直线l 2:y =bx +a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．7．已知直线:40l x my ++=，若圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8．设实数x ，y 满足4x y +=22222x y x y +-++）A 2B ．4C ．22D ．8二、多选题9．(多选)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（）A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －7＝0C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －10＝010．以下说法正确的是（）A ．若向量{},,a b c 可是空间的一个基底，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底.B ．空间的任意两个向量都是共面向量.C ．若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，则////l m a b ⇔.D ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u r ，v，且()1,2,2u =- ，()2,4,4v =-- ，则αβ⊥11．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝412．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1AA 1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，则（）A ．11//()ADB B BC +B ．22111111()3A A D A B A B A +-= C ．111()0AC A B AD ⋅-= D ．13AC =第II 卷（非选择题）三、填空题13．直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，则直线l 的斜率的最大值为________．14．已知平面α和平面β的法向量分别为()1,1,2a = ，(),2,3b x =-，且α⊥β，则x =________.15．在四棱锥P ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA a = ，PB b = ，PC c = ，试用基底{},,a b c 表示向量PG ＝________.16．点()2,1P --到直线l ：()()131240λx λy λ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值为____________．四、解答题17．已知点(1,2,0)A -和向量(3,4,12)a =-.（1）若AB a =，求点B 的坐标；（2）若x 轴上的一点C 满足,2a AC π<>=，求AC 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =.（1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（2）求二面角A PC B --的余弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA =，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，H 在线段PD 上且14DH DP =．（1）用向量AB，AD ，AP 表示向量EH ；（2）求向量EH的模长．20．过点P (1，4)作直线l ，直线l 与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为原点.（1）若△ABO 的面积为9，求直线l 的方程；（2）若△ABO 的面积为S ，求S 的最小值，并求出此时直线l 的方程.21．已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．22．已知圆22:8120C x y x +-+=，直线:20l x ay a ++=．（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||22AB =l 的方程．参考答案1．A 【分析】利用两线垂直的判定有(2)30a a --=，求解即可得a 的值.【详解】由题设，(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=，解得1a =-或3a =.当1a =-时，直线分别为20x y --=、3310x y ++=，符合题设；当3a =时，直线分别为320x y +-=、330x y -+=，符合题设.故选：A 2．D【分析】利用a b b⋅ 求得向量a 在向量b方向上的投影.【详解】依题意，向量a 在向量b方向上的投影为95a b b⋅==- ，故选：D.3．D 【分析】利用平面向量的基本定理求解.【详解】由题意：A C A A AB BC ''=++，AA AB BC =++'- ，c a b =-++ ，a b c =+- ，故选：D.4．A 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出BF 和PE的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图分别以,,AB AD AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2PA =，可得()2,0,0B ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1F ，()1,2,0E ，所以()1,1,1BF =- ，()1,2,2PE =-，所以cos ,9BF PE BF PE BF PE⋅===⋅，设异面直线BF 与PE 所成的角为θ，则cos cos ,9BF PE θ=，所以sin θ故选：A.5．B 【分析】先求出平面ABC 和平面ABO 的法向量，再利用二面角公式求解即可.【详解】因为()0,0,2OC = ，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB = ，所以()1,2,0AB =-uuu r，()1,0,2AC =- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩取()2,1,1n =又因为平面ABO 的法向量为()0,0,2OC =，所以6cos 626OC n OC n θ⋅===⨯⋅ 故选：B 6．D 【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.【详解】对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故A 错误；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故B 错误；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a <0，b >0，矛盾；故C 错误；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，由l 2得a >0，b >0.故D 正确故选：D.7．D 【分析】根据圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，可得直线l 过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.【详解】解：因为圆22:6210C x y x y ++-+=，所以圆C 的圆心坐标为()3,1-，又因为圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，所以直线l 过圆心，则340m -++=，解得1m =-.故选：D.8．C 【分析】4x y +=上的点与点()1,1-的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离.【详解】==4x y +=上的点与点()1,1-的距离，所以最小值为d ==.故选：C.9．AB 【分析】由题设可知直线的斜率为±1，结合直线过的点，由点斜式写出直线方程即可.【详解】由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.故选：AB 10．ABC 【分析】根据基底的定义判断AB ；根据方向向量以及法向量的性质判断CD.【详解】对于A ，向量,a b a b +- 与,a b 共面，则c 与,a b a b +-不共面且,a b a b +- 不共线，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底，故A 正确；对于B ，空间的任意两个向量都是共面向量，故B 正确；对于C ，由方向向量的性质得出////l m a b ⇔，故C 正确；对于D ，因为2v u =-，所以//αβ，故D 错误；故选：ABC 11．AD 【分析】根据点到直线的距离公式求得圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C 2的圆心，从而得出圆C 2的方程.【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.故选：AD.12．CD 【分析】对于A ：由11B B BC B C +=，可判断；对于B ：由空间向量的线性运算得1111A A A D A B BD +-= ，从而有21BD =，2111A B = ，由此可判断；对于C ：由空间向量的数量积运算可判断；对于D ：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．【详解】解：对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC B C +=，()11//B B BC A D ∴+ ，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-= ，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD = ，又2111A B = ，∴()22111111A A A D A BA B +-= ，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-= ()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅- ，由题知，1AB AD ==，1AA =1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+ 10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确；对于D ：AC AB AD =+ ，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC = ()21AB AD AA ++ 222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112=++211cos6021cos45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD ．13．2【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出.【详解】∵直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，∴则直线的l 斜率的最大值为202.10-=-故答案为：214．4-【分析】根据法向量垂直即可求出x 的值.【详解】∵α⊥β，∴0a b ⋅=，即()112230x ⨯+⨯-+⨯=，解得4x =-.故答案为：4-.15．212333a b c-+ 【分析】由空间向量的基本定理求解即可【详解】因为BG ＝2GD ，所以23BG BD = ，又2BD BA BC PA PB PC PB a c b =+=-+-=+- ，所以()221223333PG PB BG b a c b a b c=+=++-=-+故答案为：212333a b c -+ 1613【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A ，P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ，∴22max (21)(11)13d PA ==--+--13.17．（1）(2,2,12)-；（2）103.【分析】（1）根据空间向量的坐标表示即可求解.（2）设(,0,0)C x ，根据空间向量的坐标表示以及数量积即可求解.【详解】（1）因为(2,2,12)OB OA a =+=- ，所以点B 的坐标为(2,2,12)-.（2）设(,0,0)C x ，则(1,2,0)AC x =- ，0AC a ⋅= ，所以3(1)80x --+=，所以813x -=，所以6410493AC =+=.18．（1）13；（2）3.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】（1）由条件可知DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系.设1DC =，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,1)PB =- ，(1,0,1)PA =-uur ，(0,1,1)PC =- ，设平面PAC 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则111100PA n x z PC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11x =，则(1,1,1)n = ，所以平面PAC 的一个法向量为(1,1,1)n = ，设直线PB 与平面PAC 所成角为α，所以1sin cos ,3PB n =<>= α，即所求角的正弦值为13.（2）由（1）知(1,1,1)n = ，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，则2222200PB m x y z PC m y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则(0,1,1)m = ，则平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m = ，所以cos ,3m n < ，由图形可知二面角A PC B --.19．（1）1144EH AD AP AB =+- ；（2）5||2EH = ．【分析】（1）根据空间向量关系可表示；（2）利用2211||44EH AD AP AB =+- 转化可求解.【详解】解：（1）313()()424EH EP PH EB BP PD AD AP AB AD AP =+=++=-+-+- 1331124444AD AP AB AD AP AD AP AB =-+-+-=+- （2）22221111||()()||44162EH AD AP AB AD AP AD AP AB AB =+-=+-+⋅+ ()22211||||||162AD AP AD AB AB =+-⋅+ 11125(416)22416224⎛⎫=+-⋅⋅⋅-+= ⎪⎝⎭，5||2EH ∴= ．20．（1）2x +y 6=0或8x +y 12=0；（2）8，4x +y 8=0.【分析】（1）设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b=1.根据已知得到,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）求出S =12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b =1.将P (1，4)代入直线l 的方程，得1a +4b=1.(*)（1）依题意得，12ab =9，即ab =18，由(*)式得，b +4a =ab =18，从而b =184a ，∴a (184a )=18，整理得，2a 29a +9=0，解得a 1=3，a 2=32，因此直线l 的方程为3x +6y =1或32x +12y =1，整理得，2x +y 6=0或8x +y 12=0.（2）S =12ab =12ab 214a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥12×8⎛+ ⎝=12×(8+8)=8，当且仅当b a =16a b，即a =2，b =8时取等号，因此直线l 的方程为2x +8y =1，即4x +y 8=0.21．（1）117t -<<；（2）37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->列不等式即可求解；（2）将该方程整理为圆的标准方程，利用二次函数的性质求出半径的最大值以及此时t 的值，再将t 的值代入可得半径最大的圆的方程.【详解】（1）若方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=表示圆，则()()()22244341441690t t t ++--+>整理可得：27610t t --<，解得：117t -<<；（2）由()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=可得：()()()()22222224314314169761x t y t t t t t t ⎡⎤⎡⎤-+++-=++---=-⎣⎦⎣++⎦，设圆的半径为r ，则222316761777t t t r ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭=-，所以当31,177t ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭时，2max 167r =，所以max r =此时圆的方程为2239163147497x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述：当37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．（1）34a =-；（2）20x y --=或7140x y --=．【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解；（2）利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为d 即得解【详解】（1）圆C 的标准方程为22(4)4x y -+=，圆心(4,0)C ，半径为2若直线l 与圆C2=，解得34a =-（2）设圆心(4,0)C 到直线l 的距离为d ，则有222||2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即224d +=，即d=1a =-或7a =-所以直线l 的方程为20x y --=或7140x y --=。
高二数学第二学期期中考试卷(附答案)
高二数学第二学期期中考试卷本卷满分100分,考试时间90分钟一、填空题（本大题共有11小题，每小题4分，共44分）1．直线y =－3x +1的倾斜角为 .2．过点A(1,－4),且与直线2350x y ++=垂直的直线方程为 . 3．两平行直线3450x y ++=与34250x y +-=间的距离是 ． 4．若方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则k 的取值范围是___________.5．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且一顶点为(0，8)的双曲线的方程 是 .6．已知圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,过原点与圆C 相交的弦的中点轨迹是__________.7．设12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ．8．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则c:a ＝ .9．椭圆1222=+y x 和双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则实数n 的值是10. 等腰直角三角形的直角顶点是（4，-1），斜边在直线3x -y +2=0上，两条直角边所在的直线方程是 .11. 已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法：①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a =49,b =9,c =40，正确的有 .二、选择题：（本大题共4小题;每小题4分,共16分）12．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ） A.34π B. 4πC. 2arctgD. arctg 12. 3k >是方裎22131x y k k +=--表示双曲线的条件是 （ ） A.充分但不必要 B. 必要但不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.直线1y x =-上的点到圆224240x y x y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1+ D. 115. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 ( )A 、198B 、199C 、200D 、20110三、解答题：（本大题共6小题，共40分）P 射出，被x轴反射，反射光线经过点Q(7,1)，16.（6分）已知光线从点(1,5)求入射光线所在的直线方程．21的17. (6分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，焦距与长轴长的比为3双曲线过点P(6，6) 求双曲线方程18. (6分)求过点(1,6)M 且与圆22230x y x ++-=相切的切线方程．19. （7分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）内引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程.20.（7分）斜率为2的直线l 被双曲线x y 22321-=截得的弦长为2515，求直线l 的方程.21.（8分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍， （１） 求动点P 的轨迹方程；（２） 过1(1,0)F 且斜率1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，已知(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．高二数学参考答案1．120° 2. 3x －2y －11=0 3. 6 4．(-∞,-1)∪(4,+∞)5．1366422=-x y 6. x 2+y 2-2x=0 7．２０ ８. αsec ９. 3± １０．2x+y-7=0或x-2y-6=0 １１. ② １2. Ｂ １3.Ａ １4.Ｄ １5. C16. 解：点B 关于x 轴对称点为C(7,－1), 入射光线所在的直线为AC43-=AC k入射光线所在的直线方程为3x+4y －17=0．17.解：设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为12922y x -=1 18.解：设直线的方程为y=k(x －1)+6,圆心(－1,0)到直线的距离等于半径221622=++-k k ,解得k=34切线方程为46(1)3y x -=-或10x -= 19.解：设直线与椭圆的交点为（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）,M(2,1)为AB 的中点故x 1+x 2= 4, y 1+y 2 = 2 ，由于点 A 、B 在椭圆上，则 x 12 + 4y 12 = 16, x 22 +4y 22 =16 两式相减得 ∴k AB =-=--2121x x y y 21244)(42121-=⨯-=++y y x x故所求直线方程为x +2y – 4 =020. 解：设直线l 的方程为y x m =+2 将y x m =+2代入23622x y -=得232622x x m -+=() 整理得101232022x mx m +++=()设直线l 与双曲线的两个交点坐标为P x y 111(,)，P x y 222(,)∴+=-=+x x m x x m 12122653102,()·由P P kx x 122121=+-得()()()[]25151225155422122212212⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-x x x x x x1255654310222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⨯+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥m m () 解得m m 21223==±,∴所求的直线方程是y x =±22321.（１）设动点(,)P x y ，由题设知4x -=化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22143x y +=． （２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ， 得 27880x y --=．设1122(,),(,)C x y D x y ，则12127y y x x -=-==而11211122ACD S AF y y ∆=⋅-=⨯=。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
高二数学期中考试复习题参考答案(详细版) (2)
一、单选题1．若直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A ．2B ．1或3C ．3D ．2或3【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行得到(5)23a a -=-⨯，排除重合情况，计算得到答案.【详解】因为直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行所以(5)23a a -=-⨯，解得2a =或3a =当3a =时，这两条直线重合，排除，故2a =. 故选A【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.2．已知0a >，0b >，直线1l ：(1)10a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】由12l l ⊥，可求得21a b +=，再由()2121424b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()212144222428b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==时等号成立， 所以21a b+的最小值为8.故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫-⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．1453B ．5C ．1353D ．163【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得点(2,0)B -关于直线23x y +=的对称点为(0,4)C ，结合两点间的距离公式，求得BC长，即可求解.【详解】如图所示，设点(2,0)B -关于直线23x y +=的对称点为11(,)C x y ，可得11111()12222322y x x y ⎧⋅-=-⎪+⎪⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得10,4C x y ==，即(0,4)C则221145(0)(40)33BC =-+-=，即“将军饮马”的最短总路程为1453.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化，求得点关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.4．已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可． 【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交， 则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ． 【点睛】本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．5．已知圆22:230C x y x ++-=,直线():2()10l x a y a R ++-=∈,则A ．l 与C 相离 B ．l 与C 相交C ．l 与C 相切D ．以上三个选项均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得l 恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交.【详解】由l 方程可知，直线l 恒过定点：()2,1-又()2,1-为圆C 内部的点 l ∴与C 相交本题正确选项：B【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.6．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】 【详解】圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，故选A ．主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.7．圆22:20A x y x +-=和圆22:40B x y y +-=的公切线条数是（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【答案】C 【解析】【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数． 【详解】圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的圆心（0，2）半径为2，O 1O 213，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0和圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的公切线条数：2． 故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.8．若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】将圆的圆心代入直线方程即可. 【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a=，故选A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．9．已知圆22(1)4x y -+=内一点P （2，1），则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++=D ．2x =【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，当过圆心且过点()2,1P 时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，即可由斜率关系求得直线的斜率，结合点斜式即可求得直线方程. 【详解】由题意可知,当过圆心且过点()2,1P 时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为()1,0C ,()2,1P ，则由两点间斜率公式可得10121CP k -==-，所以与PC 垂直的直线斜率为1k =-，则由点斜式可得过点()2,1P 的直线方程为()112y x -=-⨯-，化简可得30x y +-=，故选：B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，最短弦与最长弦的关系，两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.10．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=( )A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=，∴圆心为()1,2--，半径为 ∴圆心到直线10x y ++=的距离d ==∴3个.故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.11．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，利用P 在已知的圆上可得PQ 的中点的轨迹方程. 【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.故选：D. 【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 12．已知点A (-3，1，-4)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(-3，-1，4)B ．(-3，-1，-4)C ．(3，1，4)D ．(3，-1，-4)【答案】A 【解析】 【分析】根据在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，即可得到结果.【详解】∵在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点()3,1,4A --，∴关于x 轴对称的点的坐标是()3,1,4--，故选：A. 【点睛】本题考查空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键，属于基础题.13．在四面体OABC 中，E 为OA 中点，13CF CB =，若OA a =，OB b =，OC c =则EF =（ ）A ．112233a b c -- B ．114233a b c --+ C ．121233a b c-++D ．112233a b c -++【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．【详解】解：根据题意得，12OE OA =，13CF CB =EF F OE O =-()12A OC CF O =+-1132CB OA OC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1132OB OC OA OC ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦111332OB OC O OA C ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦111332OB OC C OA O =+--112323OA OB OC =-++OA a =，OB b =，OC c =111122332332EF OA OB OC a b c ∴=-++=-++故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．14．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =-+，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．12D ．12-【答案】A 【解析】41413()36362PA PB xPC DB PB xPC PB PD PB xPC =-+=-+-=--， 又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴31126x --=， 解得 x=13， 故选A ．点睛：设P 是平面上任一点，,,A B C 是平面上的三点，PC xPA yPB =+（,,P A B 不共线），则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=，把此结论类比到空间上就是：,,PA PB PC 不共面，若PD xPA yPB zPC =++，则,,,A B C D 四点共面1x y z ⇔++=．15．下列命题正确的是（ ）A ．a b a b-<+是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，0AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，12AB BC ⋅=D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A ；由向量的加减和数量积的定义可判断B ； 由向量数量积的定义计算可判断C ；由四点共面的条件可判断D ． 【详解】解：由|a |﹣|b|＜|a b +|，向量a ，b可能共线，比如共线向量a ，b的模分别是2，3，故A 不正确；在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=（AC CB +）•CD CB -•AD AC -•BD AC =•（CD BD -）CB +•（CD AD -）AC =•CB CB +•CA =0，故B 正确在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB BC ⋅=1×1×cos120°12=-，故C 错误；设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，由1233++1＝2≠1，可得P ，A ，B ，C 四点不共面，故 D 错误． 故选B ． 【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16．已知空间向量a ，b ，||1a =，||2b =，且a b -与a 垂直，则a 与b的夹角为（ ）A ．60︒ B ．30︒C ．135︒D ．45︒【答案】D 【解析】 【分析】由()0a b a ，利用数量积运算，即可得出结果.【详解】∵a b -与a 垂直，∴()0a b a ，∴2||||||cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅〈〉11cos ,0a b =-〈〉=，∴2cos ,2a b 〈〉=．∵0,180a b ︒︒≤〈〉≤，∴,45a b ︒〈〉=．故选：D 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了运算求解能力，属于一般题目.17．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1BB 的中点，G 是1DD 的中点，F 是BC 上的一点且14FB BC =，则异面直线GB 与EF 所成的角为（ ）A ．B ．120C ．60D ．90【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()111111111,1,,,0,,110024242244BG EF BG EF ⎛⎫⎛⎫=--=⋅=-⨯+-⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,BG EF ∴⊥,异面直线GB 与EF 所成的角为90，故选D. 18．在正方形1111ABCD A BC D -中，棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为（ ）A ．5B 25C 6D 30【答案】D 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出余弦值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()2,1,0E ， ()1,0,2F ， ()1,1,2EF =--，平面11AA D D 的法向量()0,1,0n =，设直线EF与平面11AA D D 所成角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则||16sin ||||6EF n EF n θ===． 所以230cos1sin θθ=-=∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为30故选：D ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A 3B ．66C ．217D 21【答案】B 【解析】 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，22111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD⋅=+⋅+-=⋅+⋅-+1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=22221111()22BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB =+-=+++⋅-⋅-，∴1116cos ,32AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅⋅．∴1BD 与AC 夹角的余弦值为6故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．二、多选题20．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321k k k << C ．132ααα<<D ．321ααα<<【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论. 【详解】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD. 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题. 21．已知直线l 过点P （2,4），在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能为（ ）A ．20x y -+= B ．60x y +-=C ．2x = D ．20x y -=【答案】BD 【解析】 【分析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式.当直线不过原点时，设直线的方程为 x ＋y ＋m ＝0，把P （2,4）代入直线的方程，求出m 值，可得直线方程. 【详解】解：当直线过原点时，斜率等于40220-=-，故直线的方程为2y x =，即20x y -=.当直线不过原点时，设直线的方程为0x y m ++=，把P （2,4）代入直线的方程得6m =-，故求得的直线方程为60x y +-=，综上，满足条件的直线方程为60x y +-=或20x y -=.故选：BD. 【点睛】本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想.22．已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6π B．若直线:10,m x +=则l m ⊥C．点到直线l 的距离是2 D．过与直线l 平行的直线方程是40y --=【答案】CD 【解析】 【分析】对于A．求得直线10l y -+=的斜率k 即可知直线l 的倾斜角，即可判断A 的正误；对于B．求得直线10m x +=：的斜率k ′，计算kk ′是否为﹣1，即可判断B 的正误；对于C ．利用点到直线的距离公式，求得点)到直线l 的距离d ，即可判断C 的正误；对于D．利用直线的点斜式可求得过()与直线l 平行的直线方程，即可判断D 的正误． 【详解】对于A．直线10l y -+=的斜率k ＝tanθ=l 的倾斜角是3π，故A 错误； 对于B．因为直线10m x +=：的斜率k′=kk ′＝1≠﹣1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C．点)到直线l 的距离d==2，故C正确；对于D ．过()与直线l 平行的直线方程是y ﹣2=x ﹣40y --=，故D 正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．23．已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）A ．y =x +1B ．y =2C ．43y x =D ．y =2x +1【答案】BC 【解析】 【分析】根据切割型直线的定义，由点M (5，0)到直线距离不大于4求解. 【详解】A. 点M (5，0)到直线 y =x +1的距离为：64d ==>，故错误；B. 点M (5，0)到直线y =2的距离为：34d =<，故正确；C. 点M (5，0)到直线43yx =的距离为：454d ⨯==，故正确；D. 点M (5，0)到直线y =2x+1的距离为：25+145d ==>，故错误；故选：BC 【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.24．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O上一动点，则P 到直线AB 1+【答案】ABD【解析】 【分析】两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d==，半径1r=所以AB==C不正确；对于D，P为圆1O上一动点，圆心1O()1,0到0x y-=的距离为2d=，半径1r=，即P到直线AB距离的最大值为1+，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．以下四个命题表述正确的是（）A．直线()()34330m x y m m++-+=∈R恒过定点()3,3--B．已知圆22:4C x y+=，点P为直线142x y+=上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点()1,2C．曲线22120C:x y x++=与曲线222480C:x y x y m+--+=恰有三条公切线，则4m=D．圆224x y+=上存在4个点到直线:0l x y-=的距离都等于1【答案】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点()3,3-，判断A错误；求出直线方程()2402ym x y-+-=，判断直线AB经过定点(1,2)，B正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C正确；根据圆心(0,0)到直线1:0x y-的距离等于1，判断D错误.【详解】对于A，直线方程可化为(3)3430m x x y+++-=，令30x+=，则3430x y+-=，3x=-，3y=，所以直线恒过定点()3,3-，A错误；对于B，设点P的坐标为(,)m n，所以，142m n+=，以OP为直径的圆的方程为220x y mx ny+--=，两圆的方程作差得直线AB的方程为：4mx ny，消去n得，()2402ym x y-+-=，令02yx-=，240y-=，解得1x=，2y=，故直线AB经过定点(1,2)，B正确；对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C:x y x++=化为标准式得，22(1)1x y++=曲线222480C:x y x y m+--+=化为标准式得，22(2)(4)200x y m-+-=->所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即15=，解得4m=，C正确；对于D，因为圆心(0,0)到直线1:0x y-的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:0x y-=的距离等于1，D错误；故选：BC．【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,()()2,0,4,0,A B-点12PAPPB=满足.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是（）A．C的方程为()2249x y++=B．在x轴上存在异于,A B的两定点,D E,使得12PDPE=C．当,,A B P三点不共线时,射线PO是APB∠的平分线D．在C上存在点M,使得2||MO MA=【答案】BC【解析】【分析】通过设出点P坐标，利用12PAPB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E即可判断B的正误，设出M点坐标，利用2||MO MA=与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在.【详解】设点(),P x y，则12PAPB=，化简整理得2280x y x++=，即()22416x y++=，故A错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E--时，12PDPE=，故B正确；对于C选项，222cos=2AP PO AOAPOAP PO+-∠⋅，222cos=2BP PO BOBPOBP PO+-∠⋅,要证PO为角平分线，只需证明cos=cosAPO BPO∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BOAP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP=-，设(),P x y，则222PO x y=+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y-=++=++++=+，则证cos=cosAPO BPO∠∠，故C正确；对于D选项，设()00,M x y,由2||MOMA=可得220003316+160x y x++=，而点M在圆上，故满足2280x y x++=，联立解得0=2x，y无实数解，于是D错误.故答案为BC.【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.27．直线y x b=+与曲线x=b可取下列哪些值（）A．B．1-C．1 D【答案】AC【解析】【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-221x y +=，0x ≥，画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.28．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是（ ）A ．y x -62-B ．22x y+的最大值为743+C ．y x3D ．x y +的最大值为23+【答案】CD【解析】 【分析】B 中22x y +表示(,)x y 到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判断B ，A ，C ，D 中均可以令对应式子m =，解得y 后代入圆方程，由判别式0∆≥可得最值．从而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论． 【详解】 对于A ，设z y x =-，则y =x+z ，z 表示直线y =x+z 的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=32≤6262z --≤≤-，所以y x -62-，故A 说法正确；对于B ，22x y +的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2322xy +的最大值为2(23)743=+B 说法正确；对于C ，设yxk =，把y kx =代入圆方程得22(1)410k x x +-+=，则2164(1)0k ∆=-+≥，解得33k -≤yx3C 说法错误；对于D ，设m x y =+，则y x m =-+，m 表示直线y x m =-+的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=32≤，解得6262m -+≤≤+，所以x y +62，故D 说法错误.故选：CD . 【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB的中点，若2AB =，16AA = ）A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为3514C ．异面直线1A D 与1AC 70D ．//CD 平面11AB C【答案】AC 【解析】 【分析】由线面垂直的判定法则可得CD ⊥平面1AA D ，从而可证明A ；建立空间直角坐标系，求出1A D 与1AC 的方向向量，即可求出两直线所成角的余弦值，求出平面11AB C 的法向量与CD 的方向向量，从而可判断直线和平面是否平行.【详解】A:因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥， A 正确；以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(16A -，()1,0,0A -，(13,6C ,(16B ，所以(11,0,6A D =-，(11,3,6AC =，所以111111170cos ,710A D AC A D AC A D AC ⋅===⨯，所以异面直线1A D 与1AC 70B 不正确，C 正确；又因为(16AB =，(11,3,6AC =，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则11260360n AB x z n AC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即6222x z y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2,2n =--，因为()0,3,0CD =-，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选:AC.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成角的求解，属于中档题.本题的关键是建立空间坐标系，结合向量进行求解.30．（多选题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1BC 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD 【解析】 【分析】对于A ，欲证//ED 平面1ACC ，只需证明11////ED BB AA ，由1EC DCB C BC=易证，故A 项正确；对于B ，由AB 、AC、1AA 三条直线两两垂直，可知直三棱柱111ABC A B C -是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线1BC 是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积易求，然后再判断.对于C ，由于11//AA BB ，异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC 中，1BB C ∠的正切值易求，然后判断.对于D ，由AB 、AC 、1AA 三条直线两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量和平面1BB C 的法向量的夹角，然后再判断即可. 【详解】解：在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ，所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC⊥，所以222313BC =+=113417BC =+=易知1BC 是三棱柱外接球的直径， 所以三棱柱外接球的表面积为22174(17)17πππ=⨯=⎝⎭，所以B 项错误； 因为11//AA BB ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠．在1Rt B BC 中，12BB =，13BC =所以1113tan BC BB C BB ∠==C 项错误；二面角A EC D --即二面角1ABC B --，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB ∴=，(3,2,0)BC =-，1(3,2,2)BC =--，设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =， 则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,0,3)n =-， 设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m = 故二面角A EC D--4131313=⨯，所以D 项正确．故选：AD. 【点睛】综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.31．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F，使得AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，再依次讨论各选项，即可得答案. 【详解】解：如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠∴AC 与AF不垂直，A 错误.E ，F都在B ，D 上，又11//BD B D∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离 A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△ ∴112234224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.三、填空题32．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离是_______.【答案】72【解析】 【分析】根据两直线34120x y +-=与8110ax y ++=平行，由38431112aa⨯=⨯⎧⎨⨯≠-⨯⎩ 解得a ，然后再利用平行线间的距离公式求解. 【详解】因为两直线34120x y +-=与8110ax y ++=平行，所以38431112aa⨯=⨯⎧⎨⨯≠-⨯⎩ 解得6a =， 又直线34120x y +-=可化为直线68240x y +-=，所以直线68240x y +-=与直线68110x y ++=间的距离为：72d ==，故答案为：72【点睛】本题主要考查两直线的位置关系以及两平行间的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.33．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =_____________.【答案】4或1-或16-或23【解析】 【分析】首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式求m .【详解】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，当12l l //时，411m =，即4m =，当13//l l 时，4123m =-，解得：16m =-， 当23//l l 时，123m m=-，不成立， 当三条直线交于同一点时，联立直线1l 和2l ，则4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，解得：44x m =-，44my m =-，即交点为44,44m m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入直线3l ，28124044m m m --=--，即2320m m +-=，解得：1m =-或23m =， 所以4m =或16-或1-或23.故答案为：4或1-或16-或23【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，重点考查分析问题的能力，属于基础题型.34．圆C ：224210x y x y +--+=上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为______.【答案】2【解析】 【分析】先由圆的方程，得到圆心为()2,1C ，半径为2r，求出圆心到直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果.【详解】由224210x y x y +--+=整理得()()22214x y -+-=，即圆C 的圆心为()2,1C ，半径为2r，所以圆心()2,1C 到直线2140x y +-=的距离d ==根据圆的性质可得，圆上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为2d r+=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查求圆上一点到定直线距离的最值，属于基础题型.35．点P （-1,1）为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为____________【答案】2x-y+3=0 【解析】根据题意，设圆()22125x y -+=的圆心为M ，则M 的坐标10（，）， 则0111(1)2MP k -==---，由11P -（， 为圆M的弦AB 的中点，则MP AB ⊥ ，则2AB k = ，则直线AB 的方程为y 121x -=+（） ，即230x y -+= ； 故答案为230x y -+=．【点睛】本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用垂径定理分析直线AB 的斜率．36．一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆()2231x y -+=相切，则反射光线所在的直线方程为____.【答案】2x =或43170x y +-=【解析】 【分析】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,即反射光线过点()2,3,分别讨论反射光线的斜率k 存在与不存在的情况,进而求解即可 【详解】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,（1）设反射光线的斜率为k ,则反射光线的方程为()32y k x -=-,即320kx y k -+-=,因为反射光线与圆()2231x y -+=相切,。
高二期中模拟考试二数学试题答案
32-<x 高二期中模拟考试二数学试题答案1.】C 2．A3．B4.【答案】C5.【答案】D6.C ．7．C【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X 的可能值为2或3，222(2)(1)221P X p p p p ==+-=-+，A 错；222(3)(1)(1)(1)(1)(1)22P X p p p p p p p p p p p p ==-+-+-+--=-+，B 错；222215()2(221)3(22)2222(22E X p p p p p p p =-++-+=-++=--+，因为112p <<，所以5()(2,)2E X ∈，C 正确；记2222p p t -++=，5(2,2t ∈，2222()4(221)9(22)1010456E X p p p p p p t =⨯-++⨯-+=-++=-，222251()()()56()24D X E X E X t t t =-=--=--+，因为5(2,2t ∈，所以1()4D X <，D 错．8.【答案】D【解析】解：令()()g x f x x =+，()()2f x f x x =-- ，()()()f x x f x x ∴+=-+-，即()()g x g x -=，()g x ∴为R 上的偶函数；令2()()h x g x x =+，则()()h x h x -=，即()h x 为R 上的偶函数；又当0x 时，2()[()]()()210h x f x x x f x x '=+'+'='++ ，()h x ∴在[0,)+∞上单调递增；又222(21)33(1)(21)(21)21(1)(1)f x x x f x f x x x f x x +++>+⇔+++++>+++1(21)(1)x h x h x ++⇔+>+，2|21||1|320x x x x ∴+>+⇔+>，解得：0x >或，9．ABC10.【答案】ABD11.【答案】BD12.【答案】ACD解：对于A ，010()()ktf t e θθθ-=+-⋅ ，10()()()ktf t k eθθ-∴'=-⋅-⋅，10θθ> ，0k >，()0f t ∴'<，故A 正确；对于B ，180θ= ，020θ=，()2060ktf t e -∴=+⋅，由3(3)206065kf e-=+⋅=，得3453604k e -==，则6329(6)20602060()206053.7516kk f ee --=+⋅=+⋅=+⨯=，故B 错误；对于C ，(3)f '表示在3t =处，(3)f 的变化速度，(3)40f '=-< ，∴其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟4C ︒的速率下降，故C 正确；对于D ，设10()()()()ktg t f t k eθθ-='=-⋅-⋅，则210()()0ktg t k eθθ-'=-⋅⋅>，()g t ∴在定义域内单调递增，又()0f t '<，()f t ∴的下降速度随时间增加而减小，又8060604020-=-=，∴下降相同温度，用时相对增加，故D 正确．13．51614.2015．216.【答案】ln 51(,)5e解：函数()|ln |f x x =的图象如图示：当0a 时，显然，不合乎题意，当0a >时，如图示，当(0,1]x ∈时，存在一个零点，当1x >时，()ln f x x =，可得()ln g x x ax =-，((1,5])x ∈11()ax g x a x x -'=-=，若()0g x '<，可得1x a>，()g x 为减函数，若()0g x '>，可得1x a <，()g x 为增函数，此时()f x 必须在(1,5)上有两个零点，1()0(5)0(1)0g a g g ⎧>⎪⎪∴<⎨⎪<⎪⎩，解得1515n a e <<，17.【答案】解：由已知得二项式系数之和为12128n -=，所以8.n =(1)展开式通项为：8483181(.02kk k k T C x k --+==，1， (8)令8403k -=得 2.k =故常数项为8223817()216T C -==3(2)x 的项的系数为33343343424423.n n n C C C C C C C ++++++=+++= 将8n =代入得411330.C =18.解：(1)①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝2325C C ·1223C C ＝15.②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P(A 2)＝22322253C C C C ＋113225C C C ·1223C C ＝12，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2，P(X ＝0)＝7110⎛⎫-⎪⎝⎭2＝9100，P(X ＝1)＝C 21·7107110⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2150，P(X ＝2)＝710⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝49100，所以X 的分布列是X 012P9100215049100X 的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.19.【解析】（1）把6本不同的书分给3位学生，每人2本，有222364233390C C C A A ⨯=种方法；（2）若个位是0，则有3560A =种，若个位不是0，先从2､4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有242496A ⨯⨯=种，故012345､､､､､这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共6096156+=个；（3）分类计数：若1个会双语的导游都不选，则有33344C C =种，若恰选1个会双语的导游，则有()233213434236C C C C C +=种，若恰选2个会双语的导游，则有1331122343423452C C C C C CC ++=种，故不同的选择方法有4365292++=种．20.【答案】解：(1)由题意知||OC =||120AC x =-，20120()(0120)3050x xt x x-∴=+ )1200(≤≤x 12221(20)211(2)()2305050x x t x -+⨯'=-=令()0t x '=，得15x =当015x <<时，()0t x '<，当15120x <<时，()0t x '>所以()t x 在[0,15)上单调递减，在(15,120]上单调递增；即15x =时()t x 取最小值，所以当15x km =时运输时间最短.21．（1）先摸球者获胜，则游戏进行3轮或5轮3轮：白黑黑：311152310⨯⨯=，黑白黑：231154310⨯⨯=，5轮：最后一球为黑球：343525C C =，所以先摸球者获胜的概率为1123101055++=.（2）X 的所有可能取值为：0､1､2､3，328(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33223322348(1)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32333323257(2)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32212(3)555125P X ==⨯⨯=，分布列为：X123P81254812557125121258485712198()0123125125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22【答案】解：21(1)()ln 2f x x bx x =-+，则211()(0).x bx f x x b x x x-+'=-+=>令2()1x x bx ϕ=-+，若042≤-=ac b σ，即242-≤-≤ac b 时，则0≥）（x ϕ恒成立，即()0f x ' 恒成立，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增；若240b ∆=->，则2b <-或2b >，当2b <-时，函数2()1x x bx ϕ=-+的对称轴方程为12bx =<-，(0)1ϕ=，则当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ>恒成立，即()0f x '>恒成立，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2b >时，函数2()1x x bx ϕ=-+的对称轴方程为12bx =>，(0)1ϕ=，由2()10x x bx ϕ=-+=，得2b x =，∴当44(0,(,)22b b x +∈+∞ 时，()0x ϕ>，()0f x '>，当(,22b b x ∈时，()0x ϕ<，()0f x '<，()f x ∴在(0,2b，(,)2b ++∞上单调递增，在(,22b b -上单调递减．综上所述，当2b 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2b >时，()f x在(0,2b -，(,)2b +∞上单调递增，在(,22b b 上单调递减．(2)函数21()ln 2f x x x bx =+-，211()x bx f x x b x x -+'=+-=，由()0f x '=，得210x bx -+=，1x ，212()x x x <是函数()f x 的两个极值点，12x x b ∴+=，121x x =，211x x ∴=，52b ，1211152x x x b x +=+= ，12110x x x <<=，解得1102x <，222112121211221111()()ln ()()2ln ()22x f x f x x x b x x x x x x ∴-=+---=--，构造函数22111()2ln ()((0,]),22F x x x x x =--∈223321(1)()0x F x x x x x --'=--=<，()F x ∴在1(0,]2上单调递减．∴当112x =时，min 115()()2ln 228F x F ==-，故k 的最大值为152ln 2.8-补充练习：已知函数()(ln )().xxf x a x x a R e =+-∈(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的极值点的个数．【答案】解：(1)当1a =时，()ln (0)xxf x x x x e =+->，则1111()1(1)()x x x f x x e x e x-'=+-=-+，所以(1)0f '=，又1(1)1f e=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为11y e=-；(2)由题意可知，111()(1)()(0)x xx x xf x a a x e x x e --'=+-=+>，记()x x g x a e =+，1()x xg x e-'=，令()0g x '>，得01x <<，令()0g x '<，得1x >，所以()g x 的增区间为(0,1)，减区间(1,)+∞，所以()g x 的最大值为1(1)g a e =+，所以1()a g x a e<+ ，①当0≥a 时，()0g x >恒成立，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，此时有且只有1个极值点，②当1a e-时，()0g x 恒成立，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，所以()f x 有且仅有1个极值点，③当10a e-<<时，方程()0g x =有两个相异的实数根1x ，2x ，不妨设1201x x <<<，则10x x <<，()0f x '<，当11x x <<，()0f x '>，当21x x <<，()0f x '<，当2x x >，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 上递增，在2(1,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增，此时()f x 有3个极值点．综上可知，当0a 或1a e -时，()f x 有1个极值点；当10a e-<<时，()f x 有3个极值点．。
人教A版选修2-2高二下数学期中模拟试题参考答案.docx
梁山一中高二数学（理科）模拟测试题参考答案一．选择题DBAAD ADBCC AD 二．填空题 13.1(0,)e ，14. 18ln 2，15.(1,0)(1,)-+∞U ，16.1212lg lg lg 22x x x x ++> 三．解答题17.解：26(1)(2)2(1)(1)(1)m i z i m i i i +=+----+=2(2)3(1)2(1)i m m i i +-+--22(232)(32)m m m m i =--+-+（1）若复数z 是实数，则2320m m -+=，所以1,m =或2；（2）若复数z 是纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，所以12m =-；（3）因为复数z 对应的点位于第一、三象限的角平分线上 所以2223232m m m m --=-+，所以2m =±. 18.19.（1）证明：连结1BC 交1B C于F ，连结EF .,E F Q 分别是1,AB BC 的中点，EF ∴是1ABC ∆的中位线，1//EF AC ∴.又EF ⊂Q 平面1EB C ，1AC ⊄平面1EB C ,∴1//AC 平面1EB C（2）解：作DG AB ⊥于G ，以D 为坐标原点，1,,DG DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.60BAD ∠=︒Q ，1,3AG DG ∴==111(0,0,0),1,0),,0),(0,3,0),(0,0,3)2D A E B C B D ∴-设平面1EB C 的一个法向量为(,,)n x y z =r. 133(0,,3),(,0)22EB EC ==u u u r u u u r Q,3302502y z y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，令2y =，则1,z x =-=，2,1)n ∴=-r，又11(,3)2ED =-u u u u r Q ，∴设直线1ED 与平面1EB C 所成角为θ，则1sin cos ,70n ED θ=<>==r u u u u r∴直线1ED 与平面1EB C所成角的正弦值为70. 20.解:(1)当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时, 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=(升).(2)当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数.∴当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.21.(1)证明：以D 为坐标原点，,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由题意得(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),(0,0,)A a B a a C a D E a S a λ.(,,0),(,,)AC a a BE a a a λ∴=-=--u u u r u u u r， 2()()00AC BE a a a a λ∴=-+⋅-+⋅=u u u r u u u rg ，AC BE ∴⊥u u u r u u u r，即对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥.（2）解：平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =r， 设平面ACE 的一个法向量为2(,,)n x y z =r(,0,),(,,0)AE a a AC a a λ=-=-u u u r u u u rQ ，00ax az ax ay λ-+=⎧∴⎨-+=⎩，令1x =，则11,y z λ==. 21(1,1,)n λ∴=r12cos cos 60n n ∴<⋅>==︒u r u u r因为(0,1]λ∈，所以解得2λ=. 22.解:(1)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值,∴0)1(='f 即022=-+a ax解得 1.a =(2)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. (3)当2a ≥时,由(2)①知,()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时,由(2)②知,()f x 在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞。
高二数学第二学期期中检测试题及答案
第- 1 -页 共12页—高二数学下学期期中考试试卷(甘谷四中)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.（1）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 （ ）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交 （2）如果a 、b 是异面直线，那么过直线a 且与b 平行的平面 （ ）A.不存在B.有且只有一个C.有两个D.有无数个 （3）已知)1,1,1(A ，)4,0,1(-B ，)3,2,2(-C ，则><→→CA AB ,的大小为 （ ）A.π61B.π65 C.π31 D.π32（4）已知ABC ∆的三个顶点)2,3,3(A ，)7,3,4(-B ，)1,5,0(C ，则边BC 上的中线长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5（5）已知点P 是两条异面直线a ，b 外一点，则过P 点且与a ，b 都平行的平面的个数为（ ）A.0B.1C.0或1D.2 （6）设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥； ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α，n //α，则m n //； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 （ ） A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④（7）若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为 （ ）（8）在四面体ABCD 中，已知棱AC1，则二面角 C BD A --的余弦值为 （ ）第- 2 -页 共12页A.31 B. 31- C.33 D.23（9）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为 （ ）A.83 B.38 C.43 D.34（10）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ） A.8π B.6π C.4π D.π （11）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1111AC B D 与的交点.若,→→=a AB ,→→=b AD →→=c AA 1，则下列向量中与→DM 相等的向量是 （ ） A.→→→++-c b a 2121 B. →→→++c b a 2121C. →→→+--c b a 2121D. →→→+-c b a 2121（12）地球半径为R ，在北纬30°圈上，A 点经度为东经120°，B 点的经度为西经60°，则A 、B 两点的球面距离为 （ ）A.R 3πB.R π23 C.R π21D ．R π32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若,a BD AC ==且AC 与BD 所成的角为60o ，则四边形EFGH 的面积是 ． （14）正方形的面积与其水平放置的直观图的面积的比为 . (15) 平行六面体1111D C B A ABCD -中，向量→AB ，→AD ，→1AA 两两夹角均为60°，且,3||,2||,1||1===→→→AA AD AB 则=→||1AC .(16) 设a ，b 是平面α外的两条直线，给出下列四个命题：得分评卷人MA C DB第- 3 -页 共12页①若b a //，α//a ，则α//b ； ②若α//a ，α//b ，则b a //；③若b a //，b 与α相交，则a 与α也相交； ④若a 与b 异面，α//a ，则α//b ．其中正确命题的序号是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知),2,5,1(),5,2,3(-=-=→→b a 求：.,6,,|,|→→→→→→→→⋅-+b a a b a b a a第- 4 -页 共12页（18）（本小题满分12分）在三棱锥ABC S -中， 90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，,2=AC ,4=BC24=SB .（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A BC S --的大小.得分评卷人SABC第- 5 -页 共12页（19）（本小题满分12分）在四面体ABCD 中，CD CB =，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， （Ⅰ）求证直线EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）求证平面⊥EFC 平面BCD .第- 6 -页 共12页（20）（本小题满分12分）如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ，若AE ⊥PC ， E 为垂足，F 为PB 上任意一点.求证：平面AEF ⊥平面PBC .第- 7 -页 共12页（21）（本小题满分12分）已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°,PA ⊥平面ABCD ，且.2,1====BC AB AD PA(Ⅰ)求PC 的长；(Ⅱ)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小.得分评卷人PA BCD第- 8 -页 共12页（22）（本小题满分12分）如图，四棱锥中， 平面，底面为直角梯形，且，，,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离.P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD //AB CD 90BAD ∠=2PA AD DC ===4AB =BC PC ⊥PB PAC A PBCDCBA P第- 9 -页 共12页甘谷四中2019—2019学年度第二学期期中考试高二数学评分参考一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.(1)B (2)B (3)D (4)B (5)C (6)A (7)C (8)B (9)C (10)C (11)D (12)D 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. （13）283a ； （14） （15）5； （16）③.三、解答题：(17) （本小题满分10分）解：,3852)3(||222=++-=→a ……2分),3,7,2(-=+→→b a ……4分),7,3,4(--=-→→b a ……6分),30,12,18(6-=→a ……8分.310103-=-+-=⋅→→⋅b a ……10分(18) （本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）, ,SA AB SA AC ⊥⊥且,ABAC A SA =∴⊥平面ABC .AC 为SC 在平面ABC 内的射影.又AC ⊥BC , ∴BC ⊥SC . ……6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）BC ⊥SC ，又BC ⊥AC ，∴SCA ∠为所求二面角的平面角.又∵SB =,24BC =4,∴SC =4 . ∵AC =2 , ∴SCA ∠=60°.即二面角A BC S --大小为60°. ……12分注：也可用向量做，可按以上规则给分.(19) （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EFAD ⇒,EF ADAD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面 ……6分第- 10 -页 共12页（II ）EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点，又BD BCD ⊂面，∴EFC D ⊥面面BC ……12分 注：也可用向量做，可按以上规则给分.(20) （本小题满分12分）证明：∵ C 是以AB 为直径的圆O 的圆周上一点， ∴ BC ⊥AC又∵ PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴ BC ⊥PA∴ BC ⊥平面PAC ……6分 又∵ AE ⊂平面PAC ∴ BC ⊥AE又∵ AE ⊥PC ，BC ∩PC=C ∴ AE ⊥平面PBC 又∵AE ⊂平面AEF∴ 平面AEF ⊥平面PBC ……12分 (21) （本小题满分12分）解：(Ⅰ)因为P A ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理 PB =222=+AB PA .∴PC =622=+PC PB . ……6分 (Ⅱ)如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角. ∵CE =BD =2，且 PE =1022=+AE PA∴由余弦定理得cos PCE =632222-=⋅-+CE PC PE CE PC ∴PC 与BD 所成角的余弦值为63. ……12分(22) （本小题满分12分） 方法一：第- 11 -页 共12页（Ⅰ）证明：在直角梯形中，，， ，且取的中点，连结， 由题意可知，四边形为正方形，所以，又，所以， 则为等腰直角三角形，所以，又因为平面，且 为在平面内的射影， 平面，由三垂线定理得，……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，，，所以平面， 是在平面内的射影，所以是与平面所成的角， ……6分 又，，，即与平面所成角的正弦为……8分 (III)由(II)可知，平面，平面，所以平面平面，过点在平面内作于，所以平面，则的长即为点到平面的距离，在直角三角形中，，，所以即点到平面 ……12分 方法2∵平面，∴以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ……1分 ∵，.∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) ……2分 ABCD //AB CD 90BAD ∠=2AD DC ==∴90ADC ︒∠=AC =AB E CE AECD 2AE CE ==122BE AB ==12CE AB =ABC ∆AC BC ⊥PA ⊥ABCD AC PC ABCD BC ⊂ABCD BC PC ⊥BC PC ⊥BC AC ⊥PC AC C =BC ⊥PAC PC PB PAC CPB ∠PB PAC CB =22220PB PA AB =+=PB =sin 5CPB =PB PAC 5BC ⊥PAC BC ⊂PBC PBC ⊥PAC A PAC AF PC ⊥F AF ⊥PBC AF A PBC PAC 2PA =AC =PC =AF =A PBC AP ⊥ABCD 90BAD ∠=2PA AD DC ===4AB =第- 12 -页 共12页 （I ）∴∵∴, 即 ……4分 (II) ∵设面APC 法向量∴ ∴设∴∵∴即与平面 ……8分 (III)由∵设面法向量 ∴ ∴设∴∴点到平面的距离为= ∴点到平面……12分(2,2,0),(2,2,2)BC PC =-=-0BC PC =BC PC ⊥BC PC ⊥(0,0,2),(2,2,0)AP AC ==(,,)x y z =n 00AP AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 0,220z x y =⎧⎨+=⎩1,1x y =-∴=(1,1,0)=-n (0,4,2)PB =-cos ,|||PB PB PB <>=⨯n n n |PB PAC (0,4,2),(2,2,2)PB PC =-=-PBC (,,)a b c =m 00PB PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 420,2220b c a b c -=⎧⎨+-=⎩1,2,1a c b =∴==(1,1,2)=m A PBC ||AB d =m |m |3A PBC。
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高二数学期中模拟试卷2
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图，设两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的
距离为，，后，就可以计算出两点的距离为．
A. B. C. D.
2. 若，则
A. B. C. D.
3. 已知，，则
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点坐标是
A. B. C. D.
5. 已知点为圆的圆心，则点到直线的距离是
6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此动圆恒过定点
A. B. C. D.
7. 已知集合，，则
的元素个数为
A. B. C. D.
8. 直线与的夹角为
A. B. C. D.
9. 已知双曲线的实轴长为，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为
A. B. C. D.
10. 已知空间四边形的各边以及对角线的长都是，点，，分别是，，的中
点，下列运算的结果为正数的是
A. B. C. D.
11. 点在椭圆的左准线上．过点且方向为的光线，
经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
12. 已知点在圆：上，点在圆：上，则
下列说法错误的是
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 若，则实数的取值范围为
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭
圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是．
14. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实
数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．
15. 已知，则的值是．
16. 已知在中，边上的高与边的长相等，则的最大值
为．
三、解答题（共6小题；共70分）
17. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所
示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．
18. 已知三点、、．
（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；
（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在
上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
20. 在中，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
21. 如图，在四棱锥中，，，，，
．为的中点，点在上，且．
（1）求证：；。