20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲对数与对数函数 2

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高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数(带详细解析) 理新人教A版

高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数（带详细解析）理新人教A 版一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( ) A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.答案 A4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1.∴m >log a a 2＝2. 答案 D5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析由a>0，ab =1可知b>0，又y=log a |x+b|的图象关于x=-b 对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B 正确．答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案－29．(2009·台州第一学期期末)已知0<a n . 答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229， ⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭⎪⎫12π.解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log 9log 9log 87221>>>.∵xy )21(=在R 上是减函数， ∴1>3)21(>π)21( >0. 又log 3<0，综上：3log π)2()21(9log 9log 9log 21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2 －3×4x的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43，当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝ln 2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

2022高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第2讲函数的基本性质 2 Word版含解析

第二章函数的概念与基本初等函数I第二讲函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y =cos x B.y =x 2C.y =ln|x |D.y =e-|x |2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f (x )=sIn x ·ln(mx +√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m =( ) A .2B .4C .±2D .±43.[2020郑州三模]若函数f (x )={e x -x +2a ,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,3]C .[12,1) D .(1,2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ,则g (2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5),当x ∈[-2,0)时,f (x )=-(x +2)2,当x ∈[0,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f (x )=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f (x )的最大值为( )A.1B.2C.12 D .37.[2021济南名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),y =f (x +3)为偶函数,若f (x )在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是( ) A .f (192)<f (e 12)<f (ln 2) B .f (e 12)<f (ln 2)<f (192) C .f (ln 2)<f (192)<f (e 12) D .f (ln 2)<f (e 12)<f (192)8.[2020陕西省百校联考]函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,若f (-2)=1,则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[0,4]9.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x )={sInx ,x ∈[0,1),f (x -1),x ∈[1,+∞),则f (-π6-5)= .10.函数f (x )=x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .11.[2021蓉城名校联考]已知函数f (x )=x +cos x ,x ∈R,设a = f (0.3-1), b = f (2-0.3),c = f (log 20.2),则( )A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y =f (x -1)是定义在R 上的偶函数,且y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f (-2x -1-1)<f (3)的解集为( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)13.已知f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x ,y ∈(1,+∞),均有f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,则不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]14.[2020长春市质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2+x )+f (x )=0,当x ∈[-2,0]时,f (x )=-x 2-2x ,则当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值为( ) A.-8B.-1C.0D.115.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2),其图象是连续的,当x >2时,函数y =f (x )是单调函数,则满足f (x )=f (1-1x+4)的所有x 之积为( )A .3B .-3C .-39D .3916.[原创题]设增函数f (x )={lnx ,x >1,-1+ax x,0<x ≤1的值域为R,若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},则实数c 的值为( ) A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D .12答案第二讲函数的基本性质1.D 函数y =cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y =cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y =x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y =ln|x |={lnx ,x >0,ln (-x ),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y =e -|x |={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D .2.C ∵f (x )的图象关于y 轴对称,∴f (x )为偶函数,又y =sin x 为奇函数,∴y =ln(mx +√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx +√1+4·(-x )2]+ln(mx +√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m =±2.故选C .3.B 当x >0时,f (x )=e x -x +2a ,则f'(x )=e x-1>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x ≤0时,f (x )=(a -1)x +3a -2是单调递增函数,所以a -1>0,得a >1.e 0-0+2a ≥(a -1)×0+3a -2,解得a ≤3.所以1<a ≤3,故选B .4.C 依题意f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ①,所以f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+a ,即f (x )+g (x )=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g (x )=-2x 3,g (x )=-x 3,所以g (2)=-23=-8.故选C .5.A由f (x )=f (x +5)可知f (x )的周期为5,又f (0)=0,f (1)=1,f (2)=2,f (-1)=-1,f (-2)=0,∴f (3)=f (-2)=0,f (4)=f (-1)=-1,f (5)=f (0)=0,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=2,∴f (1)+f (2)+…+f (2 021)=f (1)+2×404=809.故选A . 6.C 解法一因为函数f (x )=2x cosx4x +a 是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即2-x cos (-x )4-x +a=2x cosx 4x +a,化简可得a (4x -1)=4x-1,得a =1,所以f (x )=2x cosx 4x +1=cosx 2x +2-x.又cos x ≤1,2x +2-x ≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )≤12.故选C .解法二因为函数f (x )为偶函数,所以f (-1)=f (1),即2-1cos (-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a =1,所以f (x )=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cos x ≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )max =12,故选C .7.A 由f (x +6)=f (x )知函数f (x )是周期为6的函数.因为y =f (x +3)为偶函数,所以f (x +3)=f (-x +3),所以f (192)=f (72)=f (12+3)=f (-12+3)=f (52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f (x )在(0,3)上单调递减,所以f (52)<f (e 12)<f (ln 2),即f (192)<f (e 12)<f (ln 2),故选A .8.D 依题意得,函数f (x )是偶函数,则f (x -2)≤1,即f (|x -2|)≤f (|-2|).由函数f (x )在[0,+∞)上单调递增得|x -2|≤2,即-2≤x -2≤2,0≤x ≤4.所以满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是[0,4],故选D .9.12因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (-π6-5)=f (π6+5).因为x ≥1时,f (x )=f (x -1),所以f (π6+5)=f (π6+4)=…=f (π6).又0<π6<1,所以f (π6)=sin π6=12.故f (-π6-5)=12.10.(1,2) 解法一由题意设图象的对称中心为(a ,b ),则2b =f (a +x )+f (a -x )对任意x 均成立,代入函数解析式得,2b =(a +x )3-3(a +x )2+5(a +x )-1+(a -x )3-3(a -x )2+5(a -x )-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a -2=2a 3-6a 2+10a -2+(6a -6)x 2对任意x 均成立,所以6a -6=0,且2a 3-6a 2+10a -2=2b ,即a =1,b =2,即f (x )的图象的对称中心为(1,2). 解法二由三次函数对称中心公式可得,f (x )的图象的对称中心为(1,2).11.D f (x )=x +cos x ,则f'(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f (log 20.2)<f (2-0.3)<f (103),即c <b <a.12.D 由题可知y =f (x -1)的图象关于y 轴对称.因为y =f (x )的图象向右平移1个单位长度得到y =f (x -1)的图象,所以y =f (x )的图象关于直线x =-1对称.因为y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以f (x )在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x -1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x -1<4,解得x <3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D .13.A 根据f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,可得2=1+1=f (2)+f (2)=f (24),所以f (x )+f (x -1)-2≥0得f (22x -1)≥f (24).又f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x ≥52.所以不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为[52,+∞).14.B由f (2+x )+f (x )=0,得函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0,2],则-x ∈[-2,0],f (-x )=-(-x )2-2(-x )=-x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=x 2-2x =(x -1)2-1,当x =1时,f (x )取得最小值-1.由周期函数的性质知,当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值是-1,故选B .15.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数,所以函数y =f (x )图象关于x =2对称,因为f (x )在(2,+∞)上单调,所以f (x )在(-∞,2)上也单调,所以要使f (x )=f (1-1x+4),则x =1-1x+4或4-x =1-1x+4.由x =1-1x+4,得x 2+3x -3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x =1-1x+4,得x 2+x -13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .16.A 当x >1时,f (x )为增函数,且f (x )∈(0,+∞), 当0<x ≤1时,-1+ax x=a -1x ≤a -1,即f (x )∈(-∞,a -1].因为f (x )为增函数,所以a -1≤0,则a ≤1,又函数f (x )的值域为R,所以a -1≥0,即a ≥1,从而a =1,函数f (x )={lnx ,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},易知ln x =x +b 的解为x =e,所以b =1-e,当x =1时,x +b =1+1-e=2-e<0=f (1),故0<c <1.令-1+x x=x +1-e,得x 2-e x +1=0,从而x =e -√e 2-42,则c =e -√e 2-42,故选A .。

2022版新教材高考数学一轮复习第二章函数2.6对数与对数函数学案新人教A版202105192150

2.6对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理1.对数的概念如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算法如此(1)对数的运算法如此如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①log a(MN)=;②log a M=;N③log a M n=(n∈R).(2)对数的性质:a log a N=N(a>0,且a≠1,N>0).(3)对数换底公式:log a b=log c b(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).log c a3.对数函数的图象与性质图象4.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线对称.1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)(1)log a1=0;(2)log a a=1;log a b(m≠0).(3)lo g a m b n=nm2.换底公式的推论(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1)(1)log a b·log b a=1,即log a b=1;log b a(2)log a b·log b c·log c d=log a d.3.对数函数的图象与底数大小的比拟如图,直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即为相应的底数.结合图象知0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)log2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x与y=lo g133x都是对数函数.()(3)当x>1时,假如log a x>log b x,如此a<b.()(4)函数f(x)=lg x-2x+2与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.()(5)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a,-1).() 2.(2020某某某某中学八模,理3)x·log32=1,如此4x=()A.4B.6C.4log32D.93.(2020某某历城二中模拟四,3)a=lo g1516,b=lo g13π3,c=3-13,如此a,b,c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a4.假如函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此函数y=log a|x|的图象大致是()5.(2020某某某某一模,理13)假如2a =10,b=log 510,如此1a +1b =.关键能力学案突破考点对数式的化简与求值【例1】化简如下各式:(1)lg 37+lg 70-lg 3-√(lg3)2-lg9+1; (2)log 3√2743·log 5[412log 210-(3√3)23-7log 72].解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进展变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对点训练1(1)(2020全国1,文8)设a log 34=2,如此4-a =()A.116B.19C.18D.16(2)(2020某某某某一模,5)定义在R 上的函数f (x )的周期为4,当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x -x-4,如此f (-log 36)+f (log 354)=()A.32B.32-log 32 C.-12D.23+log 32考点对数函数的图象与其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是()(2)当0<x≤12时,4x=log a x有解,如此实数a的取值X围是.解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致是()(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3变式发散将本例(2)中的“4x=log a x有解〞改为“4x<log a x〞,如此实数a的取值X围为.考点对数函数的性质与其应用(多考向探究)考向1比拟含对数的函数值的大小【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=23,如此()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)(2020某某某某一模,理9)a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,如此()A.ab<ac<a+bB.a+b<ab<acC.ac<ab<a+bD.ab<a+b<ac解题心得比拟含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比拟含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数一样的可以借助函数的图象;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).对点训练3(1)(2020某某某某二模,理3)a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,如此()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b(2)(2020全国3,理12)55<84,134<85.设a=log 53,b=log 85,c=log 138,如此()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b考向2解含对数的函数不等式【例4】(1)函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.假如正实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),如此a 的取值X 围是()A.[1,2]B.0,12C.12,2 D.(0,2](2)设函数f (x )={log 2x,x >0,log 12(-x),x <0.假如f (a )>f (-a ),如此实数a 的取值X 围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如log a f (x )>log a g (x )(a>0,且a ≠1)的不等式,再借助y=log a x 的单调性求解,当a>1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x),当0<a<1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)<g(x).对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,如此不等式f(x)<-1的解集是.(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为.考向3对数型函数的综合问题【例5】函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值X围.解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些根本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.对点训练5(1)(2020某某潍坊一模,7)定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),如此()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a(2)函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上单调递增,如此a的取值X围是.2.6对数与对数函数必备知识·预案自诊知识梳理2.(1)①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M3.(0,+∞)(1,0)增函数减函数4.y=log a x y=x考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.D ∵x ·log 32=1,∴x=log 23,∴4x =4log 23=4log 49=9,应当选D .3.D a=lo g 1516>lo g 1515=1,b=lo g 13π3<lo g 131=0,c=3-13=√33,如此0<c<1,所以b<c<a.应当选D .4.A 函数y'=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此0<a<1,由此可知y=log a |x|的图象大致是A .5.1∵2a =10,∴a=log 210,又b=log 510,∴1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1.关键能力·学案突破例1解(1)原式=lg37×703-√(lg3)2-2lg3+1=lg10-√(lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log 33343·log 5[10-(332)23−7log 72]=(log 3334-1)·log 5(10-3-2)=(34-1)·log 55=-14.对点训练1(1)B(2)A(1)因为a log 34=log 34a =2,所以4a =32=9,所以4-a =14a =19.应当选B .(2)由题意,f (log 354)=f (log 354-4)=f log 323,∵当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x-x-4,且-log 36∈[-2,2),log 323∈[-2,2),∴f (-log 36)+f (log 354)=13-log 36-(-log 36)-4+13log 323-log 323-4=3log 36+3log 332+log 36-log 323-8=6+32+log 39-8=32.应当选A .例2(1)C(2)0,√22(1)函数y=2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D .应当选C .(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x.当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图象,如下列图.可知,只需两图象在0,12上有交点即可,如此f 12≥g12,即2≥log a 12,如此0<a ≤√22,所以a 的取值X 围为0,√22.对点训练2(1)A(2)C(1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图象关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递减;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递增.再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)函数y=|log 2x|-12x 的零点个数即为方程|log 2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log 2x|与y=12x的图象(图象略),不难得出两个函数的图象有2个交点,应当选C .变式发散√22,1设函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f12<g12,即2<log a 12,如此a>√22,所以a 的取值X 围为√22,1.例3(1)A(2)D(1)∵32a=32log 32=lo g 3223=log 98<1,∴a<23.∵32b=32log 53=lo g 5233=log 2527>1,∴b>23.又c=23,∴a<c<b.应当选A .(2)∵0=log 0.31<log 0.30.5<log 0.30.3=1,即0<a<1;log 30.5<log 31=0,即b<0;0=log 0.51<log 0.50.9<log 0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac. ∵1a+1b =log 0.50.3+log 0.53=log 0.50.9=c ,即0<a+b ab=c<1,∴ab<a+b<0.综上,ab<a+b<ac.应当选D .对点训练3(1)B(2)A(1)∵log 51<log 52<log 5√5,∴0<a<12,b=log 0.50.2=lo g 1215=log 25>log 24=2,∵0.51<0.50.2<0.50,∴12<c<1,∴a<c1,∴b>34. ∵55<84,∴54b=54log 85=lo g 8455<1,∴b<45.∵134<85,∴54c=54log 138=lo g 13485>1,∴c>45. 综上,a<b<c.例4(1)C(2)C(1)因为lo g 12a=-log 2a ,所以f (log 2a )+f (lo g 12a )=f (log 2a )+f (-log 2a )=2f (log 2a ),原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1).又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,所以|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2,应当选C .(2)由题意可得{a >0,log 2a >-log 2a 或{a <0,log 12(-a)>log 2(-a),解得a>1或-1<a<0.应当选C .对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12(2){x|4<x ≤5}(1)由条件可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-log 2(-x ).当x ∈(0,+∞)时,f (x )<-1,即为log 2x<-1,解得0<x<12;当x ∈(-∞,0)时,f (x )<-1,即为-log 2(-x )<-1,解得x<-2.所以f (x )<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.(2)原不等式等价于{x -1>0,x -3>1,x -1≥(x -3)2或{x -1>0,0<x -3<1,x -1≤(x -3)2,解得4<x ≤5,故原不等式的解集为{x|4<x ≤5}.例5解(1)因为f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),所以{x +1>0,1-x >0,解得-1<x<1.故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f (x )为奇函数.证明如下:由(1)知f (x )的定义域为{x|-1<x<1},f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ).故f (x )为奇函数.(3)因为当a>1时,f (x )在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, 由f (x )>0,得x+11-x>1,解得0<x<1.所以x 的取值X 围是(0,1).对点训练5(1)C(2)0,16∪(1,+∞)(1)根据题意,有f (-x )=f (x ),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,如此f (x )=2|x|-1={2x -1,x ≥0,2-x -1,x <0.如此f (x )在(0,+∞)上单调递增,a=f (-ln3)=f (ln3),b=f (log 25),c=f (20)=f (1),又0<1<ln3<2<log 25,如此c<a1时,f (t )为定义域上的增函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递增, 所以{12a ≤1,a -1+3>0,a >1,解得a>1.当0<a<1时,f (t )为定义域上的减函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递减,所以{12a≥3,9a -3+3>0,0<a <1,解得0<a ≤16. 故a 的取值X 围为0,16∪(1,+∞).。

2022高考数学一轮复习—指数和对数习题含答案

指数与指数函数[A 组基础保分练]1.函数f （x ）＝21－x的大致图像为（）解析：函数f （x ）＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x，单调递减且过点（0，2），选项A 中的图像符合要求. 答案：A2.（2021·安徽皖江名校模拟）若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有（） A.a ＋b ≤0 B.a －b ≥0 C.a －b ≤0 D.a ＋b ≥0解析：令f （x ）＝e x－π－x ，则f （x ）在R 上是增加的，因为e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b－πb ，则f （a ）≥f （－b ），所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0. 答案：D3.（2021·衡阳模拟）当x ∈（－∞，－1]时，不等式（m 2－m ）·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（） A.（－2，1） B.（－4，3） C.（－3，4） D.（－1，2）解析：∵（m 2－m ）·4x －2x ＜0在x ∈（－∞，－1]上恒成立，∴m 2－m ＜12x 在x ∈（－∞，－1]上恒成立.又f （x ）＝12x 在x ∈（－∞，－1]上单调递减，∴f （x ）≥2，∴m 2－m ＜2，∴－1＜m ＜2. 答案：D4.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f （x ）是（）A.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增B.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递增解析：易知f （0）＝0，当x >0时，f （x ）＝1－2－x ，－f （x ）＝2－x －1，此时－x <0，则f （－x ）＝2－x －1＝－f （x ）；当x <0时，f （x ）＝2x －1，－f （x ）＝1－2x ，此时－x >0，则f （－x ）＝1－2－（－x ）＝1－2x ＝－f （x ）.即函数f （x ）是奇函数，且单调递增. 答案：C5.设函数f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，其中a ＞1且a ≠2，则M ＝（a －1）0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是（） A.M ＝N B.M ≤N C.M ＜N D.M ＞N解析：由题意，因为f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以易知a ＞2，所以M ＝（a －1）0.2＞1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1＜1，所以M ＞N .答案：D6.（2021·广州模拟）若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是（）A.（2，＋∞）B.（0，＋∞）C.（0，2）D.（0，1）解析：在同一直角坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图像，则由图知，当a ∈（0，2）时符合要求.答案：C 7.不等式＞⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为__________.解析：＞2－x －4，∴－x 2＋2x ＞－x －4，即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.答案：{x |－1＜x ＜4}8.若函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g （x ）＝（1－4m ）x 在[0，＋∞）上是增函数，则a ＝__________.解析：若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m .此时a ＝2，m ＝12，此时g （x ）＝－x 为减函数，不合题意.若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.答案：149.已知函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）的最大值等于94，求实数a 的值.解析：（1）令t ＝|x |－a ，则f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在（－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增，又f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f （x ）的单调递增区间是（－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞）.（2）由于f （x ）的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g （x ）＝|x |－a 应该有最小值－2，即g （0）＝－2，从而a ＝2.10.已知函数f （x ）＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R .（1）若函数f （x ）为奇函数，求实数k 的值；（2）若对任意的x ∈[0，＋∞）都有f （x ）＞2－x 成立，求实数k 的取值范围.解析：（1）因为f （x ）＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－（2x ＋k ·2－x ）.所以（1＋k ）＋（k ＋1）·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.（2）因为x ∈[0，＋∞）时，均有f （x ）＞2－x ，即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立，所以1－k ＜22x 对x ≥0恒成立，所以1－k ＜（22x ）min . 因为y ＝22x 在[0，＋∞）上单调递增，所以（22x ）min ＝1，所以k ＞0.所以实数k 的取值范围是（0，＋∞）.[B 组能力提升练]1.已知函数f （x ）＝2x －2，则函数y ＝|f （x ）|的图像可能是（）解析：|f （x ）|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x ，x ＜1，易知函数y ＝|f （x ）|的图像的分段点是x ＝1，且过点（1，0），（0，1），⎝⎛⎭⎫－1，32.又|f （x ）|≥0. 答案：B2.（2021·青岛模拟）函数y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过的点是（） A.（0，0） B.（0，－1） C.（－2，0） D.（－2，－1）解析：因为函数y ＝a x（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（0，1），将该图像向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像，所以y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（－2，0）. 答案：C3.（2021·潍坊模拟）已知a ＝⎝⎛⎭⎫12－43，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13，则（）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.b ＜a ＜c解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫12－43＝243，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25＝245，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13＝523，显然有b ＜a ，又a ＝423＜523＝c ，故b ＜a ＜c . 答案：D4.设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，则（） A.0＜b ＜a ＜1 B.0＜a ＜b ＜1 C.1＜b ＜a D.1＜a ＜b解析：因为1＜b x ，所以b 0＜b x ，因为x ＞0，所以b ＞1，因为b x ＜a x，所以⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，因为x ＞0，所以ab＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a . 答案：C5.已知0＜b ＜a ＜1，则在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是（） A.b a B.a aC.a bD.b b解析：因为0＜b ＜a ＜1，所以y ＝a x 和y ＝b x 均为减函数，所以a b ＞a a ，b a ＜b b ，又因为y ＝x b 在（0，＋∞）上为增函数，所以a b ＞b b ，所以在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是a b . 答案：C6.不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是__________.解析：由题意，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋（a －2）x －a ＋2>0恒成立，所以Δ＝（a －2）2－4（－a ＋2）<0，即（a －2）（a －2＋4）<0，即（a －2）（a ＋2）<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是（－2，2）. 答案：（－2，2）7.已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式有__________.（填序号）解析：函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示.由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立. 答案：①②⑤[C 组创新应用练]1.（2021·杭州模拟）设y ＝f （x ）在（－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f （x ）＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈（－∞，1]，恒有f K （x ）＝f （x ），则（） A.K 的最大值为0 B.K 的最小值为0 C.K 的最大值为1 D.K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈（－∞，1]，若恒有f K （x ）＝f （x ），则f （x ）≤K 在x ≤1上恒成立，即f （x ）的最大值小于或等于K 即可.令2x ＝t ，则t ∈（0，2]，f （t ）＝－t 2＋2t ＝－（t －1）2＋1，可得f （t ）的最大值为1，所以K ≥1. 答案：D2.（2021·北京模拟）已知14C 的半衰期为5 730年（是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半）.设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约年.（参考数据：log 20.767≈－0.4）解析：由题意可知，当x ＝5 730时，a e －5 730k ＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2292.答案：2 292对数与对数函数[A 组基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（） A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.（0，＋∞）解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2），此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：72 8.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ）＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]，所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1，故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减，又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0，则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5. 答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1. 答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上，令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24. 答案：（21，24）[C 组创新应用练]1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

2022届高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数课时作业理含解析北师大版

第六节对数与对数函数授课提示：对应学生用书第281页[A 组基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C 3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.（0，＋∞）解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A 6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1 解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2），此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.答案：7 28.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ）＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]，所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1，故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减，又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0，则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5.答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x 与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上，令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.答案：（21，24）[C 组创新应用练] 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

2022版高考数学一轮复习练案(5理+5文)第二章函数、导数及其应用第二讲函数的定义域、值

第二讲函数的定义域、值域A 组基础巩固一、选择题1．(2021·山东临沂月考）函数f (x )＝错误!＋ln|x ｜的定义域为（ B ） A ．［－1,＋∞) B ．［－1，0）∪（0,＋∞） C ．（－∞,－1］D ．(－1，0)∪（0，＋∞)［解析] 由题意得错误!∴x ∈［－1,0)∪（0,＋∞）．故选B 。

2．f （x ）＝x 2＋x ＋1在［－1，1］上的值域为（ C ） A ．[1，3] B ．错误! C.错误!D ．错误!［解析] ∵f （x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－错误!， ∴f （x ）min ＝f 错误!＝错误!,又f (－1）＝1，f （1）＝3, ∴f (x ）∈错误!。

3．(2021·北京西城区模拟）下列函数中，值域为［0，1]的是（ D ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝sin x C ．y ＝错误!D ．y ＝错误!［解析］ y ＝x 2的值域[0，＋∞)，y ＝sin x 的值域为[－1，1］，y ＝错误!的值域（0，1］，故选D.4．（2021·广东华南师大附中月考）已知函数f （x ）的定义域是［－1，1］，则函数g （x ）＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是（ B ）A ．[0，1]B ．（0，1）C ．［0，1）D ．(0，1］[解析] 错误! 解得0〈x 〈1。

5．（2021·佛山模拟)函数f （x ）＝错误!的值域为（ D ） A ．［1，＋∞） B ．（1,＋∞） C ．(0，1]D ．（0，1）［解析］ f （x ）＝错误!＝错误!，∵错误!x 〉0， ∴1＋错误!x 〉1，∴0<错误!<1。

6．（2021·河南安阳三校联考改编）若函数f （x ）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( B ）A ．（0，4］B ．[0，4］C ．[0,4）D ．(0,4]［解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立;当m ≠0时，则错误!解得0〈m ≤4. 综上可得，0≤m ≤4。

高三一轮复习计划对数及指数函数试题及答案

对数函数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.．对数式log a2(5a)b中，实数a的取值范围是〔〕A．(,5)B．(2,5)C．(2,)D．(2,3)(3,5)2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么〔〕A．x=a+3b－c B．x3ab ab3D．x=a+b3－c35cC．xc53．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，那么〔〕A．M∪N=R B．M=N C．M ND．M N4．假设函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，那么k的取值范围是〔〕A．33C．,3,0]3 0,B．0,D．(,44445．以下函数图象正确的选项是〔〕A B C D6．函数g(x)f(x)1R，那么g(x)，其中log2f(x)=2x，x〔〕f(x)A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数8．如果y=log2〔〕a－1x在(0，+∞)内是减函数，那么a的取值范围是A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a2D．1a2二、填空题：请把答案填在题中横线上.9．函数y log1(2x2)的定义域是，值域是.210．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为.来源于网络11．将函数y2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，那么C3的解析式为.12．函数y=log1(x24x12)的单调递增区间是.2三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.13．函数f(x)log2x1log2(x1)log2(px).x1求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.14．设函数f(x)lg(xx21).确定函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶性；证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；求函数f(x)的反函数.15．现有某种细胞100个，其中有占总数1的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律2开展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？〔参考数据：lg30.477,lg2〕.来源于网络16．如图，A，B，C为函数y log1x的图象2上的三点，它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).(1)设ABC的面积为S求S=f(t)；判断函数S=f(t)的单调性；求S=f(t)的最大值.17．已求函数y log a(x x2)(a 0,a1)的单调区间.参考答案一、DCCB BDBD二、9．211,2，0,；10．0；11．ylog2(x1)1；12．(,2)；三、来源于网络13．解：(1)函数的定义域为 (1，p). (2)当＞3时， f ( )的值域为(－∞，2log 2 ( +1)－2)；p x p当1＜p 3时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1)).14．解：(1)由xx 2 1 0得x ∈R ，定义域为 R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 21 0那么f(x 1) f(x 2)lgx 1 x 121.令tx x 2 1，x 2x 22 1那么t 1t 2 (x 1x 12 1)(x 2x 22 1).=(x 1 x 2)(x 121 x 22 1)=(x x ) (x 1x 2)(x 1x 2)1 2x 121x 221=(x 12 2x 2)(x 1 1 x 2 1x 1x 2x 12 1x 221∵x 1－x 2＜0，x 12 1 x 1 0，x 221x 20，x 121 x 22 10，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴0t 11，t 2∴f(x)－f(x2 )＜lg1=0，即f(x1 )＜f(x )，∴函数f(x)在R 上是单调增函数.12(4)反函数为y102x1(x R).210x15．解：现有细胞 100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1 100 110023 100 ；22 22小时后，细胞总数为1 3 100 13 100 29100；2 2 224 3小时后，细胞总数为1 9 100 1 9 1002 27 100；2 4 2 484小时后，细胞总数为1 27 100 1 27 1002 81 100；2 8 2 816y 与时间x 〔小时〕之间的函数关系为：x，xN可见，细胞总数 y10032xx3103 10为底的对数，得由，得 108，两边取以10010 228， ∵8 8，∴xlg3lg2lg3lg2∴x .xlg38，2来源于网络16．解：〔1〕过A,B,C,分别作AA1 ,BB ,CC 1 垂直于x 轴，垂足为 A 1 ,B,C ， 11 1 那么S=S 梯形AA 1B 1B+S 梯形BB 1C 1C －S梯形AA 1C 1C.log 31 t 24tlog 3(1 4 )(t2)2 t 24t〔2〕因为v=t 24t 在[1,)上是增函数,且v5,v14 在5. 上是减函数，且1<u9 ;S log 3u 在1, 9 上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3(14上是减函数t 2)在1,4t9 2 log 35〔3〕由〔2〕知t=1时，S 有最大值，最大值是f(1) log 3517．解：由xx 2 >0得0<x<1，所以函数y log a (xx 2)的定义域是(0,1)因为0<xx 2=(x 1)2 11，24 4所以，当0<a<1时,log a (xx 2)log a 14函数ylog a (xx 2 )的值域为 1;log a ,4当a>1时,log a (xx 2)log a14函数ylog a (xx 2)的值域为,log a14当0<a<1时，函数ylog a (xx 2)在0,1 上是减函数，在1 ,1上是增函数；22当a>1时，函数ylog a (xx 2)在0, 1上是增函数，在1,1 上是减函数.22指数函数 x2.函数y=23的图象与直线y=x 的位置关系是 ( )3.假设函数y=a x +b-1(a>0且a ≠1)的图象经过二、三、四象限，那么一定有 ( )A.0<a<1且b>0B.a>1 且b>0C.0<a<1 且b<0D.a>1且b<0来源于网络函数y=－e x 的图象A.与y=e x 的图象关于y 轴对称B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称C.与y=e－D.与y=e －x的图象关于坐标原点对称x的图象关于y 轴对称5.假设直线y=2a 与函数y=|a x －1|〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么 a 的取值范围是__________.6.函数y1x 2 2x2的递增区间是___________.2题型一：指数式的运算1133x 2x231、x2x2的值；3，求2x 22x题型二：指数方程及应用3、解方程⑴4x +2x -2=0⑵4x +|1－2x |=11.1, xx1 4.假设函数f(x)那么不等式|f(x)|1 x ,x3()3的解集为____________. 解：此题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于根底知识、根本运算的考查 .1 x 0〔1〕由|f(x)|1 1 3x0.3x3〔2〕由|f(x)|1x 0x1 x1 1x10x1.3333 3∴不等式|f(x)|1 的解集为 x| 3 x1，∴应填3,1.3题型三：指数函数的图像与应用5、右图是指数函数①y=a x,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象，那么a 、、、 d 与1的大小关系是()bcA.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c6、假设函数y(1)|1x|m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是〔〕2来源于网络A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1|2x －4|17．假设函数f(x)＝a(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝9，那么f(x)的单调递减区间是() A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]1 21 1 (a ＝－1 舍去)，即f(x)＝ 1|2x －4|由f(1)＝得a＝，∴a ＝ 3 3.99 3由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.8、方程 x2=2－x 的解的个数为______________.题型四：指数函数单调性的运用9、⑴函数y1x 22x2的单调区间是.⑵函数y=2x 2x6的递增区间是.210、2x2x≤(1)x2，求函数y=2X 2X 的值域。

2022版高考数学北师大版一轮：第二章第五节对数与对数函数

【微思考】
(1)试利用换底公式分析 logab 与 logba(其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1)的
关系．
(2)试利用换底公式化简 logambn(其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R， m≠0).
提示：(1)logab＝llooggbbba
1
＝logba
；
(2)logambn＝llooggaabanm ＝nm logab.
过程及部分研究数据如表：
N=2n(n>0) 21 22 23 24 25
lg N lg 2 lg 4 lg 8 1+lg 1.6 1+lg 3.2
N的位数一位数一位数一位数两位数两位数
N=2n(n>0) 26 27 28 29 210
……
lg N 1+lg 6.4 2+lg 1.28 2+lg 2.56 2+lg 5.12 3+lg 1.024
……
N的位数两位数三位数三位数三位数四位数
……
试用该同学的研究结论判断 450 是几位数(参考数据 lg 2≈0.301 0)( )
A．101 B．50 C．31 D．30
(3)若实数 a，b 满足 3a＝4b＝12，则1a ＋1b ＝(
)
1 A．2
1 B．5
1 C．6
D．1
(4)(一题多解)log225·log3(2 2 )·log59＝________.
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
【微提示】对数函数的图象与底数大小的比较
如图 , 作直线 y=1, 则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 , 故 0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

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第二章函数的概念与基本初等函数I第五讲对数与对数函数1.[2021江苏省镇江中学质检]若函数f (x )=a x -2,g (x )=log a |x |(a >0,且a ≠1),且 f (2)·g (2)<0,则函数f (x ),g (x )在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )A BC D2.[2021河北省张家口市宣化区模拟]若函数f (x )=lo g 13(x 2+2a -1)的值域为R,则a 的取值范围为( ) A.(-∞,12]B.(-∞,12)C.[12,+∞)D.(12,+∞)3.[2021湖北省四地七校联考]设a =lo g 123,b =(12)3,c =312,则( )A .a ab B.a +b <ab C.a +b =abD.a -b =ab5.[2021陕西百校联考]已知函数f (x )=log a (|x -1|-a )(a >0,且a ≠1),则“a >1”是“f (x )在(3,+∞)上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.[2021长春市第一次质量监测]已知偶函数f (x )满足f (x )=f (2-x ),当x ∈(0,1)时,f (x )=3x+1,则f (lo g 1384)的值为( )A .5527B .2827C .5528D .27287.[2021贵阳市四校第二次联考]若a =ln22,b =ln33,c =ln55,则( )A.a b a;④a b<a a;⑤b bb >0,且a +b =1,x =(1a )b,y =log ab (1a +1b ),z =log b 1a ,则x ,y ,z 的大小关系是( )A.x >z >yB.x >y >zC.z >y >xD.z >x >y11.[2020南昌市测试][新角度题]已知正实数a ,b ,c 满足(12)a=log 2a ,(13)b=log 2b ,c =lo g 12c ,则( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b12.[2020山西省太原三模]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足 f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(0,12] C.[12,2] D.(0,2]13.[2020吉林省长春六中、八中、十一中等重点中学联考]若x ,y ,z 为正实数,且3x=4y=12z,x+y z∈(n ,n +1),n ∈N,则n 的值是( )A .2B .3C .4D .5答案第五讲对数与对数函数1.A 由题意知,f (x )=ax -2是指数型函数,g (x )=log a |x |是对数型函数且为偶函数,由f (2)·g (2)<0,可得g (2)<0,故log a 2<0,故0<a <1,由此可以确定C,D 两选项不正确.易知f (x )=a x -2是减函数,由此可知B 选项不正确,A 选项正确,选A .2.A 依题意可得y =x 2+2a -1的值域包含所有正数,则2a -1≤0,即a ≤12.故选A .3.A a =lo g 123<lo g 121=0,01,所以a (12)1=12,∴a +b >0,ab <0,∴a +b >ab.故选A .5.B 令t =|x -1|-a ,则此函数在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,要使函数f (x )有意义,则a >0,a ≠1且|x -1|-a >0在(3,+∞)上恒成立,则a <|x -1|在(3,+∞)上恒成立,因为|x -1|>2,所以0<a ≤2且a ≠1,结合复合函数的单调性,当0<a <1时,函数f (x )在(3,+∞)上单调递减,当1<a ≤2时,函数 f (x )在(3,+∞)上单调递增,因为“a >1”是“1<a ≤2”的必要不充分条件,所以“a >1”是“f (x )在(3,+∞)上是增函数”的必要不充分条件,故选B .6.A 因为函数f (x )为偶函数,所以f (lo g 1384)=f (log 384),又因为f (x )=f (2-x ),所以f (x )=f (-x )=f (x +2),所以函数f (x )是周期为2的周期函数.因为log 384∈(4,5),所以f (log 384)=f (log 384-4)=f (log 32827)=3log 32827+1=2827+1=5527,故选A.7.C解法一a =ln22=ln √2,b =ln33=ln √33,c =ln55=ln √55.因为(√2)6=8,(√33)6=9,(√2)10=32,(√55)10=25,所以√55<√2<√33,因为y =ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以c <a e 时,f'(x )<0,当0<x <e 时,f'(x )>0,所以f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f (5)<f (4)<f (3),又f (2)=ln22=ln44=f (4),所以f (5)<f (2)<f (3),即c <a 0,所以b >a ,又a -c =ln22−ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0,所以a >c ,所以b >a >c ,故选C .8.0 log 23+log 419=log 23+lo g 223-2=log 23+(-22)log 23=0.9.B 如图 D 2-5-1,由log 2a =log 3b ,根据图象可知1<a b a ,③成立.当0<a <1时,可得0<a 1时,可得a >b.均与已知矛盾,故④不成立.当01时,可得a >b >1.均与已知矛盾,故⑤不成立.综上,④⑤不可能成立.故选B .10.A 解法一因为a >b >0,且a +b =1,所以0(1a )0=1,y =log ab (1a +1b )=log ab 1ab =-1,z =log b 1a >logb 1b =-log b b =-1,且z =log b 1a <logb 1=0,所以x >z >y ,故选A .解法二由题意不妨令a =23,b =13,则x =(32)13>(32)0=1,y =lo g 2992=-1,z =lo g 1332>lo g 133=-1,且z =lo g 1332<lo g 131=0,所以x >z >y ,故选A .11.B 因为c =log 12c ,所以-c =log 2c.又(12)a=log 2a ,(13)b=log 2b ,所以a ,b ,c 分别为y =(12)x ,y =(13)x ,y =-x 的图象与y =log 2x 的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,分别作出y =(12)x,y =(13)x,y =-x 与y =log 2x 的图象,如图D 2-5-2,由图可知c <b <a ,故选B .图D 2-5-212.C 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (lo g 12a )=f (-log 2a )=f (log 2a ),所以f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1)⇔f (log 2a )≤f (1).又函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,所以f (log 2a )≤f (1)⇔|log 2a |≤1⇔12≤a ≤2,故选C .13.C 令3x=4y=12z=k (k >1),则x =lgk lg3,y =lgk lg4,z =lgk lg12,所以x+y z=lgk lg3+lgklg4lgk lg12=1lg3+1lg41lg12=lg12lg3+lg12lg4=lg3+lg4lg3+lg3+lg4lg4=lg4lg3+lg3lg4+2∈(n ,n +1),n ∈N,因为1<lg4lg3<2,0<lg3lg4<1,所以3<x+y z<5,又lg4lg3+lg3lg4>2,所以4<x+y z<5,故n =4.。