人教版高中数学1.1.3(四种命题的相互关系
人教版高中数学选修1-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？
高中数学(1.1.3四种命题的相互关系)
原命题
互 否
互逆
若q,则p 逆命题
互 否
否命题 若p,则 q
互逆
逆否命题 若 q,则 p
（1）同位角相等,两直线平行。 （2）两直线平行,同位角相等。 （3）同位角不相等,两直线不平行。
真 真
真
真
（4）两直线不平行, 同位角不相等。
(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。
真
假
(2)若两个角相等，则这两个角是对顶角。
学习本节内容,你就能说出其中的原因。
(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。
(2)若两个角相等，则这两个角是对顶角。
(3)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。
(4)若两个角不相等,则这两个角不是对顶角。
(2)与(3)互为: 逆否命题
(2)与(4)互为: 否命题
(3)与(4)互为: 逆命题
若p,则q
思考题:
有一个主人很热情地约了四个朋友一起吃饭，结果只有三个 朋友按时赴约，主人见有一个朋友没有来，便说：“唉，该 来的没有来。”过了一会儿，有一个朋友起身便走了，主人 又说了一句话：“不该走的走了”。这时另一个朋友也起身 走了，主人一看形式不对，便跟剩下的那个朋友说：“我又 没有说他。”这个朋友尴尬地笑了笑也走了。结果这个人是 一个朋友也没有请到。 问题：主人的朋友为什么会走呢？
小结:
四种命题的相互关系： 四种命题之间的真假关系： (1)互为逆否命题的两个命题 有相同的真假性。 (2)互为逆命题或否命题的两个命题 真假性无关。
(3)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。 假 (4)若两个角不相等,则这两个角不是对顶角。 真
假 真 真 假
假
假
假
假Leabharlann 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假
高中数学 四种命题的相互关系 教学课件 新人教A版必修5
角线相等.
原 (真) 逆 (真) 否 (真) 逆否 (真)
三、举例：例1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否
四、四种命题间的相互关系
原命题
互逆
若p 则q
互 否
逆命题 若q 则p
互 否
否命题 若┐p则┐q
互逆
逆否命题 若┐q则┐p
四种命题间的真假性： ①互逆命题，真假无关 ②互否命题，真假无关 ③互为逆否，同真同假
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真真
真
真假 假
真
假真真
假
假
假
假
假
例3 证明：若x2+y2=0，则x=y=0
1.1.3 四种命题间的相互关系
一、复习：
1. 命题的结构： 命题都具由条件和结论两部分构成.
若p,则q. 记做: p q
2. 怎样判断命题的真假？ (1)判定一个命题是真命题，要经过证明． (2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例．
3.(1命)交题换的原四命种题形的式条：件和结论,所得的命题是_逆__命__题
解：逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．(真) 否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．(真) 逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．(真)
练习1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。
(1)原命题： 若 a b 则 a2 b2 真命题 答:逆命题： 若 a2 b2 则 a b 假命题
②或---- 且
1.1.3四种命题间的相互关系
原命题：假命题 否命题：真命题
逆命题：真命题 逆否命题：假命题
从三个探究，我们可以发现 什么规律？你能总结出来吗？
结论一：四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
（若p，则q） 互
互
为
（若q，则p） 互
否 否命题
互逆 逆否 否 逆否命题
（若┐ p，则┐ q）
（若┐ q，则┐ p）
结论二：四种命题的真假性
2. （2001江西、山西、天津文、理）在 空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三 点都不共线．
②若两条直线没有共点，则这两条直 线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的 是 ② ．（把符合要求的命题序号都填上）
解析：由于逆命题与否命题的真假性 相同，那么②的否命题“若两条直线有公共 点，则这两条直线不是异面直线”是真命题， 所以它的逆命题也是真命题.
继续解答
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2
＝ ≥
11 2（［p（＋pq－）q2＞）2＋1×（２p ＋２＝q）２2］
所以p2 2＋ q2≠2．
2
这表明，原命题的逆否命题
为真命题，从而原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种 方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论 证的一种数学证明方法.
22
2
自1-c2相+a ³矛(1-c盾)a >，12,得所以1-假a2+b设+ 1-不b2+c成+ 1-立c2+a，> 32 原即命题32 >成，32立属.于
（3）求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
高二数学优质课件精选人教A版选修2-1课件1.1.3四种命题与四种命题间的相互关系
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个 数不是实数．真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形 等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两 个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角 形不等底或不等高．假命题．
答案：若sinα≠sinβ，则α≠β
5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p， 则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题， 并判断它们的真假．
解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题． 逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题． 否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题． 逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．
方法 2：先判断原命题的真假． 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2＋(2a＋ 1)x＋a2＋2≤0 的解集非空． 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0， 解得 a≥74.因为 a≥74，所以 a≥1， 所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．
逆否命题 真 真 假 假
思考感悟 四种命题中真命题的个数可能为多少？ 提示：由于互为逆否关系的命题同真同假，真 命题可能有 0 个，2 个或 4 个．
尝试应用
1．若x>y，则x2>y2的否命题是( ) A．若x≤y，则x2>y2 B．若x>y， 则x2<y2 C．若x≤y，则x2≤y2 D．若x<y， 则x2<y2 答案：C
方法 3：利用集合的包含关系求解． 命题 p：关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 有非空解集． 命题 q：a≥1. 所以 p：A＝{a|关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝ {a|a≥74}．
1.1.3四种命题间的相互关系
反馈练习
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. A 求证：弦AB、CD不被P平分.
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， C 根据垂径定理的推论，有
已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角 是直角．
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
反馈练习
课本P8练习
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设____x_=_a___或___x_=__b___,
⊙O的直径，这与已知条件矛盾。
所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
总结提炼
1.反证法的基本思想： 通过证明原命题的否定是假命题，说明原
命题是真命题.
2.用反证法证明命题的一般步骤是什么?
①反设
②归谬
③结论
3.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题 设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理 矛盾，自相矛盾等．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没关系.
练习1 判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不
一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一
定为真。
（对）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一
1.1.3四种命题的相互关系
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但
其逆命题、否命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但
其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即(1)原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系). 需要更完整的资源请到 新世纪
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
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（假） （假） （假） （假）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
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原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
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观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
原命题
若p则q 互 否
《1.1.3 四种命题间的相互关系》PPT课件(河北省市级优课)
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
人教A版 选修1--1
1.1.3 四种命题间的相互关系
一课前准备
复习四种命题形式：
原命题： 若p，则q. 逆命题： 若q，则p. 否命题： 若¬p，则¬q. 逆否命题： 若¬q，则¬p.
学习目标
1．掌握四种命题之间的关系及四种 命题的真假之间的关系；
2. 能利用四种命题真假性之间的内在 联系进行推理论证；
(2)若m≤0或n≤0则m+n≤0的否命题。 ▪ (3) 若a≠1或b≠2则a+b≠3。
（真） （假）
▪ 例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题并判断真假
▪ ▪ （1）若x2+y2=0则 x=y=0 ▪ （2）若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)
的图像不过第四象限
▪ （3）已知 a,b是实数，若 x2+ax+b=0有非空 解集，则 a2-4b≥0
3.提升简单推理的思维能力.
二、新课导学
探究一 四种命题之间的关系
问题1 观察下面四个命题： (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之 间的关系。你能说出其中任意两个命题之间的相互关 系吗？
课件8：1.1.3 四种命题间的相互关系
预习自测 [解析] 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、 结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D．
2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价 命题是( D ) A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确 C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确 [解析] 其等价命题为原命题的否命题，“若p正确， 则q正确．”故选D．
知识点2 原命题与逆否命题的等价应用
典例2 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否 命题的真假．
[解] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2， 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”． 判断真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， ∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与x轴有交点． ∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集， 故原命题的逆否命题为真．
规律总结 常见的一些词语和它的否定词语对照：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
否定 不等于 不大 不小 不是
词语 (≠) 于(≤) 于(≥)
至多有 至多有n 都是
一个 个 不都 至少有 至少有n 是 两个 ＋1个
至少有一 个
一个也没 有
本课结束
1.1.3 四种命题间的相互关系
情景引入
在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所有的广告 商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人们都幸福，幸福的 人们都拥有”．初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果 可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸 福”．哪个家庭不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通 过这样巧妙的命题变换达到了目的．本节我们将学习命题的四 种形式及其相互之间的关系．
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》知识导学
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”，则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________；(2)___________________________；(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面；显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析：依逆命题定义易得. 答案：A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案：C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______，逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0，则方程x2+2x-k=0”有实根；②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0，则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。
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1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。推理过程中一定要用到才行
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出
新疆 王新敞
奎屯
矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
反证法：
• 要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的。
• 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛
盾, ∴a能被2整除.源自练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明：假设弦AB 、CD被P平分，
∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论， 有
OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。