...1.1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念图文.ppt.ppt
高中数学1.1.1_2变化率与导数优秀课件
10
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【预习评价】 1.函数 f(x)＝ x在 x＝1 处的导数为________.
解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，
∴f′(1)＝
lxim 0ΔΔxy＝
lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
11
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20
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@《创新设计》
解 (1)当 t 在区间[3，3.1]上时，Δt＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs＝s(3.1)－s(3)＝12g·3.12 －12g·32≈2.989(米).
v－1＝ΔΔst≈20.9.189＝29.89(米/秒). 同理，当 t 在区间[3，3.01]上时，v－2≈29.449(米/秒)，当 t 在区间[3，3.001]上时， v－3≈29.404 9(米/秒)，当 t 在区间[3，3.000 1]上时，v－4≈29.400 49(米/秒).
(2)v 瞬＝ lim t0
s（2＋Δt）Δt－s（2）＝ltim0
3（2＋Δt）－（2＋Δt）2－（3×2－4） Δt
＝
lim t0
－（ΔΔt）t 2－Δt＝
lim (－Δt－1)＝－1， t0
即此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度方向相反.
(3)v－＝s（2）2－ －s0（0）＝6－42－0＝1， 即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
C.当时间为Δt时物体的速度
D.从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
解析
v－＝ΔΔst，而
lim t0
ΔΔst则为 t 时刻物体的瞬时速度.
1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念
趋近于常数,我们把这个常数
称为t0时刻的瞬时速度
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
3 |平均变化率的几何意义
设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,平均变化率ΔΔyx = f (x2 )-f (x1) 为割线AB的⑦ 斜率 .
x2 -x1
Δx 0
2Δx
=2f'(x0)=8,
故选D.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
2 | 求函数在某一点处的导数的方法与技巧 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
(★★☆)已知f(x)=x- a ,若 f'(1)=2,求a的值.
x
解析 ∴ Δy
=
∵Δy=(1+Δx)-
1 Δx aΔx
1 Δx =1+
a Δx
a
- 1,
a 1
=Δx+a-
1
a Δx
=Δx+a-
a(1 1
Δx)-aΔx Δx
=Δx+
aΔx 1 Δx
∴
f'(1)=
lim
Δx 0
Δy Δx
=
lim
Δx 0
1
1
a Δx
=1+a=2,
∴a=1.
Δy Δx
存在.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.Δx趋近于0表示Δx=0. ( ✕ )
提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于零,否则 ΔΔyx无意义.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
高中数学 1.1.11.1.2变化率问题 导数的概念课件 新人教A版选修22
������������������
Δ ������ →0
������ ������
=
������������������
Δ ������ →0
������(x0+ΔΔ������������)-������(x0),称它为函数
y=f(x)在
x=x0
处的导数.
(2)导数的符号表示
用
f'(x0)或
12
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重难探究
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做一做 3
函数 f(x)=-5x+1 在 x=2 处的导数为
.
解 析 :Δy=f(2+Δx)-f(2)=-5(2+Δx)+1-(-5×2+1)=-5Δx.
∴∴ΔΔf'������(������2=)=-Δ5Δl���iΔ������→���m������=0������-������5yx .=
A.2,-2
B.2,2
C.-2,-2 答 案 :C
D.-2,2
做一做 2
函数 g(x)=x2-1 从 x1=-2 到 x2=2 的平均变化率为
,在 x=-2
时 的 瞬时变化率为
.
解 析 :g (x)=x2-1
从
x1=-2
到
x2=2
的平均变化率为Δ������
������
=
������(22)--(���-2���()-2)=0.
化率的求法.
3.掌握导数的概
念,会用导数的定
义求简单函数在
某点处的导数.
111-112变化率问题导数的概念
－gt0.
例3 求函数y＝x42在x＝2处的导数． [分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导的 “三步曲”，进行计算．
[解] 解法一：(导数定义法)
∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基 本方法．
练 3 求函数y＝ x在x＝1处的导数． [解] 解法一：(导数定义法)
例4 设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的 值．
[分析] 给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求 另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在 某点x0处的极限．
[点拨] 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多 样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对 应的形式．利用函数f(x)在x＝x0处可导的条件，可以将
∴ΔΔyx＝211＝21；
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1 ＝0.02＋1.9＝1.92，
∴ΔΔyx＝10.9.12＝19.2；
(3)在(1)题中ΔΔyx＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(55)－ －f4(4)，它表示抛物
线上P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几 何意义．
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
2.1中，平均速度是
()
A．4
B．4.1
C．0.41
1.1 变化率问题 1.2 导数的概念
§3．1.1 变化率问题§3．1.2 导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)hto时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．f附近的变化情况．注：一般地，'(。
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x )从 瞬时 变化率
������x →0
x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即 ������������������
f (x 0 +������x )-f ( x 0 ) ������x
刻画函数值在 x0 点附近变化 的快慢
0
Δ������ ������(������0+Δ������)-������(������0) = lim . Δ������ Δ������ →0 Δ������ Δ������ →0
关于导数应注意以下几点 : ①Δx→0 是指 Δx 从 0 的左右两侧分别趋向于 0,但永远不会为 0. ②令 x=x0+Δx,得 Δx=x-x0,于是 f'(x0)= lim f'(x0)= lim
π 2
π 2
(1)比较平均变化率的大小,可按作差法或作商法的步骤进行,关 键是对差式进行合理的变形,以便探讨差的符号. (2)平均变化率的大小可说明函数图象的陡峭程度. (3)由于 Δx 可正可负,在比较大小时需分类讨论.
������(������0+Δ������)-������(������0) 意义相同. Δ������ Δ������ →0 ������(������)-������(������0) ,与概念中的 ������- ������0 ������ →������ 0
-9-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 2 】 设函数 y=f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx) (a,b 为常数),则 f'(x0)=
高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念课件 新人教A版选修2-2
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
Δ������ Δ������ →0 Δ������
������������������
= ������������������
������(x0 +Δ������)-������(x0 ) ,称它为函数 Δ������ Δ������ →0
y=f(x)在 x=x0 处的导数.
Δ������→0 ������x Δ������→0
,在 x=-2
������ ������
=
������(2 )-������(-2 ) 2 -(-2 )
=0.
lim
������y
= ������������������
������(-2 +������)-������(-2 ) ������
������
������
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
解 :(1)∵f(x)=3x2+2,∴ 2 2 f(x0)=3������0 +2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3������0 +6x0·Δx+3(Δx)2+2. ∴Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=6x0·Δx+3(Δx)2.
-5 Δ������ =-5. Δ������ ������y ∴f'(2)= lim = ������������������ (-5)=-5. Δ������→0 ������x ������ x →0 Δ������ Δ������
1.1.1-1.1.2变化率问题、导数的概念
1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念【学习目标】1.通过对实例的分析，记住平均变化率的定义；2.会求函数在指定区间上的平均变化率；3.记住导数概念，知道瞬时变化率就是导数会用定义法求导数.【重点难点】重点：平均变化率，定义法求导难点：能准确求出函数的平均率和导数【学习过程】【预习案】一、教材研读：预习教材P2～6，回答以下问题1．平均变化率的定义是什么？2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3．导数的定义是什么？【探究案】探究1.求函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)平均变化率的几何意义：例1：已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．探究2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式：例2：一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．探究3.求导数的步骤利用定义法求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y)()(xfxxf-∆+；（2）求平均变化率xxfxxfx∆-∆+=∆∆)()(y0；（3）取极限，得导数f'(x)=xyx∆∆→∆0lim.简称：一求增量、二求比、三取极限例3：求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．1.本节课的重点是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的定义，也是本节课的难点． 2本节课要重要掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法，见例1； (2)瞬时速度的求法，见例2；(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见例3.【检测案】1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22. 设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03.已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2(Δx )2D ．4＋2Δx4.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x 0)＝aC ．f ′(x )＝bD ．f ′(x 0)＝b5.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s6．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示，则此物体在 t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 7．若第6题中的物体在某t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，则t 0的值为________． 8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 9．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.10．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( )A ．Δx －3B ．(Δx )2－3ΔxC ．－3D ．0 11. 函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.。