二次曲线的化简性质及应用1

目录摘要 (1)0引言 (1)1二次曲线的化简 (1)1.1通过移轴化简二次曲线 (2)1.2利用不变量化简二次曲线 (3)1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4)2二次曲线的性质 (7)2.1二次曲线的曲率 (7)2.1.1椭圆的曲率及性质 (7)2.1.2抛物线的曲率及性质 (8)2.1.3双曲线的曲率及性质 (8)2.2二次曲线的重要性质 (9)2.2.1椭圆中的定值 (9)2.2.2双曲线的定值 (9)2.2.3抛物线的定值 (10)3二次曲线的应用 (10)3.1二次曲线的光学性质 (10)3.1.1抛物线的光学性质 (10)3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12)参考文献 (13)Abstract (13)二次曲线的化简、性质及应用作者:——指导老师:——摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用.关键词:正交变换;曲率;光学性质0 引言二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形.针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义.对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结.1 二次曲线的化简我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的问题,其理论在数学和物理学中都有重要的应用.任一个实对称矩阵都可化为对角形,则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式.化二次型为标准型通常有合同变换和特征根两种方法.相应的二次曲线就可通过合同变换和正交变换来化简. 1.1 通过移轴化简二次曲线我们知道如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为(),x y 与(),x y '',那么移轴公式为00x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩,式中()00,x y 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标.转轴公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα''=-⎧⎨''=+⎩,式中的α为坐标轴的旋转角.例1 化简二次曲线方程2244y 12y 10x xy x +++-+=解 因为二次曲线的方程含有xy 项,因此我们可以先通过转轴消去xy 项.设旋转角为α,那么由112212cot 22a a a α-=得3cot 24α=- 即21tan 32tan 4αα-=- 所以 22tan 3tan 20αα--=,从而得tan α=-21或2.取tan α=2,那么 αsin =52,cos α=51,所以得转轴公式为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=y x y y x x 251251代入原方程化简整理得转轴后的新方程为5x '2+25x '-55y '+1=0.利用配方是上式化为,05552='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'y x再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧''='-''='y y x x 55 ,曲线方程化为最简形式:x ''2-5y ''=0.因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法,实际上是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此,二次曲线方程的化简,只要先求出曲线的主直径,然后以它作为新的坐标轴,作坐标变换即可[]1. 1.2 利用不变量化简二次曲线二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a ≡+++++=由参考文献[1]我们知道,二次曲线在直角坐标变换下,有三个不变 量123,,I I I ,与一个半不变量1K ：11122I a a =+,111221222a a I a a =,1112133122223132333a a a I a a a a a a =,11132223113332333a a a a K a a a a =+例2 求二次曲线2256540x xy y -+-+-=的简化方程.解 因为I 1=10 I 2=16 I 3=-128.所以23I I =16128-=-8, 而特征方程2λ-10λ+16=0的两根为1λ=2,2λ=8, 所以曲线的简化方程为:2x 2+8y 2-8=0,曲线的标准方程为11422=+y x ,这是一个椭圆.以上1.1和1.2是用通常的方法化简二次曲线,现在我们用二次型的理论来求解化简二次曲线.1.3 利用正交变换来化简二次曲线我们知道,因为任意实二次型()12,,1,,nn ij i j i j f x x x a x x X AX ='==∑L ,()12,,,n X x x x '=L ,()ij n n A a ⨯=都可以用正交变换化为平方和2221122n n f y y y λλλ=+++ ,这里i λ()1,2,,i n = 是A 的全部特征值.利用高等代数里面所学的相关知识,化一个二次型为标准型通常用的方法是特征根法,相应的将一条二次曲线化为标准型可以用正交变换,用它来化简出的标准型是唯一的.从而离心率、面积、双曲线的渐近线及其斜率等性质都可以知道,有利于研究曲线的几何性质. 例3 化简二次曲线22240x xy y x y -++-= 解 因为 I 2=1-41=43≠0 所以曲线为中心二次曲线.解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==+-=0221,0121,21y x y x F y x y x F 得中心坐标为()2,0,取()2,0为新原点 作移轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11002100011y x y x 则原方程变为: []2211121001001,,1010120124020210011120x x y y x x y y ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''''''--=-+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦现在的二次型为11021102004A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求出矩阵112112B ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的特征值为132λ=,212λ=. 对于132λ=,其单位正交的基础解系为, 对于212λ=,其单位正交的基础解系为,作0001T ⎤⎥⎥⎥=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,转轴公式11x x y T y '''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化为22134022x y ''''+-= 所以标准方程为:2211883x y -''''+=⨯ 例5 化简二次曲线22120x xy y ++-+= 解 因为式子中的二次项构成了实二次型()22,12f x y x xy y =++ 它的矩阵 1661A =,其特征多项式为:()()()167561f E A λλλλλλ--=-==-+-- 即A 的特征值17λ=,25λ=-当17λ=,25λ=-时A 的特征向量分别为()11,1α=,()21,1α=-单位化得1β=,2β⎛= ⎝以12,ββ为列向量作正交矩阵Q =⎥⎥⎦,正交变换为x x y y x y ⎧''=⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩带入原方程得227580x y y '''-+= 再进行配方移轴可得标准方程:2216755x y ''''-=-(双曲线). 例6 求二次曲线222840x xy y x ++-+=标准方程[]3解 二次曲线的矩阵形式[]114,,111004041x x y y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦易知该曲线的主直径方程为20x y +-= 所以曲线与主直径的交点为()1,1.又因为20I =,所以20E I λ-=得12λ=,20λ=.当12λ=,20λ=时,其特征向量分别()11,1α=,()21,1α=-.史密特正交化得1β=,2β⎛= ⎝则令Q =⎥⎥⎦作正交变换11x x Q y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可化简为()01114,,10110104041111001x x y y ⎛⎫⎫⎪⎪'⎪⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪'''= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得2x =-（抛物线）.2 二次曲线的性质2.1 二次曲线的曲率在解析几何中,我们学习了曲线论,知道曲线在平面中的一些性质,我们学习了如何用曲线的主直径,渐近线,渐进方向和曲线的中心来刻画曲线的性质.而在微分几何中我们进一步学习了曲线在空间中的性质,我们用曲率[]4来刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度.我们知道二次曲线的三大代表类型有椭圆、抛物线、双曲线,现在我们由曲率来推导一些二次曲线的性质. 2.1.1椭圆的曲率及性质椭圆的方程为22221x y a b +=,可得其参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩则椭圆可表为()()cos ,sin ,0r a b θθθ=uuuu r ,()()cos ,sin ,0r a b θθθ''=--uuuuu r则()()()123sin cos 00,0,cos sin 0e e e r r a b ab a b θθθθθθ'''⨯=-=--u r u r u r uuuu r uuuuu r又因为曲线的曲率方程为()()3322222sin cos r r abk r a b θθθ'''⨯=='⋅+⋅u r u r u r 因为椭圆的对称性,现在只考虑y 轴上半轴. 再判断椭圆曲率的单调性,不妨先设a b >,()()()()22352222222222sin 232sin cos sin cos a b ab k a b a b θθθθθθ'⎛⎫--⎪'== ⎪ ⎪⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭⑴ 当a b >时02θπ<< sin 20θ>,()k θ'<0 所以()k θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数;22πθπ<<sin 20θ<,()k θ'<0,所以()k θ在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数.由以上可知当θ=2π时,椭圆的弯曲程度是最小的为22bk aπ⎛⎫= ⎪⎝⎭;当θ=0或π时,椭圆的弯曲程度是最大的为()2ak b π=. ⑵当a=b 时,易知()k θ'=0,即曲线的弯曲程度是一样的.也就是曲线为圆.这一结论与椭圆图形的性质相符. 2.1.2 抛物线的曲率及性质抛物线的方程为22y px =,则其参数表示为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩则抛物线在空间的参数表示:()()22,2,0r t pt pt =uuu r,()()4,2,0r t pt p '=uuuu r , ()()4,0,0r t p ''=uuuu r ,()()()20,0,8r t r t p '''⨯=-uuuu r uuuu r所以()()()2333322228181414r r p k t r p t p t '''⨯-==='⋅+⋅+u r u r u r 因为双曲线的对称性,现只考虑x 轴上半部分. 由()k t 的表达式可得如下结论:当t=0时, ()k t 最大即在()0,0点曲线的弯曲程度最大.随着t 的增加,曲线的弯曲程度逐渐减小;当t →∞时, ()0k t →即曲线近似没有弯曲.此结论在p>0或p<0都是成立的. 2.1.3 双曲线的曲率及性质令双曲线的方程为22221x y a b -=,其参数方程表示为sec tan x a y b θθ=⋅⎧⎨=⋅⎩,双曲线在空间的参数表示为()()sec ,tan ,0r a b θθθ=⋅⋅uuuu r.则()22sin ,,0cos cos a b r θθθθ⋅⎛⎫'= ⎪⎝⎭uuuur ,()()2331sin 2sin ,,0cos cos a b r θθθθθ⎛⎫⋅+⋅'' ⎪= ⎪⎝⎭uuuuu r 可得()()30,0,cos ab r r θθθ⎛⎫'''⨯=- ⎪⎝⎭uuuu r uuuuu r 双曲线的曲率,(因为曲率恒为正)()k θ=()3332222cos sin ab ab abθθ⋅=+.所以可的以下结论当cos 0θ>时,即在x 的正半轴,弯曲程度最大是在cos θ=1时双曲线的曲率()2ak b θ=,又因为双曲线是中心对称,所以在x 的负半轴最大弯曲程度仍为2ab.2.2 二次曲线的重要性质首先规定,当二次曲线给定后这二次曲线中不改变的量,成为这二次曲线的定值.研究发现,二次曲线中有很多定值.现在我们把它们总结在一起.2.2.1 椭圆中的定值[]5 例 1(ⅰ)椭圆的两个焦点到它的任一切线的距离之积,为定值. (ⅱ)过椭圆长轴端点的两条切线,夹在长轴与任一切线间的线段的积为一定值.(ⅲ)椭圆中互相垂直的两半直径的倒数平方和为定值. (ⅳ)椭圆的任意两共轭直径长的平方和为定值. 2.2.2 双曲线的定值[]6 例 2(ⅰ)双曲线上任一点到两条渐近线距离之积是定值.(ⅱ)双曲线准线上任一点到两焦点距离平方差的绝对值为一定值.(ⅲ)以双曲线两共轭直径的端点为顶点的四边形,这四边形是平行四边形且面积为定值.﹙ⅳ﹚双曲线任一焦点弦的两个端点到焦点的距离的倒数和为一定值.2.2.3 抛物线的定值[]7例 3(ⅰ)过抛物线对称轴上一定点的任一弦的端点到这对称轴的距离之积为常数.(ⅱ) 抛物线任一焦点弦两个端点到焦点的距离倒数之和为一定值.3 二次曲线的应用3.1 二次曲线的光学性质细心发现,生活中充满着二次曲线的影子.比如我们把汽车的镜前灯卸掉,会发现它是一个抛物面,而抛物面是由抛物线的旋转得到的,那么抛物线等二次曲线有什么光学性质呢？3.1.1 抛物线的光学性质如图一,设抛物线的焦距为f,焦点(),0F f.那么易得抛物线的方程为24y fx=.设从焦点F发出的光线与抛物线交与2,2mP mf⎛⎫⎪⎝⎭.不妨设m>0,则py=由导数公式算出P处切线斜率:p pfk ym'====根据光的反射性质,反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角[]8.当PF斜率不存在时,(),2p f f ,P处的切线斜率为1,因此反射光线斜率为0.即反射光线平行于x轴.当PF 斜率存在时(设为1k ),则122222m m fk m m f f f⋅==--,因为222222tan 21p fm fm f m f mθ⋅==--.因此1tan 2p k θ=.即PF 仰角为P 点处切线仰角的两倍,因此反射光线PQ 与x 轴平行. 因此,二次曲线的一条重要的光学性质:从抛物线焦点处发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线主光轴.由于光路可逆,平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后,反射光线所在的直线会聚于焦点.根据这个性质,可以制作抛物线形状的镜子-凸面镜和凹面镜. 如图二,当物体A,B 位于主轴附近时,可近似的认为PO 垂直OA而AB PO OF fA B A B FA v f==='''''-,又因为AB u A B v ='' 因此f uv f v=- 因此面镜成像与透镜有相似的性质:(v<0为虚像,凹面镜f<0)111f u v=+ (u:物距,v:像距) 凸面镜与凹透镜相似,总能形成正立,缩小的虚像(因为f<0);凹面镜成像与凸透镜相似,当u<f 时呈正立,放大的虚像,当u=f 时不成像,当f<u<2f 时呈倒立,放大的实像,当u=2f 时呈倒立等大的实像,当u>2f 时呈倒立缩小的实像.抛物线的光学性质非常有用,前面提到的汽车前灯,就是灯泡装在抛物面的焦点处,用平行光线照亮路面;太阳能热水灶的原理就是利用巨大的抛物面聚集日光来加热;将光线通过红宝石激光器可得激光,这通常需要大量的红宝石,而如果用凹面镜把光线聚集起来,则可大大减少红宝石的用量[]9. 3.1.2 椭圆,双曲线的光学性质抛物线有奇特的光学性质,同样椭圆双曲线也有一些光学性质:从椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线,经反射后,反射光线所在的直线过另一个焦点[]10.如图三,设双曲线方程为22221y x b a-=,取它x 轴以上的部分,则它是一个函数图像.y b =焦点(1F,(20,F取双曲线上任意一点P(P 不在y 轴上),设(),P m n ,则 P 点处切线斜率: p b k a ⎛⎫=⋅=1PF 斜率: 111F p F p y y b a k x x a m-==-⋅1PF 斜率: 222Fp F p y y k x x -==-因此可以求出1PF 与2PF 仰角之和(设为α)的正切值:1222422122tan 1k k a b m k k a m a b m α+⋅⋅==-⋅⋅+-⋅ 也可求出P 点处切线仰角p θ二倍角的正切值:22tan 21p p p k k θ==-因此tan 2tan p θα=,即2p αθ=因此P 点处切线平分1PF 与2PF 的夹角.即从一个焦点处发出的光线经双曲线反射后,反射光线所在直线过另一个焦点.同样也能证明:从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.参 考 文 献[1] 吕林根．《解析几何》[M].北京:高等教育出版社,2006.4. 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