椭圆的标准方程精品课件(公开课)

结 论
当2a<2c时:
无轨迹
数学是严谨、严密的，要多琢磨！ 多培养自己的严谨意识！
※③解析几何中为什么总是用点的轨迹来定 义曲线？比如圆和椭圆的定义。

想法： 1.所有曲线都可由最基本的点构成。 2.实现 几何问题 代数化 点 坐标 解析几 何的精 髓
一一映 射关系
曲线上 一点坐标满足的等量关系
2 2
2
2
两类方程
知识点小结：
严谨意识
求简意识
求美意识 三个意识
学习小组大
PK
活动规则
1、抢答每次限答一题，答完报组号
2、答对一空得其分值，答错扣一半分值
3、答题限时2分钟
基础题：每空2分 填空：
x y 3 2 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4
x ( 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________.
知识点小结：
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和 等于常数( 大于 F1 F2) 的点的轨迹是椭圆．
一个定义
知识点小结：
2．椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上椭圆的标准方程为：
x y 2 1 a b 0 2 a b 焦点在 y 轴上椭圆的标准方程为： y x 2 1 a b 0 2 a b
如何解? 今晚小组 讨论的课 题！
y x 1 所以所求椭圆的标准方程为: 10 6
小结
2
2
4.方程的应用 例2： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程． 解： 以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准 y 方程可设为
方案① 两边直接平方. (太冗繁） 方案② 尝试将两个根号分开即移项。 ( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2 先变成 再平方 （可消去很多项，简单了很多） 方案③ 考虑两个根号下代数式的相似性 碰到这么有规律的代数 式一定要好好研究，总 结一下，积累下来！
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
（法二）待定系数法 解:设所求的标准方程为 2 2
y x 2 1 a b 0 2 a b
5 2 3 2 依题意得 2 a 2 10 2 1 2 ． 解得: 2 2 b a b 6 a 2 b 2 4
实战演练
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
x2 y2 1 16 =4，b=1，焦点在 x 轴上； 2 2 y x 2 1 =4，b=1，焦点在坐标轴上； y 2 1或 x 16 16
(1) a (2) a (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）.
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
建构数学
1)椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).y M 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 F2 F1 0 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
8 并且CF1=2,则CF2=___.
2 2 2 若椭圆的方程为 16 x 9 y 144, 试口答完成1的问
题.
x2 y2 1 9 16
6
3
x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， 若方程 k 2 3 k 求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
2<k<2.5
4已知椭圆的方程为： 10 则a＝____，该椭圆上一点P到焦点F1 的距离为8，则点P到另一个焦点F2的 距离等于______。 12
y
P
F2
分析：焦点位置？ 方程形式？
x
F1
b2 a2 c2
(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 2 x2 标准方程为 y 2 1 (a b 0) 2 a b 由椭圆的定义知，
3 2 5 2 a ( ) ( 2) 2 2 2 3 1 10 10 2 2 2 10 , a 10 . 又 c 2, b 2 a 2 c 2 10 4 6. 3 2 5 ( ) ( 2) 2 2 2
1 2
1
2
概念辨析
三个问题：
①为什么要强调在平面内？
②为什么要强调 2a
王新敞
奎屯 新疆
2c (即绳长大于两焦点的距离)？
※③解析几何中为什么总是用点的轨迹来定义曲线？
比如圆和椭圆的定义。
为什么要强调在平面内？类比
平面内：
O
P 圆 平面内：
P F1 F2
椭圆
空间中：
空间中：
球面
椭球面
为什么要强调 2a>2c?1.gsp 当2a>2c时轨迹为 ：动点的轨迹为椭圆 当2a=2c时轨迹为 ：动点的轨迹为线段F1F2
曲线方程
充要条件
(二) 椭圆方程的推导：（坐标法）
椭圆方程的建立—— 步骤一：建立直角坐标系
步骤二：设动点坐标 步骤三：限制条件，列等式 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O 2 F
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
MF1 MF2 2a
椭圆的定义：（与圆类比）
圆：
P
O
椭圆
F1 F2
P
圆的定义： 平面内与一个定点 的距离等于常数（大于 0）的点的轨迹叫作圆， 这个定点叫做圆的圆心， 定长叫做圆的半径
椭圆的定义：
平面内与两个定点 F , F 的 距离和等于常数（大于 F F ）的点的轨迹叫作椭 圆，这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距 ．
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
M
y2 x2 焦点在y轴： 1(a b 0) a2 b2
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：
对称、简洁
3)两类标准方程的对照表
这样化简可以减少平方次数，而且为后面 学习第二定义作了铺垫
b2 a 2 c 2 思考：为什么要令
?
x2 y2 2 1 2 2 a a c
数学中的 求美 、求简 意识
x2 y2 2 1 2 a b
2)椭圆的标准方程
F1
y
M
o
F2 x
x2 y2 焦点在x轴： 2 2 1a b 0 a b
4 (2) 在椭圆 16x 7 y 112 中，a=___, b=___, 7
2 2
2
2
y (0,3), (0,3) 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________.
x y 1 7 16
2
2
温馨提示：课后 记得整理过程
中档题：每空5分
x2 y2 1、 已知椭圆的方程为： 1，请填空： 25 16 若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
a
c 2 c 2 2 2 y m (a x) 即 ( x c) c 2 (a x) 展开 a x 2 2cx a 2 y 2 a 2 2cx 2 x 2 c
2
a
化简得
2
a2 c2 2 x y2 a2 c2 a2
两边除以
a c
2
x2 y2 2 1 2 2 a a c
玩转 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
x c 2 y 2 为表述方便记：
则 m +n= 2a 思考 m - n= 2c x
m
?
x c 2 y 2
① ②
n
c 2c ① + ② 得 2m=2a+ x 得m=a+ a x 两边平方得 a
M
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b 根据题意有 2a 3 2c 2.4 ， ， 即 a 1.5 c 1.2
F1
O
F2
x
b2 a2 c2 1.52 1.22 0.81 x2 y2 1 因此，这个椭圆的标准方程为 2.25 0.81
星系中的椭圆
——仙女座星系
2.1椭圆及其标准方程(一）
授课教师：清远市华侨中学 揭用权
认识椭圆
椭圆的定义
椭圆方程
课堂互动
小结
如何画椭圆？1.gsp
相关概念： 焦点： F1 , F2
M
焦距： F1 F2 2c
绳长=2a 等量关系:
F1
F2
轨迹上任意点M到两定点F1 , F2 距离和确定=绳长．
?
2011.11.25
5下列方程哪些表示椭圆？ 并指明 a 2 ,b 2 ，写出焦点坐标.
若是,则判定其焦点在何轴？
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25 y 2 225 0 16 16 x2 y2 (5) 3x 2 2 y 2 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) 24 k 16 k m m 1