通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数课件文新人教A版
2020版高考数学大一轮复习(讲义·理·新人教A版) 第八章 平面解析几何 第3节 圆与方程
第3节 圆与方程考试要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.[微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.2.以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)·(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. (3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时表示圆.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修2P124A1改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3B.(－2，3)， 3C.(－2，－3)，13D.(2，－3)，13解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13. 答案 D3.(必修2P130例3改编)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案 C4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a ＝±1解析 因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1. 答案 A5.(2019·荆州模拟)若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A.2B.－2C.1D.－1解析 由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1，1)， 即1＝k ＋3，解得k ＝－2.答案 B6.(2016·浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______.解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 5考点一 圆的方程【例1】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.(2)(一题多解)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________.解析 (1)法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，则k OA ＝1，k AB ＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，即OA ⊥AB ，所以△OAB 是以角A 为直角的直角三角形，则线段BO 是所求圆的直径，则圆心为C (1，0)，半径r ＝12|OB |＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝（a －b －3）22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.①由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案 (1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________.(2)(2018·枣庄模拟)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m －1＝12m ，m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0，1)，从而n ＝4.故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. (2)∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a ，2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0，∴圆心坐标为(0，2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案 (1)x 2＋(y ＋1)2＝4 (2)x 2＋(y －2)2＝2 考点二 与圆有关的最值问题 多维探究 角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2－1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1).所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2).所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2 利用对称性求最值【例2－2】 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4 B.17－1C.6－2 2D.17解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案 A规律方法 求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 【训练2】 (1)设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________.(2)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________.解析 (1)函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4在x 轴及下方的部分，令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x 2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案 (1)5－2 (2)2 5 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程. 解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.[思维升华]1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. [易错防范]1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·宁波调研)已知圆C 的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，则圆C 的标准方程为( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝4 B.(x －2)2＋(y －1)2＝4 C.(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析 根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16. 答案 C2.(2019·临沂模拟)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C.(x －3)2＋(y －4)2＝25D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析 圆C 的圆心的坐标C (6，8)， 则OC 的中点坐标为E (3，4)， 则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. 答案 C3.若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5.已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( ) A.x 2＋(y －3)2＝5 B.x 2＋(y ＋3)2＝5 C.(x －3)2＋y 2＝5D.(x ＋3)2＋y 2＝5解析 由题意，得2a ＝－4，∴a ＝－2， ∴△ABC 外接圆的半径为BC2＝[－4－（－2）]2＋（－2－2）22＝5，圆心为(－3，0)， ∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5. 答案 D二、填空题6.已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点与原点O 的最短距离是________.解析 圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1表示圆心为C (2，－m ＋4)，半径r ＝1的圆，则|OC |＝22＋（－m ＋4）2，所以当m ＝4时，|OC |的最小值为2，故当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是|OC |－r ＝2－1＝1.答案 17.(2019·湖州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1)8.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0三、解答题9.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2).则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2).所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A.x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B.x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析 由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，所以圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a ，2)， 由题意得|a －2|2＝a 2＋（5－2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2722， 解得a ＝0或a ＝－4.当a ＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；当a ＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，所以圆Ω的方程为x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25.答案 A12.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7413.(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ).又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ). 由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝114.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.新高考创新预测15.(多填题)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y －11＝0，则x 2＋y 2的最大值为__________，|3x ＋4y －28|的最小值为__________.解析 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点的距离，∴(x 2＋y 2)max ＝32＋（－4）2＋6＝11，由圆的标准方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝36可设其圆上点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ＋3，y ＝6sin θ－4(θ为参数)，∴|3x ＋4y －28|＝|18cos θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34，∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x ＋4y －28|min ＝5. 答案 11 5。
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线方程课件文新人教A版
解析
设 P(x，x2)，直线 AP 的斜率为 k，则 k＝xx2＋－1214＝x－12。因为－12<x<32，
所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1,1)。
答案 (－1,1)
三、走出误区
微提醒：①由直线方程求斜率的思路不清；②忽视斜率和截距对直线位
置的影响；③忽视直线斜率不存在的情况。
4．直线 l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0 的斜率为( )
A．
3 3
B． 3
C．－ 3
D．－
3 3
解析 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－csoisn13500°°＝ 33。 答案 A
5．如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0，在 y 轴上 的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
(2)由已知设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α。 因为 tanα＝3，所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34。 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－43(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0。 (3)由题意可知，所求直线的斜率为±1。 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)。 所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0。
1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否 为零)。
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分8第8讲不等式选讲课件文
1．若∃x∈R，使|x－a|＋|x－1|≤4 成立，则实数 a 的取值范围 是________． 解析：因为|x－a|＋|x－1|≥|x－a－x＋1|＝|1－a|，所以原命题 等价于|1－a|≤4，解得 a∈[－3，5]． 答案：[－3，5]
2．已知不等式|x－2|>1 的解集与不等式 x2＋ax＋b>0 的解集相 同，则 a＋b 的值为________．
3．不等式的证明 (1)比较法 ①求差比较法 由 a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明 a＞b，只要证 明 a－b＞0 即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由 a＞b＞0⇔ab＞1 且 a＞0，b＞0，因此当 a＞0，b＞0 时要证 明 a＞b，只要证明ab＞1 即可，这种方法称为求商比较法．
4．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a21＋ a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)． (2)柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2，等号当且仅当ba11＝ab22＝…＝bann时成立(当 ai＝0 时，约 定 bi＝0，i＝1，2，…，n)．
解析：由|x－2|>1，得 x<1 或 x>3，依题意得 x＝1 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的解，因此 a＋b＝－1. 答案：－1
3．已知 a，b 是不相等的正数，x＝
a＋ 2
b，y＝
y 的大小关系是________．
a＋2 b，则 x，
2020版高考数学(文)新探究大一轮分层演练：第二章函数概念与基本初等函数第8讲含解析
， 又函数
f
(x)＝
2
x－
2 x
－
a
的一个零点在区
间 (1， 2)内， 则有 f(1) ·f(2)<0 ， 所以 (－ a)(4 －1－ a)<0 ， 即 a(a－3)<0. 所以 0<a<3.
ex＋ a， x≤ 0，
5．已知函数 f(x)＝
(a∈ R)，若函数 f (x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是 ( )
， g( x)＝ log1x，记函数
2
h( x)＝ f( x)， f(x)> g(x)，
则函数 F(x)＝ h(x) ＋x－ 5 的所有零
点的和为 ________．
解析： 由题意知函数 h(x)的图象如图所示 ， 易知函数 h(x)的图象关于直线 y＝ x 对称 ， 函数 F(x)所有零点
的和就是函数 y＝ h( x)与函数 y＝ 5－ x 图象交点横坐标的和 ， 设图象交点的横坐标分别为
x>0，
x≤ 0，
该方程等价于
①
或② － 2＋ x＝ 0，
－ x2－4x－ 2＋ x＝0，
解 ① 得 x＝ 2， 解 ② 得 x＝－ 1 或 x＝－ 2，
因此 ， 函数 g(x)＝f (x)＋ x 的零点个数为 3.
答案： 3 7．方程 2x＋ 3x＝k 的解在 [1 ， 2)内，则 k 的取值范围为 ________． 解析： 令函数 f(x)＝ 2x＋ 3x－ k，
1 2
＝f
1 2
－ 12＝－ 18，
1 所以 g(0) ·g 2 <0.
又函数
g(x)在
1 0，2
上是连续曲线
，
通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数学案理3
第8讲指数与指数函数1.根式n次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N* 性质当n是时,a的n次方根为x= √an当n是时,正数a的n次方根为x=±√nn,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√n nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:n n n=√n nn(a>0,m,n∈N*,且n>1).②正数的负分数指数幂:n-n n=n nn=n nn(a>0,m,n∈N*,且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s= (a>0,r,s∈Q);②(a r)s= (a>0,r,s∈Q);③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且a≠1)a>1 0<a<1图像定义域 R值域性质 过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时,在R 上是在R 上是常用结论1.函数y=a x+b (a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b ). 2.指数函数y=a x(a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线.题组一 常识题1.[教材改编] 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2.[教材改编] 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3.[教材改编] 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 .4.[教材改编] 下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .①y=-5x ;②y=(13)1-n;③y=√(12)n-1;④y=√1-2n .题组二 常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√n n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= . 7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= . 8.函数y=21n -1的值域为 .探究点一 指数幂的化简与求值例1 (1)计算:823-(-78)0+√(3-n)44+[(-2)6]12= .(2)已知n12+n-12=√5,则n2+n-2-6n+n-1-5的值为.[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.变式题 (1)计算:2n-13(12n13+n43)=()A.3B.2C.2+xD.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√n-√n√n+√n= .探究点二指数函数的图像及应用例2 (1)函数y=nn n|n|(a>1)的图像大致是 ()A B C D图2-8-1(2)[2018·辽阳一模]设函数f(x)={|2n-1|,n≤2,-n+5,n>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),(-1,1n).(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=a x+b的图像大致是()图2-8-2A B C D图2-8-3(2)函数f(x)=|a x+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是.图2-8-4探究点三利用指数函数的性质解决有关问题微点1比较指数式的大小例3 (1)[2018·凯里一中二模]已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b(2)[2018·杭州一中模拟]已知0<a<b<1,则()A.(1-a)1n>(1-a)bB.(1-a)b>(1-a)n 2C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b[总结反思] 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.微点2 解简单的指数方程或不等式 例4 (1)已知函数f (x )=a+14n+1的图像过点1,-310,若-16≤f (x )≤0,则实数x 的取值范围是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)af (x )=a g (x )⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x )>a g (x ),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3 指数函数性质的综合问题例5 (1)[2018·遵义联考] 函数f (x )=a+n e n +1(a ,b ∈R)是奇函数,且图像经过点(ln3,12),则函数f (x )的值域为 ( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)(2)已知f (x )=2n -n2n +1(a ∈R)的图像关于坐标原点对称,若存在x ∈[0,1],使不等式f (x )+2x -n2n +1<0成立,则实数b 的取值范围为 .[总结反思] 指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化. 应用演练1.【微点1】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a2.【微点1】[2018·河南八市联考]设函数f(x)=x2-a与g(x)=a x(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1n)0.1的大小关系是()A.M=NB.M≤NC.M<ND.M>N3.【微点2】当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-2,1)4.【微点2】若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,12)5.【微点3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式(1n )n+(1n)n-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的取值范围为.第8讲 指数与指数函数考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图像.(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.【课前双基巩固】 知识聚焦1.n 次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a {n (n ≥0),-n (n <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+s a rs a r b r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 对点演练1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R,∴y=(13)1-n的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2.6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{n 2-3=1,n >0,n ≠1,解得a=2.7.2或12 [解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则函数f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.{y|y>0且y ≠1} [解析] 函数的定义域为{x|x ≠1},因为1n -1≠0,所以y ≠1,又指数函数y=2x 的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y ≠1}.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x -1的值,再平方可得x 2+x -2的值,最后代入求值. (1)π+8 (2)-12 [解析](1)823-(-78)0+√(3-n )44+[(-2)6]12=23×23-1+(π-3)+26×12=22-1+π-3+23=4+π-4+8=π+8.(2)由已知可得x+x -1=(n 12+n 12)2-2=3, 则x 2+x -2=(x+x -1)2-2=7, 故原式=7-63-5=-12. 变式题 (1)D(2)√55[解析] (1)原式=2n 13·12n 13+2n 13·n 43=1+2x.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√n -√n√n +√n )2=√nn n +n +2nn =√4=15.因为a>b>0,所以√n >√n ,所以√n -√n √n +√n =√55. 例2 [思路点拨] (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解. (1)B (2)B [解析] (1)由题意得y=nn n |n |={n n ,n >0,-n n ,n <0.∵a>1,∴当x>0时,函数为增函数;当x<0时,函数为减函数.结合各选项可得B 满足题意.故选B . (2)画出函数f (x )的图像如图所示.不妨令a<b<c ,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2. 结合图像可得4<c<5,故16<2c<32,∴18<2a +2b +2c <34.故选B .变式题 (1)A (2)(0,+∞) [解析] (1)由函数f (x )=(x-a )(x-b )的图像可得0<a<1,b<-1,故g (x )=a x+b 的大致图像为选项A 中的图像. (2)根据图像得a>1,f (12)=0,b<0,所以√n +b=0,所以a+b=a-√n >1-√1=0.例3 [思路点拨] (1)将a ,b 化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a ,b 的大小,再估算c ,从而得a ,b ,c 的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案. (1)A (2)D [解析] (1)因为a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,又因为c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c ,故选A .(2)因为0<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a )x是减函数, 又因为0<b<1,所以1n>b ,b>n2,所以(1-a )1n<(1-a )b ,(1-a )b<(1-a )n2,所以A,B 均错误;又1<1+a<1+b ,所以(1+a )a <(1+b )a <(1+b )b,所以C 错误;对于D,(1-a )a>(1-a )b>(1-b )b,所以(1-a )a>(1-b )b,所以D 正确.故选D .例4 [思路点拨] (1)先确定a 的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)0≤x ≤12 (2)x=log 23 [解析] (1)由题意知f (1)=a+14+1=a+15=-310,则a=-12.因为-16≤f (x )≤0,所以-16≤14n+1-12≤0,所以13≤14n +1≤12,所以2≤4x +1≤3,所以1≤4x≤2,解得0≤x ≤12. (2)当x ≤0时,1-2x≥0, 原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x <0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23,即为原方程的解.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的单调性及值域确定函数f (x )的值域;(2)由函数f (x )为奇函数,确定a 的值,将不等式分离变量,转化成b>g (x )的形式,从而转化为考查函数g (x )的最小值问题.(1)A (2)b>2 [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+n2=0,①函数图像过点(ln3,12),则f (ln 3)=a+n 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e +1<2,所以-1<1-2e +1<1, 即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)由题意知f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,得a=1,所以f (x )=2n -12n +1.设h (x )=2n -12n +1+2x-n2n +1=(2n )2+2n +1-1-n2n +1,由题设知h (x )<0在[0,1]内有解,即不等式(2x )2+2x+1-1-b<0在[0,1]内有解,即b>(2x )2+2x+1-1在[0,1]内有解.设g (x )=(2x )2+2x+1-1,x ∈[0,1],而函数y=2x ,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g (x )=(2x )2+2x+1-1在[0,1]上单调递增,所以g (x )min =g (0)=2,所以b>2. 应用演练1.A [解析] 因为函数f (x )=0.4x 在R 上为减函数,所以0.40.6<0.40.2<0.40=1, 又因为20.2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c. 故选A .2.D [解析] 因为f (x )=x 2-a与g (x )=a x(a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=(1n)0.1<1,所以M>N ,故选D .3.A [解析] 由题意知当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<2n4n =12n 恒成立, 当x ∈(-∞,-1]时,12n ∈[2,+∞), 则m 2-m<2,解得-1<m<2,故选A .4.D [解析] 方程|a x-1|=2a (a>0且a ≠1)有两个不等实根可转化为函数y=|a x-1|与y=2a 的图像有两个不同交点.当0<a<1时,两函数图像如图①,则0<2a<1,即0<a<12;当a>1时,两函数图像如图②,而y=2a>1,不符合题意.① ②故0<a<12.5.(-∞,56] [解析] 把A (1,6),B (3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=nn ,24=n ·n 3,结合a>0且a ≠1,解得{n =2,n =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)n+(13)n≥m ,x ∈(-∞,1]恒成立,只需函数y=(12)n+(13)n在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)n +(13)n在(-∞,1]上为减函数, 所以当x=1时,y=(12)n+(13)n取得最小值56, 所以只需m ≤56即可, 即m 的取值范围为(-∞,56].【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解. 例1 [配合例1使用] 已知n 23=2+√3,则n +n -1n 13+n 13的值为 .[答案] 3[解析] 设n 13=t ,则t 2=2+√3,则n +n -1n 3+n 3=n 3+1n 3n +1n=t 2+1n 2-1=2+√3+-1=3.例2 [配合例4使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数f (x )={2n -1,n >1,1,n ≤1,则不等式f (x )<f (2n )的解集是 .[答案] (0,√2)[解析] 当x ≥2时,2n ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2n <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2n )得x<2n ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2n ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2n <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2n )的解集是(0,√2).例3 [配合例5使用] 若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 . [答案] (-34,+∞)[解析] 从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)n+(12)n].∵函数y=(14)n 和y=(12)n 在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)n≥14,(12)n≥12, ∴(14)n+(12)n≥14+12=34,从而得-[(14)n+(12)n]≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34.例4 [配合例5使用] 已知定义在R 上的函数f (x )=2x-12n . (1)若f (x )=32,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由f (x )=32⇒2x-12n =32⇒2·(2x )2-3·2x-2=0⇒(2x-2)(2·2x+1)=0.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.(2)由2tf (2t )+mf (t )≥0⇒2t(22n -122n )+m (2n -12n )≥0⇒m (2t-2-t)≥-2t(22t-2-2t).又t ∈[1,2],∴2t-2-t>0,∴m ≥-2t(2t +2-t ),即m ≥-22t-1, 故只需m ≥(-22t-1)max .令y=-22t-1,t ∈[1,2],可得y max =-22-1=-5, 故m ≥-5.。
指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
【知识梳理】3分钟
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自
变量，定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域
R
值域
09 _(_0__,＋___∞__)__
图象过定点 10 __(0__,1__)___，即 x＝0 时，y＝1
第四章 函数与基本初等函数 指数函数
课前提问：什么是指数函数？有怎样的图象和性质?
【复习目标】1分钟
1.理解指数函数的概念、 2.理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用.
重点：指数函数的图象及性质 难点：图象及性质的灵活应用．
【考点解读】2分钟
2025年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数 运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解 不等式等问题，难度为中档题．
3．指数幂的运算性质
aras＝ 06 _a_r_＋_s__；(ar)s＝ 07 __a_r_s__；(ab)r＝ 08 ___a_r_b_r__(a＞0，b＞0，r，
s∈R)．
考题讲练（11分钟）
考点一 指数幂的运算
例
1(1)已知
x，y>0，化简
3x-34y12 －14x14y-13 65x－1y-16
解析 设 t＝－x2＋1，则 t≤1，所以 0<3t≤3，故函数 f(x)的值域为(0，3]．
(2)函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为_[_－___2_，___＋__∞__)__．
解析 设 t＝12x>0，又 y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1 在(0，4]上单调递减，在(4， ＋∞)上单调递增．由12x≤4，得 x≥－2，由12x>4，得 x<－2，而函数 t＝12x在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2，＋∞)．
2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第1节直线的方程课件理新人教A版
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2 ＝1，k1＜k2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程 为________.
_____ax_＋__by_＝__1______
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
适用条件
与 x 轴不垂直的 直线
与两坐标轴均不 垂直的直线
不过原点且与两 坐标轴均不垂直 的直线
所有直线
[微点提醒] 1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：
2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直 线都存在斜率.
段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 因为 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3].
设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3， 即倾斜角的取值范围是π4，π3.
(2)法一 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为α，β，直线 PA 的斜率是
kAP＝1，直线 PB 的斜率是 kBP＝－ 3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90°，斜率的取值范围 为[1，＋∞). 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 β，斜 率的变化范围是(－∞，－ 3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).
2019-2020年高考数学专题复习 第8讲 指数与指数函数练习 新人教A版
2019-2020年高考数学专题复习 第8讲 指数与指数函数练习 新人教A版[考情展望] 1.直接考查指数函数的图象及其性质.2.以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用.3.以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．一、指数幂的概念与性质 1．根式的定义若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式． 2．根式的性质：①(na )n ＝_a _；②na n＝⎩⎨⎧a n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0 n 为偶数；3．分数指数幂(1)正分数指数幂是：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；(2)负分数指数幂是：a －m n ＝1na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 二、指数函数的图象与性质a >1 0<a <1 图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1； 当x <0时，y >1快速画出函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的技巧画指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 【解析】 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.【答案】 B2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y【解析】416x 8y 4＝424x 24y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .【答案】 D3．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)【解析】 由题意得0≤16－4x ＜16， ∴函数的值域是[0,4)． 【答案】 C4．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________．【解析】 ∵a 0＝1，∴x －2＝0，即x ＝2，此时，f (2)＝－2，因此必过定点(2，－2)． 【答案】 (2，－2)5．(xx·山东高考)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【解析】 由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.【答案】 A16．(xx·四川高考)函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()【解析】 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D.【答案】 D考向一 [022] 指数幂的化简与求值化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a ＞0，b ＞0)；(2)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【思路点拨】 将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．【尝试解答】 (1)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法11.这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 对点训练 计算：(1)3a 92a －3÷3a－73a 13；(2)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；(3)已知m 12＋m －12＝4，求m 32－m －32m 12－m －12.【解】 (1)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(7)2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (3)∵m 12＋m －12＝4，∴m ＋m －1＋2＝16，∴m ＋m －1＝14，∴m 32－m －32m 12－m －12＝m 12－m －12m ＋m －1＋1m 12－m －12＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.考向二 [023] 指数函数图象的应用已知f (x )＝|2x －1|， (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．【思路点拨】 (1)作出f (x )的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出f (x )、f (x ＋1)图象，数形结合求解． (3)在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝x 2的图象，数形结合求解．【尝试解答】 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x ，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．(2)在同一坐标系中分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象，如图所示．由图象知，当|2x 0＋1－1|＝|2x 0－1|时，解得x 0＝log 223，两图象相交，从图象可见，当x ＜log 223时，f (x )＞f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x ＞log 223时，f (x )＜f (x ＋1)．(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点转化为函数f (x )与y ＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．规律方法2 1.指数型函数的图象与性质单调性、最值、大小比较、零点等的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.2.一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 对点训练 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．【解】 分底数0＜a ＜1与a ＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：从图中可以看出，只有当0＜a ＜1，且0＜2a ＜1， 即0＜a ＜12时，两函数才有两个交点．所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0＜a ＜12.考向三 [024] 指数函数的性质及其应用(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3的单调递减区间为________，值域为________． (2)(xx·威海模拟)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a ＞0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．①求a 的值； ②求函数的值域；③当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围． 【思路点拨】 (1)根据复合函数的单调性求解．(2)由f (0)＝0求a ，借助a x 的范围求值域，借助二次函数恒成立的知识求t 的取值范围． 【尝试解答】 (1)令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上为单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减．又g (x )＝－(x ＋2)2＋7≤7，∴f (x )≥⎝⎛⎭⎫137＝3－7.【答案】 (－∞，－2) [3－7，＋∞)(2)①∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1－42a 0＋a ＝0.解得a ＝2. ②∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y.由2x ＞0知1＋y1－y ＞0，∴－1＜y ＜1.即f (x )的值域为(－1,1)． ③不等式tf (x )≥2x －2等价于 t 2x －12x＋1≥2x －2， 即(2x )2－(t ＋1)2x ＋t －2≤0.令2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．又u ∈(1,2]时，u 2－(t ＋1)u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1＋t －2≤022－2t ＋1＋t －2≤0解得t ≥0.故所求t 的取值范围为[0，＋∞)．规律方法3 1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.2.对于同时含a x 、a 2x 的表达式，通常可以令t ＝a x 进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.对点训练 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________． (2)已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0且a ≠1)．①求f (x )的定义域和值域； ②讨论f (x )的奇偶性； ③讨论f (x )的单调性．【解析】 (1)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x， 则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.【答案】 ⎣⎡⎦⎤34，57 (2)①f (x )的定义域是R ，令y ＝a x －1a x ＋1，得a x ＝－y ＋1y －1.∵a x ＞0，∴－y ＋1y －1＞0，解得－1＜y ＜1，∴f (x )的值域为{y |－1＜y ＜1}． ②∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．③f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1.设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2ax 2＋1－2ax 1＋1＝2ax 1－ax 2ax 1＋1ax 2＋1.∵x 1＜x 2，∴当a ＞1时，ax 2＞ax 1＞0，可编辑修改精选文档 从而ax 1＋1＞0，ax 2＋1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )为R 上的增函数，当0＜a ＜1时，ax 1＞ax 2＞0， 从而ax 1＋1＞0，ax 2＋1＞0，ax 1－ax 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，f (x )为R 上的减函数.思想方法之五 指数幂大小比较的绝招——构造法构造法是通过对问题的观察、分析，抓住特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造新的数学模型来达到解题目的．在幂的大小比较中，常用的构造方式有两种：(1)构造幂函数，该方法适合“同指不同底”的两个实数的大小比较．(2)构造指数函数，该方法适合“同底不同指”的两个实数的大小比较．在此基础上，借助该函数的性质(单调性等)比较两个数值的大小．——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———(xx·天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5.∵1.8＞1.5＞1.44，且y ＝2x 在R 上单调递增，∴y 1＞y 3＞y 2.【答案】 D.。
2020版高考数学大一轮复习(讲义·理·新人教A版) 第八章 平面解析几何 第1节 直线的方程
第1节 直线与方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α；(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3.直线方程的五种形式[微点提醒]1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝04.(2019·济南调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2019·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A6.(2018·兰州模拟)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( ) A.3x ＋y －6＝0 B.x ＋3y －10＝0 C.3x －y ＝0D.x －3y ＋8＝0解析 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.答案 A考点一 直线的倾斜角与斜率 典例迁移【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________. 解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2解析 直线y ＝kx －3恒过点(0，－3)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)， 所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， 因为l 过点(4，1)，所以4a ＋1a＝1，所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究 角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解析 由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|PA |·|PB |的最大值是5. 答案 5角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.解析 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3－4k，0，B (0，4－3k )，所以△ABO的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2（－9k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号.此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米.答案 10[思维升华]在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范] 倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化规律.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案 D2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D3.(2019·北京延庆区模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2. 答案 A7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1.答案 D8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.答案 D 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝010.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.解析 若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. 若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝011.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tan α21－tan 2 α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32. 答案 －3212.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]能力提升题组(建议用时：20分钟)13.(2019·天津和平区调研)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A.－12B.－12或－2C.12或2D.－2 解析 因为sin θ＋cos θ＝55，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15， 所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95， 易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55， 所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.答案 D14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.36B.45C.50D.55解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 答案 B15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.解析 若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋y b＝1. 由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.答案 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝016.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理
• (2)有理数指数幂的性质 • ①aras＝___a_r_＋_s __(a>0，r，s∈Q)； • ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)； • ③(ab)r＝___aa_rrbs_r___(a>0，b>0，r∈Q)．
• 3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
数是带分数的，先化成假分数． • (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答．
39 【例 1】 计算：(1) a2
a－3÷
3 a－73 a13；
1
(2)(0.027)－3
－17－2＋27921
－(
2－1)0；
3
3
1
(3)已知 m2
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)n an与(n a)n 都等于 a(n∈N*)．( × ) (2)2a·2b＝2a b．( × ) (3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若 am<an(a>0 且 a≠1)，则 m<n.( × ) (5)函数 y＝2－x 在 R 上为单调减函数．( √ )
∴f(0)＋f(1)＝a，
即 a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得 1＋loga2＝0，解得 a＝12.
•易错点 忽视对含参底数的讨论
• 错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数 时，要分底数大于1和大于0小于1讨论．
【例 1】 已知函数 f(x)＝|aa2－－19|(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)在 R 上为增函数，求 a 的取
∵f(x)的定义域为 R，且 f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．