动力计算 结构力学共179页
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结构力学 结构的动力计算
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
第13章
结构的动力计算
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作 用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：
y(t ) [m(t )] y
整理，
m(t ) y 1
y (t ) 0
(a) (b)
单自由度体系： k
1
式（13－1）或（a）称为单自由度体系 自由振动运动方程（微分方程）
二.自由振动运动方程的解
由式（13－4）
y (t ) A sin(t ) A sin(t 2 ) A sin[ (t 2 ) ] y (t 2 )
y(t)是周期函数
T 2
－自振周期（固有周期） －自振频率（固有频率）
2 T
1. 结构自振周期 T 和自振频率 的各种等 价计算公式
结构力学动力计算
沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作 图
M1
m
EI EI
L
图乘法得 柔度系数
自振频率
M1M1 2l3
EI 3EI
1
2m
3EI 4ml 3
L
L
L
自振周期
T 2 2 4m l3
3EI
M1图
m
EI
L
1
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
算例．求图示体系的自振频率和周期,C端最大位移
A
∞
B
C
k
10个自由度 9个自由度
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
10.2 单自由度体系的自由振动
1.自由振动运动微分方程
• 自由振动－由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作 用的振动。
• 分析自由振动的目的 确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院m
静平衡方程
代入初始条件得
y(t 0) y0 Asin y(t 0) v0 Acos
解得
振幅： A
y02
v02
2
初始相位角：
tan1 y0
v0
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
算例 求图示体系的自振频率和自振周期。（P359）
自振频率和自振周期是体系固有的， 只与内在因素有关，与外在因素无关。 算法：柔度法
动荷载: F(t) 刚度系数: k
柔度系数: =1/k
位移:y(t)
质量: m
时间:t
速度: y(t) dy
加速度：
dt y(t)
d
2y
dt 2
结构力学（2）
M1
m
EI EI
L
图乘法得 柔度系数
自振频率
M1M1 2l3
EI 3EI
1
2m
3EI 4ml 3
L
L
L
自振周期
T 2 2 4m l3
3EI
M1图
m
EI
L
1
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
算例．求图示体系的自振频率和周期,C端最大位移
A
∞
B
C
k
10个自由度 9个自由度
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
10.2 单自由度体系的自由振动
1.自由振动运动微分方程
• 自由振动－由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作 用的振动。
• 分析自由振动的目的 确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院m
静平衡方程
代入初始条件得
y(t 0) y0 Asin y(t 0) v0 Acos
解得
振幅： A
y02
v02
2
初始相位角：
tan1 y0
v0
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
算例 求图示体系的自振频率和自振周期。（P359）
自振频率和自振周期是体系固有的， 只与内在因素有关，与外在因素无关。 算法：柔度法
动荷载: F(t) 刚度系数: k
柔度系数: =1/k
位移:y(t)
质量: m
时间:t
速度: y(t) dy
加速度：
dt y(t)
d
2y
dt 2
结构力学（2）
结构力学教程——第15章 结构的动力计算
k m
24EI mh3
T 2 mh3
24EI
3. 结构的自振周期与频率
例5 计算结构水平振动和竖直振动时的自振频率，忽略自重。
m
1l
EI 常数
l
22
l
l
水平振动 柔度法 δ
M
4 EI
1 l 2
l 2
l 2
2 3
l3 3EI
1
m
3EI ml 3
3. 结构的自振周期与频率
刚度法 k
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 y(0) v0
C1 y0
C2
v0
y(t)
y0
cos t
v0
sin t
2. 自由振动微分方程的解
yy
T
y(t)
y0
cos t
v0
sin t
0
t y cos t
-y
y
T
v
0
v
y T
A
t
v sin t
A sin
t
3. 结构的自振周期与频率
拓展——定性分析 例：图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，
不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
m
m
m
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
1
l3 48EI
2
7l 3 768EI
3
l3 192EI
1
1
m1
48EI ml 3
2
1
m 2
768EI 7ml 3
1
1
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
结构力学课件 动力计算
M AC 3i A 3i 3i(1 A ) M AB i i i 3 A 3 3 ( A 1) 2 2 2
l
l
M 1 2
M AB 6i M AB , FQBA 1 2 2l 12i k k11 r11l m 1 2
弹簧反力 FRC 5m 2a,
2k FRC 5m 2 a 2 , 弹簧变形 2a 5m k k
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例3：求图示体系的 自振频率。 ⑶间接应用公式
A
l/2
B m B θ
EI＝∞ l/2
C k C
l/2
D m D
A
设梁绕A点转角为θ, 2 2 2 l 3l 5ml •则梁绕A点转动的惯性 JA m m 2 2 2 为其对A点的转动惯量. A k B C D 11 •与其相应的刚度为梁 l θ=1 绕A点转动刚度k11 。 kl k11 kl 2 •用转动刚度k11代替刚 度系数k，转动惯量JA k11 k kl 2 2k 2 代替质量m代入公式 m J 5ml / 2 5m
1 192 EI m 5ml 3 192 90 105 1 134.16 s 5 300 43
结束放映
EI
F sin t
m
1
l/2
l/2
k
δ
k 1/2
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郑州大学土木工程学院 樊友景
例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
结束放映
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l
l
l
M 1 2
M AB 6i M AB , FQBA 1 2 2l 12i k k11 r11l m 1 2
弹簧反力 FRC 5m 2a,
2k FRC 5m 2 a 2 , 弹簧变形 2a 5m k k
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郑州大学土木工程学院 樊友景
例3：求图示体系的 自振频率。 ⑶间接应用公式
A
l/2
B m B θ
EI＝∞ l/2
C k C
l/2
D m D
A
设梁绕A点转角为θ, 2 2 2 l 3l 5ml •则梁绕A点转动的惯性 JA m m 2 2 2 为其对A点的转动惯量. A k B C D 11 •与其相应的刚度为梁 l θ=1 绕A点转动刚度k11 。 kl k11 kl 2 •用转动刚度k11代替刚 度系数k，转动惯量JA k11 k kl 2 2k 2 代替质量m代入公式 m J 5ml / 2 5m
1 192 EI m 5ml 3 192 90 105 1 134.16 s 5 300 43
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EI
F sin t
m
1
l/2
l/2
k
δ
k 1/2
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郑州大学土木工程学院 樊友景
例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
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l
建筑力学结构的动力计算
结构力学
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦
运动的合成，为了便于研究合成运动, 令
y A sin ,...
(e)式改写成
v A cos 来自y (t ) y cos t
y(t ) Asin( t )......... .......... f ) ...(
结构力学
三、结构的自振周期和频率
由式
y(t ) Asin( t )
y T A
及图可见位移方程是一个周期函数。
0
t
-A
周期－T
2
,
工程频率－ f
1 ( Hz ), T 2
圆频率－ 2f
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m
W
.y
d
+
I(t)
弹性力 S (t ) ky(t ) k ( y j yd )
恒与位移反向
与加速度反向
y y y 惯性力 I (t ) m(t ) m( j d )
淮海工学院土木工程学院
第十三章 结 构 的 动 力 计 算
结构力学
y y y 惯性力 I (t ) m(t ) m( j d )
2
单自由度体系强迫 振动的微分方程
ky m P(t )
y
m y
淮海工学院土木工程学院
第十三章 结 构 的 动 力 计 算
结构力学
一、动荷载为简谐荷载
y 2 y
2
P(t ) F sin t
A F m( 2 2 )
F sin t m
《结构力学》第15章 结构的动力计算
my t EA
(2 2 2)l
y(t) 1 2 22
2 2 FP (t)
13-3 单自由度体系的强迫振动
my my
m
m
l/2
F 2my t FP (t)
M图
2 EI
1 2
l 2
l
2 3
l 2
1 l 22
考虑稳态振动
y t Asin t m
F
2 2
sin t
F
m2 (1
2 2
)
sin t
F k
1
1
2 2
sin t
yst sin t
13-1 动力计算的特点和动力自由度
2 动荷载的分类 ◆第一类——周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。
非简谐性的周期荷载 t
FP (t) FP
典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转
t 动部分引起的荷载 属于2简00谐4年荷8载月
简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示
13-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第二类——冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。
1 m g W g st
T 2 m T 2 W g T 2 st g
13-2 单自由度体系的自由振动
自振周期的特性 （1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。 （3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。
m
齐次通解
y t C1 sin t C2 cost
非齐次特解