高数7-8
高数试题库
高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。
（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B = 。
（ ）3、函数y x =与函数y =（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。
（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。
（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。
（ ） 7、函数()sin f x x =是有界函数。
（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。
（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。
（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
（ ）14、100000x是无穷大。
（ ）15、零是无穷小。
（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。
（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。
（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。
（ ） 22、若)(x f 在0x 处不连续，则0()f x '必不存在。
高数(上)第八单元课后习题答案8-7
习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)c o s ,(c o s )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212c o s c o s +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131c o s c o s =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a xb a -=-=n , 单位内法向量为)c o s ,(c o s ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, bb y y z b a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 222222222c o s c o s b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u, 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )c o s ,c o s ,(c o s ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111c o s c o s c o s z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y y f , 66-=∂∂z zf . 因为3)0,0,0(=∂∂x f , 2)0,0,0(-=∂∂y f , 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f , 0)1,1,0(=∂∂z f , 所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k , grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u g r a d g r a d +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(zv u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i zu y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i z u u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u g r a d 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad . grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.。
体育彩票数据分析方法
选号前，如何科学地看走势图，这是一个不容无视的关键环节，怎样才能看好彩票走势图，按笔者“三分法〞的实践经验，为彩民朋友提供以下几种的走势图看法：体育彩票数据分析方法频率是指某个实验总次数范围内，某个事件所出现的次数占总次数的比率。
假设设实验次数为N，某个事件出现的次数为n，我们称n/N为某个事件在这N次实验中发生的频率，某个事件用A表示，频率可表示为FN〔A〕=n/N。
例如：某个地区电脑体育彩票共开奖36期，开奖的第一位也就出现过36次号码，这个36次号码就是总次数，即N。
数字3在第一位共出现过6次，这个6次就是n，这个数的出现就是前述的某个事件，其频率为6/36=0.166666……。
频率在彩票分析中是一个非常重要的概念，它几乎贯穿在每一种彩票分析方法中。
频率分析是上述概念的反向理解，即在某个实验总次数范围内，某个事件没有出现的次数。
移动频率将实验的总次数顺序重叠划分为假设干个次数相同的区间，每个区间分别统计某个事件发生的频率，再将某个事件在每个区间的概率组合成一组数据，称为移动频率。
例如：某地区电脑体育彩票共开奖36期，我们可按每10期划分区间，即第一期到第十一期为一个区间；第二期到第十二期为一个区间；第三期到第十三期为一个区间……第二十六期到第三十六期为一个区间。
在这26个区间，分别统计某个数字在每个区间发生的频率，将这个数字在26个区间中所发生的频率组合成26个数据，就称为当区间划分为10时，这个数字在36期开奖号码中的的移动频率。
极数分析极数分析是对下期开奖号每位数可能出现的高、中、低极数进行分析，是一种您的词语已经被中彩论坛过滤。
较高的分析方法。
极数极数是指在指定统计区间内出现频率最高、最低和介于二者之间的数。
例如：假设1、0、3、4、2、6、7、5、9、8十个数的出现频率分别为15.6%、14.68%、12.84%、11.93%、9.17%、9.17%、8.26%、6.42%、6.42%、5.5%，那么可以看出，1是出现频率最高的数，8是出现频率最低的数。
高数课本_同济六版
p40例2不用做p41定理2不用证p42习题1—4 1做2-5不全做6做7-8不用做第五节(注意运算法则得前提条件就是各自存在)P43定理仁2得证明要理解P44推论1、2、3得证明不用瞧P48定理6得证明不用瞧p49习题1・・51题只需做⑶⑹⑺⑻(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要)两个重要极限(重要两个重要极限要会证明P50准则1得证明要理解P51重要极限一泄要会独立证明(经典重要极限)P53另一个重要极限得证明可以不用瞧P55-56M西极限存在准则不用瞧p56习题1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，英中(2)(3)(5)重点做第七节(重要)P58-59左理1、2得证明要理解p59习题1-7全做第八节(基本必考小题)P60-64要重点瞧第八节基本必出考题p64 >J 题1 —8仁2、3、4、5要做其中4、5要重点做6・・8不用做第九节（了解）P66-67左理3、4得证明均不用瞧p69习题1・・91、2要做3大题只做（3）—（6）4大题只做（4）——（6）5、6均要重点做第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）一、（重要）二、（重要）P72三、一致连续性（不用瞧）p74 习^1-101、2、3、5要做,要会用5得结论。
4、6、7不用做p74总习题一除了7、8、9（1）（3）（4）Z外均要做其中要重点做得就是3（1 ）（2）. 5、11. 14第二章（小题必考章节）第一节（重要）一、引例（数三可只瞧切线问题举例）二、导数得宦义（重难点，考得频率很高）三、导数得几何意义（重要）另:【数一数二要知道导数得物理意义，数三要知道导数得经济意义（边际与弹性）四、函数得可导性与连续性关系（要会证明,重要）p79导数得定义要重点掌握,基本必出考题P81-82例1 一例6认真做以便真正掌握导数得定义p85可导性与连续性得关系要会证明）p86习题2—1不用做得就是1、2、9（1）-（6）、10、12、13、14其余都要做次中重点做得就是6、7、8、16. 18、19第二章第二节（考小题）四、基本求导法则打求导公式（要非常熟）P88-89 （1）（2）（3）得证明均不用瞧p89例1不用做p90迫理2得证明要理解p91 — 92例6—8重点做p92定理3证明不用瞧p96例7不用做p97习题2・・22题（1）（5）（7）（10）. 3（1）. 4、12均不用做瓦余全做英中13、14要重点做第二章第三节（重要，考得可能性大）P100例3不用做p103 Al题2・・35、6、7、11均不用做，苴余全做！其中4、12要重点做第二章第四节（考小题）p107-110由参数方程所确定得函数得导数数三不用瞧phi三、相关变化率（不用瞧）p111习题1大题⑴⑷、3（1）（2）、9T2均不用做数三5-8也不用做K中4重点做第二章第五节（考小题）p119四、微分在近似计算中得应用（不用瞧，基本上只要有近似两个字，考纲均不作要求）习题2・・55・・12均不用做其她得全做p125总习题二4、10、15-18均不用做，其余全做！其中2、3、6、7、14要重点做!数三不用做12、13 第三章（考大题堆题经典章节，绝对重点章节）第一节（最重要，与中值世理应用有关得证明题）一、罗尔定理（要会证）二、拉格朗日中值;^理（要会证）三、（柯西中值崔理（要会证）另外，要会证明费马定理p128-133费马定理罗尔；^^理拉格朗日中值定理柯西中值定理一泄要会独立证明，极其重要p134 Al题3・・1除13、15不用做，其余全部【重点】做第三章第二节(重要，基本必然要考)p134-135洛必达法则要会证明习题3・・2习题全做其中仁(1)(5)(10)(12)(15)(16). 3、4要重点做第三章第三节(掌握其应用，可以不用证明公式其本身)p140-141泰勒公式得证明不用瞧p145习题3・・3 8、9不用做，其余全做，英中,10 (1)(2)(3)要重点做第三章第四节(考小题)p152习题3・・4 3(1)(2)(5). 5(1 )(2). 8(1 )(2)S 9(1)(3)(5). 10(2)不用做，其余全做, 重点做3(3)(6)(8)、4、5(3)(5)、6、13、15 第三章第五节(考小题为主)P160例5不用做P161例6不用做p162例7不用做p162习题3・・5 1(2)(3)(6)(9)、8-16均不用做，其余全做第三章第六节（重要基础章卩）p169习题3・・6 1不用做2・・5都要做第三章第七节（了解，只有数一数二考,数三不用瞧）一、弧微分（不用瞧）二（了解）三、（了解）P175四、（不用瞧）P177 习题3—7 数三均不用做数一数二只需做1一6 第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用瞧）p182总习题三数一、数二全做数三可不用做（这个楼主有点疑问，楼主数一，所以数三考生有异议请私信）苴中,2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）. 11（3）. 12、17. 18、20要重点做第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用瞧）p182总习题三数一、数二全做数三15不用做其中,2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）. 11（3）. 12、17、18、20要重点做第四章（重要、柑对于数一、数三，数二考大题得可能性更大）第一节（重要）一、（理解）二、（会背，且熟练准确）三、（理解）P186例4不用做p188-189基本积分表一左要记得熟练、准确p192 Al题4・・12⑴一⑷⑹⑺⑼（10）（11）（16）. 3、4、6均不用做其余全做第四章第二节（重要，其中第二类换元法更加重要）p207习题4・・21、2⑴⑵⑶⑻（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做第四章第三节（考研必考）p212习题4一3全做（分部积分法极尖重要）第四节（重要）p218习题4一4全做第五节（不用瞧）p221总习题四全做第五章（重要，考研必考）第一节（理解）一、是积分问题举例（了解，其中变速直线运动得路程，数三不用瞧）二、泄枳分楚义（理解）P228三、楚积分得近似il•算（不用瞧）P231-234四、左积分得性质（理解）性质1・・7要理解，且能熟练应用，次中性质7最重要，要会独立证明p234习题5・・11、2、3、6、8、9、W均不用做，其余全部做，且重点做5、11. 12第五章第二节（重要）一、变速宜线运动中得位置……得联系（了解，数三不用瞧）二、积分上限得函数极其导数（极其重要，要会证明）三、牛顿••莱布尼茨公式（重要、要会证明）P237定理1 ,要求会独立证明，极其重要P239定理3要求会独立证明P241例5不用做例6经典例题，极加重要，记住结论p243习题5・・2 6⑴（2）（4）・・⑺（9）.7、8均不用做虛余全做戻中【数三】2不用做需要重点做得为9（2）、10-13第五章第三节（重要，分部积分法更重要）P247-249例5、6、7经典例题，重点做,并记住英相应结论P252例12经典例题，记住结论P253习题5・・31 (1 )(2)(3)(6)(12)(14)(15)(16)(21 )(22). 7⑴⑶⑻⑼不用做，其余全部做，且重点做1⑷⑺(17)(18)(25)(26)、2、6、7(7)(10)(12)(13)第五章第四节（考小题）p260习题5・・4全做,重点做1（4）、3 ° 3题为经典公式，一楚发要熟记第五节（不用瞧）【注】考纲不做要求，最好记住F（伽马，打不出来那个）函数得部分性质，可能给解题带来方便, 可参考汤家凤视频）P268总习题五1（3）. 2（3）（4）（5）、15、16均不用做瓦余全部做次中,重点做得就是3、5、7、8、9、10（1）⑵⑶⑻⑼（10）、13、14、17 第六章（考小题）第一节（理解）第二节（而积最重要）一、平而图形得而积P276-277极坐标情形只有数一数二瞧数三不用喘二、体枳（数三只瞧旋转体得体积）P280-281平行截而面积为已知得立体体积只有数一数二瞧三、平而曲线得弧长（数三不用瞧，数一数二记住公式即可）习题6・・2数一全做数二21-30不用做数三5、6、7、8、15（4）、17、18、21-30不用做第三节（数三不用瞧，数一数二了解）P291-292 习题6、3 只有数一数二做数三不用做P292-293总习题六数一全做数二6不做数三只需做3、4、5 第七章(本章对于数二相对最重要) 第一节(了解)P294例2数三不用唯p298习题7・・1只需做1(3)(4). 2(2)(4)、3(2)、4(2)(3)、5第七章第二节(理解)P301-304例2、3、4只有数一数二瞧，数三不用瞧p304习题7・・2只做仁2 第七章第三节(理解) 二、可化为齐次得方程(不用瞧)P306例2-P309均不用瞧p309习题7・・3 1 只做(1)(5)(6) 2只做(2)3、4不用做第七章第四节(重要，熟记公式)P312例2不用瞧P314伯努利方程只有数一瞧p315习题7・・4 1 只做(3)(5)(8)(10). 2只做(2)(3). 3做4・・7均不用做、8只有数一做第七章第五节(只有数一数二考,理解)P317例2不用瞧p319例4不用做P321例6不用做P316-P323数三均不用瞧P323习题7-5(数三不用做) 数一数二只做1(3)(4)(5)(10). 2(1)(2)(6) 3、4不用做第七章第六节(理解) 一、(不用噬)二、(重要)三、(不用瞧)P323-324二阶线性微分方程举例不用瞧P325-328立理1、2、3、4重点瞧P328-330常数变易法不用瞧p331习题7・・6只做1⑶⑷⑹⑺(10)、3、4⑴⑸⑹ 第七章第七节、第八节•(最重要，考大题备选章节)P335例4不用做P336-338例5不用做习题7・・7只做1⑴⑷⑺⑼(10)、2⑴⑵⑷P346例5不用瞧p347习题7・・8只做1(2)(4)(5)(6)(9)(10)、2(3)(4)、6其中6重点做第七章第九节(只有数一考，理解)P348-349欧拉方程只有数一瞧p349习题7・・9 数一只做(5)(8) 第十节(不用瞧)2(2)、3(1)(3)(5)(7)(8). 4(3)(4)、5、7、8、102(2)、3(1)(3)(5)(7)(8)、4(3)(4)、5、72(2)、3(1)(3)(5)(7)(8). 4(3)(4)、5、7第八章(只有数一考，考小题,了解) (本章只有数一考，单独命题以考小题为主，但数一特有得绝对重要考点,曲线曲面积分要以本 章为基础，建议数一同学好好复习本章) 本章需要数一多加注意得考点有:曲面方程与空间曲线方程。
高数试题及答案 五套
高学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()02lim1cos t t xx e e dtx-→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
教你如何计算平均学分绩点
教你如何计算平均学分绩点百分制换算绩点方法：百分制 90-100算9个绩点， 80-89算8个绩点， 70-79算7个绩点， 60-69算6个绩点，如果有补考重修的情况那么在最后通过成绩的基础上所得绩点减去2，比如高数补考(或重修)得80分，那么高数的绩点为8-2=6。
级别制优秀9个绩点，良好8个绩点，中等7个绩点，及格6个绩点。
有补考或重修的计算和上面的相同。
所算科目的代号：A A1 B B1 C1 G1 S X1 Z1 Z3 代号在成绩单里面有，对于一些目前还没有成绩的代号为 S 的科目先不算。
所有成绩在教务信息网站可以查到。
另外院级公共选修课成绩不是学分绩计算的范围，但至少要修够10个学分；还有每个系的某些科目可能也不计算学分绩。
无论补考或重修多少次，只算最后一次通过的成绩，换算方法和前面一样。
如；XX同学重修一门课N次，最后通过的成绩为80分，那么他的绩点就是8-2=6个，按照加权平均计算：总学分绩点=∑（课程成绩换算后的绩点×课程学分）÷课程总学分下面举例：假如这位同学就只有三门课程：高数、英语、结构力学高数85分6个学分、英语78分4个学分、大学物理65分5.5个学分、那他的总绩点：（8×6＋7×4＋6×5.5）／（6+4+5.5）=7.032请同学们自己算下目前的绩点，了解一下自己的情况，至少要6.6个绩点还有毕业设计达到合格才能拿到学位证。
成绩好的同学戒骄戒躁、再接再厉，成绩暂时落后的同学要加倍努力、迎头赶上，争取每位同学都能拿到学位证！特别是07级大四的同学最好计算一下，看看是否能拿到学位证。
如果差一点没达到，那么努力一下，毕竟大四还有机会，何况毕业设计或者论文占的比重比较大，学分多，能拿个良好或者优秀的拿学位就更容易了。
我计算一下自己的平均学分绩点了，大概是7.0这样，拿学位不成问题了。
各位加油啊！本人大四。
中国数字的含义
中国数字的含义阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。
0是国际上通用的数码。
这种数字的创制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功劳。
阿拉伯数字最初出自印度人之手，也是他们的祖先在生产实践中逐步创造出来的。
公元前3000年，印度河流域居民的数字就已经比较进步，并采用了十进位制的计算法。
到吠陀时代（公元前1400－公元前543年），雅利安人已意识到数码在生产活动和日常生活中的作用，创造了一些简单的、不完全的数字。
公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但各地的写法不一，其中典型的是婆罗门式，它的独到之处就是从1～9每个数都有专用符号，现代数字就是从它们中脱胎而来的。
当时，0还没有出现。
到了笈多时代（300－500年）才有了0，叫舜若（shunya），表示方式是一个黑点●，后来衍变成0。
这样，一套完整的数字便产生了。
这就是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。
中国人(Chinese)偏爱8(eight)和6(six)，忌讳4(four). 而西方人认为3(three)和7(seven)是大吉大利的数字，会给人带来幸福和快乐。
西方文化认为世界(the world)是由大地(land),海洋(sea)与天空(sky)三者合成的；大自然由动物(animal),植物(plant)和矿物构成,所以他们就特别喜欢3这个数字。
但是西方人认为13 (thirteen)是个不祥的数字。
重大活动不安排在13号，请客避免13人入席，电影院里没有第13排和13号座位，这是因为耶稣受难的前夜，和12个门徒共进晚餐，师徒13人中出现了一个叛徒犹大，因此，信奉基督教的民族都认为13是个不祥的数字。
1——一，有第一、金牌、万物起始之意，是成就、地位和尊荣的象征。
第一：No.1是很多成功人士一生追求的目标，站在事业和人生的颠峰，永远成为天之骄子。
第一对于他们是地位和尊荣的象征。
金牌：奥运会等大型比赛，金牌就意味着第一，是所有人花费无数心血争夺的目标，它不仅代表了参赛者的最高能力和成就，也给国家和人民带来无上的荣耀。
第一章高数活页1.6-1.9参考答案
lim xn A max( a1 , a2 , ak ).
例如:
lim n 1n 2 n 8 n 8.
n xh
p15. 三.由导数定义知 : 1. lim
h 0
Байду номын сангаас
e
e ex. h
x 3 x2 6 x 1 6 3 x2 2
x 1 x 2 0
lim f ( x ) ,
x 1为f ( x )的可去间断点, x 2为f ( x )的无穷间断点. 在x 1处补充定义f (1) 2, 则可使f ( x )在x 1处连续.
1 p12. 2. lim f ( x ) limsin x sin 0, x 0 x 0 x x 0为f ( x )的可去间断点. 在x 0处补充定义f (0) 0, 则可使f ( x )在x 0处连续.
五.解. f (0 0) lim[ln(1 x ) b] b
x 0
1 当a 0时, f (0 0) lim x sin 0, x 0 x 1 a 当a 0时, f (0 0) lim x sin 不存在, x 0 x 当且仅当a 0, b 0时, f ( x )在( 1, )连续.
1 cos x 2 p10. 5. lim lim x 1 ( x 1) 2 x 1 ( x 1) 2 lim
x 1
2cos
2
x
2sin
2
2 ( x 1)2
(1 x )
2
2
.
1 2 x 1 2 . 6.原式 lim 2 x 0 x 2
§1.8函数的连续性(11-12)
浙江大学高等数学(上)试题册及参考答案
高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。
（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。
（ ）3、函数y x =与函数y =是相同的函数。
（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。
（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。
（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。
（ ）7、函数()sin f x x =是有界函数。
（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。
（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。
（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
（ ）14、100000x是无穷大。
（ ）15、零是无穷小。
（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。
（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。
（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。
高数字母符号读法
高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。
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Q ( x)
(2 p q ) Q ( x) Pm ( x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
2 x 则 Q( x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x Qm ( x) e
0 不是特征根， 可设 y * ( x ) Ax B, 代入方程, 得 2 A 3( Ax B) 3 x 1 1 A 1 , B 3
6/12
y 3 y 2 y 1 例3. 求解定解问题 y (0) y (0) y (0) 0 解: 本题 0 , 特征方程为 其根为
故原方程通解为
1 ( 2)
2
,
2 时, 令 y B x 2 e x , 代入原方程得 B 1 , 2
故原方程通解为
x 有特解 y a y b y c e 例5. 已知二阶常微分方程 y e x (1 x e2 x ), 求微分方程的通解 .
的一个特解 .
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0
12/12
作
• 习题7-2
业
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根,
则取
y p y q y f ( x) Q (x )x为 m 次待定系数多项式 2 从而得到特解 e [ Q ( x) ( 2 p ) Q ( x) ( p q ) Q ( x) ] x 形式为 y* e Qm ( x) . x e Pm ( x)
于是求得一个特解
例3 求 y y sin x x cos 2 x 的通解. 由例1， 解 特征根 r i .
y y 4 sin x 特解 y1* 2 x cos x，
由例2， 1 4 y y x cos 2 x 特解y2 * x cos 2 x sin 2 x， 3 9 1 原方程特解 y* y1 * y 2 *
第八节 常系数非齐次 线性微分方程
1. f (x)=e x Pm (x) 型 2. f (x)=e x[Pm1 (x)cosx+Pm2 (x)sin x] 型
1/12
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )
根据解的结构定理 , 其通解为
y* (a x b) cos 2 x (cx d ) sin 2 x k e 2 x
三、小结
用代数方法(待定系数法)求非齐次线性微 分方程的一个特解：
x
(1) f ( x ) e Pm ( x ), y * ( x ) x k e x Qm ( x ) (k是作为特征根的重数 )；
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2
x 的通解 (其中 y 4 y 4 y e 例4. 求微分方程
为实数 ) . 解: 特征方程 r 2 4 r 4 0 , 特征根: r1 r2 2 对应齐次方程通解:
2 时, 令 y A e x , 代入原方程得 A
原方程通解：
4
1 1 4 C1 cos x C 2 sin x x cos x x cos 2 x sin2 x. 2 3 9
11 /12
例4. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
原方程通解为y C 1 e 来自 C 2 e x x e x
二、f (x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx] 型
可设 y * ( x ) x e ( R ( x ) cos x R ( x ) sin x )
(1) m ( 2) m k x
待定
（m max{ m1 , m2 }，
k是 i作为特征根的重数）
7/12
欧拉公式：
e
( a ib ) x
e (cos bx i sin bx ),
ax
it it
e e sin t , 2i it it e e cos t , 2
可设 y * ( x ) x e ( R ( x ) cos x R ( x ) sin x ) （m max{ m1 , m2 }， 待定 k是 i作为特征根的重数）
例1 求 y y 4 sin x 的一个特解 . 2 解 特征方程 r 1 0 的根 r i . i i
x( A cos x B sin x ) 4 sin x A 2 , B 0.
9 /12
例2. 解: 本题 0, 2, 特征方程 r2 1 0
①
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、f (x)=ex Pm (x) 型
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x) 为待定多项式 ,
y 3 y 2 y xe
2x
的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0, 特征根 r1 1，r2 2， 对应齐次线性方程通解 Y C1e x C 2e 2 x ,
2 是单根， 可设 y * ( x ) x( Ax B)e , 1 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x A , B 1 2 1 2x 于是 y * ( x ) x( x 1)e 2 x 1 2x 原方程通解 y C1e C 2e x( x 1)e 2 x . 2
2x
5/12
f Pm(x) 型： 可设 y * ( x ) x Qm ( x )e （k是作为特征根的重数） 待定 (x)=ex
k
x
例2 求 y 2 y 3 y 3 x 1 的一个特解 . 解 特征方程 r 2 2r 3 0 ,
1 于是，得一特解 y * ( x ) x . 3
解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
有根
x ( d cos x k sin x )
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) e (2 a) e (1 a b) x e c e
比较系数得
x
x
x
x
1 a b 0 2a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
y e x x e x
故原方程为
x x Y C e C e 对应齐次方程通解: 1 2
(1) m ( 2) m
f (x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx] 型
k x
[2( A sin x B cos x ) x( A cos x B sin x )]
原方程特解 y* 2 x cos x.
是单（特征）根， 故可设 y* x( A cos x B sin x ). 代入原方程，得
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为 代入方程得 故
原方程通解为
y C1 C2 e x C3 e 2 x
由初始条件得
C2 2C3 1 2
解得
C1 3 4 C2 1 C3 1 4
于是所求解为
综上讨论
设 y* x e Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
k x
4/12
f (x)=ex Pm (x) 型, 可设 y * ( x ) x k Qm ( x )e x （k是作为特征根的重数） 待定 例1 求
( 2) f ( x ) e [ Pm1 ( x ) cos x Pm2 ( x ) sinx ],
x
y * ( x ) x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ] (k是 i作为特征根的重数 ).
(1) m ( 2) m
k x
（m max{ m1 , m2 }，
6 b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
所求通解为
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
例5. 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 :
(2) y
( 4)
x y x e 3 sin x