2014年高考数学总复习教案：第五章 数列第1课时 数列的概念及其简单表示法

第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)考情分析考点新知理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.1. (必修5P32习题1改编)一个数列的前四项为－1，12，－13，14，则它的一个通项公式是________．答案：a n＝(－1)n1n2. (必修5P31练习2改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n＋12n＋3，则这个数列的第5项是________．答案：a5＝6133. (必修5P44习题8改编)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，则a6＋a7＋a8＝________．答案：48解析：a6＋a7＋a8＝S8－S5＝88－40＝48.4. (必修5P32习题6改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋5，这个数列的最小项是________．答案：－11解析：由a n ＝(n －4)2－11，知n ＝4时，a n 取最小值为－11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数． 2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列． 项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1，2，3，…)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f(n)(n ＝1，2，3，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[备课札记]题型1 由数列的前几项写通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，… (2) 1，0，13，0，15，0，17，…(3) a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，… (5) 1，22，12，24，14，… 解：(1) a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)． (2) a n ＝1－（－1）n2n.(3) a n ＝（－1）n ＋1（a －b ）＋a ＋b2.(4) a n ＝1－110n .(5) a n ＝(2)1－n .变式训练写出下列数列的一个通项公式： (1) －12，2，－92，8，－252，…(2) 5，55，555，5555，… (3) 1，3，6，10，15，… 解：(1) a n ＝(－1)nn 22. (2) a n ＝59(10n －1)．(3) a n ＝n （n ＋1）2.题型2 由a n 与S n 关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n . (1) S n ＝3n －1； (2) S n ＝n 2＋3n ＋1.解：(1) n ＝1时，a 1＝S 1＝2. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，a n ＝1符合上式． ∴ a n ＝2·3n －1. (2) n ＝1时，a 1＝S 1＝5. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2. 当n ＝1时a 1＝5不符合上式．∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)的导函数f′(x)＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值．解：由题意可知：∵ f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，∴ f ′(x)＝2ax ＋b ，由f′(x)＝－2x ＋7对应相等可得a ＝－1，b ＝7，∴ 可得f(x)＝－x 2＋7x.因为点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n＝－n 2＋7n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，a 1＝6适合上式， ∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 题型3 数列的性质 例3 如下表定义函数f(x)：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f(a n －1)，n ＝2，3，4，…，求a 2 008.解：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n .所以a 2008＝a 4＝2. 备选变式（教师专享）已知数列{}a n 的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求数列前30项中的最大项和最小项．解：∵a n ＝1＋99－98n －99，∴当n ≤9时，a n 随着n 的增大越来越小且小于1，当10≤n ≤30时，a n 随着n 的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a 10，最小项为a 9.1. 已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是________． 答案：a n ＝n解析：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n .∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1.∴ a n ＝n.2. 设a ＞0，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．答案：2＜a ＜3解析：由{a n}是递增数列，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，a 8＞a 7，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ＜－9或a ＞2，∴ 2＜a ＜3.3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2解析：由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.4. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ，则a 3＝________．答案：－116解析：当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116.5. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．答案：4解析：设最大项为第k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k ≥（k ＋1）（k ＋5）⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k≥（k －1）（k ＋3）⎝⎛⎭⎫23k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10，∴ k ＝4.1. 若a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．答案：(－3，＋∞)解析：解法1：(函数观点)因为{a n }为单调递增数列，所以a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞n 2＋λn ＋3，化简为λ＞－2n －1对一切n ∈N *都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2：(数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，所以a 1＜a 2，要保证a 1＜a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx ＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2＜32，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．2. 已知a n ＝n ×0.8n (n ∈N *)． (1) 判断数列{a n }的单调性；(2) 是否存在最小正整数k ，使得数列{a n }中的任意一项均小于k ？请说明理由． 解：(1) ∵a n ＋1－a n ＝4－n5×0.8n (n ∈N *)，∴n ＜4时，a n ＜a n ＋1；n ＝4时，a 4＝a 5；n ＞4时，a n ＞a n ＋1.即a 1，a 2，a 3，a 4单调递增，a 4＝a 5，而a 5，a 6，…单调递减．(2) 由(1) 知，数列{a n }的第4项与第5项相等且最大，最大项是4554＝1024625＝1399625.故存在最小的正整数k ＝2，使得数列{a n }中的任意一项均小于k.3. 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．(1) 设数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2) 在“凸数列”{a n }中，求证：a n ＋3＝－a n ，n ∈N *；(3) 设a 1＝a ，a 2＝b ，若数列{a n }为“凸数列”，求数列前2011项和S 2 011.(1) 解：a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，故S 6＝0.(2) 证明：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋3，所以a n ＋3＝－a n .(3) 解：由(2) 的结论得a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，即a n ＋6＝a n . a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ， ∴S 6＝0.由(2)得S 6n ＋k ＝S k ，n ∈N *，k ＝1，…，6， 故S 2 011＝S 335×6＋1＝a 1＝a.4. 已知数列的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)．(1) 求{a n }的通项公式；(2) 令T n ＝⎝⎛⎭⎫45nS n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)，① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n. 整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得S n ＝n(n ＋1)，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫45n(n 2＋n)． 故T n ＋1＝⎝⎛⎭⎫45n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1，T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n ＋1[（n ＋1）2＋（n ＋1）]，⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n －1[（n －1）2＋（n －1）]，即⎩⎨⎧n ≥45（n ＋2），45（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有T n ≤T m ， 此时m ＝8或m ＝9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．3. 通项a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。