九年级数学上册《图形的相似》复习
北师大版九年级上册数学《图形的位似》图形的相似研讨说课复习课件
3. 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比都等于相似比．位似多边形对应角相等，对应边成比例， 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
4. 作位似多边形的方法：(1)根据“对应点到位似中心的 距离之比等于相似比”作出各顶点关于位似中心的对应点；(2) 用线段顺次连接各对应点．
第四章 图形的相似
解：如图所示：
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为：①确定位似中 心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，顺次连 接上述各点，得到放大或缩小的图形．
知识点 2 位似图形的应用 例2 已知矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形，A 为 位似中心．已知矩形 ABCD 的周长为 24，BB′＝4，DD′＝2， 求 AB 与 AD 的长．
例1 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为 1 个单位长度的正方形，已知△ AOB 与△ A1OB1 位似，位
似中心为原点 O，且相似比为 3∶2，点 A，B 都在格点上，
则点 B1 的坐标为
－2，－23
．
【思路点拨】把点 B 的横、纵坐标分别乘－23得到点 B1 的坐标．
知识点 2 在直角坐标系中画位似图形 例2 (教材 P117 例 2)在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－ 3，3)．以原点 O 为位似中心画一个四边形，使它与四边形 OABC 位似，且相似比是 2∶3.
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘－23，得 O(0， 0)，A″(－4，0)，B″(－2，－4)，C″(2，－2)；在平面直角坐 标系中描出点 A″，B″，C″，用线段顺次连接点 O，A″，B″， C″，O，则四边形 OA″B″C″也是符合要求的四边形．
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
九年级数学上册 图形的相似复习题
九年级数学 图形的相似练习题班 姓名1、如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例，若m ＝2，n ＝8，y ＝20，则线段x 的长是_______2、若a －b b ＝23，则a b＝_______ 3、下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．a=，b=3，c=2，d=B ． a =4，b=6，c=5，d=10C ．a=2，b=，c=2，d=D ． a =2，b=3，c=4，d=14、已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似5、已知线段AB ＝10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC )，则AC 的长为6、两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36cm ，则大多边形的周长为_______.7、已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ，b ，c 的值．8、若（均不为0），则的值为. 9、已知点A (－2，4)，点B (－4，2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把线段AB 缩小，则点A 的对应点坐标为______________，点B 的对应点坐标为______________．10、小明身高为1.5m ，某一时刻小明在阳光下的影子是0.5m ；同一时刻同一地点，测得学校教学大楼的影长是5m ，则该教学大楼的高度为.11、如图，在平行四边形ABCD 中，若AB ＝3，AD ＝42，AF 交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，且CF ＝1，则CE 的长为________．第11题图第12题图12、如图，把一张三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△ADE 绕着点E 顺时针旋转180°，点D 到了点F 的位置，则S △ADE ：S ▱BCFD 是________．13、如图，为了测量一水塔的高度，小强用2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m ，与水塔相距32m ，则水塔的高度为_______m.432z y x ==z z y x -+214、如图，△ABC 中，边BC ＝12cm ，高AD ＝6cm ，边长为x 的正方形PQMN 的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则正方形的边长x ＝________cm.第13题图第14题图15、如图,在四边形ABCD 中,B ACD ∠=∠，AB=6,BC=4,AC=5,1CD 72=,求AD 的长.16、如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B ＝∠D ＝90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE .求证：△ABC ∽△CDE .17、如图，已知△PQR 是等边三角形，∠APB ＝120°.求证：(1)△P AQ ∽△BPR ；(2)AQ ·RB ＝QR 2.18、在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB 的高度．他手拿一支铅笔MN ，边观察边移动(铅笔MN 始终与地面垂直)．如图所示，当小明移动到D 点时，眼睛C 与铅笔、旗杆的顶端M 、A 共线，同时，眼睛C 与它们的底端N 、B 也恰好共线．此时，测得DB ＝50m ，小明的眼睛C 到铅笔的距离为0.65m ，铅笔MN 的长为0.16m ，请你帮助小明计算出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1m)．19、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上的一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若BC ＝4，AB ＝33，BE ＝3，求BF 的长．。
第1章 图形的相似 单元复习课 青岛版数学九年级上册
图形的相似
1111
单元复习课
体系自我构建
目标维度评价
【维度1】基础知识的应用
1.(2022·宁夏中考)如图,将三角尺直立举起靠近墙面,打开手机手电筒照射三角
尺,在墙面上形成影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换
A.平移
B.轴对称
C.旋转
D.位似
2.两个相似图形的对应边的比为3∶2,则面积比为__________.
A)
8.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC
上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为( C )
A.1
3
B.
2
C.2
D.3
9.(2023·阜新中考改编)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形,相似比
为2∶3,则△ABC和△DEF的面积比是__________.
,
=
∠ = ∠
∴△DAE≌△ACF(ASA),∴DE=AF.
14.(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且
∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
【证明】(2)∵△ACF≌△DAE,∴∠AFC=∠DEA,
9∶ 4
( D)
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
3.(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.
若AD=2,BD=3,则 的值是(
2
A.
5
1
B.
2
3
九年级数学《图形的相似》总复习课件-PPT
6或2/3或1.5
6
2.比例中项：
当两个比例内项相等时，即
a b=
cb(，或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b2 ac
数2与8的比例中项是 ___4_ .线段2cm与8cm的
比例中项是 _4__c_m.
7
3.黄金分割： A
C
B
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长线段（AC）是 原线段（AB）与较短线段（BC）的比例中项，就叫做把这条 线段黄金分割。
y
·P
O B· C·
x
·A
28
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=___85_或___52_
A
.E
F1
F2
DC
B
C
A
B
10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9, 则 AC=__6____
P
A
C
D
B
33
15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？
若AE=2,AC=4,则BC是DE的
倍.
A
E D
C B
34
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=___6____，△
ACP与△ABC的相似比是_____2__:，3周长之比是_______，
1
1. 成比例的数（线段）：
若 a c 或a : b c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。
本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。
即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。
例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。
相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。
通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
九年级相似图形知识点归纳
九年级相似图形知识点归纳相似图形是几何学中的一个基本概念，它指的是形状相似但尺寸不同的两个或多个图形。
在九年级的数学学习中，相似图形是一个重要的知识点，涉及到比例、比例尺、相似比等概念。
本文将对九年级相似图形的相关知识进行归纳总结。
一、相似图形的定义相似图形是指在形状上相似但尺寸不同的两个或多个图形。
相似图形具有以下特点：1. 对应角相等：两个相似图形的对应角都相等；2. 对应边成比例：两个相似图形的对应边的长度成比例。
二、相似图形的判定方法1. AAA判定法：若两个图形的对应角分别相等，则它们是相似图形。
2. AA判定法：若两个图形的两组对应角分别相等，则它们是相似图形。
三、相似图形的性质和定理1. 三角形的相似定理：a. AA相似定理：如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形是相似的。
b. SSS相似定理：如果两个三角形的三组对边成比例，则这两个三角形是相似的。
c. SAS相似定理：如果两个三角形的一组对边成比例且对应角相等，则这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质：a. 对应边成比例：相似三角形的对应边的长度成比例。
b. 三角形内角对应：相似三角形的内角都对应相等。
四、相似图形的应用相似图形的知识在实际生活和实际问题中有广泛应用，例如：1. 测量：利用相似图形的知识可以进行测量，如通过测量一个三角形的边长和另一个相似三角形的边长，可以得到未知边长的长度。
2. 设计：在设计中，相似图形的概念可以应用于建筑、道路等方面，通过对已知图形进行放大或缩小，使其与实际需求相适应。
3. 地图测绘：地图上的比例尺就是利用相似图形的原理进行测绘的。
五、示例题目1. 已知两个三角形的对边成比例，但两个三角形的对应角不全等，是否可以判定这两个三角形是相似的？2. 若一个平面图形与一个已知的相似图形所对应的角相等，并且对应边成比例，能否判断这两个图形是相似的？六、总结九年级相似图形是一个重要的几何学知识点，它涵盖了相似图形的定义、判定方法、性质和应用等方面。
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本章复习
【知识与技能】
能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图.会运用相似三角形的判定、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识.
【过程与方法】
能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地发生变化，让学生体会到数与形之间的关系.
【情感态度】
培养学生学数学爱数学的情感.
【教学重点】
相似三角形的特征，相似三角形的判定方法的应用.
【教学难点】
相似图形的判定方法的灵活应用，比例式的转换方法.
一、知识结构框图，整体把握
二、释疑解惑，加深理解
1.相似三角形的性质：
①对应边成比例.
②对应角相等.
③对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边
长等.
2.相似三角形的判定
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（3）判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.
（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似.
灵活应用各种判定方法，注意在应用判定定理2时，两边对应成比例，一个角对应相等，这个角必须是这两边的夹角.在证明时，有时需要对比例式进行变换，如把等积式化为比例式.
3.相似三角形的应用
构造相似三角形，建立数学模型，利用相似的有关知识解决实际问题.
4.图形与坐标
（1）用坐标确定位置.
①建立适当的直角坐标系，用坐标来确定物体的位置.
②用“角度（方向）、距离”刻画物体的位置.
（2）图形变换与坐标
①点（x,y）关于x轴对称点的坐标为（x,-y），关于y轴对称点的坐标为（-x,y），关于原点对称点的坐标为（-x,-y）.
②点（x,y）沿x轴向右平移a个单位的点的坐标为（x+a,y），沿y轴向上平移b个单位的点的坐标为（x,y+b）.
③图形以原点为位似中心缩放k倍，点（x,y）的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.
三、典例精析，复习新知
1.如图，D是AC上的点，BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于F、G，∠1=∠
2.
（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论.
（2）求证：BF2=FG·EF.
【分析】（1）BE ∥AC,BE=AD ，易证△ADF ≌△EBF.
（2）把BF 2=FG ·EF 化为等比式BF
EF FG BF ,易猜想△BFG ∽△EFB.由（1）知△ADF ≌△EBF,∴∠E=∠1,又∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.∵∠EFB=∠BFG,∴△BFG ∽△EFB ，易得BF2=FG ·EF.
2.已知：如图所示，PN ∥BC,AD ⊥BC 交PN 于点E ，交BC 于点D.
（1）当AP ∶PB=1∶2,S △ABC=18cm 2时，S △APN= ;
（2）若S △APN:S 四边形PBCN=1:2,求AE:AD 的值；
（3）若BC=15cm,AD=10cm ，且PN=ED=x,求x 的值.
四、复习训练，巩固提高
1.若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（ ）
A.97°
B.87°
C.77°
D.90°
2.如图，在正方形网格中，有△ABC 、△DEF 、△GHP ，则下列说法正确的是（ ）
A.△ABC ∽△DEF
B.△DEF ∽△PGH
C.△ABC ∽△GHP
D.△ABC ∽△PGH
3.若5
2=+b a a ,则a ∶b= . 4.如图，AB=8，AC=6，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且AD=2，若△ADE 与△ABC 相似，则AE= .
5.点A （-2，3）先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B 点的坐标为 ，B 点关于x 轴对称点的坐标为 .
6.已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，C B BC C A AC B A AB '
'=''=''，且△ABC 和△A ′B ′C ′的周长之差是4，求△ABC 和△A ′B ′C ′的周长.
7.如图，在6×8网格中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且相似比为1∶2.
（2）连接（1）中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长（结果保留根号）.
8.如图，Rt △AB ′C ′是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转而得到的，连接CC ′交斜边于点E ，CC ′的延长线交BB ′于点F.
（1）证明：△ACE ∽△FBE;
（2）设∠ABC=α,∠CAC ′=β,试探索α、β满足什么关系时△ACE 与△FBE 全等，并说明理由.
【答案】1.A 2.D 3.2∶3 4.
23或38 5.（-4,5）（-4,-5） 6.C △ABC=24,C △A ′B ′C ′=20
7.（1）略（2）4+62
8.解：（1）证明：∵Rt △AB ′C ′是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴AC=AC ′，AB=AB ′，∠CAB=∠C ′AB ′.
∴∠CAC ′=∠BAB ′,
∴△CAC ′∽△BAB ′,
∴∠ACC ′=∠ABB ′,
又∠AEC=∠FEB,
∴△ACE ∽△FBE.
（2）当β=2α时，△ACE ≌△FBE.
在△ACC ′中，∵AC=AC ′,
∴∠ACC ′=2 180C CA '∠-︒=2
180β-︒=90°-α. 在Rt △ABC 中，∠ACC ′+∠BCE=90°,
即90°-α+∠BCE=90°,∴∠BCE=α.
∵∠ABC=α,∴∠ABC=∠BCE,
∴CE=BE.
由（1）知△ACE ∽△FBE,∴△ACE ≌△FBE.
五、师生互动，课堂小结
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？
1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.
2.完成练习册中“本章热点专题训练”.。