常见的相似图形
第27章相似教材分析课件2021-2022学年人教版数学九年级下册
2.5.7 位似
分析：作直径 AC，连接 BC，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AC 于点 Q，易证 AP AQ k ， AB AC
点 A 关于⊙O 的 k 倍特征点 P 在以 AQ 为直径的⊙M 上(不与点 A 重合)。对于给定数值 k，当点 A 在⊙O 上跑起来时，⊙M 也随之绕点 O 旋转，⊙M 在旋转中擦除留下的痕 迹（图中所示圆环，不含外环圆上的点）即为点 P 的轨迹。
C
A
D
B
2.5.5相似三角形的性质
探究：已知△ABC∽△AEF，其中点A，E，F按顺时针顺序排列， AB=4，BC=5，AC=6. （1）如图1，若点E与线段AB上，作图确定点F 位置；
2.5.5相似三角形的性质
探究：已知△ABC∽△AEF，其中点A，E，F按顺时针顺序排列， AB=4，BC=5，AC=6. （2）点E在线模以及信息转换的过程，培养学生建模的意识，重视发 现和提出问题、分析和解决问题能力的培养.
2.5.7 位似
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上或顶点， 下面是位似中心不同的画法.
2.5.7 位似
例 （2022.01西城期末28）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1， 点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于 点B，若AP=kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
第27章 相似 教材分析
1.何为“相似” 长方形、正方形 不等边的二十边形、正二十边形、圆
1.何为“相似” 教材上把形状相同的图形叫做相似图形，何为形状相同？
所谓形状相同，必须有一种确定的描述，依此才能够准 确界定教材中的定义的相似图形.
1.何为“相似”
当一个物体正对着你逐渐由远而近时，对于你的视觉 来说，它的形状不变，但是大小就逐渐由小变大了.这种 现象的几何说法是,该物体由远而近时,它在你的视网膜上 所成的像的形状不变，但是大小逐渐放大，这就是相似形 常见的实例.
图形的相似知识点
图形的相似知识点相似图形是几何学中的重要概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
本文将介绍图形的相似性，并讨论相似图形的性质和应用。
一、相似图形的定义和判断方法相似图形定义：如果两个图形的形状相同，并且对应边的长度比相等，那么这两个图形就是相似图形。
判断相似图形的方法：1.对应角相等法则：如果两个图形的对应角相等，则这两个图形相似。
2.对应边成比例法则：如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形相似。
3.综合判断法则：根据对应角和对应边成比例的性质，综合判断两个图形是否相似。
二、相似图形的性质1.对应边成比例：相似图形的对应边的长度比相等。
2.对应角相等：相似图形的对应角相等。
3.面积成比例：相似图形的面积比等于对应边长度比的平方。
三、相似三角形相似三角形是相似图形中最常见的一种情况。
相似三角形有以下性质：1.对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2.对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3.高线成比例：如果两个三角形的高线成比例，则这两个三角形相似。
4.中线成比例：如果两个三角形的中线成比例，则这两个三角形相似。
四、相似图形的应用相似图形的概念在实际生活中有着广泛的应用，例如：1.地图比例尺：地图上的比例尺就是通过相似图形的概念来确定的。
2.影像放大：在影像处理中，可以通过相似图形的概念对影像进行放大或缩小。
3.三角测量：在测量中，可以利用相似三角形的性质来进行间接测量。
4.建筑设计：建筑设计中，相似图形的概念可以帮助设计师确定建筑物的比例和尺寸。
总结：相似图形是几何学中一个重要的概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
我们可以通过对应角相等和对应边成比例等方法来判断图形是否相似。
相似图形的性质包括对应边成比例、对应角相等和面积成比例等。
相似图形在地图制作、影像处理、测量和建筑设计等领域有着广泛的应用。
通过了解相似图形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的基本原理。
相似图形的例子
相似图形的例子
相似图形是我们在日常生活中经常会见到的图形，它们可以是任何形状，大小或颜色的图形。
它们的特征就是它们的外观上有很多共同之处，这也是为什么我们会称它们为“相似图形”。
相似图形的一个主要用处是用于创建视觉效果，这是因为当我们把几个相似图形排列在一起时，它们可以产生漂亮的视觉效果。
例如，我们可以使用一些精美的圆形，心形，正方形，三角形等图形来创建一个美丽的图案。
由于这种图案的外观有一定的节奏和节奏感，它可以为任何地方带来一种恰当的氛围。
另外，我们还可以使用相似图形来实现交互式教学。
例如，教师可以使用一系列与某个概念有关的相似图形，帮助学生更好地理解概念。
例如，学生可以使用多种正方形，正三角形和正多边形等相似图形来理解几何中的三角形概念。
此外，相似图形还可以用于创建对比。
对比是一种很好的设计原则，可以使视觉平衡，强调元素或整体的重要性，并给设计带来动力和感染力。
因此，我们可以使用大小不同的圆形，正方形，三角形，条形等相似图形来创建视觉对比，从而使设计更具有吸引力。
最后，相似图形还可以用于构建空间关系。
依据不同的情况，可以使用不同大小和形状的相似图形，如线条，圆形，三角形，正方形等，来创建空间关系，从而使空间布局更加有规律和有序。
从以上可以看出，相似图形在日常生活中具有重要的意义，它们可以用来创建视觉效果，实现交互式教学，创建对比，以及构建空间
关系。
因此，相似图形的运用对于提高我们的生活质量具有显著的作用。
数学图形相似性：比较相似的图形
数学图形相似性：比较相似的图形数学是一门研究规律和关系的学科，而图形相似性是数学中一个常见而重要的概念。
当两个图形在形状和比例上相似时，我们说它们是相似的。
本文将介绍数学图形的相似性及其比较方法。
一、相似三角形的判定相似三角形是图形相似性中最常见的情况。
要判断两个三角形是否相似，我们需要比较它们的对应边的比例是否相等。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF，满足以下条件之一，我们就可以认为它们是相似的：1. 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据这两个条件，我们可以快速判断两个三角形是否相似，从而理解它们之间的关系和特点。
二、比较相似图形尺寸的方法除了相似三角形，我们还可以比较其他图形的相似性。
在比较相似图形的尺寸时，有以下几种常用的方法：1. 比较周长：如果两个图形的周长比例相等，那么它们可以被认为是相似的。
例如，两个矩形的周长比例相等，我们可以说它们是相似的；2. 比较面积：如果两个图形的面积比例相等，那么它们也可以被认为是相似的。
例如，两个圆的面积比例相等，我们可以说它们是相似的；3. 比较边长：对于一些特定的图形，如正方形、正三角形，我们可以通过比较它们的边长来判断它们的相似性。
如果两个正方形边长比例相等，那么它们是相似的；4. 比较角度：有些图形的相似性可以通过比较角度来判断。
例如，正五边形和正十边形，它们内角都相等，因此我们可以认为它们是相似的。
通过以上方法，我们可以比较不同图形的相似性，了解它们之间的关系和性质。
三、利用相似性解决实际问题图形相似性不仅是数学理论中的概念，它也可以应用于实际生活中的问题解决。
例如，在测量中，如果我们知道一个物体的尺寸，我们可以通过测量它的影子尺寸来估计其他物体的尺寸。
这就是利用相似三角形的原理，通过相似性关系来解决实际问题。
此外，图形相似性也在建筑设计、地图绘制等领域得到广泛应用。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
相似图形
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
想一想: 放大镜下的图形和原来的图形相似吗?
(1)
(2)
(3)
你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形 象与你本人相似吗？
(A)
(B)
(C)
试一试
“行家”看门道!
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ （7） （8） （9）
对应边成比例，但对应角不相等，两个图 形不是相似图形
基础训练
口答： (2)如图，正方形的边长a=10，矩形的 宽b=5，长a=10,它们相似吗？请说明 理由.
对应角相等，但对应边不成比例，两个图 形不是相似图形
如何判断两个多边形是否为相似多边形
• 1，两个多边形的边数必须相同 • 2，各对应边必须成比例 • 3，各对应角必须相等 • 三个条件同时满足时，两个多边形 为相似多边形
做一做
图23．2．1是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它 们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地 图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张 地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′） 与C（C′）两地之间的图上距离．
2 5 •AB＝_____cm ， BC＝______cm ； 1 .4 3 .5 •A′B′＝______cm ， B′C′＝______cm ． •显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相 等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图 缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的 长度相比都“同样程度”地缩小了．
§23.2 相似图形
• 通过具体实例认识相似图形. • 理解掌握相似图形的性质和判定，并会应 用其解决问题.
27.1 图形的相似课件(共30张PPT)
比）与另两条线段的比相等，如
a b
c
d（即
ad
=
bc），我们就说这四
条线段成比
27.1 图形的相似
观察与思考 1.观察多面体模型与五棱柱教具中的正五边形回答下列问题
27.1 图形的相似
问题1 这些正五边形两两之间相似吗？
相似
问题2 在这两个正五边形中，是否有对应相等的内角？
是
问题3 在这两个正五边形中，对应内角的两边是否成比例？
78° 83°
B
C
F
α G
27.1 图形的相似
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， ∴ 它们的对应角相等．由此可得
∠α = ∠C = 83°，∠A = ∠E＝118°.
在四边形 ABCD 中，
β = 360°－(78°＋83°＋118°) = 81°.
21 D
A
β
18
78° 83°
B
C
x E
27.1 图形的相似 如果放在教室最后面展示又有什么不同？ 2. 图形的放大：
两个图形相似，其中一个图形可以 看作由另一个图形放大或缩小得到.
通过上面两 组图形的观 察，发现了 什么？
27.1 图形的相似 例1 放大镜观察学具的一个角和原来的角有什么关系？
放大之后的角与原来的 角是相似关系
27.1 图形的相似
118° 24
F
H
α G
27.1 图形的相似
∵ 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴它们的对应边成比例，由此可得
EH AD
EF AB
，即
x 21
24 18
.
解得 x = 28 cm.
几何形的相似与计算
几何形的相似与计算几何学是研究空间形状、大小和相互关系的学科。
在几何学中，相似是一个重要的概念，它描述了两个图形之间的特殊关系。
本文将介绍几何形的相似概念以及如何计算相似图形的比例尺。
1. 相似形的定义相似形是指具有相同形状但大小不同的图形。
两个图形是相似的，当且仅当它们的对应边成比例，对应角相等。
用符号表示为：∆ABC ~ ∆DEF，或者 AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 相似三角形相似三角形是最常见的相似形。
两个三角形相似的条件是它们的三个对应角相等，或者它们的三个对应边成比例。
根据相似三角形的性质，我们可以进行一些有趣的推论。
3. 测量比例尺如果两个图形相似，我们可以通过计算它们对应边的比例尺来确定它们的大小关系。
比例尺是对应边长度的比值。
例如，如果一张地图上两个城市的距离比实际距离的为1:10000，那么我们可以知道地图上的两个城市之间的距离是实际距离的1/10000。
4. 应用举例相似形的概念在现实生活中有很多应用。
以下是一些常见的例子：- 建筑设计：建筑师使用相似形的概念来设计楼房、桥梁等建筑物，确保其结构稳定性。
- 地图制作：绘制地图时，为了能够容纳整个区域，地图制作者会将地理空间缩放成比例尺适中的平面图。
- 数码影像：通过调整图像的大小和比例，我们可以在不失真的情况下调整图像的尺寸。
- 网络布线：在进行复杂网络布线时，我们可以使用相似形概念来计算各个房间之间的距离和连线长度。
总结：几何形的相似与计算是几何学中重要的概念之一。
通过相似形的概念，我们可以研究和解决各种与形状和大小相关的问题。
了解相似形的性质以及如何计算比例尺，将有助于我们更好地应用几何学知识解决实际问题。
相似形的概念以及计算比例尺的原理在不同领域中具有广泛的应用。
无论是建筑设计、地图制作还是数码影像处理，都离不开对几何形相似性的理解和计算。
通过掌握几何形的相似与计算，我们能够更好地理解和利用几何学。
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《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节，同时也是较难学的章节之一。
不少同学在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似，对于证明两个三角形相似也无从下手。
这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型，建立图感，就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。
首先，让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。
一、A型
如图1，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，
由判定定理一，得出△ABC∽△ADE。
【提示】这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称
为A型。
同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用，比如公共角。
二、反A共角型
1、如图2，这种图形是A型的变型。
若DE与BC不平行，△ABC与△ADE能否相似？
我们可以移动成段DE，使∠AED=∠B，
由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE
【提示】B、C的对应点由D、E变成E、D，因而对应角和对应线段也发生了相应的变化，这种图形形象地称为反A共角型。
2、变型Ⅰ
继续移动成段DE，使E点与C点重合，
并保持∠AED=∠B，如图3所示，
得△ABC∽△ACD，从而有=，
即AC2=AD·AB(比例中项概念)
3、变型Ⅱ
当AC⊥BC，CD⊥AB时，
变成图4，对应点没变，上述结论仍成立，
就得出射影定理这个重要定理。
△ABC∽△ACD∽△CBD
由△ACD∽△CBD，对应边成比例得出：
CD2=AD·DB
AC2=AD·AB
BC2=BD·AB
【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。
三、X型
如图5，D、E分别是△ABC的边BA、
CA延长线上的点，
DE∥BC，△ADE∽△ABC
这种基本图形形象地称为X型。
四、蝶型
如图6，DE不平行AB，
当∠B=∠E时，△ABC∽△DEC，
这种图形形象地称为蝶型。
认识完了基本图形，现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。
只有建立了图感，同学们才能强化对判定定理1的认识和理解。
以下两个例子就能帮
助大家巩固对这四种基本图形的认识。
例1：
如图7，G是平行四边的CD延长线上的一点，
连接BC交对角线AC于E，交AD于F，
请找出图中，有哪几对相似比不为１的相似三角形。
【答案】△AEF∽△CEB（X型）
△GFD∽△GBC（A型）△ABF∽△CGB
△GFD∽△BFA（X型）△ABE∽△CGE（X型）
例2：
将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示
（图中的所有点、线都在同一平面内），
请在图中找出两对相似而不全等的三角形，
并对其中一对相似进行证明。
【答案】△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△CDA∽△BAE
以上均是反A共角型。
以上两个例题能让我们初步建立图感，下面不妨从两个例题中学会在复杂图形中找出基本图形，解决相关问题发展图感。
练习1：
如图9，四边形ABCD、DEFG都是正方形，
连接AE、CG，AE与CG相交于点M、CG与AD相交于
点N，
试说明AN·DN=CN·MN。
【提示】△AMN∽△CDN（蝶型）
=
AN·DN=CN·MN
练习2：
如图10，D是AC上的一点，
BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，
∠1=∠2，BF是FG、EF的比例中项吗？请证明。
【提示】∵△FBG∽△FEB（反A共角共边型）
∴=
∴BF2=FG·FE。