第五讲 Solow经济增长理论
索洛经济增长模型
索洛经济增长模型（Solow Growth Model）索洛经济增长模型概述索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。
正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。
可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。
[1]索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资索洛模型的数学公式模型的基本假定[1]索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。
索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。
这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。
用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。
索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。
倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。
基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。
该模型的假设条件包括：1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。
Solow增长模型
Solow增长模型注意点：索罗模型的主要结论：长期人均产出惟一来源于技术进步(有效劳动)；实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长,也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。
主要缺陷：因模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在如资本产生正的外部性）。
1.2假设1.生产函数里的A 在生产函数中的作用是：增加劳动要素的边际产量，或者资本要素的边际产量，或者同时增加两者的边际产量。
2.如果知识进入的形式为F(K, AL)，则引入的技术进步被称为劳动增进型，或者被称为哈罗德中性。
如果知识进入的形式为F(AK, L)，则引入的技术进步被称为资本增进型。
如果知识进入的形式为AF(K, L)，则引入的技术进步被称为希克斯中性。
3.将A设定为劳动增进型，并结合模型的其它假设会使得资本-产出比K/Y最终稳定下来。
而在实际中，K/Y在长期中并没有明显的向上或向下的趋势。
4.规模报酬不变里c的设定是大于等于O的。
5.其他自然资源——广义的生产三要素(自然资源、人力资源、人造资源)。
自然资源：土地、森林、矿山人力资源：人的体力——劳动、人的智力——知识、企业家才能人造资源：资本（？）、厂房、机器、设备6. y=Y/AL=F(K,AL)/AL，k=K/AL，f(k)=F(k,1)，F(K/AL,1)=1/AL F(K,AL)7.紧凑形式的生产函数意味着每单位有效劳动的平均产量仅仅取决于每单位有效劳动的平均资本量，不取决于经济的总规模。
8.满足规模报酬不变、边际产品为正且递减和稻田条件这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。
因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
9.稻田条件的作用是：保证经济的路径不发散——对经济均衡的存在性、稳定性至关重要。
10.资本的边际产出有效劳动的边际产出劳动的边际产出11.如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出。
Solow模型（新古典增长模型）
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.2.1),(L K F Y =000220,0F FK K∂∂><∂∂220,0F FL L∂∂><∂∂).(),(L K F L K F λλλ=0 λ)()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅== 3.2L K k /=L Y y /= 3.2)(k f y =0K →∞→∂∂K F0→L FL ∂→∞∂lim lim KL K L F F →→==∞K→∞0→∂∂K F∞→L 0FL ∂→∂lim lim KL K L F F →∞→∞==0δ>K K δ。
t )(t I ，则)(t IK L K sF K sY K I K δδδ-=-=-=),( 3.4)()()()()()(t I t C t S t L t K t Y 、、、、、n s 、、δ （二）稳定状态1. 2. 3. 4.1.经济中各变量随时间变化的路径和增长的性质3.4K L K sF K δ-=),( Lk k sf k L K F s L K L L K sF L K δδδ-=-⋅=-=)()1,/(//),(/ 3.53.5K Kk k nk L K LK L L L K L K L L K dt L K d k -=⋅-=-==///)/(2 （L L n / =） 因此nk k L K +=/，代入3.5式 k k sf nk k δ-=+)(k n k sf k )()(δ+-= 3.63.6式为基本微分方程。
3.6式中，δ、、n s 为外生变量，因此k 只取决于kδn+2.相位图3.6k n k sf k )()(δ+-=ABCEk n )(δ+)(k f )(k sfkL Y /)0(k*k 图3.1 索洛―斯旺模型相位图3.)0(kA⋅f)0(k)(k(ksf)0(k)B⋅+)0(k(δkn)C⋅C⋅B k⋅>)0(k(0)3.6k n k sf k )()(δ+-=*k *k k = k n k sf )()(δ+=**)()(k n k sf δ+= 3.70=k*k k =0=kk n k sf k )()(δ+-= 3.6k/()/()k k sf k k n δ=-+k k /δ、、n s k k f /)(k k f /)(2[()/]'()()0'()/()/['()()/]{[()()]/}d f k k f k k k k f k k f k k k f k k dt k k k k f k f k k f k k f k k k k ⋅⋅-⋅===⋅-⋅'=-=--⋅⋅=)()(k f k k f '⋅-0=kk *k 0=k常数==)(**k f y 常数=⋅-=)()1(**k f s c 常数=⋅=)(*k f s S0)(/)(/***=+-=δn k k sf k kδ+=n k k sf **/)(**)()(k sn k f ⋅+=δ，s n 、、δ为***)()1()()1(ksn s k f s c ⋅+⋅-=⋅-=δ ***)()()(kn k sn s k f s S ⋅+=⋅+⋅=⋅=δδ 2()0Kd K LK K K L k n dt L L L L==-=-⋅= 得n K K =/ ，C L 、同样都以人口增长速率n 增长*C c L=为常数关于t 求导）。
Solow增长模型
k − k ∗ = (k ( 0) − k ∗ ) e−0. 04t
走完一半的路程要18年。 结论：储蓄率的变化较大时，不仅其总体影响是适度的，而且其作用 的出现也不是很快的。
总结
1. Solow模型的主要结论
(1) 人均产出变动的两个来源：人均资本 K/L、劳动的效率A。 (2) 只有劳动的效率性的差异才能解释人均收入在不同时间、不同地区 的巨大差别。
平衡增长路径上经济中各变量的增长率
表述方式 变量名称 单位效率劳动的资本 单位效率劳动的产出 单位效率劳动的消费 人均资本 人均产出 人均产出 总资本 总产出 总消费 绝对值 ｋ＝Ｋ／ＡＬ ｙ＝Ｙ／ＡＬ＝ｆ（ｋ ） ｃ＝ｙ－ｓｙ Ｋ／Ｌ＝Ａ＊ｋ Ｙ／Ｌ＝Ａ＊ｙ Ｃ／Ｌ＝Ａ＊ｃ Ｋ＝ＡＬ＊ｋ Ｙ＝ＡＬ＊ｙ Ｃ＝ＡＬ＊ｃ 增长率 ０ ０ ０ ｇ ｇ ｇ ｎ＋ｇ ｎ＋ｇ ｎ＋ｇ
3. 储蓄率变化的扩展分析
(1) 对消费的影响 当储蓄率连续变化时，k*、c*为储蓄率 s的函数。即
k* = k*(s,n，g，δ) c* = f (k*)−sf(k*)= f (k* )−(n+g + δ)k*
* * 所以， ∂c = f ` (k* (s , n, g，δ ))− (n + g +δ ) ∂k (s, n, g，δ）
` *
∗
∗
[
]
f `( k ∗ ) / f ( k ∗ )]( g + n + δ )( k − k ∗ )
考虑通常时产出关于资本的弹性的值 、及g 、n、δ的值，可知收敛 的速度大致为4%。 所以，
分子为产出关于资本的弹性。 通常的经济中产出关于资本的弹性，即支付给资本的 收入份额大致为1/3。所 以，产出关于储蓄率地弹性是小于 1的 ，约为 0.5。 （这意味着一个结论） 结论：储蓄率的显著变化只会对产出水平产生中度的变化。
1 Solow增长模型
K (t ) sY (t ) K (t )
2013-7-17
湖北经济学院经济学系 李博
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在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因 此，我们重点分析资本的变化。 （1）k的动态学 （2）稳态 （3）平衡增长路径
2013-7-17
湖北经济学院经济学系 李博
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由于 k K / AL， k K k L k A）可得： 用链式法则（ k K L A K (t ) K (t ) K (t ) (t ) k L(t ) A(t ) 2 2 A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) K (t ) K (t ) L(t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t ) sY (t ) K (t ) k (t )n k (t ) g A(t ) L(t ) sy (t ) ( n g )k (t )
?1k的动态学?2稳态?3平衡增长路径201341湖北经济学院经济学系李博16201341湖北经济学院经济学系李博?22tkgntsygtkntktltatktsytata?tltatktltl?tltatktltatk?ta?tltatktl?tltatktltatk?tk?a?akl?lkk?kkk?alkk?????????????????????????可得
Y L K L K ( ) R Y L K L
湖北经济学院经济学系 李博
密集形式的生产函数 f (k )满足 f (0) 0, f (k ) 0, f (k ) 0
证明： 资本边际产品为： F ( K , AL) ALf ( K / AL) MPK f (k ) K K 有效劳动的边际产品为 ： F ( K , AL) ALf ( K / AL) MPAL f (k ) kf (k ) AL AL
第五章 经济增长理论
k* f(k*)
* c gold
MPK =
* k gold
steady-state capital per worker, k*
The transition to the Golden Rule steady state
The economy does NOT have a tendency to move toward the Golden Rule steady state. Achieving the Golden Rule requires that policymakers adjust s. This adjustment leads to a new steady state with higher consumption. But what happens to consumption during the transition to the Golden Rule?
* * y gold f (k gold )
* c gold
* * i gold k gold
* k gold
steady-state capital per worker, k*
The Golden Rule capital stock
c* = f(k*) k*
is biggest where the slope of the production function equals the slope of the depreciation line:
高级经济学SOLOW经济增长模型
第八章 SOLOW经济增长模型•一、经济增长理论：•在世界各地，生活水平差异之大几乎令人难以理解。
生活水平的这些差异对人的福利有着重要的含义。
实际收入在国家间的差异与营养、教育程度、婴儿死亡率、预期寿命，以及其他福利指标的差异密切相关。
与宏观经济学在传统上着重考虑的短期波动的各种可能后果相比，长期增长的福利后果更为重要。
如在一次一般的衰退中，人均实际收入仅比正常值低几个的百分点。
而在20年间生产率增长每放慢1个百分点，就会使人们的收入水平降低20%以上。
•如果印度的人均实际收入以平均年增长率1.3%增长下去，要花200年才能达到美国目前的水平。
如果以平均年增长率3%增长下去，这一过程所需时间不到100年，而如果以平均年增长率5.5%增长下去，所花时间只需50年左右。
正如罗伯特.卢卡斯（1988）所说“一旦一个人开始思考（经济增长问题），他就不会再考虑其他任何问题。
•二、模型的基本假定：•1、投入与产出的假定：•SOLOW模型包含四个变量：产量（Y），资本（K），劳动（L）和知识或劳动的有效性（A）。
在任一时间，经济中有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产产品。
生产函数的一般形式为：• Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) (8-1) •其中：t表示时间。
•生产函数有两个特点：•（1）时间并不直接进入生产函数，只是通过是K，L和A的函数而进入。
只有在生产投入变化时，产量才随时间而变化。
•（2）A和L以相乘的形式进入生产函数，AL称为有效劳动，以这种形式引入的技术进步称为劳动增进型或哈罗德中性的。
对A的这种进入生产函数的设定方式，与该模型的其他假定一起，将意味着资本-产量比K/Y最终将稳定下来。
•2、关于生产函数的假定：•生产函数对于其两个自变量资本和有效劳动是规模报酬不变的。
这意味着生产函数中对两个自变量同乘以任意非负常数，将使产量同比例变动：•F(cK,cAL)=cF(K,AL) （8-2）•对所有的c>=0都成立。
索罗增长模型
第一章索洛经济增长模型The Solow Growth Model基本内容1 索洛模型的基本假定2 离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1 索洛模型的基本假定● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.● 其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I● 封闭经济,唯一的最终产品.● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产II● 假定家庭的储蓄率外生● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为(1)Y T F K t L t A t()[(),(),()]●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.●()A t可以理解为技术.●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规模报酬不变) 生产函数3:F R R ++→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数.定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.市场结构与市场出清 I●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .●劳动力市场出清条件:())L t L t =上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-市场结构与市场出清II●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.●记t 期的资本租赁价格()R t .●资本市场出清条件:()()s d K t K t =LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.●利率r(t)●折旧率δ●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.厂商优化厂商优化 I●考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--●注意:●上述最大化问题中的变量是总量.●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，()w t 与()R t 是给定的.●凹的问题,因为F 是凹的.厂商优化 II●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t 的函数.厂商优化 III命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.关键假设2假设2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件0 0 0 ()() K K K K lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> 00 0 ()() L L L L lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> ●保证内点解.生产函数Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.2 离散时间Solow 模型Solow模型的动态过程描述 I●K的折旧率为 , 于是1 1()((() ),)K t K t I t δ+=-+ (4) 其中， ()I t 是t 阶段的投资.●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y t C t I t =+ (5) ●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述II●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是.()()()()S t I t Y t C t ==-●假定家庭的储蓄率是常数，则()(),S t sY t =(6) 1()()()C t s Y t =-(7) ●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s ）可表示为()()( 1 1 )()()()().s K t K t S t K t sY t δδ=-+=-+Solow 模型的动态过程描述 III●资本的供求相等 ()().s K t K t =●同时也有劳动力市场供求相等 ()().L t L t =●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程: ()[()()1 ,, 1.()]()()K t sF K t L t A t K t δ+=+- (8) ●非线性差分方程.●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()(())()L t or L t and A t 来刻画.定义均衡 I●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在Solow 模型中，对于给定的序列 {}0()(),t L t A t ∞= 以及初始资本存量()0K , {}0,,,()()()(,)()t K t Y t C t w t R t ∞=是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t 满足 (8), ()Y t 由(1)给出, ()C t 由 (7)给出, ()w t 与 ()R t 分别由 (2) 与 (3)给出.●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●进一步假定（稍后放松假定）:●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即() L t L =. ●假定没有技术进步，即() A t A =.●定义资本-劳动比率（人均资本）为 ((,))K t k t L ≡(9)●利用规模报酬不变, 人均产出) ()(/y t Y t L ≡可表示为,1, ()()(() ).K t y t F A L f k t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≡ (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意()f k 依赖于A, 本可以将生产函数写成,()f k A ;但由于A 是常数，因此可以假定 A = 1.●由欧拉定理0 ()(())()(())()(())0.R t f k t w t f k t k t f k t -'=>'=> (11) ●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.例子: Cobb-Douglas 生产函数 I●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()[()()()]()( ,,,01)Y t F K t L t A t AK t L t ααα-==<<●满足假设1和 2.●两边同时除以()L t ,()() y t Ak t α=●由 (11)可得(1)()()()()Ak t R t Ak t k t ααα--∂==∂ ●由欧拉定理,()()() 1.()()()w t y t R t k t Ak t αα==--例子: Cobb ‐Douglas 生产函数II●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,()111()()() () ,R t AK t L t Ak t ααααα----==()()()()()()1 1 ,w t AK t L t A t k ααααα-=-=-直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()(()1 1).)(()k t sf k t k t δ+=+- (12) 定义 稳态均衡（steady-state equilibrium ）* ()k t k =.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II●上图实线代表 (12)，虚线是45 线.●它们的（正的）交点*k 表示稳态人均资本 **.()f k k s δ=(13)●注意到还有另一交点0k =,因为已经假定0(0)f =.●忽略该稳态值:●如果资本不是必不可少的（essential ）, ()0f 可能大于0 0k =可能变为稳态均衡点●本交点,即使存在，也不稳定。
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第五讲 Solow 经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？ 二、生产函数1.投入与产出的函数形式))()(),(()(t L t A t K F t Y =其中，Y 为产量，K 为资本，L 为劳动力，A 为知识或劳动的有效性，t 表示时间。
注意：AL 为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”。
如果知识进入的形式为Y=(AK,L)，则此种技术进步是资本增进型或索罗中性；如果知识进入的形式为Y=AF(K,L)，则此种技术进步为希克斯中性。
2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变。
F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0两个方面的含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如土地、自然资源）相对不重要。
规模报酬不变的假定使我们可以得到密集型式的生产函数： 令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)。
（2）边际产品递减。
f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品。
Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数：资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的 新古典生产函数图示。
一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，0<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 试证明：C-D 生产函数满足3个特性假设。
3．生产投入品的变动假设时间t 是连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：n t L dt t dL t L t L ==•)(/]/)([)(/)( （2）知识的增长：g t A dt t dA t A t A ==•)(/]/)([)(/)(其中n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度。
思考：L ，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长：)()(]/)([)(t K t sY dK t dK t K δ-==•其中s 为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量。
三、平衡增长路径 1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程已知)()()()(t L t A t K t k =，先做变换，再两边取自然对数得到：)(ln )(ln )(ln )(ln t L t A t K t k --=对t 求导数，得：)()()()()()()()(t L t L t A t A t K t K t k t k ••••--= )()()()()()()()()()()()(t k t L t L t k t A t A t L t A t K t K t K t k ••••--=代入，有：g t k n t k t L t A t K t sY t k )()()()()()()(---=•δ)()()()()()(t gk t nk t k t L t A t Y s---=δ)()()())((t gk t nk t k t k sf ---=δ )()())((t k g n t k sf δ++-=)()())(()(t k g n t k sf t k δ++-=•是索洛模型的基本微分方程，它表明)(t k •是k 的方程。
含义说明：人均实际投资))((t k sf 用于两方面：一是“资本的深化”，即)(t k •，二是“资本的广化”（或“持平投资”），即)()(t k g n δ++。
思考：为什么要进行一些投资以保证资本的广化？ （2）稳态均衡定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即)(t k •=0。
当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k •>0（储蓄大于投资） 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k •<0（储蓄小于投资）当))((*t ksf =)()(*t k g n δ++时，)(t k •=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。
无论k 从何处开始，它都收敛于k *。
（3）图示：稳态均衡图示1：)()(t k g n δ++))((t k f))((t k sfk* k稳态均衡图示2：)(δ++g nk k sf /)(k* k 证明：0')(')(]/)([]/)([22<-=--==k F sk k kf k f s dk k k f d s dk k k sf d AL、2.平衡增长路径 当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。
特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅仅取决于技术进步率。
四、非均衡动态与收敛 考察两个非均衡问题：（1）当经济增长处在非稳态时（k ≠k *时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态定义k 的增长率/()/()k k k sf k k n g δλ•==-++， 当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k •>0； 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k •<0。
非稳态动态图示1：)(t非稳态动态图示2：)δ+gk* k这表明k 离k *越远，其增长率（正或负）越大。
（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）我们也可以证明索洛模型中的其他变量X 的非均衡动态增长率（λX ）与λk 保持比例或线形关系，例如：λαλλk K k y k f k kf k f k k f y y ====••)](/)('[)(/)('/ g n k K ++=λλ因此，对k 的非均衡动态分析可以同样适用于X 。
结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。
2．绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验，产生绝对收敛与相对收敛的概念。
收敛文献中一般分析三种收敛类型：绝对β收敛、条件β收敛（简称为条件收敛和σ收敛。
σ收敛分析经济体收入水平的标准差随时间逐渐减小的状况。
存在σ收敛表明经济体的收入水平越来越接近，收入差距逐渐减小。
σ收敛和绝对β收敛都属于绝对收敛的概念。
绝对β收敛是指每个经济体的收入都会达到完全相同的稳定增长速度和增长水平。
条件收敛表示每个经济体都在朝着各自的稳态水平趋近，这个稳态水平依赖于经济体自身的特征，因此即使存在条件收敛也并不意味着经济体之间的绝对收入水平会趋同。
简而言之，绝对收敛和条件收敛都是向稳态水平的趋近，只不过绝对收敛中所有经济体的稳态水平都是相同的，而条件收敛中经济体具有不同的稳态水平。
因而绝对收敛表明所有经济体的人均收入最终会相同，条件收敛表明经济体之间的收入差距会持久存在。
条件收敛的图示：+g)δk(0)poor k*poor k(0)rich k*rich k含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。
因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。
3．收敛的速度考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。
关键在考察k 以多快的速度趋近k *。
由平衡增长的条件可知：)(k k k =•，在k=k *处对)(k k •作一阶泰勒级数近似，可得：**()()()k kk k k k k k••=∂≈-∂**()'()()k kk k sf k n g kδ•=∂=-++∂***()'()()()n g k f k n g f k δδ++=-++*[()1]()K k n g αδ=-++ 因此**()[1()]()[()]K k t k n g k t k αδ•≈--++-含义：在平衡增长路径上，k 向k *收敛的速度与k 与k *之间的距离成比例。
令*()()x t k t k=-，“收敛系数”))(1(δαλ++-=g n K ，则)()(t x t x λ-≈•，所以x 的路径为e x t x t λ-=)0()(（指数增长），即： (1)()**()((0))K n g t k t k e k k αδ--++-≈-可以证明，(1)()**()((0))K n g ty t y e y y αδ--++-≈-。
举例：假设%6=++δg n ，K α=1/3，则%4=λ（表示k 和y 向k *和y *每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。
证明：5.0=-e tλ，1804.0/2ln /)5.0ln(≈=-=λt五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平 产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费)()(k sf k f c-=令c=c *（处在平衡增长路径上），则：***()()c f k sf k =-由于))((*t ksf =)()(*t k g n δ++，所以，***()()c f k n g k δ=-++目标为人均消费最大化，令**/0c k ∂∂=，则*'()gold f k n g δ=++，即为最优消费的一阶条件，该*gold k 为黄金资本存量水平，最优消费***()()gold gold gold c f k sf k =-，这被称为“黄金分割律”。
图示：)('k f )(k f)()(t k g n δ++c gold)(k sfk *gold k再考虑储蓄率s 变化对消费c *的影响。
由平衡增长路径的稳定条件可知：**(,,,)k k s n g δ=，由此***()()c f k n g k δ=-++两边对s 求导，有： ***(,,,)['((,,,))()]c k s n g f k s n g n g s sδδδ∂∂=-++∂∂ *(,,,)k s n g s δ∂∂>0,因此*c s∂∂的符号决定于*'((,,,))f k s n g δ与)(δ++g n 的大小。