初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案
初中数学竞赛：图形与面积(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD=S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
初一几何竞赛试题及答案
初一几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 任意三角形B. 任意四边形C. 任意五边形D. 等腰三角形答案：D2. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π答案：C3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4.8B. 6C. 7.2D. 8答案：A4. 下列哪个选项是正确的？A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角互补C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角互补答案：C5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，那么它的斜边长是多少厘米？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。
答案：60°7. 一个正方形的边长为a，那么它的周长是______。
答案：4a8. 一个等边三角形的边长为b，那么它的高是______。
答案：(b√3)/29. 一个圆的直径为d，那么它的面积是______。
答案：π(d²)/410. 如果一个角的余角是30°，那么这个角的度数是______。
答案：60°三、解答题（每题10分，共70分）11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求这个三角形的面积。
答案：根据直角三角形面积公式，面积 = (底 ×高) / 2 = (6 × 8)/ 2 = 24平方厘米。
12. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，求这个三角形的周长。
答案：周长 = 底边长 + 2 ×腰长 = 10 + 2 × 13 = 10 + 26 = 36厘米。
初中数学几何与面积法综合应用(含答案)竞赛题精选(优选.)
F G E 图 2ACBDEA D E A D面积法1、常见规则图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。
A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，已知ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，若1=∆ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 .3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，则_______=∆DEF S .图 1ACBDD4、如图4，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .GFPE 图 4ACBD6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，则DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的（ ） A 、41 B 、83 C 、85 D 、1677、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分，则S 2和S 4的大小关系是（ ）FECABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 3A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，则矩形的内接三角形的面积总比数的（ ）小或相等。
A 、74 B 、1 C 、82 D 、81B 卷9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD 中，3=AB ，点E 、F 分别在BC 、CD上，且︒=∠30BAE ，︒=∠15DAF ，则AEF ∆的面积为 .10、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知ABC ∆三条高的比是5:4:3，且三条边的长均为整数，则ABC ∆的一条边长可能是（ ）A 、10B 、12C 、14D 、1611、（第14届“希望杯“邀请赛）如图7，将ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B '，C '，A '，且使AB B B ='，BC C C 2='，AC A A 3='，若1=∆ABC S ，那么C B A S '''∆是（ ）A 、15B 、16C 、17D 、18GFC DE 图 11ABDGEF A图 8CB12、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8，ABC ∆中，5:3:=AC BC ，四边形BDEC 和ACFG 分均为正方形，已知ABC ∆与正方形BDEC 的面积比是5:3，那么CEF ∆与整个图形的面积比等于 .C 卷13、（第6届“希望杯“邀请赛题）如图9，ABC ∆的面积为218cm ，点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上，且cm AD 4=，cm DB 5=，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，则ABE ∆C ′A ′B ′A图 7 CBNB的面积是（ ）A 、28cmB 、29cmC 、210cmD 、212cm14、（第7届“希望杯“邀请赛题）如图10，直角AOB ∠内有一点P ，a OP =，︒=∠30POA ，过点P 作一直线MN 与OA 、OB 分别交于M 、N ，使MON ∆的面积最小。
初一数学立体图形竞赛教程含例题练习及答案(可编辑)
初一数学立体图形竞赛教程含例题练习及答案初一数学竞赛讲座立体图形空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力,而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。
我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形,如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体,但有关立体图形的概念还需要深化,空间想象能力还需要提高。
将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理,是解决立体图形问题的一种常用思路。
一、立体图形的表面积和体积计算例 1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高 2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是72cm2,在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?解:水的体积为72×2.5180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×632(cm2)的柱体,所以它的高为180÷325(cm)。
例2 下图表示一个正方体,它的棱长为4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体,问:此图的表面积是多少?分析:正方体有6个面,而每个面中间有一个正方形的孔,在计算时要减去小正方形的面积。
各面又挖去一个小正方体,这时要考虑两头小正方体是否接通,这与表面积有关系。
由于大正方体的棱长为4cm,而小正方体的棱长为1cm,所以没有接通。
每个小正方体孔共有5个面,在计算表面积时都要考虑。
解:大正方体每个面的面积为4×4-1×115(cm2),6个面的面积和为15×690(cm2)。
小正方体的每个面的面积为1×11(cm2),5个面的面积和为1×55(cm2),6个小正方体孔的表面积之和为5×630(cm2),因此所求的表面积为90+30120(cm2)。
想一想,当挖去的小正方体的棱长是2cm时,表面积是多少?请同学们把它计算出来。
例 3 正方体的每一条棱长是一个一位数,表面的每个正方形面积是一个两位数,整个表面积是一个三位数。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题25 图形面积的计算_答案[精品]
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专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
初中数学竞赛图形与面积(含答案)
图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。
初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积
3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。
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问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4．在右下图中，六边形ABCDEF的面积是
54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的 面积。
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半
圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个 圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得 （2r）2=12，r2=3。
初一数学竞赛专题25 图形面积的计算
专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h====. 设△ABC 底边DE 上的高为，△BDE 底边DE 上的高为，则h =.∴=+=+）===6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲 , 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AECABCSS == ，1133BGFABCS S ==.设=x PECS ，=y PFCS则=3x PBCS，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEP S=，则=4x ADP S.由APDBEPF SS =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS =⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQS S+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBP AEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPD S S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14 提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8.C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFS S=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKES AE KH =∙∙=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMD AMC SS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGD CMGSS=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDSS MGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADCBEAS S== S ，得12532121=-=OCEH HAFIS S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
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初一数学竞赛讲座图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD =S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC ，△AGF ，△PEF ，△EKD ，△CDH 和正方形GHKP 。
用S 表示三角形面积，如用S △ABC 表示△ABC 的面积。
故六边形ABCDEF 的面积等于6+2+1+21+4+9=)(21222cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。
解法2：先求出大正方形MNRQ 的面积为6×6=36（cm 2）。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。
解法3：六边形面积等于S △ABC +S 梯形ACDF -S △DEF =6×2×21+（3+6）×4×21-3×1×21=6+18-121=)(21222cm说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会对图形产生不同的认识。
一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。
做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。
问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？解：如下图，连结BF。
则△BDF与△CFD面积相等，减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等，等于6cm2。
S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。
问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大？分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。
因为△ACE与△BDF的高相等（都是CD），所以只需比较两个三角形的底AE与BF的大小。
减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。
例5在四边形ABCD中（见左下图），线段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。
解：延长AB，DC相交于F（见右上图），则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从而∠BFC=45°。
因为∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。
在Rt △AEF 中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，从而EF=AE=12（cm ）。
故S 四边形ABCD=S △ADF-S △BCF=102-18=84（cm 2）。
说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。
这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜。
例6 正六边形ABCDEF 的面积是6cm 2，M ，N ，P 分别是所在边的中点（如上图）。
问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正1cm 2的正三角形，将另外三个面积为1cm 2的正三角形分别拼在边BC ，DE ，AF 外面，得到一个大的正三角形XYZ ，其面积是9cm 2。
这时，M ，N ，P 分别是边ZX ，YZ ，Xy 的中点，推知解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm 2的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为41的小正三角形。
于是正六边形ABCDEF 被分成了24个面积为41的小正三角形。
因为△MNP 由9个面积为41的小正三角形所组成，所以S △MNP =41×9=2.25（cm 2） 二、圆与组合图形以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。
现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。
1．圆的周长与面积计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。
主要公式有：（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr ；（2）中心角为n °的弧的长度=n ×π×（半径）÷180，即1=180r n （3）圆的面积=π×（半径）2，即S=πr 2；（4）中心角为n °的扇形面积=n ×π×（半径）2÷360，即lr r n S 213602==π 例7 右图是三个半圆（单位：cm ），其阴影部分的周长是多少？解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成，所以其周长为说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。
推而广之，若n 个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D ， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn ）=πD 。
例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R=2r 。
若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。
现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。
解：因为S 句号=S 大圆-S 小圆=πR 2-πr 2=π（2r ）2-πr 2=3πr 2说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考察转化的可能性和转化的途径。
像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
2．圆与组合图形在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。
组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。
例9下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。
求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。
显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。
因此，我们就得到以下的算式：说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。
如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。
分析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图）。
我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。
本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。
仔细观察后得出结论：右上图中的阴影部分等于说明：求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。
例11 求右图中阴影部分的面积（单位：cm ）。
分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。
我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如右图所示），这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。
也就是说，可以化零为整。
上述解法运用翻折（或旋转）的方法达到了化零为整的目的。
例12 已知右图中正方形的面积是12cm 2，求图中里外两个圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。
先考虑内圆面积。
内圆的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。
根据已知正方形的面积是12cm 2，可以推出内圆直径的平方为12cm 2，再求内圆面积就不难了。
外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R ，则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和。
再由正方形面积=2R ×R ÷2×2=2R 2，2R 2=12，便可求出外圆面积。