高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

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求参数取值范围的两个技巧

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。

高中数学考前归纳总结导数中的求参数取值范围问题

导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。

（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。

例1.已知a ∈R ，函数2()()exf x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由. 解：（1）2-()()e x f x x ax =-+-2-()(2)e ()(e )xxf x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e xx a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减，则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.22(2)440a a a ∆=+-=+>故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围．解：（I ）14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或，故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ （II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或1b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。

高考数学第一轮复习：《参数取值范围的求法》

高考数学第一轮复习：《参数取值范围的求法》范围问题是高中数学中最为普遍的问题之一，在高中数学的主要知识板块中都有大量的范围类试题，下面从解题方法的角度对其简要介绍．建立函数模型的方法(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，两条曲线在第一象限的交点记为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )(A)0，15(B)15，35 (C)13，＋∞ (D)15，＋∞(2)在锐角△ABC 中，AC ＝6，B ＝2A ，则边BC 的取值范围是________．思路点拨：(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c ，以其为变量建立求解目标的函数关系式；(2)求出角A 的取值范围，以其为变量表达BC ，利用三角函数性质得出其范围．解析：(1)根据已知|PF 2|＝2c ，在椭圆中根据定义2c ＋10＝2a 1，离心率e 1＝c c ＋5，在双曲线中根据定义10－2c ＝2a 2，离心率e 2＝c 5－c.由于P ，F 1，F 2三点构成三角形，所以2c ＋2c >10，即c >52，根据10－2c ＝2a 2>0可得0<c <5，故52<c <5,0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13.故选C. (2)根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即6sin 2A ＝BC sin A ，所以BC ＝3cos A .由于△ABC 为锐角三角形，所以B ＝2A <π2，即A <π4，又A ＋B ＝3A >π2，即A >π6，所以π6<A <π4，所以22<cos A <32，所以233<1cos A <2，所以23<3cos A <32，即BC 的取值范围为(23，32)．答案：(1)C (2)(23，32)【方法总结】选定一个变量建立求解目标的函数关系式，利用函数的性质得出其取值范围，这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法，是函数思想在数学解题中的主要体现之一．分离参数的方法(1)已知f (x )＝ax －cos 2x ，x ∈π8，π6，若∀x 1∈π8，π6，∀x 2∈π8，π6，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________．思路点拨：已知条件等价于f (x )在区间π8，π6内单调递减，f ′(x )≤0在区间π8，π6上恒成立，分离参数后化为求函数最值．解析：由题f (x )＝ax －cos 2x ，已知条件等价于f (x )在区间π8，π6内单调递减，等价于f ′(x )＝a ＋2cos x sin x ＝a ＋sin 2x ≤0在π8，π6上恒成立，即a ≤－sin 2x 在π8，π6上恒成立，由x ∈π8，π6,2x ∈π4，π3，得－sin 2x ∈－32，－22，只要a ≤－32，所以实数a 的取值范围是－∞，－32.答案：－∞，－32【方法总结】在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时，如果参数能够分离出来，即方程或不等式的一端为参数，另一端为某个变量的函数，则只要研究函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围．参数与变量整体处理的方法(1)已知函数f(x)＝x＋3a2x－2a ln x在区间(1,2)内是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝1，当x1，x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有f(x1)＋f(x2)x1＋x2>0，若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．思路点拨：(1)即f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立，结合函数图象分类讨论其成立的a的取值范围；(2)即增函数f(x)满足f(x)≤m2－2am＋1对所有x ∈[－1，1]，a∈[－1,1]恒成立，即f(x)max≤m2－2am＋1对a∈[－1,1]恒成立，化为关于a的一次不等式在[－1,1]上恒成立问题即可．解析：(1)f′(x)＝1－3a2x2－2ax.函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，等价于x2－2ax－3a2≥0在(1,2)上恒成立．设g(x)＝x2－2ax－3a2.当a≤1时，g(x)在(1,2)上单调递增，只要g(1)＝1－2a－3a2≥0，解得－1≤a≤13；当1<a<2时，只要g(a)＝－4a2≥0，无解；当a≥2时，g(x)在(1,2)上单调递减，只要g(2)＝4－4a－3a2≥0，即3a2＋4a－4≤0，解得－2≤a≤23，与a≥2矛盾．综上可知，函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时，a的取值范围是－1，13.(2)用－x2替换x2，得f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)>0，由于f(x)是奇函数，所以f(x1)－f(x2)x1－x2>0，等价于函数f(x)是定义域上的增函数，所以f(x)max＝f(1)＝1.不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立，即2ma－m2≤0对任意a∈[－1,1]恒成立，令g (a )＝2ma －m 2，则只要⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝－2m －m 2≤0，g (1)＝2m －m 2≤0即可，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0.故所求的m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．答案：(1)－1，13(2)(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)【方法总结】在参数与变量交织在一起，分离参数不方便的情况下，把参数作为常数，构成一个含参数的函数、不等式、方程等，根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件得出其取值范围．直接使用数形结合的方法已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a |－a (a >0)，且对任意x ∈R 恒有f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围是( )(A)(0,4](B)(0,2] (C)0，12 (D)0，14 思路点拨：画出函数f (x )的图象，问题等价于f (x －1)的图象不在f (x )图象下方，结合函数图象得出实数a 满足的不等式即得．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ≥a ，－x ，0≤x <a .根据f (x )是奇函数画出函数f (x )的图象，如图，由于函数f (x －1)的图象是由函数f (x )的图象向右平移1个单位得到的，只有平移到图(2)、(3)中的情况下，才有f (x －1)≤f (x )，故平移的距离4a ≤1，所以0<a ≤14.故选D.【方法总结】数形结合是广泛使用的一种数学方法．在求参数范围问题中，使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件，进而得出参数的取值范围．根据几何意义求参数(1)若不等式(x －a )2＋(x －ln a )2>m 对任意x ∈R ，a ∈(0，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是( )(A)－∞，12(B)－∞，22 (C)(－∞，2) (D)(－∞，2)(2)已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －a |＋|c －2b |＝5，则|c ＋2a |的取值范围是( )(A)[1,3](B)[23，3] (C)655，2 2 (D)655，3思路点拨：(1)根据两点间的距离公式得出(x －a )2＋(x －ln a )2的几何意义；(2)利用向量减法的几何意义确定|c －a |＋|c －2b |＝5表达的图形和|c ＋2a |的几何意义．解析：(1)式子(x －a )2＋(x －ln a )2的几何意义是直线y ＝x 上的点(x ，x )到曲线y ＝ln x 上的点(a ，ln a )距离的平方．y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，令1x ＝1得x ＝1，即曲线y ＝ln x 上横坐标为1的点处的切线平行于直线y ＝x ，此时切点(1,0)到直线y ＝x的距离最小，最小值为22，此即为曲线y ＝ln x 上的点与直线y ＝x 上点的距离的最小值，所以[(x －a )2＋(x －ln a )2]min ＝12，不等式(x －a )2＋(x －ln a )2>m 恒成立只要m <12，故m 的取值范围是－∞，12.故选A.(2)根据已知可得a ，b 是相互垂直的单位向量，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，把向量c 的起点放在坐标原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义就是向量c 的终点到向量a,2b 的终点(1,0)，(0,2)的距离之和，由于这两点间距离等于5，故向量c 的终点在以(1,0)，(0,2)为端点的线段上，该线段所在直线方程为x ＋y 2＝1(0≤x ≤1)．|c ＋2a |的几何意义是向量c 的终点到向量－2a 的终点(－2,0)的距离，显然最大距离即为点(－2,0)到点(1,0)的距离3，最小距离为点(－2,0)到直线x ＋y 2＝1的距离|－2－1|1＋14＝655.所以|c ＋2a |的取值范围是655，3.故选D.【方法总结】给数学表达式赋予一定的几何意义，把“式”的问题转化为“几何图形”的问题，以形助数是数形结合方法一个重要方面，其关键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义．化参数与函数最值比较的方法(1)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( )(A)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，142 (B)(1，＋∞) (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，142 (D)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数g (x )＝ax －a 2＋3(a >0)，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) (A)(－∞，－4](B)(－∞，6] (C)[－4，＋∞) (D)[6，＋∞)思路点拨：(1)不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立→只需令f (x 1)min ≥g (x 2)max →得出结论(2)由题意知f (x )的值域为g (x )值域的子集．解析：(1)依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max .(转化)f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.(求值)函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1,2]．当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.(求值)故问题等价于⎩⎨⎧ b ＜1－12≥2b －5或⎩⎨⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4 或⎩⎨⎧ b ＞2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A.(得出结论) (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，y ′＝2·3x 2(x ＋1)－x 3(x ＋1)2＝2(2x 3＋3x 2)(x ＋1)2>0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，1，所以f (x )的值域为[0,1]．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋3，3. 问题等价于f (x )的值域为g (x )值域的子集，即[0,1]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋3，3，只要－a 2＋3≤0即可，解得a ≥6.故选D.【方法总结】求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化参数与函数最值的比较，得出参数满足的不等式求得其范围．化参数与函数值域端点值比较的方法已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n <a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．思路点拨：求出4T n 的范围，解不等式即可．解：1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，由4T n <a 2－a ，得2≤a 2－a ，解得a ≤－1或a ≥2，即所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．【方法总结】在函数、数列问题中有些函数不存在最值，该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较，值得注意的是“等号”能否取得．根据图形临界位置确定参数满足条件的方法设f (x )＝|lg x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，lg e e (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，e (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，lg 22 思路点拨：函数y ＝f (x )，y ＝ax 的图象在(0,4)上有三个不同交点，作出图象，根据图象确定实数a 满足的条件．解析：在同一坐标系中分别作出函数y ＝f (x )，y ＝ax 的图象(如图)，函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点，结合函数图象可知，只要直线y ＝ax 的斜率a 介于直线OA (A (4,2lg 2))与直线OB (B 为切点)之间即可．直线OA 的斜率为lg 22，当x ∈(1,4)时，f ′(x )＝lg e x ，设B (x 0，lg x 0)，则直线OB 的方程为y －lg x 0＝lg e x 0(x －x 0)，该直线过坐标原点，所以0－lg x 0＝lg e x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ，即直线OB 的斜率为lg e e ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，lg e e .故选B. 【方法总结】已知函数零点个数求参数取值范围时，把函数分解为两个函数(其中一个不含参数，另一个含参数)，利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置，通过临界位置得出参数满足的条件，即可得出参数的取值范围．二次函数、二次不等式的方法(1)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“倍增函数”：①函数在整个定义域上是单调递增函数或单调递减函数；②在函数的定义域内存在区间[p ，q ](p ＜q )，使得函数在区间[p ，q ]上的值域为[p 2，q 2]．若关于x 的函数y ＝x 2－1＋t (x ≥1)是“倍增函数”，则实数t 的取值范围为( )(A)(1,2)(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，2 (C)⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 (2)若函数f (x )＝x 4－ax 3＋x 2－2有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．思路点拨：(1)根据题目中给出的新定义，把问题转化为一元二次方程根的分布问题，根据二次函数的图像，构造不等式组，解不等式组即可；(2)f ′(x )有且只有一个变号零点．解析：(1)因为y ＝x 2－1＋t 在[1，＋∞)上单调递增，由“倍增函数”的定义知，该函数在定义域[1，＋∞)内，存在区间[p ，q ](p ＜q )，使得该函数在[p ，q ]上的值域为[p 2，q 2]，所以p ≥1，⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－1＋t ＝p 2，q 2－1＋t ＝q 2，所以p 2，q 2为方程x －1＋t ＝x 的两个实根，即方程x 2－(2t ＋1)x ＋t 2＋1＝0在[1，＋∞)上存在两个不相等的实根，且x ≥t 恒成立．令u (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，2t ＋12＞1，u (1)≥0，t ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ＞34，t ＞12，(t －1)2≥0，t ≤1，解得34＜t ≤1.故选C.(2)f ′(x )＝4x 3－3ax 2＋2x ＝x (4x 2－3ax ＋2)，函数f (x )＝x 4－ax 3＋x 2－2有且只有一个极值点的充要条件是函数y ＝4x 2－3ax ＋2不存在变号零点，即9a 2－32≤0，解得－423≤a ≤423. 答案：(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－423，423 【方法总结】一元二次方程根的分布问题实质上是二次函数的零点分布问题．解决这类问题，常常利用与已知的一元二次方程对应的二次函数的图象确定根的分布，所以“三个二次”的关系和二次函数的图象一定要掌握牢固．解决这类问题的突破口主要有：①一元二次方程中Δ的符号：②二次函数图象的对称轴的相对位置；③特定点的函数值符号；④二次函数的图象的开口方向．基本不等式法已知过点P (1,1)作两条直线分别与圆M ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，且P A ，PB 两直线的倾斜角互补，则△P AB 面积的最大值为________．思路点拨：设出直线P A ，PB 的方程，根据P A ，PB 两直线的倾斜角互补，利用根与系数的关系，求出点A ，B 的坐标，确定直线AB 的方程，写出点到直线的距离，借助基本不等式求出最值，进而确定参数的取值，最后求出△P AB 面积的最大值．解析：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设直线P A ：y －1＝k (x －1)，则直线PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0，因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以x A ＝k 2－2k －11＋k 2. 同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝2k －k (x A ＋x B )x B －x A ＝1，又k OP ＝1，所以直线AB和OP 一定平行．设直线AB ：y ＝x ＋b ，则圆M 的圆心到直线AB 的距离d ＝|b |2，所以|AB |＝22－d 2＝22－b 22＝2·4－b 2.因为点P (1,1)到直线AB 的距离d 1＝d ，所以S △ABP ＝12|AB |·d ＝12|b |·4－b 2＝12b 2(4－b 2)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋4－b 222＝1，当且仅当b 2＝4－b 2，即b ＝±2时取等号．所以△P AB 面积的最大值为1.故填1.【方法总结】对于不等式与圆锥曲线的交汇求解最值或范围问题，一般在压轴题第二问出现，本题是对解答题第二问的改编，体现了不等式的应用．这类问题往往是根据题意把要求范围或最值的式子表达出来，再用基本不等式解之即可．基本不等式的识别技巧：看式子的项，其积为定值，一般是看有没有“倒数”形式，然后利用基本不等式消去未知数，得到定值；其和为定值，也就是看有没有“相反数”形式，加减消项，得到定值．建立求解目标不等式(组)的方法(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) (A)(－∞，4] (B)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 (C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 (D)[2,4] (2)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( ) (A)(0,1)(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 (D)(10，＋∞)(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，过点A 的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，若|PQ |不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线离心率的取值范围是________．思路点拨：(1)只要ax －y 在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可；(2)只要1＋lg a 1－lg a在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的值域之内；(3)建立关于双曲线离心率的不等式．解析：(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2表示的是平面直角坐标系中以点(1,1)，(1，－1)，(2,0)为顶点的三角形及其内部，根据线性规划问题的意义，只要目标函数ax －y 在上述三点处均不大于3即可，所以实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋1≤3，2a ≤3，解得a ≤32，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.故选B.(2)方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，等价于0<1＋lg a 1－lg a <1，解1＋lg a 1－lg a>0，得－1<lg a <1，解1＋lg a1－lg a <1，即2lg a 1－lg a<0，得lg a <0或lg a >1. 所以0<1＋lg a 1－lg a<1等价于－1<lg a <0，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.故选C. (3)设F (c,0)，A (－a,0)，则圆心坐标为(c,0)，半径为a ＋c ，设双曲线的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|bc |b 2＋a 2＝b ，则|PQ |＝2(a ＋c )2－b 2≥2b ，故得(a ＋c )2≥2b 2，即c 2－2ac －3a 2≤0，得e 2－2e －3≤0，解得－1≤e ≤3，又e >1，所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．答案：(1)B (2)C (3)(1,3]【方法总结】建立求解目标的不等式(组)，通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题中一个基本方法，很多问题均可使用这个方法解决，如一元二次方程实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等．范围问题的方法和类型远不止上述所论，我们可以全面回顾一轮复习的各个章节，加以补充完善．。

高中数学专题---最值或取值范围问题

高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围．最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。

高中数学专题-三角形取值范围问题-题型总结(解析版)2

三角形取值范围问题--归纳总结关于解三角形问题和取值范围有很多题型，总结起来大致可以分为两类。

第一种处理方法使用基本不等式求最值(往往结合余弦定理)，第二种处理方法转化为三角函数求值域(题目强调锐角三角形时用此法)。

需要注意的是基本不等式注意取等条件，三角函数法需要注意角的精确范围(尤其是锐角三角形时角的范围)。

题型1.三角函数和差类型方法：转换成三角函数求值域问题，注意角的范围。

【例1-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【解析】(1)由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,得cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即cosAcosB=sinB+sinBsinA,即cos(A+B)=-cosC=sinB,∵C=2π3,所以sinB=12得，B=A=π6.（2）由cos(A+B)=-cosC=sinB,得C=π2+B,A+2B=π2,由正弦定理得a2+b2 c2=sin2A+sin2Bsin2C=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B=4cos2B+2cos2B-5≥42-5,当且仅当cosB=(12)14时的符号成立，故最小值为42-5.【例1-2】(2022·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，且满足ab sin Ca sin A+b sin B−c sin C= 3.（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值.【解析】(1)由题意得abca2+b2-c2=3,余弦定理得：a2+b2-c2=2ab∙cosC,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,又C为△ABC内角，所以C=π3;(2)由题得asinA =bsinB=csinC=2,所以a=2sinA,b=2sinB,所以b=2sinB=2sin(A+π3),所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+3cosA+4sinA=5sinA+3cosA=27sin(A+φ),且tanφ=35,又因为A∈(0,2π3),所以sin(A+φ)max=1,所以b+2a≤27,即b+2a的最大值为27.【训练1】(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求角B的大小；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)∵2bsinA=3a,2sinBsinA=3sinA,∵sinA≠0,∴sinB=32,∵△ABC为锐角三角形，∴B=π3,(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3,∴C=2π3-A,∴cosA+cosB+cosC= cosA+cos(2π3-A)+cosπ3=12cosA+32sinA+12=sin(A+π6)+12,△ABC为锐角三角形，0<A<π2,0<C<π2,解得π6<A<π2,∴π3<A+π6<2π3,∴32<sin(A+π6)≤1,∴32+12<sin(A+π6)+12≤32,∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为(3+12,32].题型2.三角形面积最值方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用).策略一：对边对角型【例2-1】(2021·衡水调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C−b−c=0.（1）求A的大小；（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由acosC+3a sinC-b-c=0,由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC,即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,可得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC,由于C为三角形内角,sinC≠0,所以化简得3sinA-cosA=1,所以sin(A-π6)=12因为A∈(0,π2),所以A-π6∈(-π6,π3),所以A-π6=π6,即A=π3.（2）由2R=asomA=332=2,则bc=2RsinB∙2RsinC=4sinBsin(B+π3)=2(2B-π6)+1,sin因为△ABC是锐角三角形，所以B∈(π6,π2),所以(2B-π6sin)∈(12,1],可得bc∈(2,3],所以S△ABC=12bcsinA=34bc∈(32 ,334],所以△ABC的面积的取值范围是(32,334].【训练2】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos C c.（1）求角C的大小；（2）如果c=2，求△ABC的面积的最大值.【解析】（1）因为sinAa=3cosCc=sinCc,所以sinC=3cosC,即tanC=3,由C为三角形内角得，C=π3;（2）由余弦定理得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号，所以ab≤4,△ABC的面积S=12absinC=34ab≤3，即面积的最大值为 3.策略二：对边异角型【例2-2】(2021·瑶海月考)若a，b，c为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sin B sin C.（1）求角A；（2）若b=2，求△ABC的面积的取值范围.【解析】（1）因为sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A为三角形内角，所以A=π3;（2）由题得bsinB=csinC,所以2sinB=csin(2π3-B),c=2sin(2π3-B)sinB=3cosB+sinBsinB=1+3tanB,因为锐角△ABC中，0<B<π20<2π3-B<π2,所以π6<B<π2,故tanB>33,0<1tanB<3,S△ABC=12bcsinA=34×2×(1+3 tanB)=32+32tanB∈(32,23).【训练3】(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A+C2=b sin A.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）asin A+C2=bsinA,即为asinπ-B2=acosB2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA=2sin B2cos B2sinA,∵sinA>0,∴cos B2=2sin B2cos B2 ,若cos B2=0，可得B=(2k+1)π,k∈Z不成立，∴sin B2=12,由0<B<π,可得B=π3;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,由余弦定理可得b=a2+1-2a∙1∙cosπ3 =a2-a+1,由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a +1>a2,且1+a2>a2-a+1,解得12<a<2,可得△ABC面积S=12a∙sinπ3 =34a∈(38,32)策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例2-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+12a=c.（1）求角B的大小；（2）若AC边上的中线BM的长为3，求△ABC面积的最大值.【解析】（1）因为bcosA+12a=c,由正弦定理可得sinBcosA+12sinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以12sinA=sinAcosB,又A为三角形内角，sinA>0,所以cosB=12,因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)如图，延长线段BM至D，满足BM=MD,连接AD，在△ABC中，BD=2AM =23,AD=a,AB=c,∠BAD=π-B=2π3,由余弦定理，有232=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,解得ac≤4,当且仅当a=c=2时取等号，所以S△ABC=12acsinB≤12×4×32=3,当且仅当a=c=2时等号成立，即面积的最大值为 3.AB C DE M【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m=cos A 2,3sin A 2 ,n =−2sin A 2,2sin A2 ,且m ·n =0.（1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM =1，求△ABC 面积的最大值.【解析】（1）m ∙n =0,∴-2sin A 2cos A 2+23sin 2A 2=0,即-sinA +23×1-cosA2=-sinA -3cosA +3=0,即sinA +3cosA =3,即2sin (A +π3)=3，得sin (A +π3)=32,即A +π3=2π3,得A =π3.（2）∵点M 是BC 的中点，且AM=1，∴AM =12(AB +AC ),平方得AM 2=14(AB 2+AC 2+2AB ∙ AC ),即4=c 2+b 2+2bc ×12=c 2+b 2+bc ≥2bc +bc =3bc ,即bc ≤43,当且仅当b =c 时取等号，则△ABC 面积S =12bcsin π3=12×32bc ≤34×43=33,即三角形面积的最大值为33.题型3.三角形周长取值范围方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用)策略一：对边对角型【例3-1】(2020·全国Ⅱ卷)在△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.=-12,【解析】（1）因为BC2-AC2-AB2=AC∙AB,所以cosA=AC2+AB2-BC22AC∙AB因为A∈(0,π),所以A=2π3.（2）由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC∙ABcosA=AC2+AB2+AC∙AB=9,)2（当且仅当AC=AB时取等即（AC+AB）2-AC∙AB=9,AC∙AB≤(AC+AB2)2=34(AC+AB)2,解号），9=(AC+AB)2-AC∙AB≥(AC+AB)2-(AC+AB2得AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），所以△ABC周长L=AC+ AB+BC≤3+23,周长的最大值为3+2 3.【训练5】(2021·江西模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a cos B=(2c−b)cos A.（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a=1，求△ABC周长的取值范围.【解析】（1）法一：由题意得a cosB+b cosA=2c cosA;由正弦定理得sinAcosB +sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA;又sin(A+B)=sinC,所以sinC=2sinC cosA.又sinC≠0,所以cosA=12;又0<A<π,所以A=π3.解法二：结合余弦定理a×a2+c2-b22ac =(2c-b)×b2+c2-a22bc,化简得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12;又0<A<π,所以A=π3.(2)由正弦定理得asinA =bsinB=csinC,且a=1,A=π3,所以b=233sinB,c=233sinC;所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233[sinB+sin(2π3-B)]=1+2sin(B+π6).因为△ABC为锐角三角形，所以得0<B<π20<2π3-B<π2 ,解得π6<B<π2.所以1+2sin(B+π6)∈(1+3,3];即△ABC周长的取值范围是(1+3,3].策略二：对边异角型【例3-2】(2021·衡水模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sin A+a sin B=2 3.（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围【解析】（1）因为asinA =bsinB=csinC,所以asinB=bsinA,所以sinA+asinB=sinA+bsinA=4sinA=23,所以sinA=32,△ABC为锐角三角形，所以A=π3.（2）由题可得：asinA =bsinB=csinC,a=332sinB,c=3sinCsinB,a+c+3=332+3sinCsinB+3=332+3sin(2π3-B)sinB+3,所以周长=332+3(32cosB+12sinB)sinB+3=332∙1+cosBsinB+9 2=332∙1+2cos2B2-12sin B2cos B2+92=332∙1tan B2+92.又因为△ABC为锐角三角形，所以B 2∈(π12,π4)所以tan B2∈(2-3,1),所以1tan B2∈(1,2+3),所以(9+332,9+33).【训练6】(2021·江苏模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b sin A sin(A+C)=3a sin B.（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）∵2bsinAsin(A+C)=3asin2B,∴由正弦定理得：2sinBsinAsin(A +C)=23sinAsinBcosB,∵A+C=π-B,且sinA≠0,sinB≠0,∴sinB= 3cosB,∴tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意B=π3,c=2,可得S△ABC =12acsinB=3a2,由正弦定理得：a=csinAsinC=2sin(120°-C)sinC =3tanC+1,又△ABC为锐角三角形，可得0<A<90°,0<C<90°,故30°<C<90°,所以1<a<4,从而32<S△ABC<23,即△ABC面积的取值范围是(32,23).策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例3-3】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C= 2a cos A,M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是.【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cosB+b cosC= 2acosA,利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,所以：sin(B+C) =sinA=2sinAcosA,由于：sinA≠0,所以cosA=12,0<A<π,故A=π3,因为M为BC的中点，且AM=1，所以可设BC=2x，则(2x)2=b2+c2-2bccosA,故2x2=b2+c2-bc2,利用余弦定理得c2=12+x2-2xcos∠BMA①，同理：b2=12+x2-2x∠CMAcos②由①②得：b2+c2=2+2x2,所以：b2+c2=c2+b2-bc2+2,故：(b+c)2=4+bc,整理得：(b+c)2≤4+(b+c2)2,解得0<b+c≤433,故答案为433.【训练7】(2022·石家庄模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若c cos B +b cos C =2a cos A ,AM =23AB +13AC，且AM =1，则b +2c 的最大值是.【解析】由ccosB +bcosC =2acosA ，得sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA =2sinAcosA ,可得cosA =12,A =π3,因为AM 2=(23AB +13AC )2=49c 2+19b 2+49bccosA =3,所以b 2+4c 2+2bc =27⇒(b +2c )2-2bc =27⇒(b +2c )2=27+2bc ≤27+(b +2c 2)2,当且仅当b =2c 取等号，得34(b +2c )2≤27⇒b +2c ≤6．b +2c 的最大值为6. 故答案为：6.【训练8】(2022·江苏模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =3b =4c ，若sin2A ≤λ(sin B +sin C )恒成立，则λ的最小值为()A .−1114B .127C .−1124D .−712【解析】设2a =3b =4c =12t (t >0),则a =6t ,b =4t ,c =3t ,sin 2A ≤λ(sinB +sinC )恒成立，即λ≥sin 2A sinB +sinC 恒成立，sin 2A sinB +sinC =2sinAcosA sinB +sinC =2a b +c ∙b 2+c 2-a 22bc =6t7t ∙16t 2+9t 2-36t 212t 2=-1114,以λ≥-1114,所以λ的最小值为-1114.故选：A.【训练9】(2022·甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=.【解析】设BD=x,CD=2x,在三角形ACD中，b2=4x2+4-2∙2x∙2∙cos60°,可得：b2=4x2-4x+4,在三角形ABD中,c2=x2+4-2∙x∙2∙cos120°,可得：c2=x2+2x+4,要使得AC AB 最小，即b2c2最小，b2c2=4x2-4x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)-4x-12x2+2x+4=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12x+1+3x+1≥4-1223,当且仅当x+1=3x+1,即x=3-1时，取等号，故答案为：3-1.【训练10】(2022·深圳模拟)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bc cos A=11c2,则角B的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.3π4【解析】由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，代入9b2+6bc cosA=11c2,得9b2+3(b2+ c2-a2)=11c2,整理得b2=112(3a2+8c2),cosB=a2+c2-b22bc =a2+c2-112(3a2+8c2)2ac=34a2+13c22ac≥234×13ac2ac=12,当且仅当9a2=4c2时取“=”，又因为B∈(0,π),所以B≤π3,故选：C.【训练11】(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC =2，则AB的取值范围是.【解析】方法一：如图所示，延长BA,CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x,CD=m,∵BC=2,∴(6+24x+m)sin15°=1,∴6+24x+m=6+2,∴0<x<4,而AB=6+24x+m-22x=6+2-22x，∴AB的取值范围是(6-2,6 +2).故答案为：（6-2,6+2）.方法二：如下图，做出底边BC=2的等腰三角形EBC ，B =C =75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 与A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为6-2;②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为6+2;故答案为：(6-2,6+2).m12x 6+24x 22x。

集合求参数的取值范围技巧

集合求参数的取值范围技巧在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。

这些问题包括方程的解集、不等式的解集等等。

本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。

一、方程的解集在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。

以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。

我们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。

当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。

首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。

如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。

如果a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。

其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。

以二次函数的顶点坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。

如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。

因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。

二、不等式的解集当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。

不同类型的不等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。

1. 一元一次不等式对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为ax + b > 0。

首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，即 ax > -b。

然后，我们根据a的正负来确定解集。

如果a>0，则x > -b/a，解集为(-b/a, +∞)；如果a<0，则x < -b/a，解集为(-∞, -b/a)。

2. 一元二次不等式对于一元二次不等式，我们可以通过求解二次函数的解集和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为 ax^2 + bx + c > 0。

高中数学考前归纳总结圆锥曲线中的取值范围问题

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围.
解：（Ⅰ）设动点，则，， .
由已知得，
化简得，得 .
所以点的轨迹是椭圆，的方程为 .
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为，
设，两点的坐标分别为， .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围. 解：（1）由题意可得，，，∴ ．
∴所求的椭圆的标准方程为：．
（2）设，则．①
且，，
由可得，即
∴ ．②
由①、②消去整理得
．∵
∴ ．
∵ ， ∴ ．
∴ 的取值范围为 .
4.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
圆锥曲线中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
例1、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且，求的取值范围．
∴ 的取值范围是[－12，0]．
二、针对性练习
1.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点 .当时，求的取值范围.
解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为

(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

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参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。

设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。

我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k （*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ，解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上，511-≤≤-PB AP . 二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例4．（江苏、天津）已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，则tan θ的取值范围是（）(A))1,31( (B))32,31( (C))21,52( (D))32,52(分析: 用特殊位置来解，不妨设4P 与AB 的中点P 重合（如图1所示），则P 1、P 2、P 3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=．由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C ．当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．例6．函数y=(x -1)log 23a -6xlog 3a+x+1，其中在x ∈[0,1]时函数恒正，求a 的范围。

解：排除对数log 3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为y=f(x)=(log 32a -6 log 3a+1)x+1-log 32a, x ∈[0,1].一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。

故有：.31log 1,3310)1(0)0(033<<-∴<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>>a a f f a例7．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x -1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。

例10．已知椭圆C:xy 2228+=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使AP PB AQQB=-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程及点Q 的横坐标的取值范围.分析：因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将y x ,与k 联系起来一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：AP PB AQQB=-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线，不难得到)(82)(4B A BA B A x x x x x x x +--+=，要建立x 与k 的关系，只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程，利用韦达定理即可.解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由QB AQ PB AP -=可得：x x x x x x --=--212144，解之得：)(82)(4212121x x x x x x x +--+= （1）设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k （2）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.234++=k k x (3)与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在（2）中，由02464642>++-=∆k k ，解得 41024102+<<-k ，结合（3）可求得.910216910216+<<-x故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （910216910216+<<-x ）.2．已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。

分析1：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：1、()10)2(:<<-=k x k y l ，直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2；2、把直线l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=∆；3、k k kx y l 2222:'-++=的值解得k分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：关于x 的方程()10212222<<=+-+-k k kx kx 有唯一解。

解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为：212222=+-+-k kx kx ()10<<k()*，于是，问题即可转化为如上关于x 的方程.由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()*⇔)1(22222+=+++-k k x kx ⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k kkx k k k x k 由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k的二根同正，故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k k x k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 552=k . 用导数求参数范围7.已知函数1()x ax f x e-=. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()f t t >恒成立，求实数a 的取值范围．解：（I ）当1a =时，1()xx f x e-=2()x x f x e -+'∴=，由()0f x '>得2,x <()0f x '<得2x >()f x ∴的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞，（II ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()f t t >恒成立，则1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1xax x e ->恒成立，即1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x ae x >+恒成立，设1()x g x e x=+，1[,2]2x ∈，则 21()x g x e x '=-，1[,2]2x ∈，设21()x h x e x=-，32()0x h x e x '=+>在1[,2]2x ∈上恒成立，∴()h x 在1[,2]2x ∈上单调递增，即21()x g x e x '=-在1[,2]2x ∈上单调递增，121()402g e '=-<，21(2)04g e '=->，∴21()x g x e x '=-在1[,2]2有零点m ，∴21()x g x e x'=-在1[,]2m 上单调递减，在(,2]m 上单调递增，∴1()2(2)a g a g⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2212a a e ⎧⎪⎨>+⎪⎩，∴212a e >+ 8.已知函数()ln ,f x ax x a R =+∈(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数a ,使不等式2()f x ax <对(1,)x ∈+∞恒成立。