集合中的求参数的取值范围
已知函数的值域(或最值)求参数的取值范围
已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围顺德容山中学 马崇元已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围，是高考的一个亮点，在近年的高考和各地的高三模拟试题中经常出现，下面谈谈此类问题的解法．一． 利用函数的单调性如果题中所给函数的单调性易判断出来，我们可利用单调性建立方程组或不等式，从而加以求解．例1．（2008年天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}解：由log log 3a a x y +=可得xa y 3=，利用其在[,2]x a a ∈上是单调减函数可得23max 23min ,22a aa y a a a y ====，则由题目条件可得2max min ,a y a y ≤≥解得选B ． 例2．（2008年深圳模拟试题）已知函数f(x)＝x 11-． (1)是否存在实数a 、b(a ＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a 、b]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b ()a b <，使得函数f(x)的定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，求实数m 的取值范围．解：(1)不存在实数a 、b ()a b < 满足条件．事实上，若存在实数a 、b ()a b < 满足条件，则有x ≥a ＞0．故f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x (i)当a 、b ∈(0，1)时，f(x)＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件． (ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a 于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件(iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a ，b]，矛盾．综上可知，不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件．(2)若存在实数a 、b(a ＜b)满足f(x)定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根． ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m m x m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41，所以m 的取值范围为0＜m ＜41．例3．（广东省2008届第一次六校（广州深圳中山珠海惠州）联考）设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
集合知识点及题型归纳总结(含答案)
集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。
集合的基本运算例题讲解
1集合的基本运算例题讲解题型一 并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.即{}B x A x x B A ∈∈=或, .求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合{}31≤≤∈=x N x A ,{}5,4,3,2=B ,则=B A 【 】 （A ）{}2 （B ）{}3,2（C ）{}5,4,3,2 （D ）{}5,4,3,2,1 分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A∴=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= . 选择【 D 】.例2. 已知集合{}1≥=x x A ,{}0322<--=x x x B ,则=B A ____________. 分析:先解一元二次不等式0322<--x x ,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为B A . 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x .例3. 已知集合{}m A ,3,1=,{}m B ,1=,若A B A = ,则m 等于【 】 （A ）0或3 （B ）0或3 （C ）1或3 （D ）1或3分析:{}m B ,1=,由集合元素的互异性,得1≠m ,排除C 、D 选项. 因为A B A = ,根据并集的性质,所以A B ⊆,这样就将两个集合的并集运算转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵A B A = ,∴3=m 或m m =当m m =时,解之得:0=m （1=m 不符合题意,舍去） 综上,3=m 或0=m .例 4. 已知集合{}012≤-=x x P ,{}a M =,若P M P = ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∵P M P = ,∴P M ⊆. 解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P ∵P M P = ,∴P M ⊆,∴P a ∈ ∴实数a 的取值范围是{}11≤≤-a a .例5. 已知集合{}x A ,3,2,1=,{}2,3x B =,且{}x B A ,3,2,1= ,求x 的值. 分析:由题意可知:A B A = ,所以A B ⊆,从而A x ∈2,且32≠x . 解:分为三种情况:①当12=x 时,解之得:1-=x （1=x 不符合题意,舍去）; ②当22=x 时,解之得:2±=x ; ③当x x =2时,解之得:0=x . 综上所述,x 的值为0或2±或1-.注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合{}32>-=x x A ,{}a x x x B ->-=332,求B A . 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:{}{}532>=>-=x x x x A ,{}{}3332-<=->-=a x x a x x x B . 当3-a ≤5,即a ≤8时,{}53>-<=x a x x B A 或 ; 当53>-a 时,即8>a 时,=B A R .a例7.（易错题）已知集合{}1,1-=A ,{}1==mx x B ,且A B A = ,求由m 的取值构成的集合.分析:因为A B A = ,所以A B ⊆.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B 分∅=B 和∅≠B 两种情况进行讨论. 解:∵A B A = ,∴A B ⊆. 当0=m 时,∅=B ,满足A B ⊆;当0≠m 时,{}11-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==m x x B 或{}1=B :①若{}1-=B ,则11-=m,解之得:1-=m ; ②若{}1=B ,则11=m,解之得:1=m . 综上所述,m 的取值构成的集合为{}1,0,1-.例8. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若M N M = ,则实数t 的取值范围是__________.分析:先将并集运算的结果M N M = 转化为两个集合M , N 之间的关系M N ⊆,从而列出关于参数t 的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论. 解:∵M N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2. 综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .警示:在解决本题时,任意忽略∅=N 的情况,另外要注意端点值能否取到.例9. 已知集合{}2,1-=A ,{}01>+=mx x B ,若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:注意本题与例7的区别. 解:∵B B A = ,∴B A ⊆. 分为三种情况:①当0=m 时,01>恒成立,∴{}=>+=01mx x B R ,满足B A ⊆;②当0>m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=>+=m x x mx x B 101,有11-<-m ,解之得:1<m∴10<<m ;③当0<m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=>+=m x x mx x B 101,有21>-m ,解之得:21->m∴021<<-m . 综上所述,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121m m .题型二 交集运算一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交集,记作B A ,读作“A 交B ”.{}B x A x x B A ∈∈=且, .求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn 图）（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.例10. 设集合{}01>+∈=x Z x A ,集合{}02≤-=x x B ,则=B A 【 】 （A ）{}21<<-x x （B ）{}21≤<-x x （C ）{}2,1- （D ）{}2,1,0分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A 的代表元素x 为整数,所以集合A 为1->x 范围内的整数集.解:∵{}{}101->∈=>+∈=x Z x x Z x A ,{}{}202≤=≤-=x x x x B ∴=B A {}{}2,1,021=≤<-∈x Z x . 选择【 D 】.例11. 设集合{}21<≤-=x x A ,{}a x x B <=,若∅≠B A ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∅≠B A 说明集合A 、B 有公共元素,在数轴上集合A 、B 所对应的图形覆盖的区域有公共部分. 解:{}1->a a .1例12. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若N N M = ,求实数t 的取值范围.分析:若N N M = ,则由交集的性质知M N ⊆,在得到这两个集合之间的关系后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了. 解:∵N N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,满足M N ⊆,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2.综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .★例13.（易错题）设集合{}R x x y y A ∈+==,12,{}R x x y y B ∈+==,1,则B A 等于【 】（A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅错解:解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得:⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ,故选【 C 】.错因分析:这里好多学生认为是求抛物线12+=x y 和直线1+=x y 的交点坐标所构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B 的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值y .B A 表示函数12+=x y 和函数1+=x y 的函数值的交集. 解:∵{}{}1,12≥=∈+==y y R x x y y A ,{}=∈+==R x x y y B ,1R . ∴{} 1≥=y y B A R {}1≥=y y . 选择【 A 】.变式: 设集合(){}1,2+==x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,则B A 等于【 】 （A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅例14. 已知集合(){}1,22=+=y x y x A ,集合(){}x y y x B ==,,则B A 中元素的个数为【 】（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0解:解方程组⎩⎨⎧==+xy y x 122得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ∴B A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22,22,22,共有2个元素.选择【 B 】. 方法二:由后面的学习可以知道,方程122=+y x 是单位圆的方程（以原点为圆心,以1为半径的圆）.集合A 是由圆122=+y x 上的所有点构成的,集合B 是由直线x y =上的所有点构成的,所以B A 就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所示,交点有两个,故B A 中元素的个数为2.例15.（2018沈阳重点高中）设集合{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B . （1）若{}52≤≤-∈=x Z x A ,求A 的非空真子集的个数; （2）若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:（1）子集、真子集个数的确定 若集合A 含有n 个元素,则集合A : （1）含有n 2个子集; （2）含有12-n 个非空子集; （3）含有12-n 个真子集; （4）含有22-n 个非空真子集.（2）若B B A = ,则A B ⊆,注意分类讨论. 解:（1）{}{}5,4,3,2,1,0,1,2-52-=≤≤-∈=x Z x A∵集合A 中含有8个元素∴集合A 的非空真子集的个数为2542-28=; （2）∵B B A = ,∴A B ⊆. 分为两种情况:①当∅=B 时,满足A B ⊆,有121->+m m ,解之得:2<m ; ②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤m ≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是{}3≤m m .例16. 设{}042=+=x x x A ,(){}011222=-+++=a x a x x B ,其中∈x R ,如果B B A = ,求实数a 的取值范围. 解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵B B A = ,∴A B ⊆ 分为两种情况:①当∅=B 时,满足B B A =∴()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ;②当∅≠B 时,{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B .若{}0=B 或{}4-=B ,则有()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a经检验,此时{}0=B ;若{}4,0-=B ,则由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a ,解之得:1=a . 综上所述,实数a 的取值范围是{}11-≤=a a a 或.例17. 设集合{}3+≤≤=a x a x A ,{}51>-<=x x x B 或,若∅=B A ,求实数a 的取值范围.分析:对于任意实数a ,都有3+<a a ,所以本题中集合A 不会是空集. 解:∵3+<a a ,∴∅≠A . ∵∅=B A∴⎩⎨⎧≤+-≥531a a ,解之得:1-≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是{}21≤≤-a a .★★例18.（综合性强）已知集合()(){}011222>++++-=a a y a a y y A ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B ,若∅=B A :（1）求实数a 的取值范围;（2）当ax x ≥+12恒成立时,求a 的最小值.分析:（1）求集合A 时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:()()()()()()()()()[]11111122222222+--=-+--=++-+-=++++-a y a y a y a a y y a a ay a y y a a y a a y对于集合B ,代表元素是y ,所以集合B 是函数值的集合,通过配方得:()2121252122+-=+-=x x x y ∵0≤x ≤3,∴2≤y ≤4,∴{}42≤≤=y y B ;（2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.解:（1）()(){}()()[]{}010112222>+--=>++++-=a y a y y a a y a a y y A∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+a a a （这里作差比较12+a 与a 的大小）∴a a >+12∴{}12+><=a y a y y A 或.{}4230,25212≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==y y x x x y y B∵∅=B A∴⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是{}233≤≤-≤a a a 或; （2）∵ax x ≥+12恒成立,即12+-ax x ≥0恒成立. ∴()42--=∆a ≤0,解之得:2-≤a ≤2.∴a 的最小值为2-.（雅慧,通过这道题你勇敢地挑战一下自己）题型三 补集运算全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A {}A x U x x ∉∈=且,.补集的性质①(C U A )U A = ; ②(C U A )∅=A ; ③ C U (C U A )A =; ④ C U U ∅=; ⑤ C U U =∅.例19. 已知全集{}60<<=x x U ,集合{}a x x A <<=1,若C U A U ≠,则实数a 的取值范围是__________.分析: C U A U ≠说明∅≠A ,且U A ⊆. 解:∵C U A U ≠,∴∅≠A ,且U A ⊆. ∴实数a 的取值范围是{}61≤<a a .例20. 已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合{}042=++=px x x A ,求C U A . 分析:集合A 是由方程042=++px x 的解构成的,而方程042=++px x 可能无解、有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论. 解:由题意可知:U A ⊆.分为两种情况:①当∅=A 时,方程无实数根,∴0162<-=∆p ,解之得:44<<-p ∴C U A =C U ∅{}5,4,3,2,1==U ;②当∅≠A 时,则有162-=∆p ≥0,解之得:p ≤4-或p ≥4. 设方程042=++px x 的两个实数根分别为21,x x 由根与系数的关系定理可得:421=x x :若4,121==x x ,则5-=p ,符合题意,此时{}4,1=A ,C U A {}5,3,2=; 若221==x x ,则4-=p ,符合题意,此时{}2=A ,C U A {}5,4,3,1=. 综上所述,当44<<-p 时,C U A ={}5,4,3,2,1;当5-=p 时,C U A {}5,3,2=;当4-=p 时,C U A {}5,4,3,1=.例21. 已知{}31≤<-=x x A ,{}m x m x B 31+<≤=. （1）当1=m 时,求B A ;（2）若⊆B C R A ,求实数m 的取值范围.分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.解:（1）当1=m 时,{}{}4131<≤=+<≤=x x m x m x B ∴{}{}{}414131<<-=<≤≤<-=x x x x x x B A ; （2）∵{}31≤<-=x x A ,∴C R A {}31>-≤=x x x 或 ∵⊆B C R A ,∴分为两种情况:①当∅=B 时,有m ≥m 31+,解之得:m ≤21-; ②当∅≠B 时,则有:⎩⎨⎧-≤++<13131m m m 或⎩⎨⎧>+<331m mm解之得:无解或3>m .综上,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤321m m m 或.★例22. 设全集(){}R y R x y x I ∈∈=,,,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=123,x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,求C I A B .解:()(){}2,1,123,≠+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x x y y x x y y x A ∴集合A 是由直线1+=x y 上除点()3,2外的所有点构成的集合 ∴C I A =(){}3,2 ∵(){}1,+==x y y x B∴集合B 是由直线1+=x y 上所有的点构成的集合 ∴C I A =B (){}3,2. 附:函数123=--x y ,即1+=x y ()2≠x 的图象如图所示.例23. 设全集{}32,3,22-+=a a U ,{}2,12-=a A ,C U A {}5=,求实数a 的值. 分析:∵C U A U ⊆,∴U ∈5,∴5322=-+a a .还要注意U A ⊆. 解:∵{}32,3,22-+=a a U ,C U A {}5= ∴5322=-+a a整理得:0822=-+a a ,解之得:4,221-==a a .U4321B A 852917643B AU当2=a 时,{}3,2=A ,满足题意; 当4-=a 时,{}9,2=A ,不满足题意. 综上,实数a 的值为2.例24. 设全集{}*,10N x x x U ∈<=,U B U A ⊆⊆,,( C U B ){}9,1=A ,{}3=B A , ( C U A ) ( C U B ){}7,6,4=,求集合A , B . 分析:本题条件较多,考查集合的综合运算.重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示B A ; （2）②表示 A (C U B ); （3）③表示 B (C U A ); （4）④表示(C U A ) (C U B ).德·摩根定律（1）C U ()=B A (C U A ) (C U B ); （2）C U ()=B A (C U A ) (C U B ).解法一:{}{}9,8,7,6,5,4,3,2,1*,10=∈<=N x x x U ∵( C U A ) ( C U B ){}7,6,4=,∴C U ()=B A {}7,6,4∴{}9,8,5,3,2,1=B A ∵( C U B ){}9,1=A ∴=B {}8,5,3,2∵{}3=B A ,∴{}9,3,1=A . 解法二:由题意作出Venn 图如图所示:由图可知:{}9,3,1=A ,{}8,5,3,2=B .例25. 已知全集=U R ,集合{}0,,32≠∈-==x R x x y y A 且,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-==x x y x B 522,集合{}a x a x C <<-=5.（1）求集合 A ( C U B );（2）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围.分析:先来确定集合A , B 的本质:集合A 是函数()032≠-=x x y 的函数值构成的集合,即函数()032≠-=x x y 的值域;集合B 是使函数xx y -+-=522有意义的自变量的值构成的集合.解:{}{}{}330,,32<=<=≠∈-==x x y y x R x x y y A 且.{}52522<≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-==x x x x y x B .∴C U B {}52≥<=x x x 或 ∴ A ( C U B ){}53≥<=x x x 或; （2）由（1）可知:{}32<≤=x x B A ∵()B A C ⊆,∴分为两种情况:①当∅=C 时,满足()B A C ⊆,有a -5≥a ,解之得:a ≤25; ②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-3255a a aa ,解之得:a <25 ≤3.综上所述,实数a 的取值范围是{}3≤a a .例26. 若{}0232=+-=x x x A ,{}012=-+-=a ax x x B ,{}022=+-=mx x x C ,且C C A A B A == ,,求a 的值和m 的取值范围.分析:设置本题的目的是帮助雅慧复习由集合间的基本关系确定参数的值或取值范围.本题要先将三个集合之间的运算及其结果转化为集合之间的关系:因为C C A A B A == ,,∴A C A B ⊆⊆,.本来由A B ⊆需要对集合B 分两种情况进行讨论,但考虑到集合B 中的方程结构比较复杂,所以先判断一下方程012=-+-a ax x 的根的情况: ∵()()()22224414-=+-=---=∆a a a a a ≥0∴方程012=-+-a ax x 总有两个实数根.也因此,在处理关系A B ⊆时,一定有∅≠B ,不再对集合B 进行分类讨论. 解:{}{}2,10232==+-=x x x A{}()()[]{}011012=---==-+-=a x x x a ax x x B ∴集合B 中必含有元素1,∴∅≠B . ∵A B A = ,∴A B ⊆.①当11=-a ,即2=a 时,{}1=B ,符合题意;②当21=-a ,即3=a 时,{}2,1=B ,符合题意. 综上,a 的值为2或3.∵C C A = ,∴A C ⊆,分为两种情况:①当∅=C 时,满足A C ⊆,有()082<--=∆m ,解之得:2222<<-m ;②当∅≠C 时,则{}1=C 或{}2=C 或{}2,1=C :若{}1=C 或{}2=C ,则()082=--=∆m ,解之得:22±=m .经检验,当22±=m 时,{}2=C 或{}2-=C ,不符合题意,舍去;若{}2,1=C ,则由根与系数的关系定理可得:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=+=21221m ,解之得:3=m ,符合题意.综上所述,m 的取值范围是2222<<-m 或3=m .题型四 补集思想的应用（正难则反）对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A )A =.例27. 已知集合{}R x m mx x x A ∈=++-=,06242,{}0<=x x B ,若∅≠B A ,求实数m 的取值范围.分析:集合A 是方程06242=++-m mx x 的实数根构成的集合,∅≠B A 意味着方程有负根,则方程的根有以下三种情况:①两负根;②一负根,一零根;③一负根,一正根.分别求解相当麻烦.如果考虑∅≠B A 的反面∅=B A ,先求方程无实数根或两根均非负时m 的取值范围,然后再用补集思想求解∅≠B A 时m 的取值范围解:若∅=B A ,则分为两种情况:①当∅=A 时,()()062442<+--=∆m m ,解之得:231<<-m ; ②当∅≠A 时,方程06242=++-m mx x 的两个实数根均为非负数,则有:()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥+--=∆06204062442m m m m ,解之得:m ≥23. 综上所述,当1->m 时,∅=B A .∴当∅≠B A 时,实数m 的取值范围是{}1-≤m m .结论:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个非负实数根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=⋅≥-=+≥∆0002121ac x x a b x x .例28. 已知集合{}a y a y y A <+>=或12,{}42≤≤=y y B ,若∅≠B A ,求实数a 的取值范围.解:当∅=B A 时,则有:⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2. ∴当∅=B A 时,实数a 的取值范围是{}233≤≤-≤a a a 或. ∴当∅≠B A 时,实数a 的取值范围是{}332<<->a a a 或.例29. 若集合{}0232=++=x ax x A 中至多有1个元素,则实数a 的取值范围是__________.分析:题目要求“至多有1个元素”,若采取分类讨论的方法,求解比较麻烦,可考虑用补集思想解决问题.本题中集合A 至多有1个元素的反面是集合A 有两个元素,即方程0232=++x ax 有两个不相等的实数根.解:当集合A 中有两个元素时,方程0232=++x ax 有两个不相等的实数根,则有:⎩⎨⎧>-=∆≠0890a a ,解之得:89<a 且0≠a ∴集合A 中有两个元素时实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<089a a a 且.∴集合A 中至多有1个元素时实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥089a a a 或.总结:求集合运算中参数的思路（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系;（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、或解集为怎样的范围; （3）解方程（组）或不等式（组）来确定参数的值或取值范围. 题型五 集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有m 个元素,那么有card(A )m =. （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card ()=B A card(A )+card(B )－card ()B A . （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card ()=C B A card(A )+card(B )－card ()B A －card ()C A －card ()C B ＋ card ()C B A .。
突破01 集合中的含参问题(举一反三)-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列(新课标人
姓名，年级：时间：突破1 集合中的含参问题【举一反三系列】【考查角度1 元素与集合的关系中的含参问题】【例1】已知集合A＝{a+2，(a+1)2,a2+3a+3｝，若1∈A，求实数a的取值集合．【思路分析】利用元素和集合的关系,因为1∈A，所以分别讨论三个式子,然后求解a．【答案】因为1∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1,0，1},元素重复，所以不成立,即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1,解得a＝0或a＝﹣2,当a＝0时，集合为｛2，1，3｝，满足条件,即a ＝0成立．当a＝﹣2时，集合为{0，1,1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a的取值集合为｛0}．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2)若﹣2∈A,求实数x．【思路分析】（1)由集合元素的互异性直接求解．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由此能出x．【答案】解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3，x2﹣2x≠x且x2﹣2x≠3，解得x≠﹣1，x≠0且x≠3．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由于x2﹣2x＝（x﹣1)2﹣1≥﹣1，所以x＝﹣2．【练1.2】设集合A＝｛2，3，a2+2a﹣3｝，集合B＝｛|a+3|,2 },已知5∈A，且5∉B．求a的值．【思路分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在答案时由于5∈A,且A＝{2，3，a2+2a﹣3}即可得到有关a的方程，解得a的结果后要注意对a的结果进行逐一验证，看是否满足集合中元素的特点:互异性，以此来获得最终答案．【答案】解：由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3｝，∴a2+2a﹣3＝5,即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4，又当a＝2时,B＝｛5,2}不符合条件5∉B,所以a＝2不符合题意；当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求．故答案为a＝﹣4．【练1。
导数专题(一)参数的取值范围
太原市新希望双语学校 钱大平
（一）、概述：求参数的取值范围是数学 中普遍存在的问题（如函数、解析几何、 向量等）。宏观地讲，求参数的取值范围， 就是通过寻求参数所满足的不等量关系 （特殊地也可以是等量关系，一般地是不 等式或不等式组）而得到参数的取值范围 （特殊地范围可以夹挤为一个常数，也可 以无解）。应用导数求参数的取值范围就 是在求范围的过程中，采用了导数的方法 和手段。这类问题有一定的特定数学背景 （首先是函数问题的大背景）。
（二）、预备知识：
一、恒成立、能成立问题的化归（参考《成功密 码》9月刊P14）
1、利用分离参数确定不等式 f ( x, a ) 0 ( x D, a为实参数） 恒成立中参数a的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 g ( a ) 恒成立的形式
f ( x) (或g (a) f ( x)）
（2）求 f ( x)在x D 上的最大（或最小）值 （3）解不等式 g (a) f ( x) max (或g (a) f ( x) min ) ，得到a的取值范 围
例：已知两函数 f ( x) 8 x 2 16 x k , g ( x) 2 x 3 5 x 2 4 x ， 其中k为实数。 （1）对任意 x 3, 3 ，都有 f ( x) g ( x) 成立，求k的取 值范围； （2)存在 x 3, 3 ，使 f ( x) g ( x) 成立，求k的取值范围 （3）对 x1 , x2 3, 3 ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求k的取值范 围；
二、参数满足的条件与参数取值范围的逻辑关系 （集合观点理解：即用充分条件得到的参数范围是 用充要条件得到的范围的子集，用必要条件得到的 参数范围含盖用充要条件得到的范围）
集合中参数问题的解答方法(部分答案)
集合中参数问题的解答方法集合中的参数问题主要包括：①集合与集合关系中的参数问题；②集合运算过程中的参数问题；每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。
那么在实际解答这类问题时，到底应该怎样展开思路，寻求解答方法呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、含有三个元素的集合可以表示为｛a,b a ,1｝,也可以表示为｛2a ,a+b,0｝. 求：20092010a b +的值。
2、设A=｛x|2x -3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a ｝,如果A ⊆ B,求实数a 的取值范围；3、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-12＜x ≤2｝. ①若A ⊆ B, 求实数a 的取值范围；②若B ⊆ A, 求实数a 的取值范围；③A 、B 能否相等？若能求出实数a 的值；若不能说明理由。
4、已知集合A=｛x|a 2x -3x+2=0,a ∈R ｝.①若A 是空集，求实数a 的取值范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素求出来；③若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值 【解析】1、【知识点】①集合相等的定义与性质；②集合元素的定义与特性；③参数值的求法；④代数式的值的意义与求法；【解答思路】根据集合相等的定义与性质，结合结合元素的特性求出参数a ，b 的值，再把求得的值代入代数式通过计算得出结果；【详细解答】Q ｛a,b a ,1｝=｛2a ,a+b,0｝，0∈｛a,b a ,1｝，a ≠0，∴b a=0，⇒b=0，2a =1， ⇒a=±1，Q a ≠1，∴a=-1，∴20092010a b +=2009(1)-+20100=-1+0=-1。
2、【知识点】①集合的表示方法；②一元二次方程的定义与解法；③一元一次不等式的定义与解法；④数轴的定义与运用；⑤子集的定义与性质；【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合A 用列举法表示出来，由一元一次不等式的定义与解法把集合B 用描述法表示出来，运用A B 结合数轴得到关于a 的不等式，求解不等式就可得出结果；【详细解答】如图，Q A ⊆B ，∴a-2≤1，⇒a ≤3 0 1 2∴当A ⊆B ，实数a 的取值范围是（-∞，3］。
浅谈集合中参数取值范围问题
185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。
高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。
可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。
纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。
可谓参数问题在高中数学中无处不在。
含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。
作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。
按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。
其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。
学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。
代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。
在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。
在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。
教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。
关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。
集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。
在高考中，它也是年年必考内容之一。
考点05 根据充分、必要条件求参数的取值范围的“两”关键(解析版)
2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019） 专题一 集合与常用逻辑用语考点5 根据充分、必要条件求参数的取值范围的“两”关键【方法点拨】1. 把充分、必要转化为集合之间的关系2. 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解。
【高考模拟】1．已知:p 40x m -<，:q 220x x -->，若p 是⌝q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为（ ） A ．[8,)+∞ B ．(8,)+∞C ．(4,)-+∞D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】 根据p 是⌝ q 的一个必要不充分条件，可得p q ⌝⇒，然后得到m 的取值范围【解析】:40p x m -<，即:4m p x <2:20q x x -->2:20q x x ∴⌝--≤，即12x -≤≤p 是q ⌝的一个必要不充分命题，∴可得q p ⌝⇒即q ⌝的范围比p 的范围小，故24m>，即()8,m ∈+∞ 故选B 项. 【点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题. 2．已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．2-【答案】C【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【解析】因为x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，当0a =时，集合{}100B x x x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭，满足题意；当>0a 时，集合110B xa x x x a ⎧⎫⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，此时需满足11a≥即01a <≤； 当0a <时，集合()11,0,B x a x a ⎧⎫⎛⎤=≥=-∞⋃+∞⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1-∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合. 3．已知:40p x m -<，:134q x ≤-≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）． A ．{}8m m ≥ B ．{}8m m > C ．{}4m m >- D ．{}4m m ≥-【答案】B 【分析】先解不等式，化简p ，q ，再由p 是q 的一个必要不充分条件，列出不等式，求解，即可得出结果. 【解析】由40x m -<，得4mx <．由134x ≤-≤，得12x -≤≤． ∵p 是q 的一个必要不充分条件， ∴24m>，即8m >. 故选B 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.4．若0,0a b c <<>，则下列不等式不可能成立的是（ ） A ．11a b> B ．22a b > C ．0a b +< D ．ac bc >【答案】D 【分析】按照不等式的性质逐一判断即可. 【解析】因为0,0a b c <<>，故0b a ->，0ab >，所以110b a a b ab--=>， 即11a b>成立，即A 正确； 由于0,0a b a b -<+<，所以()()220a b a b a b -=-+>，即B 正确； 由于0a b <<，所以0a b +<，即C 正确； 由于,0a b c <>，所以ac bc <，即D 错误； 故选：D. 5．若“13x ”是“23x a >-”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B 【分析】根据题中条件，得到()1,3-是()23,a -+∞的真子集，列出不等式，即可得出结果. 【解析】 因为“13x”是“23x a >-”的充分不必要条件，所以()1,3-是()23,a -+∞的真子集，则231a --≤，解得1a ≤， 故选：B. 【点睛】 结论点睛：由充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．2a B ．2aC ．2a -D ．2a -【答案】A 【分析】转化成两个集合之间的包含关系求解即可. 【解析】:|1|1p x -解之得02x ≤≤设{}|02A x x =≤≤，{}|B x x a =，p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 则2a 故选：A 7．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞【答案】C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【解析】因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．已知命题p ：2230x x +->，命题q ：x a >，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A 【分析】先求出命题p 对应的x 取值范围，再由题得出集合包含关系，即可求出. 【解析】将2230x x -->，化为(1)(3)0x x -+>， 即p ：1x >或3x <-，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即(,)(,3)(1,)a +∞⊂-∞-⋃+∞， 故1a ≥. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．9．设x ∈R ，若“3x >”是“221x m >-”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．()1,1-C ．(D ．[]1,1-【答案】C 【分析】根据充分不必要条件，转化为子集问题，求实数m 的取值范围. 【解析】由“3x >”是“221x m >-”的充分不必要条件，可得，2213m -<m <<故选:C10．若“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，则下列a 的范围满足条件的是（ ） A ．2a > B ．102a <<C ．13a <-D ．13a -<<【答案】A 【分析】由充分不必要条件的性质转化条件为{}x x a > 13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，即可得解. 【解析】由题意，不等式13x <的解集为13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，因为“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，所以{}x x a > 13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，即13a ≥. 对比选项，仅有A 满足要求. 故选：A.11．若()2:140p a x +-=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-或3D ．1或1-【答案】D 【分析】由充分条件、必要条件的定义可得2421a =+，即可得解. 【解析】由题意，命题()2:140p a x +-=即为241x a =+， 命题2:60q x x +-=即为3x =-或2x =， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以2421a =+或2431a =-+（舍去）， 所以1a =±. 故选：D.12．已知条件p ：()()30x m x m --->﹔条件q ：22760x x -+->，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．[)3,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简p 、q ，再根据q 是p 的充分不必要条件，由q 是p 的真子集求解. 【解析】解不等式()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.解不等式22760x x -+->，即22760x x -+<，即()()2320x x --<，解得332x <<. 所以，:0p x <或3x m >+，3:32q x <<. 因为q 是p 的充分不必要条件，所以，322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{|x x m <或}3x m >+， 可得2m ≥或332m +≤，所以[)3,2,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故选：B.13．若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤- B ．1a <-C ．2a ≤-D ．2a <-【答案】B 【分析】由题可知21x -<<对应的集合真包含于不等式()(2)0a x x ++<对应的集合，即可求出. 【解析】设不等式()(2)0a x x ++<的解集为A ，21x -<<对应集合为B ， 则由题可知B A ，1a ∴->，解得1a <-. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 14．已知“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，则k 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】C【分析】 根据“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，可知(),k +∞是311x <+解集的真子集，然后根据真子集关系求解出k 的取值范围. 【解析】 因为311x <+，所以13x +>或10x +<， 所以解集为()(),12,-∞-+∞，又因为“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件， 所以(),k +∞是()(),12,-∞-+∞的真子集，所以[)2,k ∈+∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断充分、必要条件：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q对应集合互不包含.15．已知命题:12p x +>；命题:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围（ ） A ．3a <- B ．3a ≤-C ．1a <D ．1a ≥【答案】D 【分析】先化简命题p ，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件求解. 【解析】命题:12p x +>，即为:1p x >或3x <-；命题:q x a >， 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 所以1a ≥ 故选;D16．设x ∈R ，若“log 2(x -2)＜1”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,3)-B ．(-1，1)C ．[3,3]-D ．[-1，1]【答案】C 【分析】解对数不等式得24x <<，结合已知条件即可得关于m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【解析】解：()22log 21log 2x -<=，解得24x <<，则“24x <<”是“x ＞m2-1”的充分不必要条件，即212m -≤，解得33m -≤≤， 故选:C 【点睛】本题考查了对数不等式的求解，考查了已知充分不必要条件求参数的取值范围，属于基础题.本题的易错点是求对数不等式时忽略了真数大于零.17．已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{}2a a <- B ．{}2a a >-C ．{}21a a -<≤D ．{}1a a ≥【答案】D 【分析】由条件q 是p 的充分不必要条件，即q 表示的集合B 是p 表示的集合A 的真子集，再借助数轴表示集合的包含关系，即可得解. 【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>， 由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥ 故选：D. 【点睛】本题考查充分不必要条件的应用，集合的包含关系求参数，考查学生的数形结合能力，属于基础题. 18．已知条件:()(3)0p x m x m --->；条件2:340q x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{|7m m ≤-或1}m ≥ B ．{|7m m <-或1}m > C ．{|71}m m -<< D ．{|71}m m -≤≤【答案】A 【分析】分别求解一元二次不等式化简p 与q ，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于m 的不等式求解． 【解析】解：由()(3)0x m x m --->，得x m <或3x m >+， 即:p x m <或3x m >+；由2340x x +-<，解得41x -<<．q 是p 的充分不必要条件，1m ∴或43m -+，即7m -或1m ．∴实数m 的取值范围是{|7m m ≤-或1}m ≥．故选：A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查一元二次不等式的解法，考查数学转化思想方法，属于基础题．19．已知命题p ：20010x R mx ∃∈+≤，，命题q ：210.x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．22m -≤≤ B ．2m ≤-或2m ≥ C ．2m ≤- D ．2m ≥【答案】D 【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果． 【解析】解：命题0:p x R ∃∈，210mx +为假命题，所以0m ，命题:q x R ∀∈，210x mx ++>， 所以△240m =-<，解得22m -<<， 由于该命题为假命题， 所以2m 或2m -． 当p ，q 为假命题时，故02m m ⎧⎨⎩或02m m ⎧⎨-⎩，整理得2m ． 故选：D ．20．若命题“x R ∀∈，||10x m -+>”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】D 【分析】由原命题为假命题可知其否定x R ∃∈，使得||10x m -+≤成立是真命题，转化为||10x m -+≤对于x ∈R 有解，分离m 可得()max 1||m x ≤-，即可求解. 【解析】若命题“x R ∀∈，||10x m -+>”是假命题， 所以x R ∃∈，使得||10x m -+≤成立是真命题， 即||10x m -+≤对于x ∈R 有解， 所以1||m x ≤-，所以()max 1||m x ≤-， 因为0x ≥，所以0x -≤，11x -≤， 所以()max 1||1x -=，所以1m ≤， 所以实数m 的取值范围是(,1]-∞， 故选：D 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.21．已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(]3,0- 【分析】分0k =与0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题. 当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆≤⎩；④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.22．若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】参变分离，即可得到1a x≤对[]1,2x ∀∈都成立，求出()g x 的最小值，即可得解． 【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦23．已知命题“对于任意x R ∈，210x ax ++≥”是假命题，求实数a 的取值范围____ 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【分析】根据“R x ∀∈，210x ax ++≥ ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围． 【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++≥ ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++<是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++<有解； 所以240a ∆=->，解得：2a <-或2a >. ∴实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞.故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞.24．已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =-，若[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[1,)+∞ 【分析】根据函数的单调性，分别求得函数()f x 和()g x 的值域构成的集合,A B ，结合题意，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解. 【解析】由题意，函数()21g x x =-在[]2,3为单调递减函数，可得()12g x ≤≤， 即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间[]1,2-上单调递增，可得()222a f x a -+≤≤+， 即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =-++，又由[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即B A ⊆,则满足21222a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 25．已知命题2:,10p x R ax ax ∀∈--≤是真命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[4,0]- 【分析】分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可. 【解析】当0a =时，10-≤为真命题，符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，210ax ax -≤-为真命题， 则对应的抛物线开口向上且与x 轴没有交点，可得24040a a a a <⎧⇒-≤<⎨+≤⎩， 综上可得实数a 的取值范围是[4,0]-， 故答案为：[4,0]-. 【点睛】方法点睛：本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.26．已知命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】4a ≥或4a ≤-， 【分析】若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是真命题，则∆<0，求出a 的取值范围，再求补集即可.【解析】若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是真命题，则2440a ∆=-⨯<， 解得：44a -<<，若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是假命题，则4a ≥或4a ≤-， 故答案为：4a ≥或4a ≤-，27．已知命题p ：0R x ∃∈，使得20010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]1,0- 【分析】由p 得出p ⌝，然后分0a =和0a ≠讨论即可得结果. 【解析】解：由于2000:,210p x R ax ax ∃∈+-≥，则200020:,1p x R ax ax ∀∈+-<⌝， 当0a =时，10-<，显然满足题意；当0a ≠时，2440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<， 综上可知：实数a 的取值范围是(]1,0-.28．若命题“22,210x R x x m ∀∈-+->”为真命题，则实数m 的取值范围为________________________【答案】(),-∞⋃+∞【分析】根据全称命题是真命题可知判别式小于零，即得结果. 【解析】全称命题是真命题，即22210x x m -+->在R 上恒成立，则判别式()24410m ∆=--<，解得m <m >，故答案为：(),-∞⋃+∞.29．已知():lg 1p x +>，()23:12x mq m R x m+-<∈-，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是______. 【答案】0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分别求出关于,p q 成立的x 的范围，根据集合的包含关系判断即可． 【解析】():lg 1p x +>，则10101x x x ⎧+>⎪->⎨⎪+>⎩解得：21130x x x x >-⎧⎪<⎨⎪+>⎩，所以:01p x <<，()23:12x mq m R x m +-<∈-，即()02x m m R x m+-<∈-，所以():2q m x m m R +<<∈，若p 是q 的必要不充分条件，则(),2m m 为()0,1的真子集，即0212m m m m≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩，解得：10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：0,12⎛⎤⎥⎝⎦.30．已知:1p x ≤，:q x a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(),1-∞ 【分析】根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【解析】 ∵:1p x ≤，:q xa ，p 是q 的必要不充分条件，∴(],a -∞是(],1-∞的真子集，因此1a <，即a 的取值范围为(),1-∞. 故答案为：(),1-∞. 【点睛】 结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合中的求参数的取值范围
题组一 子集中的求参数取值范围 1. 已知集合{
}
01032
≤--=x x x A .
（1）若{}121,-≤≤+=⊆m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（3≤m ） （2）若{
}
126,-≤≤-==m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（43≤≤m ）
2. 已知集合{}12<≤-=x x A ，{}
,m x x B >=若B A ⊆，求m 的取值范围.（2-<m ）
3. 已知{}
{}01|,023|2
=+==+-=ax x B x x x A ，满足B B A = ,求a
4. 已知{
}{
}
03|,023|2
2
=+-==+-=a x x x B x x x A ，满足B B A = ,求a
5. 已知{
}{
}
02|,023|2
2
=-+==+-=x ax x B x x x A ，满足B B A = ,求a
6. 已知集合{}02=++=q px x x A ，集合{}
0232=+-=x x x B ，且B B A = ，求q p ,的值或其关系式.（q p 42
<或1,2=-=q p 或4,4=-=q p 或2,3=-=q p ）
题组二 方程或不等式有解问题中的求参数取值范围
1. 方程()01452
=---x x a 有实数根，求实数a 的取值范围.（1≥a ）
2. 若关于x 的不等式()()02112
>+-+-x m x m 的解集为R ，求m 的取值范围.（91<≤m ）
3. 若方程0)1(2
=-++k x x k 有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围.（1-=k 或2
1-=k ）
题组三 集合运算中的求参数取值范围
1. 已知两个集合{}
{}
32,022+<<=≤--=a x a x B x x x A ，且满足φ=B A ，求实数a 的取值范围.（4-≤a 或1≥a ）
2. 对于实数集{}
03422=-+-=a ax x x A 和{
}
02222
2=+++-=a a ax x x B ，是否存在实数a ，使φ=B A ？若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围.（21<<a ）
3. 已知集合{}01922=-+-=a ax x x A ，{}
0652=+-=x x x B ，
{}
0822=-+=x x x C ，且φφ=≠C A B A ,，求实数a 的值.（2-=a ）。