参数的取值范围例解
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
已知函数的值域(或最值)求参数的取值范围
已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围顺德容山中学 马崇元已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围，是高考的一个亮点，在近年的高考和各地的高三模拟试题中经常出现，下面谈谈此类问题的解法．一． 利用函数的单调性如果题中所给函数的单调性易判断出来，我们可利用单调性建立方程组或不等式，从而加以求解．例1．（2008年天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}解：由log log 3a a x y +=可得xa y 3=，利用其在[,2]x a a ∈上是单调减函数可得23max 23min ,22a aa y a a a y ====，则由题目条件可得2max min ,a y a y ≤≥解得选B ． 例2．（2008年深圳模拟试题）已知函数f(x)＝x 11-． (1)是否存在实数a 、b(a ＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a 、b]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b ()a b <，使得函数f(x)的定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，求实数m 的取值范围．解：(1)不存在实数a 、b ()a b < 满足条件．事实上，若存在实数a 、b ()a b < 满足条件，则有x ≥a ＞0．故f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x (i)当a 、b ∈(0，1)时，f(x)＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件． (ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a 于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件(iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a ，b]，矛盾．综上可知，不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件．(2)若存在实数a 、b(a ＜b)满足f(x)定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根． ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m m x m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41，所以m 的取值范围为0＜m ＜41．例3．（广东省2008届第一次六校（广州深圳中山珠海惠州）联考）设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
由一元二次不等式(方程)解的情况求参数的取值范围
Ｑ 霹析 不 等 式ｍ ｘ 一 ｍ ｘ 一
Ｉ ＜０的解 集 为 Ｒ， 则
一
彝 ２ 层 ２ ＝ 的 ｌ 值 ｏ ｇ ￣ 域 ｕ
，
凳 喜
函数 图象 的某 些 特 征 ， 这 是本 题 最 难 理 解 的地 方． 本
２ Ｄ １
彝善 董 喜 凳 薯 吴 言
来， 即可 列 出关 于 参 数 的不 等 式组 ． 这 是 该 类题 型 的 常 用解 法．
４ 已知 不 等 式 中一个 变 量 的取 值 范 围 。 求 另 一 个 变 量 的取值 范 围
２ 已知 函数 的值域 ， 求 参数 的取值 范 围
线段 厂 （ ｍ） 一（ ｚ 一１ ） ｍ－ －（ ２ ｘ－ －１ ） 在 ｚ轴下 方 ， 只需 ２
个 端 点在 ｚ轴下 方 即可 ， 所 以
ｆ （ － ２ ） ＜ 。’
，
２ ｘ２ ＋２ ｘ
２
－
３＞
２
一
＜。
０ ：
◇ 江西 刘 庭 华
解 得
＜ｚ ＜
．
所 以 ｚ的取 值范 围是 ｛ ｚｌ
、，
例２ 函数 ＿ 厂 （ ｚ ） ＝ｌ ｏ ｇ （ ａ ｘ 。 一ｚ ＋口 ） 的值 域 为
Ｒ， 求实 数 ｎ的取 值 范 围．
２４
《 例４ 若 不等 式２ ｘ － １ ＞ （ ｚ ｚ 一 １ ） 对满足Ｉ ｍ Ｉ ≤
… … 惠 中… 一 栅 … … 每… 椰
匕
设 函数 Ｙ— ｌ ｏ ｇ 。 “ ， “ 一ｎ ｚ 一ｘ＋ａ ， 作 出 Ｙ一
蜜一
析
ｌ ｏ ｇ 。
的图象 ， 如 图 ２所示 ．
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
求函数的值域 确定参数的范围
求函数的值域 确定参数的范围
在我们的学习过程中，经常遇到形如20ax bx c ++=在（,)e f 有解的问题，人们往往是用二次函数根的分布有关知识解决，这种方法分类较多，过程繁琐。
下面我介绍一种较方便的方法，就是分离参变量，将问题转化为求函数的值域问题解决。
例1：设集合A=
(){}2,;2x y y x ax =++ (){},;1,02B x y y x x ==+≤≤ A B φ≠ ，求a 的取值范围。
解： A B φ≠ 即221x ax x ++=+在[]0,2内有实数根， 由 方程221x ax x ++=+ 得11,02a x x x ⎛
⎫=-+
≤≤ ⎪⎝⎭ 1x
x
+2≥ 1a ∴≤-∴实数a 的取值范围为(],1-∞-。
评述：本题巧妙地 应用了等价转化的思想，将函数、方程、不等式
有机的结合起来，分离参变数a ，把求参问题转化为求函数的值域问题。
例2：已知关于x 的方程()()242log 1log log 3x a x -=--有实根，求实数a 的 取值范围。
解：由10x ->且30x ->且0a >知13,0x a <<>
原方程可化为2430x x -++=在()1,3内有解
∴()()2
24321x x x =--+=--+ ∴01<≤ 01a ∴<≤
评述：本题将方程转化为一个等价的不等式组，采用分离变量法，将问题转化为求二次函数的最值问题。
高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳
参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
求绝对值不等式中参数的取值范围资料
求绝对值不等式中参数的取值范围求绝对值不等式中参数的值例1 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}15x x <<，求实数,a b 的值。
变式 已知关于x 的不等式2x a b +<的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数,a b 的值。
例2 已知关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
变式 已知关于x 的不等式14ax -<的解集为513x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
求绝对值不等式中参数的取值范围本节课主要利用三角形绝对值不等式求出含绝对值函数的最值，从而解决不等式恒成立问题和存在性问题。
例1 已知不等式23x x m +-+>,分别求出以下情况中m 的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅。
规律总结：问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ，f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .变式1 把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的取值范围．变式2 把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的取值范围．（2016沈阳一模）设函数()214f x x x =+--.（1） 解不等式)(0f x >.（2） 若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求出m 的取值范围．（2016洛阳模拟）设函数()21f x x x =+-.（1） 解不等式)(0f x >；（2） 若存在0x R ∈,使得)0(f x m ≤成立，求出m 的取值范围。
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参数的取值范围例解
参数的取值范围例解
2021 11 马洪亮
波利亚提到的思维方法告诉我们：时刻不忘未知量，参数取值范围的求解问题，因为
涉及到两个或者两个以上的字母，显得抽象繁琐，还可能考察到二次函数、指数、对数函数、三角函数、向量、解析几何、分段函数等，解题方法也较灵活多样，不易掌握。
以下
归纳，以作参考。
例1.若不等式
的所有实数m都成立，求x的取值范围。
析：已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围，可采用变换主元的策略，原不
等式可变形为
时恒成立。
当做以m为自变量的函数
，则原问题可等价转化为函数
在区间[－2，2]上的函数值恒小于零，从而有
例2.已知对任意实数x，不等式
恒成立。
求实数k的取值范围。
解：原不等式两端可视为两个函数
与y＝kx，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，问题的解决方法自然产生。
如图，只有当直线
的斜率k取区间[0，1]上的任一值时，才有
恒成立。
故实数k的取值范围为
3. 分离参数
上的增函数。
若
恒成立，求实数m的取值范围。
解：依题意，原不等式
分离参数m，应用得：
在函数定义域中恒成立
分离参数m，应用得：
由①、②可知，实数m的取值范围为
4.最值性质：（1）
例4.求使不等式
有解的实数a的取值范围。
的最小值，只要a大于其最小值即可，求出坐标轴上到两点和的最小值。
答案：
）内有相异的两个实根。
求实数a的取值范围。
，则由题设知，直线
有两个不同的交点A（
即原点O到直线
的距离小于1，即
不过点（1，0），即
点评：将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题，实际上是数形结合思想的灵活应用。
6.利用函数的单调性求解
例6.已知函数
上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。
上任意x的值恒成立
上任意x的值恒成立。
上是增函数，则
7.构造向量巧解
由向量的数量积公式：
（其中θ为向量a与b的夹角），
，则易得到以下推论：
；（2）
（3）当a与b同向时，
；当a与b反向时，
（4）当a与b共线时，
例7.设x,y为正数，不等式
恒成立，求a的取值范围。
8. 利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m
例8、已知函数
,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立
对一切x∈（0，+∞）恒成立，
对x∈（0，+∞）恒成立
，由h′(x)=0解
h′(x)>0时，解得0＜x＜
, h′(x)＞0时x＞
所以h(x)在（0，
）上递增，在（
，+∞）上递减,
故h(x)的最大值为。