密度泛含理论
相对论密度泛函理论的发展与应用评述
相对论密度泛函理论的发展与应用评述相对论密度泛函理论（R-DFT）是一种用于研究电子结构和物质性质的理论方法，它基于相对论量子力学和密度泛函理论的基本原理。
R-DFT的发展对于理解和预测材料性质、催化反应和生物体系中的化学过程具有重要意义。
本文将对R-DFT的发展历程和应用进行评述。
1. 发展历程R-DFT的理论基础可以追溯到20世纪60年代，当时John P. Perdew等人提出了局域密度近似（LDA）方法，用于计算自由原子的电子结构。
LDA方法基于电子密度的一阶近似，在描述自由原子和固体的电子结构时取得了一定的成功。
然而，在处理包含重元素和开壳层体系的时候，传统的LDA方法无法给出准确的结果。
为了解决这个问题，John P. Perdew和Andrei Zunger在1981年提出了广义梯度近似（GGA）方法，引入了电子密度的梯度信息，改善了对体系结构和能量的描述。
随着计算机计算能力的提高，人们对更精确的方法进行了追求。
1994年，John P. Perdew、Kieron Burke和Mazhar Ali Khan等人提出了R-DFT的普适涨落近似（PBE），将自旋-轨道相互作用引入泛函的描述中，进一步提高了计算结果的准确性。
2. 应用评述R-DFT方法的发展使得研究者们能够更准确地预测和解释材料的性质和反应。
相对论效应在重元素材料中起着重要的作用，传统的非相对论方法难以处理这些体系。
R-DFT方法的应用可以有效地处理重元素体系，在预测和优化催化剂的性能、设计新型材料等方面发挥重要作用。
此外，R-DFT方法在生物体系中的应用也日益受到关注。
蛋白质等生物大分子的研究往往涉及到大量的原子和电子，传统方法的计算复杂度很高。
R-DFT方法通过考虑相对论效应，可以更准确地描述生物大分子的电子结构和反应机理，有助于解释生物体系中的化学过程。
然而，R-DFT方法仍然存在一些挑战和限制。
相对论密度泛函理论计算的复杂度较高，计算量大，限制了其在大尺度体系和复杂反应中的应用。
lammps的密度泛函
lammps的密度泛函LAMMPS（Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator）是一款用于分子动力学模拟的开源软件。
它可以模拟各种材料的原子尺度行为，包括固体、液体和气体等。
在LAMMPS中，密度泛函理论（Density Functional Theory，简称DFT）是一种常用的计算方法，用于研究材料的电子结构和性质。
密度泛函理论是一种基于电子密度的量子力学方法，通过求解电子的运动方程来描述材料的性质。
在DFT中，材料的电子结构可以通过求解Kohn-Sham方程来得到。
这个方程是一个自洽的非线性方程组，其中包含了电子的波函数、电子的能量和电子的密度等信息。
在LAMMPS中，密度泛函理论可以用于计算材料的能带结构、电子态密度、电荷分布等性质。
通过这些计算，我们可以了解材料的电子结构和电子行为，进而预测材料的物理和化学性质。
在使用LAMMPS进行密度泛函计算时，首先需要定义材料的原子结构和晶胞参数。
然后，通过选择适当的泛函和基组，可以计算材料的电子结构。
常用的泛函包括局域密度近似（Local Density Approximation，简称LDA）和广义梯度近似（Generalized Gradient Approximation，简称GGA）等。
这些泛函可以根据材料的性质和需求进行选择。
在计算过程中，LAMMPS会自动优化材料的原子位置和晶胞参数，以使得能量达到最低。
通过迭代求解Kohn-Sham方程，可以得到材料的电子结构和能量。
然后，可以进一步计算材料的电子态密度、电荷分布等性质。
除了计算材料的电子结构，LAMMPS还可以进行分子动力学模拟。
在这种模拟中，原子之间的相互作用力可以通过经验势函数或量子力学势函数来描述。
通过模拟原子的运动，可以研究材料的热力学性质、动力学行为等。
总之，LAMMPS是一款功能强大的分子动力学模拟软件，可以用于研究材料的电子结构和性质。
电子结构计算方法
电子结构计算方法电子结构计算方法是理论化学中的一个重要研究方向，用于描述和预测分子和材料中电子的行为和性质。
通过电子结构计算方法，我们可以了解分子中电子分布、能级结构、键合性质等，对于设计和改进新材料、研究化学反应机理等都具有重要价值。
本文将介绍几种常见的电子结构计算方法及其在实际应用中的特点。
一、密度泛函理论(DFT)密度泛函理论是一种基于电子密度的计算方法。
它通过求解薛定谔方程，得到电子体系的基态能量和电子密度分布。
DFT具有计算效率高、精度较高等优点，因此被广泛应用于固体物理、材料科学、物理化学等领域。
在DFT中，常用的交换-相关泛函包括局域密度近似(LDA)和广义梯度近似(GGA)等。
二、哈特里-福克方法(HF)哈特里-福克方法是一种使用单电子波函数的计算方法，适用于小分子和分子间相互作用较弱的体系。
它通过求解哈特里-福克方程，得到电子的波函数和总能量。
与DFT相比，HF方法具有更高的计算精度，但计算复杂度较高。
三、耦合簇方法(CC)耦合簇方法是一种基于量子化学理论的计算方法，用于描述带电子相关效应的分子体系。
它通过对波函数进行展开，考虑多电子的相关效应，进一步提高了计算精度。
耦合簇方法适用于含有多个相互关联的体系，如化学反应中的中间态和过渡态等。
四、紧束缚模型(TB)紧束缚模型是一种基于分子局部性的计算方法。
它通过将电子波函数分解为局部轨道的线性组合，描述了电子的传输行为和能带结构。
紧束缚模型广泛应用于研究材料的电子结构和输运性质。
五、传统分子力场(MM)传统分子力场是一种经典力场的计算方法，用于描述分子间的力学相互作用。
它通过定义原子间的键弹性势能函数，计算分子的构型和能量。
传统分子力场的计算速度快，适用于大分子和生物分子的模拟研究。
六、多尺度模拟方法多尺度模拟方法是一种将不同计算方法和尺度相结合的计算策略。
通过将分子动力学模拟、量子力学计算等方法相互耦合，可以在不同精度和尺度上对系统进行研究。
密度泛函理论
ˆ ˆ (r) ˆ n(r ) (r ) 电子密度算符 (4.5) ˆ ( r ) 的期待值： 电子密度分布n(r)是n ˆ(r ) ） (4.6) ˆ(r )) （即 n n(r ) (, n
9
Hohenberg-Kohn定理的证明
• HK定理的证明：外部势v(r)是n(r)的唯一泛函。即由n(r)唯一决 定。换句话说，如果有另一个v’(r)，则不可能产生同样的n(r). 反证法：设有另一个v’(r) ，其基态Ψ ’也会产生相同的n(r). ∵ v(r)≠v’(r) ，∴ Ψ ≠Ψ ’（除非v’(r)-v (r)=const）. ∵ Ψ 与 Ψ ’满足不同的Schrödinger 方程： (4.7) ˆ ˆ ˆ ˆ H T V U H Ψ = E Ψ (4.8) ˆT ˆ V ˆ U ˆ H V V H H’Ψ ’ = E’Ψ ’ • 利用基态能量最小原理，有
H T V U T
1 2
1 r r
( r ) ( r )dr
V v(r ) ( r ) ( r )dr U
1 2
Hartree单位 外部势
( r ) ( r ) ( r ) ( r )drdr
(4.1) (4.2) (4.3） (4.4)
即 E E [v ( r ) v( r )]n( r )dr
同时，把带撇的与不带撇的交换得
E E [v( r ) v ( r )]n( r )dr
(4.10)
或者
E E [v ( r ) v( r )]n( r )dr
(4.11)
可见(4.10)与(4.11)相互矛盾。表明v’(r) 不可能产生同样的n(r) . 所以v(r) 是n(r) 的唯一泛函。由于v(r) 决定整个H, 即系统的基态 能量是n(r) 的唯一泛函。 同理，T和U也是n(r) 的唯一泛函。可定义： F [n(r )] (, (T U )) (4.12) 式(4.12)是一个普适函数，适于任何粒子系和任何外部势。于是 整个系统的基态能量泛函可写为：
密度泛函理论
密度泛函理论, Density functional theory (DFT)是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。
密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究分子和凝聚态的性质，是凝聚态物理和计算化学领域最常用的方法之一。
电子结构理论的经典方法，特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock方法，是基于复杂的多电子波函数的。
密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数做为研究的基本量。
因为多电子波函数有 3N个变量（N为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概念上还是实际上都更方便处理。
虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型，但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。
Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。
Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之后就得到了基态能量。
最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在已经被推广了。
最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在，但是没有提供任何这种精确的对应关系。
正是在这些精确的对应关系中存在着近似（这个理论可以被推广到时间相关领域，从而用来计算激发态的性质[6]）。
密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方法实现的。
在Kohn-Sham DFT的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。
这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。
处理交换相关作用是KS DFT 中的难点。
目前并没有精确求解交换相关能E XC的方法。
最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA)。
LDA近似使用均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交换能是可以精确求解的），而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。
密度泛函理论
HKSir Eiir
构求造解出HΦKi(Sr1)
形构成造新出的HρK1S(1r)
重复这个 过程
重复右边的过程，这样 一直下去，密度函数会 收敛到ρf(r)，由它构造 出的HKSf会得到同样的 密度函数ρf(r)。
此时我们认为这个密度 函数ρf(r)就是系统基态 的密度函数，由HKSf的 本征波函数求得的物理 量的期望值为系统基态 的物理性质。
• 在绝热近似下，对于给定的分子构型，（4）式中的核间 排斥势能算符Vnn是常数，即
Vnn
1 2
v a
v ZaZe2 Ra
a
• 我们将电子的运动与核的运动分离开来，则电子的
动能算符为：
Tel
N i 1
2 2mi
i2
（6）
• 如果令电子的势能算符为Vel，则
Vel
N i 1
v Zae2
（10）
• 因而可以在计算中不必考虑Vnn，最后把Vnn加到所解出的能量上，即令
Eel E' Vnn
• 便得到了电子的薛定谔方程
• 其中
(Vel Tel )el Eelel
（11） （12）
Hel
N i 1
2 2m
i2
N i 1
v Zae2
a1
ria
1 2
N i
N e2 j rij
（13）
i1
这样对ρ的变分可以用对Φi(r)的变分代替，拉格朗日乘子则相应 的Ei代替，所以有，
E
r
N
Ei
dri*r 2
i
r
1
/
i
r
0
（22）
i1
于是可以得到
密度泛函理论
密度泛函理论引言密度泛函理论（Density Functional Theory，简称DFT），是一种理解和计算电子结构的方法。
它是解决多体问题的一种近似方法，它通过考虑物质中电子的密度来描述系统的性质。
密度泛函理论在凝聚态物理、量子化学和材料科学等领域都有广泛的应用。
DFT的基本原理密度泛函理论的基本原理是根据单体密度的基本原理制定的。
基本原理包含两个主要部分：\1.霍恩堡定理：一个体系的总能量可以通过经典电磁场和电子的交变相互作用来表示。
这个定理表明体系的总能量主要由电子的运动决定。
2.雅可比定理：任何一个电子系统的外势能和密度之间都有一一对应的关系。
根据这两个基本原理，密度泛函理论可以将多体问题转化为求解一个单粒子波函数的问题，进而可以计算得到体系的总能量和物理性质。
密度泛函的近似实际上，精确求解密度泛函的方程是非常困难的。
因此，人们提出了一系列近似方法来简化计算过程。
其中最著名的近似方法是局域密度近似（Local DensityApproximation，LDA）和广义梯度近似（Generalized Gradient Approximation，GGA）。
LDA近似假设体系的局部化性质是均匀的，通过将非均匀体系映射为均匀电子气来近似计算。
这种近似方法在实际计算中取得了一定的成功，但是对于一些体系来说，精度相对较低。
GGA近似在LDA的基础上引入了梯度信息，优化了近似表达式。
它对于局部化性质和径向分布提供了更准确的描述，因此在描述分子间相互作用和共价键性质方面更为准确。
应用领域密度泛函理论广泛应用于固体材料的研究。
例如，研究晶体的能带结构、电子态密度以及光谱性质等。
此外，密度泛函理论还可以用于研究分子的结构、反应动力学等。
密度泛函理论在计算材料性质和设计新材料方面也有广泛应用。
例如，它可以用于计算材料的弹性模量、热膨胀系数、热导率等宏观性质，以及预测新型材料的性质。
最后，密度泛函理论还可以应用于计算化学反应的能垒和速率常数，从而在催化剂的设计和反应机理的研究中发挥重要作用。
密度泛函理论及其应用
密度泛函理论及其应用一、密度泛函理论（Density Functional Theory ：DFT ）VASP 的理论基础是电荷密度泛函理论在局域电荷密度近似（LDA ）或是广义梯度近似（GGA ）的版本。
DFT 所描述的电子气体交互作用被认为是对大部分的状况都是够精确的，并且它是唯一能实际有效分析周期性系统的理论方法。
1.1 单电子薛定谔方程式一个稳定态（与时间无关）的单一粒子薛定谔方程式可表示为一个本征值问题（暂略动能项的 ）： /2m ()()H r E r ψψ=（1）2[]()()V r E r ψψ-∇+=（2）多体量子系统 （如双电子的薛定谔方程式）： 2212121212[(,)](,)(,)V r r r r E r r ψψ-∇-∇+=（3）在普遍的状况下，里的是无法分离变量的，因此，即便简单如12(,)V r r 12,r r 双电子的薛定谔方程式就己经没有解析解了。
而任何的计算材料的量子力学问题，都需要处理大量数目的电子。
1.2 Hohenberg-Kohn 定理量子力学作为20世纪最伟大的发现之一，是整个现代物理学的基石。
量子力学最流行的表述形式是薛定谔的波动力学形式，它的核心是波函数及其运动方程薛定谔方程。
对一个给定的系统，我们可能得到的所有信息都包含在系统的波函数当中。
对一个外势场v (r)中的N 电子体系，量子力学的波动力学范式可以表示成：v (r) Ψ (r1; r2; …; r N ) 可观测量 ⇒⇒（4）即，对给定的外势，将其代入薛定谔方程可以得到电子波函数，进一步通过波函数计算力学量算符的期望值可以得到所有可观测量的值。
电荷密度是这些可观测量中的一个： 333*232()...(,...)N N n r N d r d r d r r r r =ψ⎰⎰⎰ 2(,...)N r r r ψ （5）如前所述，任何的计算材料的量子力学问题，都需要处理大量数目的电子。
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密度泛涵理论最初来源于对下面这个问题的考虑: 在量子化学从头算中,对于一个N电子体系,N电子波函数依赖于3N个空间变量及N个自旋变量共4N个变量,我们是否能用其它相对简单的变量来替换这4N个变量以达到简化计算的目的,比如用体系的电子密度?因为,对于波函数实验上无法准确测定,而电子密度却可以,电子密度同波函数模的平方相联系.另一方面,对于依赖4N个变量的波函数,将随着体系变大电子数增多使计算变得越来越困难,而体系的哈密顿只不过由单电子和双电子算符组成,同时只跟体系中的单个电子和双电子的信息有关,因此对我们的计算目的而言，波函数中4N个变量已经包含了多余的信息.因此,以电子密度为变量,Thomas-Fermi Model作了最初的尝试,将能量表示为密度的泛函,这里有个问题要注意的是泛函和复合函数的区别.TFM虽然是一个很粗糙的模型,但是它的意义非常重要,因为它将电子动能第一次明确地以电子密度形式表示.至此,说简单些,密度泛函方法就是以体系的电子密度为变量的方法.随后,Hohenberg-Kohn定理证明了external potentail是密度的唯一泛函,多电子体系的基态也是电子密度的唯一泛函.因此,对于多电子体系非简态基态而言有一基态电子密度相对应,正是这个基态电子密度也决定了体系的基态的其它性质,寻找基态的电子密度同样利用变分方法.有关这个定理的内容可以参考其它资料.在此定理的基础上,Kohn and Sham引入了"无相互作用参考系统"的概念,这个思想和传统的从头算不同,我们推导的HF方程是建立在真实的系统基础上的,而无相互作用参考系统是不存在的,只是KS为计算真实体系的设立的一个参照系统,它和真实系统的联系就在于有相同的电子密度.因此,我们也可以看出,DFT能获Nobel Prize也是完全在于它是一个全新的创造性的思想.这个无相互作用系统中,粒子间无相互作用,它的哈密顿算符就只有两项,动能算符和势能算符,这个形式和HF方法的形式比起来就简单多了,同HF方程一样,根据单电子近似也得到了KS单电子算符.接下来就是将这个参照系统同真实系统联系起来.HF方法完全忽略了相关能的计算,在DFT中,这部分能量考虑了进去,因此从原理上讲,Kohn-Sham方法是严格的,未作任何近似,但是同交换相关能相联系的交换相关势的形式却是无法确定的,因此DFT的中心问题更是寻找更好的泛函形式.PW91，PBE，BL YP都属于GGA泛函（广义梯度近似Generalized gradient approximations），一般来说其计算结果不如杂化泛函(hybrid functionals，如B3L YP、PBE0等)。
B3L YP和BL YP的区别是加入了20%的Hartree-Fock交换项（exchange），所以对于体系的一般性质计算更准确。
PBE0相比PBE区别是加入了25%的Hartree-Fock交换项（exchange）。
如果只是简单的优化结构或计算单点，推荐B3L YP或者PBE0。
以上并不局限于dmol软件。
100个原子以内很轻松就能优化，100-200个原子花点时间也是可以做优化的。
如果只做单点能计算的话，建议从晶体结构入手，如果没有晶体结构，那就没办法保证你的结构是合理的，也就无法保证单点能是合理的。
这种情况下至少用低水平的算法做个优化吧，例如HF/3-21G或B3L YP/3-21G或PM3或AM1，等等。
LDA局域密度近似（LDA）：局域密度近似（LDA）是第一阶梯。
它仅仅采用空间点r处的电子密度n（r）来决定那点交换-相关能密度的形式。
交换-相关能密度由密度相同的均匀电子气完全确定。
泛函的交换部分就准确的用均匀电子气的微分表达。
各种不同的局域密度近似（LDA）仅仅是相关部分表示方法不同，所有现代应用的局域密度泛函都基于Ceperly和Alder`s在８０年代对均匀电子气总能量的Monte Carlo模拟。
广义梯度近似（ＧＧＡ）：ＧＧＡ是Jacob阶梯的第二个台阶，将电子密度的梯度也作为一个独立的变量（|∇n(r)|），在描述交换－相关能方面，梯度引入了非定域性。
ＧＧＡ泛函包含了两个主要的方向：一个称为“无参数”，泛函中新的参数通过已知形式中参数或在其它准确理论帮助下得到。
另外一个就是经验方法，未知参数来自于对实验数据的拟和或通过对原子和分子性质准确的计算。
Perdew,Burke and Emzerhof(PBE)以及Perdew-Wang from 1991(PW91)是无参数的，在量子化学中广泛采用的GGA，比如Becke,Lee,Parr and Yang(BL YP)是经验性。
L YP校正采用了密度的二阶Laplace算符，因此严格上讲属于Jacob阶梯的第三阶，但通常仍然归类为GGA.PW91 Perdew-Wang generalized-gradient approximation Perdew and Wang (1992)BP Becke exchange plus Perdew correlation Becke (1988), Perdew and Wang (1992) PBE Perdew-Burke-Ernzerhof correlation Perdew et al. (1996)RPBE Revised PBE functional by Hammer et al. Hammer et al. (1999)HCTH Hamprecht, Cohen, Tozer and Handy functional Boese and Handy (2001)BL YP Becke exchange plus Lee-Yang-Parr correlation Becke (1988), Lee et al. (1988) BOP Becke One Parameter functional Tsuneda et al. (1999)VWN-BP BP functional with the local correlation replaced by the VWN functional. V osko et al. (1980), Becke (1988), Perdew and Wang (1992)VWN: The V osko-Wilk-Nusair (VWN) functional is the most popular LSD correlation potential. It uses a fit to accurate numerical results (by Ceperly and Alder) of a uniform electron gas. Ceperley and Alder performed quantum Monte Carlo calculations on a uniform electron gas at low and high spin limits for several electron densities. VWN uses the Pade interpolation procedure to fit the CA results for both the para and ferro states and for low and high densities. DMol3 uses the best VWN (so called "Fit") parameters.PWC: The Perdew-Wang (PWC) functional is a recent parameterization of the Ceperley and Alder data, which corrects some VWN problems with fitting. PWC is the default functional for DMol3 calculations.The local spin-density (LSD) approximation accurately predicts structures, vibrations, and relative energies of covalent systems; however, bond energies are seriously overestimated. The local DFT should not be used for systems with weak bonds, such as hydrogen bonds. These problems with the LSD method can be corrected to a large extent by using the so-called gradient-corrected (or nonlocal) functionals.P91, BP, BL YP, BOP: DMol3 supports several nonlocal exchange and correlation functionals. The most popular, the Becke exchange functional (B88) is used in conjunction with the Perdew-Wang correlation functional (BP) or the Lee-Yang-Parr correlation functional (BLYP). The so-called generalized gradient corrected (GGA) functional, by Perdew and Wang (P91) was derived by considering low and high density regimes and by enforcing various summation rules.PBE: The PBE (Perdew, Burke and Enzerhof) functional (1996, 1997) is another GGAfunctional in which all the parameters (other then those in its LDA component) are fundamental constants. The exchange part of this functional is similar to the Becke formula (1986), and the correlation part is close to the Perdew-Wang functional (1986).This functional has a strong physical background, reliable numerical performance and it is frequently used in DFT calculations.RPBE: More recently, Hammer, Hansen and Norskov (1999) proposed a modified version of the PBE formula that improves considerably thermochemical results. So far this functional, called RPBE, has been mainly used for solids.HCTH: The HCTH functional, named for the authors' initials (Hamprecht et al., 1998), represents a "pragmatic" philosophy in designing a DFT functional. Assuming that the exact functional will never be found, they propose a flexible form of gradient corrected functional that is fitted to the training set of molecules. The default for the current implementation, the so called HCTH/407 functional, that was obtained by fitting to the set of the 407 atomic and molecular systems (Boese and Handy, 2001). This functional was found to predict a much improved thermochemistry for inorganic and hydrogen bonded systems. The standalone keyword for this functional is hcth407. The original HCTH-type functionals can be activated by keyword hcth93 (Hamprecht et al, 1998) and hcth147 (Boese et al. 2000).Although the NLSD methods are significantly better than the LSD method, particularly in studying chemical reactions, the NLSD methods may still lead to reaction barriers that are too low.VWN-BP: The VWN-BP functional is recommended for COSMO and COSMO-RS studies.。