高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系
②方程的解为极坐标的点都在曲线C上; 则称：方程 F ( , ) 0为曲线C的极坐标方程;
曲线C是方程 F ( , ) 0的曲线.
2 x2 y2 x cos 则由： y y sin tan x ( x 0)
2
k , k Z(x 0)
点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。
43
例题解析
直角坐标
(1, 3)
(3,3) (0, 4)
由点所在象限确定极角的值
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时） ，认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用 17 。
极坐标系与极坐标
有序实数对( , ) 点O 极点 极坐标 射线Ox
( , )
极轴
x
||Biblioteka O角逆时针为正角 极角 顺时针为负角 0 极径 0
M ( , )
12
例题解析
例2.试写出下列点所对应的极坐标.
5 A(5, ) B (3, ) C (4, ) 2 6 6 7 11 D (5, ) E (4, ) 6 6
2
C
O
B
A
x
一点的极坐标唯一吗？
( , ) ( , 2 k )
D
E
3 2
表示同一点
13
与直角坐标系的联系与区别
复习回顾
4.1.1 直角坐标系 数 轴 平面直角 坐标系 空间直角 坐标系
R
（ x , y)
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
如何证明？
O
xp
x
39
x cos 0时, P的直角坐标为： y sin y 0 时, P在极点, 显然成立;
0 时, P的坐标可改写为
( , ) ( 0)
O
||
x cos( ) cos 则 y sin( ) sin
25
曲线与方程
定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( x, y ) 0 之间满足: ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②方程的解为坐标的点都在曲线C上; 则称：方程 F ( x, y ) 0 为曲线C的方程; 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线.
26
极坐标方程
例2. 将下列点的直角坐标化为极坐标：
2 极坐标(2, ) 3 3 极坐标 (3 3, ) 4
3 极坐标(4, ) 2
(2, 2 3)
极坐标(4, ) 3
44
极坐标方程
定义. 在极坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( , ) 0 之间满足: ①曲线C上的点的所有极坐标中, 至少有一个是 方程的解;
M
O M0
A
x
练习 求下图中的圆的极坐标方程,半径都是a
O
x
a
P
C ( a, ) 2
2a sin
x
O
34
练习 求下列直线的极坐标方程． (1)过极点与点 P ( 3, ) 3 (2)过点 M (2,0) 且与极轴垂直 (3)过点 M (3, ) 且与极轴平行 2
cos 2 sin 3
2a
M
x
P ( , )
31
例题解析
例3.如图, 求过M (a,0)(a 0) , 与极轴夹角为 的直线方程. 解: 设点P坐标为( , ) , 若点P位于极轴上方, 则| OP | ( 0) , POM (0 ),
在OPM中,
a sin( ) sin( )
M ( , )
x
O
M ( , )
16
极径的推广
负的极径有意义吗？ “负”的意义是什么？ 标准之下 方向相反
( , )
O
x
3摄氏度与-3摄氏度.
a 与 a.
M ( , )
与 .
若M的坐标为 ( , ) 则M的坐标也可以是( , ).
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
巩固练习
选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
y F E
A B
O
D C
x
从这向北走100米。
41
例题解析
例1. 将下列极坐标化为直角坐标： 极坐标
(2, ) 6 5 (4, ) 3
( 2, )
直角坐标 ( 3,1) 直角坐标 (2, 2 3)
直角坐标 ( 2,0) 直角坐标 (1, 3)
42
(2, ) 3
直角坐标极坐标
一般地, 设点P是平面上任意一点, 其直角坐标为 ( x, y ), 如图 建立极坐标系, 设极坐标为 ( , ),
②方程的解为极坐标的点都在曲线C上; 则称：方程 F ( , ) 0为曲线C的极坐标方程;
曲线C是方程 F ( , ) 0的曲线.
29
求曲线的极坐标方程步骤 1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点； 2、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简； 3、检验并确认所得的方程即为所求。
22
已知下列点的极坐标，求它们 的直角坐标。
23
24
点的轨迹
y
设M(x, y)是直角坐标系内一点, 当M按某种规律在平面内 运动时, 所留下的运动轨迹, 反映在图形上就是一条曲线.
所谓某种规律：
M(x, y)坐标之间所满足一定关系式.
某个方程
O x
若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C, 则方程与曲 线之间应当满足怎样的关系？
)外，限制
探索
已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？ 若M 的坐标为 ( , ) ,则M’的坐标可以是 ( , ).
M ( , )
O
x
M ( , )
15
探索
已知一点, 与它关于极点对称的点如何表示？
) 则M’的坐标可以是 ( , ). 若M 的坐标为 ( , ,
30
例题解析
例2.求以C ( a,0)为圆心, 半径为a (a 0)的圆的极坐标方程.
解: 如图所示: 设点P坐标为 ( , ) (
2
2
)
| OP | cos 则 | OM |
即 2a cos ( ) 2 2
P ( , )
O
x
新课讲解
二、极坐标系内一点的极坐标的规定: 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M 的极角，有序数对（，） 就叫做M的极坐标。
M
O
x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为 始边，OM 为终边的角。
x
P ( , )
40
极坐标直角坐标
一般地, 设点P是平面上任意一点, 其极坐标为( , ), 如图建 立直角坐标系, 设直角坐标为 ( x, y ) , yp P ( , )
x cos 则有： y sin
O
xp
x
点的极坐标化直角坐标是唯一的。
O
P ( , )
M (a,0) P ( , )
32
sin( ) a sin
x
例题解析
例4. 设质点M为射线OA上的动点, 已知M沿OA方向作匀速 运动, 同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转, 求质点M运动的轨迹方程.
解: 设点M的初始位臵为 M 0 ( 0 ,0) , 以O为极点, 以射线OM0为极轴, 设M的运动速度为v, 设OA的角速度为, 时间为t, 则有 0 a . 阿基米德螺线 33
例题解析
例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.
5 7 (4, ) (3, ) (2, ) 12 6 6 23 3 (5, ) (1, ) 12 4
3 4
2
4
由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所 在射线； (2) 在此射线上按极径 5 描点. 4
O
x
3 2
7 4
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种 坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在 运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点 作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
y
●
P(x,y)
z
●
P(x,y,z)
o P
●
●
o
x x
o
y
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应； （2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应； （3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 （x , y , z）的集合建立一一对应；
伸缩变换与极坐标系
.
• 思考：我们已经学了直角坐标系和
极坐标系两种刻画点的方式，平面 内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示，那么，他们 之间能不能找到一种关系让他们之 间怎么互相转化呢？
.
极坐标与直角坐标的互化公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
.
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• E•
•C
•
B
。
O
A
•
x
F
•
4 3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7, 5 ) 3
.
思考： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
1、在同一平面直角坐标系中，求满 足下列图形变换的伸缩变换：曲线 4x2 9 y2 36变成曲线x2 y2 1
x1 x 3
y1 y 2
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸
x y 1 缩变换{x 3x 后，曲线C变为曲线 y y
2
2
Байду номын сангаасx2 - 9 y2 9, 求曲线C的方程。
.
归纳总结：
坐标伸长变换
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标 x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'( x' , y' ), 即有{ x' x (2)
选修4-4 平面直角坐标系中的伸缩变换
选修4-4 §1.2平面直角坐标系中的伸缩变换〖知识网络建构〗1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。
当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。
这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。
2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。
〖典例剖析〗【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【变式与拓展1】．点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；解：变式1．（1，-1）；【变式与拓展2】．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；解：变式2．2,4=-=y x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形：（1）032=+y x ；（2）122=+y x .【例2】解：（1）0''=+y x ；（2）19'4'22=+y x 〖能力训练〗1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 2．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，=y 2y =-.3．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .4．曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是1''22=-y x .5．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（B ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x6．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .7．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x ；8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ；10．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .11.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点复习总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系及直角坐标与极坐标间的互化
O(0,0),可以看出△AOB 是以∠OBA 为直角的等腰直
角三角形,故选 D.
7
极坐标与直角坐标间的互化
在极坐标系中,点 P(2, )和点 Q(4, )之间的距
离为 2 .
= ,
【解析】(法一)用公式
把点
= ,
当堂达标
1.在极坐标系中,若点 A,B 的坐标分别是(2, )和(3,- ),则△AOB 为( B ).
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解析】由题意知∠AOB= -(- )= ,故选 B.
2.将极坐标(6, )化为直角坐标为( C ).
A.(-3 ,3)
创设情境
为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数
y=sinx的图象进行怎样的变换?
课前预习导学
问题1 对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数 y=sinx 的图象上
所有的点沿着 x 轴缩短到原来的一半 ,再沿着y 轴伸长到原来的 2 倍 ,
即可得到函数 y=2sin2x 的图象.
问题2
平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点 P(x,y)是
M(ρ,θ)
.
问题4
直角坐标与极坐标如何互化?
将点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的
= ,
=
关系式为
;
将点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的
= + ,
关系式为 = ( ≠ ) .
高中数学 第一章 坐标系 1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换教案 新人教A版选修4-4(202
广西南宁市高中数学第一章坐标系1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换教案新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市高中数学第一章坐标系1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换教案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广西南宁市高中数学第一章坐标系1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换教案新人教A版选修4-4的全部内容。
平面直角坐标系中的伸缩变换教学目标：知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换过程与方法：体会坐标变换的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点:理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题授课类型：新授课教学措施与方法：启发、诱导发现教学。
教学过程：一、阅读教材P4-P8问题探究1：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =？思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么?问题探究2：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =？思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？问题探究3:怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =?二、新课讲解：定义:设P （x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩的作用下，点P(x,y)对应P’（x’，y’）。
称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换注 （1)（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;(3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换.例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。
人教版B版高中数学选修4-4(B版)平面上的伸缩变换
系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？ 提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到 P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横 向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时， 是纵向压缩变换。
答 椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲 线，圆可以变为椭圆．我们可以把圆作为椭圆的特例．
[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩 变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐 标，利用方程的思想求解。
解 (1)设 A′(x′，y′)， 由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝y3x得到xy′′＝＝123yx，由于 A13，－2，于是 x′ ＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求． (2)设 B(x，y)，由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3x得到xy＝＝213yx′′，由于
经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．
(2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点． 把yx′′＝＝4yx， 代入 x′2＋y1′62＝1，得 x2＋y2＝1.故曲线 C 的 方程为 x2＋y2＝1.
[思考]
在伸缩变换xy′′＝＝uyλx（（u>λ0>）0），作用下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线、双曲线、圆变成什么曲线？
名师点睛
体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法 (1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变 换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解。 (2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区 别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变 换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方 程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程。
高中数学 北师大选修4-4 1.2平面直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换
x’=2x
y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
随堂练习
பைடு நூலகம்
x' 2x
1、在伸缩变换
y'
1 2
下，写出下列曲线 y
变换后的方程
1）2x 3 y 1 0
2) y2 4x
y y
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系：
x y
x 3y
②
通常把 ② 叫做
平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
x2 y2 3) 1
21
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x'
y
'
3x, y
后，曲线C变为曲线
x '2
9 y '2
9,
求曲线C的方程并画出图象.
随堂练习
x' x
2、经过伸缩变换
y'
1 9
后，曲线变为 y
x2 - 9 y2 1,求原方程
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换
例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x '2 16 y '2 4x 0.
《4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》课件-优质公开课-苏教选修4-4精品
当 堂 双
主
基
导 学
2λ＝3， 得3μ＝2，
即λμ＝＝3232，，
达 标
课
堂
互 动 探 究
所以伸缩变换为x′＝32x，
课 时 作 业
y′＝32y.
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
规律方法
标
确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧
课 坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．
课 时 作 业
(x′，y′)是变换后的点)．
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课
2．纵坐标的伸缩变换
当
前
堂
自 主 导 学
一般地，由xky＝＝x′ y′， (k＞0)所确定的伸缩变换，是按伸
双 基 达 标
缩系数为 k 向着 x 轴的伸缩变换(当 k＞1 时，表示伸长；当 0
课 ＜k＜1 时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵 坐
课
前 自 主 导 学
______． 【解析】
由xy′ ′＝ ＝23xy ，得xy＝ ＝1213xy′ ′
当
堂
双
，代入 y＝cos x，
基 达
标
课
得13y′＝cos 12x′，
堂
互 动 探
即 y′＝3cos 12x′.
究
课 时 作 业
【答案】
y＝3cos
x 2
菜单
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课 前
3．曲线 x2＋y2＝4 按伸缩系数 2 向着 y 轴的伸缩变换后，
当 堂
4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换
复习：平面直角坐标系中的平移变换与极坐标系的伸缩变换
x' x m y' y n
P( , )
绕极点逆时针旋转
P( x, y) 按向量 a (m, n) 平移 P' ( x' , y' )
' '
P' ( ' , ' )
平面直角坐标系中的伸缩变换：
（1）向着 y 轴按伸缩系数为k 的伸缩变换： 曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 （2）向着 x轴按伸缩系数为k 的伸缩变换： 曲线上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
k 倍 k 倍
x' kx y' y x' x y' ky
数系的扩充
(1)2 x 3 y 6 0 (2) x 2 y 2 16
复数的概念
。
1 k x 例1、对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数 4
例2、设
M 1是
A1 (a1 , b1 ) 与B1 (c1 , d1 ) 的中点，经过伸缩变换后，
它们分别为 M 2 , A2 , B2，求证：M 2 是 A2 B2 的中点
数系的扩充
练习：教材P41
复数的概念
T7（1）（2） T11
作业：教材P41
T7（3）（4） T12
高二数学(人教版)选修4-4教案：第2节 平面直角坐标系的伸缩变换
第2节：平面直角坐标系的伸缩变换教学目标：1理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题，体验用数学知识解释生活问题的乐趣。
教学重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换。
教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。
授课类型：新授课教学过程：一．复习引入在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：（1） 怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x 和y=sinx 21？ （2） 怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=2sinx 和y=21sinx ？二．新课讲解引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较，结论：1.函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）。
2．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的。
设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21倍，得到P ’（x ’，y ’）,那么⎪⎩⎪⎨⎧==.',21'y y x x ① 我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。
设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的2倍，得到P ’（x ’，y ’）,那么⎩⎨⎧==.2','y y x x ② 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y=2sin2x ？（它是由①②两种变换合成的）平面直角坐标系中的任意一点P （x ，y ），经过上述变换后变为点P ’（x ’，y ’）,那么⎪⎩⎪⎨⎧==.2',21'y y x x ③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。