选修4-4平面直角坐标系
新课标数学 选修4-4章末归纳提升1
新课标 ·数学 选修4-4
求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标的方法和步骤， 和求直角坐标方程类似， 就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条 件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式 f(ρ，θ)＝0 表示出来，就 得到曲线的极坐标方程．
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π 求圆心为 C(3， 半径为 3 的圆的极坐标方程． 6)， 【解】 如图，设圆上任一点为 P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠
x′＝3x， 2y′＝y.
求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方
程．
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【解】 设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点． 由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
x′ x＝ ， 3 得 y＝2y′，
x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6·3 ＝2x′， ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程． 因此变换后直线 l′的方程为 x－y＝0.
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平面直角坐标系下图形的变换
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用
x′＝λxλ>0 坐标变换公式 y′＝μyμ>0
时，一定要分清变换前后的新
旧坐标．
在 平 面 直 角 坐标 系 中 ，已 知 伸 缩 变换 φ ：
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2 2 x ＋y －4x＝0， (2)由 2 2 x ＋y ＋4y＝0，
x1＝0， 解得 y1＝0，
x2＝2， y2＝－2.
即⊙O1，⊙O2 交于点(0,0)和(2，－2)， 故过交点的直线的直角坐标方程为 y＝－x.
最新人教版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》课堂探究
课堂探究知能点一：利用平面直角坐标系解决实际问题数与形是数学的核心问题．代数与几何也是现实事物中广泛存在的两种形式．因此数形结合是重要的数学思想方法．很多实际问题都与图形的变换有关，所以我们可以用坐标法解决许多实际问题．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的典型例题1方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线m的相对位置，如图，以A为原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点W与直线m的距离，则问题即可解决．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－2002，2002)．由直线m过B点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m的方程是x－3y＋1 000＝0.于是，点W到直线m的距离为|－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100.所以，埋设地下管线m的计划可以不修改．设有半径为3千米的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A，B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A，B两人的速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设A出发x0小时后，在点P处改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P ，Q 两点的坐标分别为(3vx 0,0)，(0，vx 0＋vy 0)．由|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2知，(3vx 0)2＋(vx 0＋vy 0)2＝(3vy 0)2，即(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.∵x 0＋y 0＞0，∴5x 0＝4y 0①. 将①代入k PQ ＝vx 0＋vy 0－3vx 0＝－x 0＋y 03x 0，得k PQ ＝－34.又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置． 设直线y ＝－34x ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝9相切，则有|4b |32＋42＝3，且b ＞0，∴b ＝154.故A ，B 两人的相遇点在离村中心正北334千米处．知能点二：平面直角坐标系下的轨迹问题在解决能够判断曲线类型的这一类问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．典型例题2如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．由曲线C 上的点M 满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用待定系数法来求其方程．解：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22＜|AB |＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1．△ABC 的边AB 的长为定长2a ，边BC 的中线的长为定长m ，试求顶点C 的轨迹方程．解：取AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设C (x ，y )，则边BC 的中点为D ⎝⎛⎭⎫x ＋a 2，y 2，由|AD |＝m ，得⎝⎛⎭⎫x ＋a 2＋a 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝m 2.化简得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.又因点C 在直线AB 上时不能组成三角形， 故y ≠0，因此顶点C 的轨迹方程是(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2(y ≠0)． 知能点三：坐标伸缩变换求满足图象变换的伸缩变换，应先求出变换公式，再将新旧坐标代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．典型例题3在同一坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y后，圆x 2＋y 2＝1变成了什么曲线？将伸缩变换中的x ，y 分别用x ′，y ′表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，∴⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝12y ′，代入圆的方程x 2＋y 2＝1，有⎝⎛⎭⎫13x ′2＋⎝⎛⎭⎫12y ′2＝1，∴x ′29＋y ′24＝1． ∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 后，圆x 2＋y 2＝1变成了椭圆x ′29＋y ′24＝1．1．在同一直角坐标系中，将直线2x －y ＝3变成直线2x ′－6y ′＝9，求满足图形变换的伸缩变换．解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0 ，y ′＝μy μ>0 .将其代入2x ′－6y ′＝9，得2λx －6μy ＝9，与2x －y ＝3进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.故伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y . 2．在同一平面直角坐标系中，求将曲线x 2－2y 2－3x ＝0变成曲线x ′2－8y ′2－12x ′＝0的伸缩变换．解：令伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0).将其代入x ′2－8y ′2－12x ′＝0，得λ2x 2－8μ2y 2－12λx ＝0，与x 2－2y 2－3x ＝0进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧4μ2＝λ2，12λ＝3.故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.从而伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝2y .。
人教课标版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象() A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（）A ．0142=-'+'y xB ．01=-'+'y xC ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质与其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一结合实例，感受坐标法思想★例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.） ●活动①实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A - 于是直线l 的方程为x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动②归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.A BCO y xF E【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即[]22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为),2(),2,2(y x cCF y c x BE --=-=所以0)5222(41222=-++-=•cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立,∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心 【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动①温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动②温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y x x 3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 2131后的图形.⑴14922=+y x ；⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为.【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】0='+'y x●活动⑤强化提升、灵活应用例4在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】122=-y x ．同类训练在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结 知识梳理（1）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错． 【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43变换后得到的新曲线的方程是（）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为116922='+'y x ． 【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是() A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B ．5．已知函数=)(x f 22(1)1(1)1,x x -++++则)(x f 的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为2.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理． 【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________． 【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式． 【答案】392522=+y x ． 能力型师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以与双曲线定义． 【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象． 【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )． 设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，∴x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ．自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′ C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换． 【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用． 【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式． 【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】 将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标． 【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________． 【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231． 【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系． 【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[通一类] 1．已知线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|＝8，|CD|＝4， 动点 M 满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点 M 的轨迹方程．
解：以 O 为原点，分别以直线 AB，CD 为 x 轴、y 轴建立直 角坐标系， 则 A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)． 设 M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ x＋42＋y2，|MB|＝ x－42＋y2，
变换后得到双曲线
高中数学选修4-4坐标系
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y3x yFra bibliotek后，曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量．
3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注 意：
(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量．
(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的 基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而 没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后 的结论是不完备的．
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
探究
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
x=x ( 0, 1)
y=y ( 0, 1)
作用
【解析】设P（x,y）在伸缩变换φ： x=x ( 0) 作用下得到 y=y ( 0)
P′(λx,μy)，依题意得 x=x , 其中λ＞0,μ＞0,λ≠1，
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线（C）双曲线 Nhomakorabea（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=0
3
(C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
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P8 习题1.1－－1
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦
2
曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得1 到点
P’(x’,y’).坐标对应关系为：
2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
思考:
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上
的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。 y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8 1, 2，4, 5 预习： 极坐标系（书本P9-P11）
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，在此基础上，
2
将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线
y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐
标伸缩变换。
即 x 2 y 2 c 2 5 [(x c )2 y 2 ].
整 理 得 2 x 2 2 y 2 2 c 2 5 c x 0 .
因 为 B E (x c ,y ),C F (c x , y ),
22
2
所 以B EC F(xc)(cx)y20. 22 2
因此，BE与CF互相垂直.
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
听到爆炸声，
y
C
P
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 ห้องสมุดไป่ตู้1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
C E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)
F
Bx
设 点 C 的 坐 标 为 ( x , y ) , 则 点 E 的 坐 标 为 （ x 2 ， y 2 ） . 由 b 2 c 2 5 a 2 ， 可 得 到 |A C |2 |A B |2 5 |B C |2 ，
双曲线
x2 a2
y2 b2
1 上，
a680,c1020 b2 c2a2 10220682053420 故双曲线方 6x822程 05为 y324201(x0)
用y=－x代入上式，得 x6805，
∵|PA|>|PB|,
x680 5,y680 5, 即 P(680 5,680 5)故 , PO 681 00
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
第一讲 坐标系
§1 平面直角坐标系
一．平面直角坐标系的建立 坐标法
1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
思考:
思考:
C P
B
信息中心
A
l r
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，