选修4-4-第一讲-坐标系(平面直角坐标系)ppt课件
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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
返回
坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
返回
6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
化简，可得 x2＋y2＝56. 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2＋y2＝56.
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设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x φ： y′＝μ· y
λ＞0 的作用下， P(x， 点 y)对应点 P′(x′， μ＞0
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
返回
2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
返回
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替 较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形 的等价性．
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[例4]
已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
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解：(1)由伸缩变换
y
；
3
y
x
得到
y
1 x 2 1 y
代入
2x+3y=0;
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
(2)将
x y
1
2 1
x y
代入x2+y2=1，
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x2 y2 1
4
9
13
在伸缩变换
：
x y
x, ( y,(
5
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
究BE与CF的位置关系。
C
解：以△ABC的顶点Ａ为原
点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立
E
直角坐标系，由已知，点A、B、
F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(cO/2,(A0)). F
y2 b2
1上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为：
x2 6802
y2 5 3402
1( x 0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5, 4
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
故P在BC的垂直平分线PO上，
P
P即OP的(方68程0为5y,6=8－0x，5 ), 故PO 680 10B 答:因巨A响点发比生B在点信晚息4s中听心到的爆西炸偏声北，450, 距中心 6o80 1A 0mx
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
平面直角坐标系 中的伸缩变换
8
思考：y 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
2
O
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②ห้องสมุดไป่ตู้
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换. 10
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
。O 。
O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y)
则PM2=PO12-MO12= ( x 2)2 y2 1
同理，PN2= ( x 2)2 y2 1
( x 2)2 y2 1 2[( x 2)2 y2 1]
x2 12x y2 3 0, ( x 6)2 y2 33, 7
2 ③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换 11
定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’).
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可 以实现平面图形的伸缩。
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
x 1 x
Bx
设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)，
由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，
即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
因为BE =(x/2-c, y/2)， CF =(c/2 - x, -y)，
所以 BE CF (x/2 - c, y/2)·(c/2 - x, -y) =-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0 因此，BE与CF互相垂直6.
第一讲 坐标系
1
平面直角坐标系
2
声响定位问题
观测点
某中心接到其正东、
正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两
观测点 信息中心
个观测点同时听到一声巨
y
响，正东观测点听到巨响
的时间比其他两个观测点
C
晚4s，已知各观测点到中
心的距离都是1020m，试
P
确定该巨响的位置。(假定
当时声音传播的速度为
① 0, 0
②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到；
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直
角坐标系下进行伸缩变换。
12
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换:
x 2x
y
3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
x 2x
340m/s，各相关点均在同 B
O
一平面上).
观测点
Ax
3
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020)
设P（x, y）为巨响为生点，
y
由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C
保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为：
x 1 x 2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐标 系中的一个坐标压缩变换。 9
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O