2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷

?填空题（本大题共 12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5 分）

（4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ）

n B =

.

/,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）,

（4分）化简|

「 = ________ .

（4+41/

（4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为

2 2

n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n

（4分）在（亠-肿）6

的展开式中，第4项的二项式系数是

（用数字作答）

（4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角”

是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”）

（4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2!

x 9+…+i 10!

X 1的虚部是 __________ .

（5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计，

统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A

（5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m =

a 诋心

若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ .

.（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱

柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》

，将人们生活中产生

的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. &

9. 10 11 12 %应,

，我们知道，若m€N ,n€N*

（m W n ）和

r €N* （r < n ）,则有以下两个恒等式成立： ①？ n m = ?n n - m ；②C n+1r = ?n 「+?n r

j 那么对于正整数 n 和两个无理数 m € （0, n ） , r € （1, n ）, 序号是

①？ n m = ?n n -m ；② C n+1r = ?!+?「 二、选择题（本大题共 4题，每题5分，共20分）

的斜率为 「:，则该双曲线的方程为（

C .

ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = BC = 1 , AA 匚 ：；，则异面直线 AD 1 与

15. （ 5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的

课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（

）

1

B .返

C .逅

D ?冏

5 6 5

)

A . 13. （5分）已知双曲线 2 2

—

b>0）的一个焦点为

F （0,- 2）, 一条渐近线

以下两个等式依然成立的 14.（ 5分）在长方体 DB 1所成角的余弦值为（

第节 第二节 地理B 层2班 化学A 层3班 生物A 层1班 化学B 层2班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理B 层2班 生物B 层1班 政治1班

物理A 层3班

A . 8种

B . 10 种 第三节 第四节 地理A 层1班 化学A 层4班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治2班

政治3班 C . 12 种 D . 14 种 n€N*，对于区间（-丄.

的无理数X,定义C

占〉

16. （5分）已知两个复数Z1、Z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下

判断：①最大值为2;②无最大值；③最小值为④无最小值，其中正确判断的序P.曰

（号

是（

三、解答题(本大题共 5题，共76分)

17. (14分)如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 丄平面 ABCD ，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD // BC ,/ BAD = 90°, AB = AD = 1, BC = 3.

(I)求证：AF 丄CD ;

(H)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；

(川)线段BD 上是否存在点 M ，使得直线CE //平面AFM ?若存在，求二二的值；若不

BD

18. (14 分)已知正整数 n >2, f (x ) = ( x+3) n = a n x n +a n -i x ° 1+ …+a i x+a o .

(1 )若f (x )的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大

992，求n 的值;

(2) 若n = 2019，且a k 是a n , a n -j …a , a o 中的最大值，求k 的值. 19. (14 分)设 z€C .

(1 )若z = ' _

，且z 是实系数一元二次方程 x 2+bx+c = 0的一根，求b 和c 的值;

1+21

(2 )若一 是纯虚数，已知z = Z 0时，八取得最大值，求z 0;

Z'4

(3) 肖同学和谢同学同时独立地解答第( 2)小题，已知两人能正确解答该题的概率分

别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率.

好是面积为4的正方形.

(1)求椭圆E 的方程;

BC 与x 轴交于点M ，若直线BC , AM 的斜率分别为k 1, k 2，试判断k 1+2k 2是否为定值, 若是，求出该定值；若不是，说明理由.

第3页(共18页)

B .①④

C .②④

D .②③

(a >b > 0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰

(2)若(x , y )是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围; (3)直线 I : y = kx+m (km z 0)与椭圆

E 交于异于椭圆顶点的 A , B 两点，O 为坐标原

点，直线AO 与椭圆E

的另一个交点为 C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线

20. (16分)已知以椭圆 E :

=l

义A+B= {x+y|x3, y€B}.集合A中的元素个数记为|A|.规定：若集合A满足|A+A| =

□ 缶+l），则称集合A具有性质T.

2

（1 ）已知集合A= {1 , 3, 5, 7}, B = ■{丄.—一-L. —}，写出|A+A|, |B+B| 的值；

3 3 3 3

（2 ）已知集合A={Z, C-）2,（2）3,…，（￡）n}，其中n > 3,证明：A具有性质

\3 3 [3] 3

T；

（3）已知n = m= 2019，且集合A, B均有性质T,求|A+B|的最小值.

2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

?填空题（本大题共 12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5 分）

1. (4 分)已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0 , 1, 2), B = { - 1, 0, 1},则(?U A ) n B =

{- 1}.

【分析】根据集合的基本运算即可求 ？u A 和结果；

【解答】解：全集 U = { - 1, 0, 1 , 2 , 3}，集合 A = {0, 1 , 2) , B = { - 1 , 0 , 1}, 则?U A = { - 1 , 3}

(?U A )n B = { - 1}

故答案为{ -1}.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础. 2

（4

八、化简]粥竝严值世i ） ] [5 2. （4 分）化间 |

|=—-—.

【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解.

故答案为：H

【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

3. （ 4分）从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为m ,从集合｛ - 2,- 1 , 1 , 2｝随机取一个为 2 2

n ,则方程 —■ ---- = 1可以表示 8 个不同的双曲线.

m n

【分析】方程「-——=1表示双曲线，得 mn v 0，从而求出方程

=1表示双曲

HL n

m n

线个数即可.

【解答】解：???从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为 m ,从集合｛ - 2, - 1, 1, 2｝随机 取一个为n ,

戈 2

■——=1 ,??? mn v 0, n

【解答】解:

(4+41)4

| (4+41)4 |

???方程 [R

2 2

???方程二卜= 1表示双曲线的个数M = 3X 2+1 X 2= 8,

in n

故答案为：&

【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想，是基础题.

4. （4分）在（二_/）6的展开式中，第4项的二项式系数是20 （用数字作答）

【分析】第四项的二项式系数为C M = 20.

6

【解答】解：第四项的二项式系数为C- = 20.

6

故答案为：20

【点评】本题考查了二项式定理，属基础题.

5. （4分）已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a, B构成直二

面角”是“ m丄B的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或

“既不充分也不必要”）

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

【解答】解：已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，

贝a, B构成直二面角”不能推出“ m丄3；

若“ m丄3, m为平面a内的一条直线，则“ a丄3,能推出“ a , 3构成直二面角；

由充要条件定义可知： a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线,则“ a , 3构成直二面角”是“ m丄3的：必要不充分条件；

故答案为：必要不充分

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是

解决本题的关键.

6. （4分）若直线x- 2y+5 = 0与直线2x+my- 6= 0互相垂直，则实数m= 1 .

【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为- 1,列出方程求出m的值.

【解答】解：直线x- 2y+5= 0的斜率为二

2

2直线2x+ my - 6= 0的斜率为-二

m ???两直线垂直

解得m = 1 故答案为：1

【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为- 1.

7. （ 5 分）复数 i 1 x 10+i 2! x 9+ …+i 10! X 1 的虚部是 10

.

【分析】根据i 4= 1知，要求复数 Fx 10+i 2!x 9+…+ i 10!x 1的虚部，只需求出i 1!x 10+i 2! x 9+i 3! x 8的虚部.

【解答】解：??? i 4= 1,故i 4! x 7+i 5! x 6+…+i 10 x 1均为实数，

???要求复数i 1 x 10+i 2! x 9+…+ i 10! x 1的虚部，只需求出i 1!x 10+i 2! x 9+i 3x 8的虚部. ??? i 1! x 10+i 2! x 9+i 3! x 8= 10i+9i 2+8i 6=- 17+10i . ?复数 i 1! x 10+i 2! x 9+ …+i 10! x 1 的虚部是 10. 故答案为：10.

【点评】本题考查复数幕的运算，考查了虚数单位 i 的性质，属基础题.

& （ 5分）已知经停某站的高铁列车有

100个车次，随机从中选取了

40个车次进行统计，

统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 0.007 （精确到

0.001）

【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可. 【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有

10个车次的正点率为 0.97,

有20个车次的正点率为 0.98，有10个车次的正点率为 0.99, 所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率为

ILO+20HO

经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为

s

=｛爲％ [10*（7?01）'吃0><於+10><0? 0严]=^ x °.。1 = a 。0707-°.007.

故答案为：0.007.

【点评】本题考查了加权平均数与标准差的计算问题，是基础题.

x( 10x 0.97+20 x 0.98+10 x 0.99)= 0.98;

若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为

A = ?R

B ：或B = ?R A :

第7页（共18页）

9. （5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m =

05 xCA 1, A

O a L K E B ?

【分析】对任意x€R , m+n = 1，则m , n 的值一个为0,另一个为1,可得：x3时，必 有x?B ,或x€B 时，必有x?A ,即可得出A , B 的关系.

【解答】解：对任意x€R , m+n = 1,则m , n 的值一个为0 ,另一个为1, 可得：x 时，必有x? B ,或x€B 时，必有x? A ,

即可得出A , B , R 满足的关系式为：A = ?R B ;或B = ?R A ; 故答案为：A = ?R B ;或B = ?R A ;

【点评】本题考查集合的补集，属于基础题.

10. （ 5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱 柱）高为4 ,体积为16 ,则这个球的表面积是

24 n .（参考公式：球的表面积S = 4 uR 2）

【分析】先求出正四棱柱的底面边长,再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求 出球的表面积.

【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 ,体积为16 , 它的底面边长是：2,所以它的体对角线的长是： :I ,

球的直径是： 2V6,

所以这个球的表面积是： 4兀 付居）匚24兀 故答案为：24 n

【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积.考查计算能力，是基础题. 11. （ 5分）6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》

，将人们生活中产生

的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有"可回收物”、"有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可

能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是

【分析】所有的基本事件个数为 n = 44= 256,设事件A 表示“ 4种垃圾中至少有 2种投 入正确的桶中”，则事件 A 包含的基本事件个数为： n （A ）=C ：X 32= 54,代入概率公

式即可.

【解答】解：依题意，设事件 A 表示“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中” 则事件A 包含的基本事件个数为：n （A ）=C （X 32+C ：X3 + 1 = 67, 又因为所有的基本事件个数为 n = 44 = 256,

67 -^256 —

【点评】本题考查了分类加法原理，分步乘法原理，古典概型的概率公式，属于基础题.

12. ( 5分)对于无理数 x ,用v

x >表示与x 最接近的整数，如v

n>= 3, v ；：>= 2,设 ,我们知道，若m€N , n€N*

(m W n )和r €N* (r < n )，则有以下两个恒等式成立： ①？ n m = ?n n - m ；②C n+1r = ?n r +?n r

序号是①②

①？ n m = ?n n m ；② C n+1r = ?n 「+?n r 1

?n V r > , ?n r -1 = ?n V 厂 1>= ?n V 「>「1 ,

所以C n+1r = ?n r +?n r 1,故②成立. 故答案为：①②.

【点评】本题为定义的新题型，能理解本题所表达的意思是本题的关键，属中档题. 二、选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)

2 2

13. ( 5分)已知双曲线 仓-号 1O0, b>0)的一个焦点为F ( 0 , - 2), 一条渐近线

的斜率为:■:,则该双曲线的方程为(

)

2 n 2

2

(2)

1 = 67 n 256 所以P (A )=

故答案为:

256

-1

,那么对于正整数 n 和两个无理数m € (0 , n ) , r €( 1, n ),以下两个等式依然成立的 【分析】利用定义理解公式 将①、②中的等式进行转化，最终可得等式成

立.

【解答】解：当m € (0 , n ), r € (1, n ) 的无理数时,根据 可知:-：-

因为v m > +n -v m >= n ,所以？n m = ?n n m ,故①成立; 当r € (1 , n )的无理数时，根据 =C

可知 C n+1「= C n+1 r > , ?J nCN

*，对于区间(丄

的无理数x ,定义c

占心

A .耳 2 r

-v = 1

3 y B . &苧I C y 肿-1

c.厂-1

D.2K -

y -- ---- = 1

X3

【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程为y=±皂x,结合题

b

意可得_L=. -：，又由双曲线的焦点坐标可得a2+b2= 4，联立两个式子分析可得a2= 3, b2= 1，代入双曲线的方程即可得答案.

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为其

焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为

若双曲线的一条渐近线的斜率为.；，则—=.:;,

b

其一个焦点为F （0,- 2）,则有a2+b2= 4,

解可得：a2= 3, b2= 1:

双曲线的标准方程为：—-x2= 1:

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线焦点的位置.

14. （5 分）在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC= 1 , AA1= : ■:,则异面直线AD1 与

DB1所成角的余弦值为（）

2 B .匹c.逅

D-

565

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系,

T 在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC= 1 ,

AA1 =::,

? A (1, 0, 0), D1 (0, 0,破),D (0, 0, 0), B1(1 , 1 , ■'：),

I . = ( - 1 , 0,.二),I h =( 1, 1 ,冬闷),

设异面直线AD1与DB1所成角为0,

则cos 0=

故选：C.

???异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

15

. （ 5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理

在A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一 上午课程安排如表所示， 张毅选择三个科目的

课各上一节，另外一节上自习，则他不冋的选课方法有（

)

第 节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班

物理A 层3班 政治2班 政治3班 A . 8种

B . 10 种

C . 12 种

D . 14 种

【分析】根据分类计数原理即可求出

【解答】解：由于生物在 B 层，只有第2, 3节有，故分2两类， 若生物安排第2节，其他任意排即可，故有 A 33= 6种， 若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有 C 21A 22= 4

根据分类计数原理可得 6+4= 10种， 故选：B .

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题

16. （ 5分）已知两个复数 Z 1、Z 2的实部和虚部都是正整数，关于代数式D\

Ci

有以下

判断：①最大值为2;②无最大值；③最小值

为：］；④无最小值，

其中正确判断的序 号是（ ）

A .①③

里就很难再进行下去了，所以考虑将问题转化为向量来解决.

【解答】解：设Z 1 , Z 2 , Z 1+Z 2在复平面对应的点分别为 A , B , C ,

因为Z 1、Z 2的实部和虚部都是正整数，所以 <玉，帀 > €0 , *-）,

以无最小值；

对任意正整数 M ,令Z 1 = 1 + i , z 2= M + Mi ,则I -0占-4 °弓L > M ,所以■■无最 |0B| |0A| V

f 2l z Z 大值. 故选：C .

【点评】复数和向量有密不可分的关系，相比复数而言，课本上有许多向量的知识与方 法，所以更加容易解决问题. 三、解答题（本大题共 5题，共76分）

17. （14分）如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 丄平面 ABCD ，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD // BC ,Z BAD = 90°, AB = AD = 1, BC = 3.

（I ）求证：AF 丄CD ;

【分析】根据复数的性质: B .①④

oc 2

I OA I- I OB I

（耳+丽）

龙

I OA IH OB

C .②④

D .②③

R 严2 I /1屮2

I 迤I I 如

COS V 「

.|,>> 0,所以

但是等号取不到，所

（H）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；

（川）线段BD上是否存在点M，使得直线CE//平面AFM ?若存在，求二二的值；若不

BD

存在，请说明理由.

【分析】（I）利用两面垂直的性质定理易证；

（n）取BC的三等分点G , H,把BF平移至EG ,作GN丄CD于N ,得/ GEN即为所求；（川）连接FH,易证EC //平面AFH ,连AH交BD于M即可.

【解答】解：（I）证明：???四边形ADEF为正方形，

? AF 丄AD,

又???平面ADEF丄平面ABCD ,

? AF丄平面ABCD ,

? AF 丄CD ;

取BC的三等分点G , H如图，

连接EG ,可由EF // AD , AD // BC ,得EF // BG ,

且EF = AD = BG = 1 ,

?四边形BGEF为平行四边形，

? GE / BF ,

?/ DE // AF ,

? DE丄平面ABCD,

?平面EDC丄平面ABCD,

作GN丄CD于N ,

贝U GN丄平面EDC ,连接EN ,

则/ GEN为GE与平面EDC所成的角,

在Rt△ CGD中，求得GN = ^,

又GE = BF = 工，

??? si n/GEN =—!= 1,

GE 5

故直线BF与平面CDE所成角的正弦值为：-1 ;

\5

(川)连接FH ,

易证四边形EFHC为平行四边形，

?EC // FH ,

?EC // 平面AFH ,

连接AH交BD于M,

贝U CE //平面AFM ,

此时.

MD AD

? 2

:.

【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，线面平行等，难度适中.

18. (14 分)已知正整数n>2, f (X)=( x+3) n= a n x n+a n-1x n 1+ …+a1x+a o.

(1、若f (x)的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；

(2、若n = 2019，且a k是a n, a n-1…，a"|, a o中的最大值，求k的值.

【分析】(1、各项系数之和为：4n,各项二项式系数之和为：2n，再根据已知列方程解得；

(2、根据题意列式3

2018-]c

^2020-ls 可解得.

【解答】解：(1)各项系数之和为：4n,各项二项式系数之和为: 2n, ...4n- 2n= 992，解得n= 5.

(2) n= 2019 时，则? k= 504 或k= 505.

o2019-k v.pk+1 个如14k 辺

CI10占h切山八

u2013

，解得504 < k w 505.

【点评】本题考查了二项式定理，属中档题.

19. (14 分)设z€C.