09工程力学答案第13章一点的运动分析

13-5 如图摇杆结构的滑杆AB 以u 的速度匀速向上运动，试建立摇杆的OC 上点的运动方程；并求此C 点在4
π
ϕ=时的速度大小，假定初始瞬时0ϕ=。

摇杆长OC=a ,距离OD=b 。

解：方法一（直角坐标法）： （1）建立C 点的运动方程： 由图示几何关系可知：
tan arctan cos(arctan )cos sin sin(arctan )
ut l
ut l ut x a x a l y a ut y a l ϕϕϕϕ==⎧
=⎪=⎧⎪−−−−→⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
（2）求C 点速度方程
将运动方程对时间求一阶导数，即可求C 的速度在x 、y 轴上的投影。

2
2
sin(arctan )1()cos(arctan )1()x y u l ut x
a ut l l u l ut y a ut l l ⎫==-⎪+⎪
⎬
⎪==⎪+⎭ v v
于是速度的大小为：
21()u l a ut l ==+v = 速度与杆垂直。

（3）求C 点在4
π
ϕ=时的速度大小
当4
πϕ=时tan 1ut l ϕ==,2112u l au
a l
==+v
方法二：（弧坐标法）
（1）以C 点的初始位置为弧坐标原点，建立运动方程为：
tan arctan
arctan
ut
l ut
l ut s a s a l
ϕϕϕϕ=
==−−−−→= （2）求C 点速度方程
2
()arctan()1()ds d a d d ut l u l a a a dt dt dt dt ut l ϕϕ=
===→=+v v
当4
πϕ=时tan 1ut
l
ϕ== 2112u l au
a
l
==+v
13-7 已知刚体的角速度ω与角加速度α如图所示，求A 、M 两点的速度、切向加速度和法向加速度的大小，并图示其方向。

v b
解：（a ）因杆的角速度与角角速度的转向相反，OAM 绕O 匀减速定轴转动，其上任意点绕O 作匀减速圆周运动。

2
2
222A M n A
A OA a OM OA a OA a τ
ωωωωω
αα
=⋅==⋅==⋅==⋅=v v a a
速度、加速度方向如图所示。

（b ）因杆的角速度与角角速度的转向相反，AB 作曲线平动， A 点绕O 作匀减速圆周运动，AB 杆上任意点与A 的轨迹、速度、加速度完全相同。

22A M
n n n
M A
M A OA r OA r OA r τωωωωαα
=⋅====⋅===⋅=v v a a a a
速度、加速度方向如图所示。

13-8 物体做定轴转动的运动方程为2
43t t ϕ=-（φ为rad 计，t 以s 计），试求该物体
内，转动半径r=0.5m 的一点，在t 0=0s,t 1=1s 的速度和加速度的大小，并求物体在哪一瞬时改变方向。

解：（1）求该物体的角速度和角速度
对转动方程求一阶导数得角速度方程：46t ω=- 再求一次导数得角加速度：6α=-
（2）转动半径r=0.5m 点的速度方程、加速度方程
20.5(46)23n t t
a a a τωωα=⨯-=-==−−→===v =r r r 当t 0=0
时：2328.54t a -====2
m /s v =m /s; 当t 1=1s 时：
231 3.61t a -=-===2m /s v =m /s;
13-12 在题图（a ）、（b ）所示的两种机构，已知12120cm,3OO a ω===rad /s ，求图示位置时，杆O 2A 的角速度。

(b )
A
a
y '
O 1
30ω
y O 2
'
a
O 1
O 2
30ω1
ω30
（a ）图：（1）三选：取曲柄
O 1A 的端点A （即滑块A ）常接触点
为动点。

机座上固连定系O 2xy ，摆杆O 2A 上固连动系O 2x ’y ’。

（2）运动分析：滑块A 的绝对运动是以O 1为圆心，a 为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿O 2A 的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动（绕O 2）即牵连点随动系的转动
（3）速度分析：作速度平行四边形，e v 为动系上的牵连点的速度
ωθωθωωθωθ=→⋅=→=
==2211
21cos cos cos 1.5/2cos 2
e a O A O A a v v O A a rad s a (↺)
a v e
r
v x '
x
A
30
O 2
1
30
ω1
v
（b ）图：（1）三选：取曲柄
O 2A 的端点A （即滑块A ）常接触点
为动点。

机座上固连定系O 2xy ，摆杆O 1A 上固连动系O 1x ’y ’。

（2）运动分析：滑块A 的绝对运动是以O 2为圆心，θ2cos a 为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿O 1A 的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动（绕O 1）即牵连点随动系的转动
（3）速度分析：作速度平行四边形，e v 为动系上的牵连点的速度
ωωωωωθθθθθ
=
→⋅=→===22111
222/cos cos cos 2cos 2cos e a O A O A v a a v O A rad s a (↺) 13-13 杆OA 长l ，由推杆推动而在图示平面内绕O 转动，假定推杆的速度为v ，其弯头高为a ，求杆端A 点的速度大小(表示为x 的函数)。

（1）三选：取推杆MBCD 的端点M 常接触点为动点。

机座上
固连定系xy，摇杆OA上固连动系x’y’。

（2）运动分析：M点的绝对运动是以v向左的直线运动，动点M的相对运动为沿OA的直线运动，牵连运动为摆杆OA的定轴转动（牵连点随动系绕O作匀速圆周运动）
（3）速度分析：作速度平行四边形，
e
v
为动系上的牵连点的速度。

ϕϕωω
====⋅=→=
+
22
sin sin
e a
av
v v v OM
a x
故:ω
==
+
22
A
alv
v l
a x
13-14 图所示曲柄滑杆机构中，滑杆上有一圆弧滑道，其半径R=100mm，圆心O1在导杆BC上，曲柄长OA=100mm，以等角速度4
ω=rad/s绕O点转动。

求导杆BC的运动规律，以及曲柄与水平线间的交角30
ϕ= 时，求导杆BC的速度和加速度。

（1）导杆BC作直线平动，可以归结为点的运动，其运动方程
为：
1
2cos0.2cos4
O
x R t t
ω
==
（2）三选：取曲柄OA的端点A常接触点（即滑块A）为动点，
（3）运动分析：A 点的绝对运动是绕O 的匀速圆周运动，动点A 的相对运动为沿滑道的圆弧运动，牵连运动为推杆的以v 向左的直线运动平动（牵连点随动系作直线运动）
（4）速度分析：作速度平行四边形，e v 为平动动系上的牵连点的速度。

由图可知：===e a r v v v v
（5）加速度分析：作加速度矢量图，则：n a e r r τ=++a a a a 。

建立ξ轴如图示，将加速度矢量式向ξ轴投影得：
2
2222cos60cos60cos60cos60cos30 2.771/()cos30cos30cos30
r n n r a a e r e R R R R rad s ωωω+++-=-+→====←
v a a a a a a
13-17图所示曲柄滑杆机构中，曲柄长OA =10cm ，并绕O 转动，在某瞬时，其角速度1ω=rad /s ，角加速度21α=rad /s ，30AOB ∠= ，求导杆上点C 的加速度和滑块A 在滑道上的相对加速度。

（1）三选：取曲柄OA 的端点A 常接触点（即滑块A ）为动点，
（2）运动分析：A 点的绝对运动是绕O 的匀加速圆周运动，动点A 的相对运动为沿滑道的直线运动，牵连运动为导杆的竖直直线平动（牵连点随动系作直线运动）
（3）加速度分析：作加速度矢量图，则：n
a a e r τ+=+a a a a 。

建立η、ξ轴如图示，将加速度矢量式向η、ξ轴投影得：
22cos30cos600sin 30sin 600cos30cos60cos30cos6013.66()sin 30sin 60sin 30sin 60 3.66()n a a e n a a r
n e a a n r a a r r r r ττττξηωαωα⎧+=+⎪⎨+=-⎪⎩⎧=+=+=↑⎪⇒⎨===-→⎪⎩
2
2
cm /s cm /s :a a a :
-a a a a a a a a -a -。