2018年高一下学期期末考试 数学
2018学年山东省淄博市高一下学期期末考试数学试题(解析版)15
高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}1,2,3,4A =， {}0,1,3B =， {}3,4C =，那么()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}3 B. {}3,4 C. {}1,3,4 D. {}0,1,2,3,4 2．已知向量()1,a m =， ()4,2b =-，若a b ⊥，则m =（ ） A. 2- B. 12-C. 2D. 123．下列函数为偶函数的是（ ）A. y =B. ln y x =C. cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. 1x x y e e =+4．已知直线10ax y ++=与3202x a y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭平行，则实数a =（ ）A.12 B. 2- C. 12或2- D. 2或12- 5．若3tan 4α=，则tan2α=（ ）A. 724-B. 724C. 247-D. 2476．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若348a a +=， 848S =，则{}n a 的公差为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 7．若将函数sin2y x =的图象向右平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A. 7212k x ππ=-（Z k ∈） B. 7212k x ππ=+（Z k ∈） C. 23k x ππ=-（Z k ∈） D. 23k x ππ=+（Z k ∈） 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.12π+ B. 32π+ C.312π+ D. 332π+9．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-，则110a a +=（ ） A. 7 B. 5 C. 7- D. 5-10．在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c .若()226c a b =+-，60C =︒，则ABC 的面积是（ ）A.B. C.D.11．已知直线l ： 60y -+=与圆2212x y +=交于A ， B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线，两条直线分别与y 轴交于C ，D 两点，则CD =（ ）A. 2B.C. 4D. 12．设函数()2log 2x f x x -=-， ()12log 2x g x x =-的零点分别为1x ， 2x ，则下列结论正确的是（ ）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥二、填空题13．已知函数()()()()1,0,{ 2,0.x f x x f x x +≤=>则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．14．已知圆柱的高为，其外接球直径为2，则该圆柱的侧面积为__________．15．已知在ABC 中， 120B =︒， 2AB =， A 的角平分线AD =，则AC =__________．16．已知点()1,0A ， ()0,1B -， P 是曲线y =则AP BP ⋅的最大值是__________．三、解答题 17．已知函数()12cos22xf x x x π+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ， M ， N 分别为1B C ， 1A A 上的点，且1113B M A N MC NA ==. （Ⅰ）证明： MN 平面ABC ；（Ⅱ）若1MN B C ⊥， 122A A BC AB ===，求三棱柱111ABC A B C -的体积.19．已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.20．已知函数()22af x x a x=++-， R a ∈. （Ⅰ）若()f x 是奇函数，且在区间()0,+∞上是增函数，求a 的值； （Ⅱ）设()()()281log 1g x f a x =-++，若()g x 在区间()1,1-内有两个不同的零点m ， n ，求a 的取值范围，并求11m n+的值.21．已知圆C 满足：①圆心在第一象限，截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31∶；③圆心到直线20x y -=的距离为5. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若点M 是直线3x =上的动点，过点M 分别做圆C 的两条切线，切点分别为P ， Q ，求证：直线PQ 过定点.22．若数列{}n a 满足11k k a a +-=（1,2,,1k n =-； *N n ∈， 2n ≥），称数列{}n a 为E 数列，记n S 为其前n 项和.（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且50S >的E 数列{}n a ；（Ⅱ）若12a =， 2017n =，证明：若E 数列{}n a 是递增数列，则2018n a =；反之，若2018n a =，则E 数列{}n a 是递增数列；（Ⅲ）对任意给定的整数n （2n ≥），是否存在首项为0的E 数列{}n a ，使得0n S =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列{}n a ；如果不存在，说明理由.高一下学期期末考试数学试题解析一、选择题1．已知集合{}1,2,3,4A =， {}0,1,3B =， {}3,4C =，那么()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}3 B. {}3,4 C. {}1,3,4 D. {}0,1,2,3,4 【答案】C 【解析】{}(){}1,3,1,3,4A B A B C ⋂=∴⋂⋃= 选C2．已知向量()1,a m =， ()4,2b =-，若a b ⊥，则m =（ ） A. 2- B. 12- C. 2 D. 12【答案】C【解析】由题()()01,4,20420,2a b a b m m m ⊥⇒⋅=⇒⋅-=⇒-=∴= 选C 3．下列函数为偶函数的是（ ）A. y =B. ln y x =C. cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. 1x x y e e =+【答案】D【解析】A 选项定义域为[)0,+∞ ，B 选项定义域为()0,+∞ ，故A,B 均为非奇非偶函数；C 选项cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 是奇函数；D 选项中定义域为R ，且()()11x xx xf x e e f x e e ---=+=+= ，故选D 4．已知直线10ax y ++=与3202x a y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭平行，则实数a =（ ）A.12 B. 2- C. 12或2- D. 2或12- 【答案】B【解析】显然0a = 或32a =-时两条直线不平行，由题意可得113122a a =≠+ ，解得2a =- ，选B 5．若3tan 4α=，则tan2α=（ ）A. 724-B. 724C. 247-D. 247【答案】D【解析】22322tan 244tan21tan 7314ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭选D 6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若348a a +=， 848S =，则{}n a 的公差为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 348848a a S +==，，111238{ 878482a d a d a d +++∴⨯+＝＝， 解得112a d =-=，， ∴{}n a 的公差为2．故选B ． 7．若将函数sin2y x =的图象向右平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A. 7212k x ππ=-（Z k ∈） B. 7212k x ππ=+（Z k ∈） C. 23k x ππ=-（Z k ∈） D. 23k x ππ=+（Z k ∈） 【答案】D【解析】将函数s i n 2y x =的图象向右平移12π个单位长度，可得sin 2sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦平移后图象的对称轴方程2,62x k k Z πππ-=+∈ ，由此可得23k x ππ=+（Z k ∈），选D8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.12π+ B. 32π+ C.312π+ D. 332π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆锥与三棱锥的组合体（如图所示）则其体积为2111113213123322V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ ，选A 9．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-，则110a a +=（ ） A. 7 B. 5 C. 7- D. 5- 【答案】C 【解析】472a a += ，由等比数列的性质可得， 56478a a a a ==-47474224a a a a ∴==-=-=，或， ，当4742a a ==-，时， 312q =- 11011081?7a a a a ∴=-=∴+=-，，当4724a a =-=，时 ， 32q =- ，则101110817a a a a =-=∴+=-， 综上可得， 1107a a +=- 故选C10．在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c .若()226c a b =+-，60C =︒，则ABC 的面积是（ ）A.B. C.D.【答案】A【解析】因为22660c a b C =-+=（）， ，又由余弦定理得22222260c a b abcos a b ab =+-=+-，所以226a b a baba+-=-+=（）（），解得2ab =，，所以1122222ABCS absinC ==⨯⨯= 故选：A ．11．已知直线l ：60y -+=与圆2212x y +=交于A ， B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线，两条直线分别与y 轴交于C ，D 两点，则CD =（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C【解析】圆心00（，） 到直线l 的距离632d == ，圆的半径r =AB ∴== 设直线l 的倾斜角为α ，则30tan αα=∴=︒，过C 作l 的平行线交D B 于E ，则30ECD CE AB ∠=︒==，4CE CD cos ECD ∴===∠．故选C ． 12．设函数()2log 2x f x x -=-， ()12log 2x g x x =-的零点分别为1x ， 2x ，则下列结论正确的是（ ）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥ 【答案】A【解析】令0f x =（） 得： 212xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令0g x =（）得： 122x log x =，分别画出左右两边函数的图象，如图所示． 由指数与对数函数的图象知2110x x ：＞＞＞ ，于是有211122122211log 2log log 2xx x x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝ ，得121x x ＜，故选A ．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，函数的图象是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．二、填空题13．已知函数()()()()1,0,{ 2,0.x f x x f x x +≤=>则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【解析】由函数解析式，可得123311111222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-=-+=-=-+==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭14．已知圆柱的高为，其外接球直径为2，则该圆柱的侧面积为__________．【解析】由题圆柱的底面半径1212r r ==∴=，则该圆柱的侧面积122S π=⨯=15．已知在ABC 中， 120B =︒， 2AB =，A 的角平分线AD =，则AC =__________．【答案】【解析】由题意以及正弦定理可知：245AB AD sin ADB sin ADB sin B sin ADB=⇒=∠=∠∠∠ ，1180120452A =︒-︒-︒， 可得30A =︒ ，则30C =︒ ， ABC是等腰三角形，2260AC sin =⨯⨯︒=16．已知点()1,0A ， ()0,1B -， P是曲线y =则AP BP ⋅的最大值是__________．【答案】1【解析】1001AB P -（，），（，），是曲线y = ∴设P cos sin αα（，） ，[]0απ∈，，1111AP cos sin BP cos sin AP BP cos sin cos sin αααααααα∴=-=+⋅=-⋅+（，），（，），，（，）（，）14πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故AP BP ⋅，的最大值为1【点睛】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．三、解答题 17．已知函数()12cos22xf x x x π+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）()y f x =的单调递增区间为2ππ2π,2π32k k ⎡⎫-+-+⎪⎢⎣⎭或ππ2π,2π23k k ⎛⎤-++ ⎥⎝⎦（k Z ∈） （Ⅱ）0x =时，函数()f xπ3x =时，函数()f x 取得最大值【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出函数的定义域为π2π2x k ≠±， k Z ∈ 由三角函数中的恒等变换应用，化简函数解析式可得()π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,263k x k k Z -+≤+<-+∈或πππ2π2π362k x k -+≤+<+， k Z ∈可解得函数y f x =（）的单调递增区间．（Ⅱ）因为π02x ≤≤，得ππ2π663x ≤+≤，根据函数的单调性可求得函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.试题解析：（Ⅰ）显然， π2π2x k ≠±， k Z ∈ ()1cos2π2xf x x x +=+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x1cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎭π6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由πππ2π2π263k x k -+≤+<-+， k Z ∈，或πππ2π2π362k x k -+≤+<+， k Z ∈ 得2ππ2π2π32k x k -+≤<-+， k Z ∈，或ππ2π2π23k x k -+≤<+， k Z ∈即函数()y f x =的单调递增区间为2ππ2π,2π32k k ⎡⎫-+-+⎪⎢⎣⎭或ππ2π,2π23k k ⎛⎤-++⎥⎝⎦（k Z ∈）. （Ⅱ）因为π02x ≤≤，得ππ2π663x ≤+≤， 所以当ππ66x +=，即0x =时，函数()f x当ππ62x +=，即π3x =时，函数()f x取得最大值18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ， M ， N 分别为1B C ， 1A A 上的点，且1113B M A N MC NA ==. （Ⅰ）证明： MN 平面ABC ；（Ⅱ）若1MN B C ⊥， 122A A BC AB ===，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）111ABC A B C V -=【解析】试题分析：（Ⅰ）在BC 上取一点D ，使得13BD DC =，连接AD .可证1MD B B ，进而证得MD NA ，且MD NA =，所以四边形MNAD 是平行四边形.则问题可证（Ⅱ）1MN B C ⊥，由（Ⅰ）可证得AD BC ⊥.，求出ABCS=111ABC A B C -的体积可求.试题解析;（Ⅰ）在BC 上取一点D ，使得13BD DC =，连接AD 在1BCB 中，113B M BD MC DC ==， 所以1MD B B ，且134MD B B =.又113A N NA =，所以134NA A A =. 因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A B B ，且11A A B B =，所以MD NA ，且MD NA =， 所以四边形MNAD 是平行四边形. 所以MN AD .因为MN 不在平面ABC 内 所以MN 平面ABC .（Ⅱ）1MN B C ⊥，由（Ⅰ）可知1AD B C ⊥，又1A A ⊥底面ABC ， 所以1B B ⊥底面ABC ，所以1B B AD ⊥，因为111B B B C B ⋂=， 所以AD ⊥平面1B BC ，所以AD BC ⊥.因为2BC AB =， 4BC BD =，所以2AB BD =. 所以30BAD ∠=︒， 60ABD ∠=︒因为1AB =， 12A A =， 2BC =，所以1sin602ABCSAB BC =⋅︒=所以111122ABC A B C ABCV AA S-=⋅=⨯=19．已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++（），化简可得1302sinA -︒=（） ，由此求得A 的值． （Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，则()22224s i ns in 2s i n 246b c B C B π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭讨论26B π-的范围，可得22b c +的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=，得： sin cos cos sin sin 0A C A C B C --=，即()sin cos cos sin sin 0A C A C A C C -+-=，cos cos sin sin 0A C A C C --=，且sin 0C ≠，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=， 3A π=（Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C==，()22224sin sin b c B C +=+=()22cos2cos24B C --=22cos22cos23B B π⎛⎫--- ⎪⎝⎭4cos2B B =- 2sin 246B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又02{2032B B πππ<<<-<，得62B ππ<<，52666B πππ<-<； 所以12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤20．已知函数()22af x x a x=++-， R a ∈. （Ⅰ）若()f x 是奇函数，且在区间()0,+∞上是增函数，求a 的值； （Ⅱ）设()()()281log 1g x f a x =-++，若()g x 在区间()1,1-内有两个不同的零点m ， n ，求a 的取值范围，并求11m n+的值. 【答案】（Ⅰ）a =（Ⅱ）a 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭； 111m n +=-【解析】试题分析：（I ）根据奇函数的性质可得a =，分a =a =两种情况，讨论函数的单调性，使其满足在区间()0,+∞上是增函数，从而得出a 的值；（II ）令0g x =（） 可得811log x a +=-（） ，作出81y log x =+（） 的函数图象，根据图象即可得出1a - 的范围，从而得出a 的范围，根据0g m g n ==（）（） 得出m n ， 的关系，利用对数的运算性质化简即可得出11m n+的值． 试题解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，所以220a -=. 解得，a =a =当a = ()f x x =，则1144f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 但1142<，显然不符合要求当a = ()f x x =-，对于任意的1x ， ()20,x ∈+∞，设12x x <， ()()121212f x f x x x ⎛-=-- ⎝⎭ ()(1212120x x x x x x -=<， 即()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上是增函数，满足要求.所以a =（Ⅱ）作出 81y log x =+（） 的函数图象，如图所示， ()()()281log 1g x f a x =-++ ()81log 1a x =-++，令()0g x =得()8log 11x a +=-， 设()()8log 1h x x =+，则()()()88log 1,10{ log 1,01x x h x x x -+-<≤=+<<，所以()00h =， ()811log 23h ==. 当10x -<≤时， ()h x 是减函数， ()[)0,h x ∈+∞，当01x <<时， ()h x 是增函数， ()10,3h x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，要使()8log 11x a +=-在()1,1-内有两个根当且仅当1013a <-<，即213a <<，所以a 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭.不妨设m n <，则10m -<<， 01n <<，所以()8log 11m a -+=-， 111881a a m m --+=⇒=-，()8log 11n a +=-，所以111881a a n n --+=⇒=-.所以1111118181a a m n --+=+=-- ()()1111111188288212888181a a a a a a a a--------+-+-==-----. （或者118a m -+=， 118a n -+=⇒ ()()1111881a a m n --++==， 所以0m n mn ++=，所以111m n+=-.） 【点睛】本题考查了函数单调性、奇偶性的性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．21．已知圆C 满足：①圆心在第一象限，截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31∶；③圆心到直线20x y -=的距离为 （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若点M 是直线3x =上的动点，过点M 分别做圆C 的两条切线，切点分别为P ， Q ，求证：直线PQ 过定点.【答案】（Ⅰ）()()22112x y -+-=（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）设出圆C 的圆心坐标，可得到圆C 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90︒ ，由垂径定理得到圆截x 轴的弦长，找出,r b 及,r a 的关系式，，联立得到,a b 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出C 到直线20x y -= 的距离，让其等于5从而得到,a b 的又一关系式，可求出,a b 的值，得到圆心C 的坐标，然后利用,a b 求出圆的半径r r ，根据圆心和半径写出圆的方程即可．（Ⅱ）设点2222323Mt MP MC r t t =-=-+（，）， 以M 为圆心， MP 为半径的圆的方程为222323x y tt t -+-=-+⋯（）（）① 又（22112x y -+-=⋯）（）②． 由①②得2130x t y t +---=（） ，即（2310x y t y --+-=）（）， 可得直线PQ 过定点21（，）试题解析：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(),a b （0a >， 0b >），半径为r ， 则点C 到x 轴， y 轴的距离分别为b ， a .由题设知圆C 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90︒，知圆C 截x 轴所得的弦长为， 故222r b =，又圆C 被y 轴所截得的弦长为2，所以有221r a =+，从而得2221b a -=. 又因为(),C a b 到直线20x y -=d == 即有21a b -=±，由此有2221{21b a a b -=-=或2221{21b a a b -=-=-.解方程组得1{ 1a b ==或1{1a b =-=-（舍）于是2222r b ==，所求圆的方程是()()22112x y -+-= （Ⅱ）设点M 的坐标为()3,t ， 222223MP MC r t t =-=-+ 以点M 为圆心，以()MP Q 为半径圆M 的方程为()()222323x y t t t --=-+，联立圆M 和圆C 的方程： ()()()()22222323{ 112x y t t t x y -+-=-+-+-= 得直线PQ 的方程为： ()2130x t y t +---= 即()()2310x y t y --+-=，直线PQ 过定点()2,1.【点睛】本小题主要考查轨迹的问题、圆的相交弦问题，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题． 22．若数列{}n a 满足11k k a a +-=（1,2,,1k n =-； *N n ∈， 2n ≥），称数列{}n a 为E 数列，记n S 为其前n 项和.（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且50S >的E 数列{}n a ；（Ⅱ）若12a =， 2017n =，证明：若E 数列{}n a 是递增数列，则2018n a =；反之，若2018n a =，则E 数列{}n a 是递增数列；（Ⅲ）对任意给定的整数n （2n ≥），是否存在首项为0的E 数列{}n a ，使得0n S =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列{}n a ；如果不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）{}01210，，，， （Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题01210意，，，， 是一个满足条件的E 数列{}n a ． （Ⅱ）若E 数列{}n a 是递增数列，则11k k a a +-= ，推导出{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，从而得到20172018a = ；反之，若20172018a = ，由111k k k k a a a a ++-≤-= （当且仅当11k k a a +-= 时，等号成立），推导出E 数列{}n a 是递增数列．（Ⅲ） 11k k a a +-=由， 即11k k a a +=± ，知E 数列{}n a 中相邻两项1k k a a +， 奇偶性相反，即135a a a ⋯，，， 为偶数246a a a ⋯，，，， 为奇数，由此利用分类讨论思想能求出结果．试题解析：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列{}n a . （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列5A ） （Ⅱ）若E 数列{}n a 是递增数列，则11k k a a +-=（1,2,,2016k =）， 所以{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 故()201722017112018a =+-⨯=.反之，若20172018a =，由于111k k k k a a a a ++-≤-=（等号成立当且仅当11k k a a +-=）， 所以()()()()2017201720162016201520152014211a a a a a a a a a a =-+-+-++-+201622018≤+=即对1,2,,2016k =，恒有110k k a a +-=>，故E 数列{}n a 是递增数列.（Ⅲ）由11k k a a +-=即11k k a a +=±，知E 数列{}n a 中相邻两项k a 、1k a +奇偶性相反，即1a ， 3a ， 5a ，……为偶数， 2a ， 4a ， 6a ，……为奇数. ①当4n m =（*m N ∈）时，存在首项为0的E 数列{}n a ，使得0n S =. 例如，构造{}n a ： 0,1,0,1-，…， 4342414,,,k k k k a a a a ---，…， 0,1,0,1-，其中430k a -=，421k a -=-， 410k a -=， 41k a =（1,2,,k m =）②当41n m =+（*m N ∈）时，也存在首项为0的E 数列n A ，使得0n S =.例如，构造{}n a ： 0,1,0,1-，…， 4342414,,,k k k k a a a a ---，…， 0,1,0,1,n a -， 其中430k a -=， 421k a -=-， 410k a -=， 41k a =（1,2,,k m =），0n a =. ③当42n m =+或43n m =+（m N ∈）时，数列{}n a 中偶数项2a ， 4a ， 6a ，……共有21m +奇数项，且2a ， 4a ， 6a ，……均为奇数，所以和246a a a +++为奇数.又和135a a a +++为偶数，因此n S 为奇数即0n S ≠.此时，满足条件的E 数列{}n a 不存在.【点睛】本题考查满足条件的E 数列的求法，考查若E 数列{}n a 是递增数列，则2018n a = ；反之，若2018n a = ，则E 数列{}n a 是递增数列的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
2018学年高一下学期期末考试数学试题含答案
2018学年高一下学期期末考试数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、的值为（）A、B、C、D、2、已知向量(),(),则与（）A、垂直B、不垂直也不平行C、平行且同向D、平行且反向3、下列各式中，值为的是（）A、B、C、D、4、某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（）A、19，13B、13，19C、19，18D、18，195、从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A、B、C、D、6、函数在一个周期内的图像是（）A、B、C、D、7、设单位向量，的夹角为60，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A、B、C、D、8、如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）A、B、C、D、9、甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（）A、B、C、D、10、已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是（）A、B、C、D、11、如图所示，点，，是圆上的三点，线段与线段交于圈内一点，若，，则（）A、B、C、D、12、已知平面上的两个向量和满足，，，，若向量，且，则的最大值是（）A、B、C、D、第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知，，则、14、已知样本7，8，9，，的平均数是8，标准差是，则、15、已知的三边长，，，为边上的任意一点，则的最小值为、16、将函数的图像向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图像，若，且，，则的最大值为、三、解答题（本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）17、已知向量，、（I）求向量与向量夹角的余弦值（II）若，求实数的值、18、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式（II）将的图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图像，求的图像离轴最近的对称中心、19、某商场经营某种商品，在某周内获纯利（元）与该周每天销售这种商品数之间的一组数据关系如表：（I）画出散点图；（II）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程；（III）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？附注：，，，，，、20、在矩形中，点是边上的中点，点在边上、（I）若点是上靠近的四等分点，设，求的值；（II）若，，当时，求的长、21、某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示、（I）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率、22、已知函数（），的图象与直线相交，且两相邻交点之间的距离为、（I）求函数的解析式；（II）已知，求函数的值域；（III）求函数的单调区间并判断其单调性、试卷答案一、选择题1-56-1011、12：二、填空题13、14、6015、16、三、解答题17、解：（1），设与的夹角为，所以，（2），∴ ，解得18、解：(1)根据表中已知数据，解得，，、数据补全如下表：0272－32且函数表达式为、(2)由(1)知，因此、因为的对称中心为，，令，，解得，，即图象的对称中心为，，其中离轴最近的对称中心为、19、解：(1)（2）回归方程为：（3）当时所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99、7元、20、解：（1），因为是边的中点，点是上靠近的四等分点，所以，在矩形中，，所以，，即，，则、（2）设，则，，，又，所以，解得，所以的长为1、21、解：（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，则估计全校这次考试中优秀生人数为、（2）由分层抽样知识可知，成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人、记成绩在的3人为，，，成绩在的2人为，，成绩在的1人为，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有，，，，，，，共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为、22、解：（1）与直线的图象的两相邻交点之间的距离为，则，所以（2）的值域是（3）令，则，所以函数的单调减区间为令则，所以函数的单调增区间为。
—18学年下学期高一期末考试数学(理)试题(附答案)
黑龙江省实验中学2018年下学期高一年级数学期末考试(理科）满分：150分完成时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.点关于直线的对称点为A. B. C. D.2.已知关于x的不等式的解集是，则的值是A. B. 11 C. D. 13.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有4.，，，，5.，，，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.已知变量x，y满足约束条，则的最大值为A. 2B. 6C. 8D. 117.正项等比数列中，，，则的值是A. 4B. 8C. 16D. 648.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为9.A. B. C. D. 110.已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是A. B.C. D.11.已知直线：，与：平行，则a的值是A. 0或1B. 1或C. 0或D.12.x、y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A. 或B. 2或C. 2或1D. 2或13.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A. B. C. 3 D. 214.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．14.已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是______．15.已知直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为______ ．16.已知数列满足，，则数列的前n项和______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在数列中，，．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，已知四棱锥，底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ若PA与平面ABCD所成的角为，19.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，Ⅰ求C的大小；Ⅱ若的面积为，求b的值．20.已知直线l：Ⅰ证明直线l经过定点并求此点的坐标；Ⅱ若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；Ⅲ若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．21.已知，．若，解不等式；若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；若，解不等式．22.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．求证：；求异面直线AE与所成的角的大小；若G为中点，求二面角的正切值．答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. D5. C6. A7. D8. C9. D10. B11. C12. B13. 或14.15.16.17. 解：解法一：Ⅰ的两边同时除以，得，分所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分解法二：依题意，可得，分所以，即，分所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分Ⅱ由Ⅰ，得，分所以，故，分所以分18. 本小题满分12分解：Ⅰ由已知及正弦定理可得，，，，分Ⅱ由Ⅰ可得，，，又，，由题意可知，，，可得：分19. 解：证明：直线l：，化为：，令，解得，．直线l经过定点．Ⅱ由直线l不经过第四象限，．则，Ⅲ直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，由直线l的方程可得与坐标轴的交点，，，，解得：．，当且仅当时取等号．S的最小值为4，及此时直线l的方程为：．20. 解：当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为，或．由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，．解得，故a的范围为．若，不等式为，即．，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．21. Ⅰ证明：、N分别是棱PB、PC中点，，又ABCD是正方形，，．平面PAD，平面PAD，平面PAD．Ⅱ平面ABCD，与平面ABCD所成的角为，．，故四棱锥的体积．22. 证明：因为面ABC，面ABC，所以-----------------分由，E为BC的中点得到-----------------分面----------------分-----------------分解：取的中点，连，，则，是异面直线AE与所成的角----------------分设，则由，可得，，在中，------------------分所以异面直线AE与所成的角为------------------分连接AG，设P是AC的中点，过点P作于Q，连EP，EQ，则----分又平面平面平面-------------分而．是二面角的平面角-------------分由，，，得所以二面角的平面角正切值是-----------分【解析】1. 解：对于，，，，，错误，当时，与可能相交；对于，，，正确，原因是：，则n垂直内的两条相交直线，又，则m也垂直内的这两条相交直线，则；对于，，，，错误，m与n可能异面；对于，，，错误，也可能是．正确命题的个数是1个．故选：B．由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．2. 解：若关于x的不等式的解集是，则2，3是方程的根，故，故，故选：C．根据不等式的解集求出a，b的值，作和即可．本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和二次函数的关系，是一道基础题．3. 解：设对称点坐标，则：中点坐标为中点坐标在直线上，即：直线与直线垂直，则有：由解得：，所以对称点坐标，故选：B．设对称点坐标，利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式即可求出m，n的值．本题考查了点关于直线对称的问题利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式建立关系即可求解属于基础题．4. 解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得，结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线的最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5. 【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力设正项等比数列n 的公比为q，由a3，a46，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列的公比为q，，，，，解得，．故选C．6. 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积，高为1，故棱锥的体积，故选：A由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7. 解：点，，过点的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率或，的斜率为，PB的斜率为，直线l的斜率或，故选：D根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．8. 解：当时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：．综上，或，故选：C．先检验当时，是否满足两直线平行，当时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．9. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由得，即直线的截距最大，z也最大．若，此时，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线平行，此时，若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线，平行，此时，综上或，故选：D作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线斜率的变化，从而求出a的取值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．10. 解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：．故选：B．判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．11. 【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：在，，，，．，，代入，，解得．的形状是等边三角形．故选C．12. A13 ，或．14. ．15. ．16.．．17. 解法一：的两边同时除以，，即可证明解法二：依题意，可得，可得，即可证明．Ⅱ由Ⅰ，得，可得，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. Ⅰ由已知及正弦定理可得，，进而利用同角三角函数基本关系式可求，即可得解C的值．Ⅱ由Ⅰ利用余弦定理可求，又，可得，利用三角形面积公式即可解得b的值．本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19. 直线l：，化为：，令，解出即可得出．Ⅱ由直线l不经过第四象限，即可得出．Ⅲ直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，由直线l的方程可得与坐标轴的交点，，，，解得：故，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线系的方程、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 当，不等式即，解此一元二次不等式求得它的解集．由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，故有，由此求得a的范围．若，不等式为，即再根据1和的大小关系，求得此不等式的解集．本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21. 由中位线定理得出，由，故，得出平面PAD；由得出，于是棱锥体积．本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．22. 由面ABC及线面垂直的性质可得，由，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得，结合线面垂直的判定定理可证得面，进而由线面垂直的性质得到；取的中点，连，，根据异面直线夹角定义可得，是异面直线A与所成的角，设，解三角形可得答案．连接AG，设P是AC的中点，过点P作于Q，连EP，EQ，则，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得平面，进而由二面角的定义可得是二面角的平面角．本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．。
2018学年重庆市学高一下学期期末考试数学试题 (12)
下学期期末考试高一数学（文）试题一．选择题1. 若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3,4,5.则长方体外接球的表面积为（）A. B. C. D.2. 已知正实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.3. 在等差数列中，若则（）A . 10 B. 11 C. 12 D. 144. 已知不等式的解集为,则( )A. -6B. 6C. -25D. 255. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊂α，n∥m⇒n∥αB. m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β6. 下列命题正确的是（）A. B.C. D.7. 已知数列的前项和为，，，,则（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值（）A. 2B. 3C.D.9. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. △ABC内部10. 已知三棱锥中，，且直线与成角，点、分别是、的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D. 或11. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.12. 在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④中恒成立的为（）A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④二填空题13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为__________．14. 不等式的解集为__________．15. 在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，AC中点为点O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，则三棱锥外接球的表面积为__________．16. 底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M,N分别为CC1，BB1的中点，则点N到面A1BM 的距离为__________．三．解答题17. 如图，在四棱锥中，M为AD的中点.(1).若AD平行BC，AD=2BC，求证：直线BM平行平面PCD；(2).求证：.18. 已知函数(1).求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.19. 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=求三棱锥B1-A1DC的体积．20. 已知数列是公差大于的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21. 在△ABC中，a，b,c分别是角对边，且，(1)求角B；（2）, 求.22. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.（1）证明：平面平面；（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.高一数学（文）试题解析一．选择题1. 若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3,4,5.则长方体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R= ．∴S球=4π×R2=50π．故选C.2. 已知正实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，正实数x，y满足2x+y=1，则xy=（2x）y≤，当且仅当2x=y=，时等号成立，即xy的最大值为；故选A.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3. 在等差数列中，若则（）A. 10B. 11C. 12D. 14【答案】A【解析】由,易得，根据等差数列性质，得，即，故选A.4. 已知不等式的解集为,则( )A. -6B. 6C. -25D. 25【答案】A【解析】∵ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴ax2﹣5x+b=0的根为﹣3、2，即﹣3+2=﹣3×2=解得a=﹣5，b=30,故选D点睛：注意“三个二次”的关系：二次不等式解集的端点是相应的二次方程的根，是相应的二次函数与x 轴交点的横坐标.在本题中，﹣3、2是ax2﹣5x+b=0的两个不等实根，借助维达定理易得a=﹣5，b=30,.5. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊂α，n∥m⇒n∥αB. m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【答案】D【解析】在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．6. 下列命题正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中当时才成立；B中若，则；C中时才成立；D中命题成立考点：不等式性质7. 已知数列的前项和为，，，,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴数列{S n}是等比数列,公比为，首项为1.则，故选D.8. 某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】原几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，平面，，.选B.【点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. △ABC内部【答案】C【解析】∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选C.10. 已知三棱锥中，，且直线与成角，点、分别是、的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】取AC中点E，连结NE、ME，如图，∵三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点，∴ME 平行且等于AB，NE平行且等于CD ，∴NE=ME，∠EMN是直线AB和MN所成的角，∵直线AB与CD所成的角为60°，∴∠MEN=60°或120°，∴∠EMN=或．故选：D．11. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴x+2y=（x+2y））=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误12. 在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④中恒成立的为（）A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④【答案】A二填空题13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为__________．【答案】【解析】试题分析：由，得，即，∴．考点：圆锥的侧面图与体积．14. 不等式的解集为__________．【答案】【解析】不等式等价于,解得：，即解集为：.故答案为：15. 在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，AC中点为点O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】由AC中点为点O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=，易知：△SAC为等边三角形，外接球的球心应该是等边三角形的中心，故R= ，故外接球的表面积为.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．16. 底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M,N分别为CC1，BB1的中点，则点N到面A1BM 的距离为__________．【答案】【解析】易证平面BB1A1⊥平面A1BM，故点N到面A1BM的距离即点N到直线A1B的距离，易得点N到面A1BM 的距离为，故答案为.三．解答题17. 如图，在四棱锥中，M为AD的中点.(1).若AD平行BC，AD=2BC，求证：直线BM平行平面PCD；(2).求证：.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）欲证线面平行，即证线线平行;(2)欲证线线垂直，即证线面垂直.试题解析：（1）因为，，为中点，所以，且，所以四边形为平行四边形故，又平面，平面，所以平面．（2）因为，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 已知函数(1).求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用零点分段法求绝对值不等式的解集;(2) 不等式恒成立问题转化为最值问题，解不等式即可.试题解析：（1）原不等式等价于或解得或或即不等式的解集为（2）当且仅当即时等号成立。
贵州省贵阳市普通中学2018年高一下学期期末数学试卷
贵州省贵阳市普通中学2018年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知数列{a n}是等比数列，且，a4=﹣1，则{a n}的公比q为( )A．B．﹣C．2 D．﹣22．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°3．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为( )A．2 B．3 C．4 D．54．下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A．2 B．3 C．4 D．66．若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为( )A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣37．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为( )A．B．C．1 D．8．数列{a n}的通项公式为a n=n，若数列{}的前n项和为，则n的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．89．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒n⊥β；④⇒n∥α．其中正确命题的序号是( )A．①④B．②④C．①③D．②③10．已知x＞0，y＞0，若+＞a2+2a恒成立，则实数a的取值范围是( )A．a≥4或a≤﹣2 B．a≥2或a≤﹣4 C．﹣2＜a＜4 D．﹣4＜a＜2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题中横线上11．已知球的体积为π，则它的表面积为______．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小为-_____．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小为______．14．观察如图列数表：第1行1第2行1 3 1第3行1 3 9 3 1第4行1 3 9 27 9 3 1根据如图列数表，数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为______．15．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知等差数列{a n}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为S n．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，试问n为何值时S n最大？17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=7，c=3，cosC=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．（Ⅰ）求y用x表示的函数关系式；（Ⅱ）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？19．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧面ACC1A1⊥底面ABC，A1C=C1C，E，F分别是A1C1、A1B1的中点．（1）求证：EF∥平面BB1C1C；（2）求证：平面ECF⊥平面ABC．20．已知圆O的方程为x2+y2=8．（Ⅰ）若直线l：3x+4y﹣8=0，试判断直线l与圆O的位置关系；（Ⅱ）点A（2，y0）在圆O上，且y0＞0，在圆O上任取不重合于A的两点M，N，若直线AB和AN的斜率存在且互为相反数，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．贵州省贵阳市普通中学2018年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知数列{a n}是等比数列，且，a4=﹣1，则{a n}的公比q为( )A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：结合题意由等比数列的通项公式可得8=﹣1×q3，由此求得q的值．解答：解：等比数列{a n}中，，a4=﹣1，设公比等于q，则有﹣1=×q3，∴q=﹣2，故选：D．．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题．2．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用两点的坐标，求出直线的斜率，从而求出该直线的倾斜角．解答：解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．3．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：直线的两点式方程．专题：计算题．分析：由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案．解答：解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线∵|AD|==3故选B点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．4．下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A．2 B．3 C．4 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形是直角边长分别为2，3的直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形是直角边长分别为2，3的直角三角形，∴几何体的体积V=××2×3×2=2．故选A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为( )A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=y﹣x的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由，可得，A（1，1），要求目标函数z=y﹣x的最大值，就是z=y﹣x经过A（1，1）时目标函数的截距最大，最大值为：0．故选：B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为( )A．B．C．1 D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：先根据直线平行的性质求出k的值，后利用平行线的距离公式求解即可．解答：解：∵直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0平行∴k=﹣8．∴直线kx+6y+2=0可化为4x﹣3y﹣1=0∴两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为故选C．点评：本题主要考查直线平行的性质和平行线间的距离公式．属于基础题．8．数列{a n}的通项公式为a n=n，若数列{}的前n项和为，则n的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a n=n、裂项可知=2（﹣），并项相加可知数列{}的前n项和为T n=，进而可得结论．解答：解：∵a n=n，∴==2（﹣），记数列{}的前n项和为T n，则T n=2（1﹣++…+﹣）=2（1﹣）=，∵T n=，即=，∴n=6，故选：B．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒n⊥β；④⇒n∥α．其中正确命题的序号是( )A．①④B．②④C．①③D．②③考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：根据线面垂直的性质定理可知①正确；α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由平面与平面平行的性质，可得m∥n，正确．∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，∵α∥β，∴n⊥β，故正确；根据线面垂直的性质定理可知④，不正确．故选：C．点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题．10．已知x＞0，y＞0，若+＞a2+2a恒成立，则实数a的取值范围是( )A．a≥4或a≤﹣2 B．a≥2或a≤﹣4 C．﹣2＜a＜4 D．﹣4＜a＜2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式可得+的最小值，由恒成立可得a的不等式，解不等式可得．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴+≥2=8，当且仅当=即y=2x时取等号，∵+＞a2+2a恒成立，∴8＞a2+2a，即a2+2a﹣8＜0，解关于a的不等式可得﹣4＜a＜2故选：D点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题中横线上11．已知球的体积为π，则它的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用球的体积为π，求出球的半径，再利用表面积公式求解即可．解答：解：因为球的体积为π，所以球的半径：r=2，球的表面积：4π×22=16π，故答案为：16π．点评：本题考查球的表面积与体积的计算，考查计算能力，比较基础．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：先确定∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角，即可求得结论．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥面A1B1C1D1，∴∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角∵∠D1AD=45°∴二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°故答案为：45°点评：本题考查面面角，解题的关键是利用线面垂直确定面面角．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小为．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式，求得cosB的值，可得B的值．解答：解：△ABC中，若bcosA+acosB=c•cosB，则由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=sinC•cosB，即sin（A+B）=sinC=sinC•cosB，求得cosB=，可得B=，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题．14．观察如图列数表：第1行1第2行1 3 1第3行1 3 9 3 1第4行1 3 9 27 9 3 1根据如图列数表，数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1．考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S n，数表中第n行中所有数的和为T n，分析已知中的图表，可得T n=S n+S n﹣1，代入等比数列前n项和公式，可得答案．解答：解：由已知可得：第1行有1个数；第2行有3个数；第3行有5个数；…归纳可得：第n行有2n﹣1个数；设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S n，数表中第n行中所有数的和为T n，则T2=S2+S1，T3=S3+S2，T4=S4+S3，…故T n=S n+S n﹣1=+=2×3n﹣1﹣1，即数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1，故答案为：2n﹣1，2×3n﹣1﹣1点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是（﹣，﹣2]．．考点：直线和圆的方程的应用；类比推理．专题：直线与圆．分析：①利用直线和圆相切的关系进行求解．②曲线x=表示圆x2+y2=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．解答：解：①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，则圆心到直线的距离d=，即|b|=2，即b=，由x=得x2+y2=4（x≥0），则对应的曲线为圆的右半部分，直线y=x+b的斜率为1，（如图），设满足条件的两条临界直线分别为m和l，根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，﹣2））和直线l″之间，设（0，﹣2）到直线m的距离为1，可得=1，解得b=﹣2，或b=2+（舍去），∴直线m的截距为﹣2，设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x﹣y﹣2=0，由l到l″的距离为1可得=1，解方程可得b=，即直线l的截距为﹣，根据题意可知，直线在m和l之间，∴b的取值范围为：（﹣，﹣2]故答案为：，（﹣，﹣2]．点评：本题主要考查直线和圆的综合应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知等差数列{a n}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为S n．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，试问n为何值时S n最大？考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过设等差数列{a n}的公差为d，联立a1+2d=2与5a1+15d=0，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、配方可知S n=﹣+，通过S3=S4=12即得结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，依题意，a1+2d=2，5a1+15d=0，解得：a1=6，d=﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣2n+8；（Ⅱ）由（I）可知S n=6n+•（﹣2）=﹣n2+7n，=﹣+，∵S3=﹣9+21=12，S4=﹣16+28=12，∴当n=3或4时，S n最大．点评：本题考查等差数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=7，c=3，cosC=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由平方关系和内角的范围求出sinC，由正弦定理求出sinA的值；（Ⅱ）由余弦定理求出边b的值，再把数据代入三角形面积公式求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由题意得，cosC=、0＜C＜π，所以sinC==，因为a=7，c=3，所以由正弦定理得：，则sinA===，（Ⅱ）由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则9=49+b2﹣2×7b×，即b2﹣13b+40=0，解得b=5或b=8，所以△ABC的面积S=bcsinA=×5×3×=；或S=bcsinA=×8×3×=6．点评：本题考查正弦、余弦定理，平方关系，以及三角形面积公式，注意内角的范围，属于中档题．18．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．（Ⅰ）求y用x表示的函数关系式；（Ⅱ）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数模型的选择与应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）设底面的长为xm，宽ym，则y=m．设房屋总造价为f（x），由题意可得f （x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）；（Ⅱ）利用基本不等式即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y=m．设房屋总造价为f（x），由题意可得f（x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）（Ⅱ）f（x）=3600（x+）+5800≥28800+5800=34600，当且仅当x=4时取等号．答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．点评：本题考查了利用基本不等式解决实际问题，确定函数关系式是关键，属于中档题．19．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧面ACC1A1⊥底面ABC，A1C=C1C，E，F分别是A1C1、A1B1的中点．（1）求证：EF∥平面BB1C1C；（2）求证：平面ECF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由三角形中位线定理得到EF∥B1C1，由此能证明EF∥平面BB1C1C．（2）由已知条件推导出EC⊥AC，从而得到EC⊥底面ABC，由此能证明面ECF⊥面ABC．解答：证明：（1）在△A1B1C1中，因为E，F分别是A1C1，A1B1的中点，所以EF∥B1C1，…又EF⊄面BB1C1C，B1C1⊂面BB1C1C，所以EF∥平面BB1C1C．…（2）因为A1C=C1C，且E是A1C1的中点，所以EC⊥A1C1，故EC⊥AC，又侧面ACC1A1⊥底面ABC，且EC⊂侧面ACC1A1，所以EC⊥底面ABC．…又EC⊂面ECF，所以面ECF⊥面ABC．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知圆O的方程为x2+y2=8．（Ⅰ）若直线l：3x+4y﹣8=0，试判断直线l与圆O的位置关系；（Ⅱ）点A（2，y0）在圆O上，且y0＞0，在圆O上任取不重合于A的两点M，N，若直线AB和AN的斜率存在且互为相反数，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）求出圆心到直线l：3x+4y﹣8=0的距离与半径比较，即可判断直线l与圆O的位置关系；（Ⅱ）求出M，N的坐标，即可求出直线MN的斜率．解答：解：（Ⅰ）圆O的圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线l：3x+4y﹣8=0的距离d=＜2，∴直线l与圆O相交；（Ⅱ）由点A（2，y0）在圆O上，且y0＞0，可得y0=2．设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y=kx+2﹣2k，代入圆O，可得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（k2﹣2k﹣1）=0，∵2是方程的一个根，∴2x M=，∴x M=．由题意，k AN=﹣k，∴x N=，∴k MN==k•=1，∴直线MN的斜率是定值1．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2018年杭州市高一第二学期数学期末质量检测数学试卷含答案
数学试题卷
考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分 100 分，考试时间 90 分钟。 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题
区域的作答无效！ 3.考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且仅有一项是符合题目要求的。
两式相减，得 2 an1 an1 .
所以， a2n1 2n 1, a2n 2n ，
即 an n （当 n 1 时也适合）.
分
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得 bn
(1)n 2
，
…………………………5
所以 Tn
1
(1)n 2
…………………………1 分
（ii）因为 Sn
n(n 1)
B. 1
C. 5 1
D. 2
二、填空题：本大题共 8 小题，每空 3 分，共 36 分。
16.若幂函数 f (x) 的图像经过点 (3, 3) ，则 f (4)
.
17.设 Sn 为等比数列{an} 的前 n 项和.若 a1 1， a4 8 ，则 a3
， S5
.
18.已知向量 a,b 满足 a (1, 2),b (2, m) .若 a / /b ，则 m
1.已知集合 A {0,5} ， B {0,1,3}，则 A I B
A. {0}
B.
C. {1, 3, 5}
D. {0,1, 3, 5}
2.函数 f (x) ln(x 1) 的定义域为
A. [0,1]
B. (0,1)
广东省惠州市2018年高一下学期期末数学试卷
广东省惠州市2018年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．斜率为3，在y轴上的截距为4的直线方程是（）A．3x﹣y+4=0B．x﹣3y﹣12=0C．3x﹣y﹣4=0D．3x﹣y﹣12=02．各项为正的等比数列{a n}中，a2•a8=16，则a5=（）A．4B．2C．1D．83．在空间，下列命题中正确的是（）A．没有公共点的两条直线平行B．与同一直线垂直的两条直线平行C．平行于同一直线的两条直线平行D．已知直线a不在平面α内，则直线a∥平面α4．已知直线l1：x+ay+6=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，若l1∥l2则a=（）A．3B．﹣1或3C．﹣1D．1或﹣35．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C 南偏东60°，则A，B之间相距（）A．a（km）B．a（km）C．a（km）D．2a（km）6．在等差数列{a n}中，设公差为d，若S10=4S5，则等于（）A．B．2C．D．47．已知在∥ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④9．已知各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，那么a3•a18的最大值是（）A．50B．25C．100D．210．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11．若m=x2+2x+3（x∈R），n=2，则m，n的大小关系是．12．已知∥ABC中，AB=6，∥A=30°，∥B=120°，则∥ABC的面积为．13．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，当正视图的视线方向垂直于平面AA1B1B 时，正视图的面积为2a2，则此时左视图的面积为．14．设点P（x，y）满足，则z=2x+y的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．在∥ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．（1）若c=，A=45°，a=2，求C、b；（2）若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB•sinC，试判断∥ABC的形状．16．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为是（2，3），（1）求a，b的值（2）求不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集．17．已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求∥ABC的面积．18．已知S n是等比数列{a n}的前n项的和，a2，a8，a5成等差数列．（1）求等比数列{a n}的公比q；（2）判断S3，S9，S6是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．如图所示，ABCD是正方形，PA∥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点（1）求证：AC∥DF；（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C﹣PED的体积．20．已知等比数列{a n}满足：a2=4，公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设P n=，证明：p1+p2+p3+…+p n＜．广东省惠州市2018年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．斜率为3，在y轴上的截距为4的直线方程是（）A．3x﹣y+4=0B．x﹣3y﹣12=0C．3x﹣y﹣4=0D．3x﹣y﹣12=0考点：直线的斜截式方程．专题：直线与圆．分析：利用斜截式即可得出．解答：解：利用斜截式可得y=3x+4，即3x﹣y+4=0．故选：A．点评：本题考查了斜截式方程，属于基础题．2．各项为正的等比数列{a n}中，a2•a8=16，则a5=（）A．4B．2C．1D．8考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由等比中项的概念列式求解a5的值．解答：解：∥数列{a n}是各项为正数的等比数列，∥由等比中项的概念得：．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，是基础的计算题．3．在空间，下列命题中正确的是（）A．没有公共点的两条直线平行B．与同一直线垂直的两条直线平行C．平行于同一直线的两条直线平行D．已知直线a不在平面α内，则直线a∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：在A中两直线还有可能异面；在B中两直线还有可能相交或异面；由平行公理知C正确；在D中直线a与平面α还有可能相交．解答：解：没有公共点的两条直线平行或异面，故A错误；与同一直线垂直的两条直线相交、平行或异面，故B错误；由平行公理知：平行于同一直线的两直线平行，故C正确；已知直线a不在平面α内，则直线a∥平面α或直线a与平面α相交，故D正确．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．已知直线l1：x+ay+6=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，若l1∥l2则a=（）A．3B．﹣1或3C．﹣1D．1或﹣3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用两条直线平行与斜率的关系即可得出．解答：解：∥直线l2的斜率存在，l1∥l2，∥．∥，化为a2﹣2a﹣3=0．解得a=3或﹣1．当a=3时，l1与l2重合，应舍去．∥a=﹣1．故选：C．点评：本题考查了两条直线平行与斜率的关系，属于基础题．5．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（）A．a（km）B．a（km）C．a（km）D．2a（km）考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由两个方位角的度数得出∥ACB=90°，又知AC=BC=5，∥ACB为等腰直角三角形，有勾股定理可得边AB的长度．解答：解：由图知：∥ACB=90°，在Rt∥ACB中，AB2=AC2+BC2=a2+a2=2a2∥AB=a故答案为C．点评：本题考查解三角形的实际应用，关键是如何把实际问题转化为数学问题，然后套用题目提供的对应关系解决问题，画出简图，一目了然．6．在等差数列{a n}中，设公差为d，若S10=4S5，则等于（）A．B．2C．D．4考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的前n项和公式化简S10=4S5，即可求出的比值．解答：解：∥S10=4S5，∥10a1+45d=4（5a1+10）d，解得d=2a1，则=，故选：A．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．7．已知在∥ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据正弦定理化简已知的等式，得到三角形的三边之比，设出三角形的三边，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为三角形最大角的度数．解答：解：设三角形的三边长分别为a，b及c，根据正弦定理==化简已知的等式得：a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，根据余弦定理得cosC===﹣，∥C∈（0，180°），∥C=120°．则这个三角形的最大角为120°．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及余弦定理，遇到比例问题，往往根据比例设出线段的长度来解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．8．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据直线与平面平行的判定方法，得出图①④中AB∥平面MNP．解答：解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB⊄平面MNP，∥直线AB∥平面MNP；综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．故选：D．点评：本题考查了空间中的直线与平面平行的判断问题，解题时应结合图形进行分析，是基础题目．9．已知各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，那么a3•a18的最大值是（）A．50B．25C．100D．2考点：等差数列的性质；简单线性规划；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的前20项之和做出第1项和第20项之和，根据等差数列的性质做出第三项和第18项之和，再根据基本不等式得到最大值．解答：解：各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，∥a1+a20=a3+a18=10，∥a3•a18≤=25，当且仅当a3=a18时等号成立，故选B．点评：本题主要考查等差数列的性质和前n项和，以及基本不等式的应用，本题解题的关键是利用等差数列的性质做出第三项和第十八项之和，本题是一个基础题．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与CN所成角的余弦值．解答：解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（0，0，0），M（，1），C（0，2，0），N（，，2），∥=（），，设直线AM与CN所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．故选：D．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11．若m=x2+2x+3（x∈R），n=2，则m，n的大小关系是m≥n．考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用做差法比较大小即可．解答：解：m﹣n=x2+2x+3﹣2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，故m≥n，故答案为：m≥n．点评：本题主要考查用比较法比较两个数的大小，属于基础题12．已知∥ABC中，AB=6，∥A=30°，∥B=120°，则∥ABC的面积为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据三角形内角和，得到∥C=180°﹣∥A﹣∥B=30°，从而∥A=∥C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得∥ABC的面积为BC•ABsinB=，得到正确答案．解答：解：∥∥ABC中，∥A=30°，∥B=120°，∥∥C=180°﹣30°﹣120°=30°∥∥A=∥C⇒BC=AB=6由面积正弦定理公式，得S∥ABC=BC•ABsinB=×6×6sin120°=即∥ABC的面积为．故答案为：点评：本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题．13．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，当正视图的视线方向垂直于平面AA1B1B 时，正视图的面积为2a2，则此时左视图的面积为．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由正视图的面积为2a2，得三棱柱的高为2a，再求出底面底边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解．解答：解：∥正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，作出等边三角形的高后，∥底面底边三角形的高为a，∥正视图的面积为2a2∥三棱柱的高为2a，∥左视图的面积为2a×a=a2，故答案是a2．点评：考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．14．设点P（x，y）满足，则z=2x+y的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（3，4），代入z=2x+y=2×3+4=10．即目标函数z=2x+y最大值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．在∥ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．（1）若c=，A=45°，a=2，求C、b；（2）若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB•sinC，试判断∥ABC的形状．考点：解三角形；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：（1）∥ABC中，由正弦定理求出sinC的值，可得C的值，由三角形内角和公式可得到B的值，利用两角和的正弦求出sinB的值，再由正弦定理求出b．（2）由sin2A=sinB•sinC，可得a2=bc，根据4a2=b2+c2+2bc，可得b=c，故∥ABC为等腰三角形．解答：解：（1）∥ABC中，由正弦定理可得=，∥sinC=，∥C=60°，∥B=75°．∥sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=．再由正弦定理可得==，∥b=+1．（2）∥sin2A=sinB•sinC，∥a2=bc，又4a2=b2+c2+2bc，∥（b﹣c）2=0，∥b=c，故∥ABC为等腰三角形．点评：本题考查正弦定理的应用，两角和的正弦公式，判断三角形的形状的方法，是一道中档题．16．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为是（2，3），（1）求a，b的值（2）求不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据韦达定理即可求出a，b的值；（2）由（1）的结论，代入，然后解不等式即可．解答：解：（1）由已知可知不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，所以2和3是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，由韦达定理得，解得；（2）不等式bx2﹣ax﹣1＞0即为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0可化为6x2+5x+1＜0，∥（2x+1）（3x+1）＜0解得，所以所求不等式的解集是，点评：本题考查了解一元二次不等式的方法，属于基础题．17．已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求∥ABC的面积．考点：两条直线的交点坐标；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）联立直线方程，解方程组可得；（2）由距离公式可得|AB|和AB上的高h，代入三角形的面积公式可得．解答：解：（1）联立方程组，解得∥l1与l2的交点C的坐标为（﹣1，0）；（2）设AB上的高为h，则，由距离公式可得，AB边上的高h就是点C到AB的距离．AB边所在直线方程为，即x+y﹣4=0，点C到x+y﹣4=0的距离为，∥点评：本题考查直线的交点坐标和距离公式，涉及三角形的面积，属基础题．18．已知S n是等比数列{a n}的前n项的和，a2，a8，a5成等差数列．（1）求等比数列{a n}的公比q；（2）判断S3，S9，S6是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差中项的性质和等比数列的通项公式列出方程，求出公比q；（2）由（1）求出公比进行分类讨论，分别根据等差中项的性质进行判断即可．解答：解：（1）由题意得：2a8=a2+a5…所以，因为a1q≠0，所以2q6=1+q3，则2q6﹣q3﹣1=0…解得，所以．…证明：（2）①当q=1时，因为2S9≠S3+S6，所以q=1时S3，S9，S6不成等差数列；…②当q≠1时，知，所以，．所以2S9=S3+S6，所以q≠1时，S3，S9，S6成等差数列．…综上：当q=1时S3，S9，S6不成等差数列；当q≠1时，S3，S9，S6成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于中档题．19．如图所示，ABCD是正方形，PA∥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点（1）求证：AC∥DF；（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C﹣PED的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接ED、EF，由E、F是AC、PC的中点，可得EF∥PA，再由PA∥平面ABCD，可得EF∥平面ABCD，进而EF∥AC，由底面的对角线互相垂直及线面垂直的判定定理可得：AC∥平面DEF，进而AC∥DF；（2）由已知可得PA为三棱锥P﹣CED的高，由PA=2，AB=1，求出棱锥的底面和高，代入可得答案．解答：证明：（1）连接ED、EF，∥ABCD是正方形，E是AC的中点，∥ED∥AC…又∥E、F分别是AC、PC的中点∥EF∥PA…又∥PA∥平面ABCD，∥EF∥平面ABCD，…∥AC⊂平面ABCD，∥EF∥AC…又∥ED∩EF=E，ED，EF⊂平面DEF∥AC∥平面DEF…又∥DF⊂平面DEF故AC∥DF…解：（2）∥PA∥平面ABCD，∥是PA三棱锥P﹣CED的高，且PA=2∥ABCD是正方形，E是AC的中点，∥∥CED是等腰直角三角形…又∥AB=1，故，…故…点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，棱锥的体积，熟练掌握空间线面垂直与线线垂直的互相转化是解答的关键．20．已知等比数列{a n}满足：a2=4，公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设P n=，证明：p1+p2+p3+…+p n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a2=4，公比q=2，确定出等比数列{a n}的通项，把{a n}通项代入已知等式表示出S n，由n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，确定出数列{b n}的通项即可；（2）把a n与S n代入已知等式变形，整理后利用不等式的放缩即可得证．解答：解：（1）由a2=4，公比q=2，得，a n=a2•2n﹣2=2n，代入S n=b n﹣a n+得：S n=b n﹣（2n﹣1），则当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=b n﹣（2n﹣1）﹣b n﹣1+（2n﹣1﹣1），整理得：b n+2n=4（b n﹣1+2n﹣1），∥b1=S1=b2﹣，∥b1=2，∥数列{b n+2n}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，∥b n+2n=4×4n﹣1=4n，∥b n=4n﹣2n；（2）由b n=4n﹣2n，得S n=b n﹣（2n﹣1）=（4n﹣2n）﹣（2n﹣1）=（2n+1﹣1）（2n ﹣1），∥P n===（﹣），∥p i=p1+p2+p3+…+p n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）＜．点评：此题考查了数列的求和，等比数列的性质，以及数列的递推式，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
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2018年高一下学期期末考试
数学 第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B =，则满足条件的实数a 的个数有
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是
A.2sin y x =+
B. cos y x =
C. ln y x =
D. x
x
y e e
-=-
3.已知平行四边形A B C D 中，60,1,2A B C A B B C ∠===,则B A B D ⋅=
A. 1
B. 2
C. 1+
2-
4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a =
A. 0
B. 2
C. 13
D. 26
5.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：
如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9y
x =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 238
6.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为
A.10x y --=
B.10x y -+=
C.50x y --=
D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 12
B. 9
C. 6
D. 36
8.已知曲线11:s in ,:s in 23C y x C y x π⎛
⎫
==+
⎪⎝⎭
，则下列结论正确的是 A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12
倍，纵坐标不变，再把所得的曲线
向左平移
23
π个单位长度，得到曲线2C
B.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3
π
个单位长度，得到
曲线2C
C.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23
π个单位长度，得到
曲线2C
D. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3
π
个单位长度，得到
曲线2C
9.在直三棱柱111A B C A B C -中，,6,8A B B C A B B C ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为
A. 624
B.576
C. 672
D.720
10.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.
16
B.
13
C.
23
D.
56
11.在平面直角坐标系xo y 中，已知()15
0,0,,04O A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，曲线C 上任一点M 满足4O M A M =，点P 在
直线)1y x =
-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是
A. 13t <<
B. 14t <<
C. 23t <<
D. 24t << 12.已知两条直线()122:3,:2
61
l y l y m m ==
≤≤-，
1l 与函数2lo g y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2lo g y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若
,A C A B
B D
C
D a B A B
C D
⋅⋅=
=
，当m 变化时，b
a
的
范围是
A. 3
52,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 3
52,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 172,32⎡⎤⎣⎦
D.()17
2,32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若1c o s ,02
απα=-
-<<，则角α= .（用弧度表示）
14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .
15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299
y =
，则整数a 的值为 .
16.已知锐角,αβ满足()()sin co s 2co s sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，
tan 2α= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）
已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0
a x
x
x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求不等式()0f x >的解集.
18.（本题满分12分） 已知向量2
cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛
⎫⎛⎫
⎛
⎫
⎛
⎫=-
-=-∈ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭
，函数().f x a
b =⋅
（1）求函数()f x 的图象的对称中心；
（2）若,
4
2x π
π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦
，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.
19.（本题满分12分）
学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人.
（1）求这所学校分数在90—140分的学生人数；
（2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；
（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90
—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.
20.（本题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3,B P B C P C ===
（1）点,E F 分别为线段,B P D C 的中点，求证：//E F 平面A P D ；
（2）设G 为线段B C 上一点，且2B G G C =，求证：P G ⊥平面A B C D .
21.（本题满分12分）已知函数
()()s in 0,0,,2f
x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++
>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,2
2ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取
得最大值5，当32
x π=
时，()f x 取得最小值-1.
（1）求()f x 的解析式；
（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.
22.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2
2
16P A P B +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一
点Q 向圆()222
2:0C x y r r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.M Q N ∠=
（1）求点P 的轨迹方程和；
（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求O C D ∆面积最小时点Q 的坐标.。