九年级上学期期中考试数学试题及答案
y＝
k x
的图象经过点（
3，－ 2），则
k 的值是
（▲）
2 A. － 3
2 B. 3
C. － 6
D. 6
12
12
2. 函数 y x 1与 y x 的图象的不同之处是
2
2
（ ▲）
A. 对称轴
B. 开口方向
C. 顶点
D. 形状
3. 如图， A 、 B、 C、 D 四点都在⊙ O 上，∠ BOC=110 °，则 BDC 等于（ ▲ ）
其中正确的有 ▲ (填写正确结论的序号 ).
三 . 全面答一答 (本题有 8 个小题 , 共 66 分 )
, 证明过程或推演步骤 . 如果觉得有的题目有点困难 , 那么把自解答应写出文字说明己
能写出的解答写出一部分也可以 .
17． (本小题满分 6 分 ) 反比例函数 y
k (k
x
0）的图象经过（— 2， 5）和（ 2， n ） .
8. 下列命题中，真命题的个数是（
▲）
①平分弦的直径垂直于弦； ②圆内接平行四边形必为矩形；
直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．
A．5
B．4
C． 3
D． 2
③ 90°的圆周角所对的弦是
9.半径为 2cm 的⊙ O 中有长为 2 3 cm 的弦 AB ，则弦 AB 所对的圆周角度数为 （ ▲ ）
A. 60 0
B. 90 0
C. 600 或 1200
D. 45 0 或 900
k
y
10.如图，已知 A、 B 是反比例函数 y （ k＞ 0， x＞0）图象上
x
C
B
的两点， O、 A 在正比例函数 y x 图象上 ,BC∥ x 轴，交 y 轴
A
于点 C。动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O→ A→ B→ C（图中 N
B. 图象经过点（ 1,1） D. 当 x＜ 0 时， y 随着 x 的增大而增大
7. 函数 y 2x2 8x m 的图象上有两点 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，若 2 x1 x2，
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则（▲）
A. y1 y2
B. y1 y2
C. y1 y2
D. y1 、 y2 的大小不确定
A. 点 P 在⊙ O 内
B. 点 P 在⊙ O 上
C. 点 P 在⊙ O 外
D. 无法确定
5. 抛物线 y 1 x2 3 的顶点坐标是 2
（▲）
A. （ 1 ， -3） 2
B. （ -3， 0）
C.（0， -3）
D.（ 0， 3）
1 6. 已知反比例函数 y=x ，下列结论不正确的是
（▲）
A. 图象在第一、三象限 C. 当 x＞ 1 时， 0＜ y＜ 1
C B
· PO A
D 20. (本小题满分 8 分 ) 如图 AB 为⊙ O 的直径 ,CD 是弦 ,且 AB ⊥ CD 于点 E.连结 AC 、 OC、
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BC. (1)求证：∠ ACO= ∠ BCD
(2)若 EB=8cm ， CD=24cm ，求⊙ O 的直径 . A
O
E
C
D
B
21. (本小题满分 10 分 ) 如图，在直角坐标系中， O 为坐标原点 . 已知反比例函数
浙江省长兴县 2019 学年第一学期期中质量调研试题卷 九年级数学
（分值： 120 分 考试时间： 120 分钟）
一 . 仔细选一选 (本题有 10 个小题 , 每小题 3 分 , 共 30 分 )
下面每小题给出的四个选项中 , 只有一个是正确的 . 注意可以用多种不同的方法来选
取正确答案 .
1. 已知反比例函数
求（ 1） n 的值；（ 2）判断点 B（ 4 2 ， 2 ）是否在这个函数图象上，并说明理由 .
18．(本小题满分 6 分) 已知等腰△ ABC,AB=AC=4, ∠ BAC=120 0,请用圆规和直尺作出△ ABC 的外接圆．并计算此外接圆的半径 .
19． (本小题满分 8 分 ) 如图，在⊙ O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，∠ CAB=40 °， ∠ APD =65° . （ 1）求∠ B 的大小；（ 2）已知 AD=6 求圆心 O 到 BD 的距离 .
A. 110 ° B. 70 °
C. 55 °
D.125 °
C
C
O A
D B （第 3 题图）
O
P
A
DБайду номын сангаас
B
（第 4 题图）
4. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=6，AB=10 ，CD 是斜边 AB 上的中线，以 AC 为 直径作⊙ O，设线段 CD 的中点为 P，则点 P 与⊙ O 的位置关系是 （ ▲ ）
O
（第 12 题图）
A
B
C
12. 如图， ⊙ O 是△ AOBC 的外接圆， E∠BAC＝ 50°，点 P 在 AO 上（点 P 不与点 A、O 重合） ，
则∠ BPC 可能为 ▲ 度（写出一个即可）．
第 7题
13. 图象的顶点为 (-2 ， -2 )，且经过原点的二次函数的解析式是
▲．
14. 抛物线 y x 2 4x 7 可由函数 y x 2 图象经过怎样的平移得到的？答
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容 , 尽量完整地填写答案 .
11. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子
OA、 OB 在 O 点钉在一
起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位， OF=6
个单位，则圆的直径为 ▲ ．个单位 .
B
A
F
P
（第 11 题图）
P
“→”所示路线）匀速运动，终点为 C。过 P 作 PM⊥x 轴，
O
M
x
PN⊥ y 轴，垂足分别为 M 、 N。设四边形 OMPN 的面积为 S，
（第 10 题图）
P 点运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为 （ ▲ ）
S
S
S
S
O A． t O B． t O C． t O D． t
二 . 认真填一填 (本题有 6 个小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 )
▲．
15. 如图 , 在平面直角坐标系 x0y 中，直径为 10 的⊙ E 交 x 轴于点 A 、 B，交 y 轴于点 C、
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D，且点 A 、B 的坐标分别为 （ -4，0）、（2，0）。过 E 点的双曲线的解析式为
y
C
y
▲．
E
3x
O1
O
A
（第 15 题图）
B D
x
（第 16 题图）
16. 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论 : ①a+b+c=0 ；② 4a+b=0；③ abc<0；④ 4ac-b2<0；⑤当 x≠2 时，总有 4a+2b>ax2+bx
人教版九年级上册数学期中考试试题及答案
人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．抛物线()2211y x =--+的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,2-3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（）A ．16°B ．24°C ．34°D ．46°4．若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则202024a b --的值为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20225．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是 CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．若关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，则k 的值可能为（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．07．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（）A ．B ．C ．16D ．88．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 关于x 轴对称，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2OA =，将四边形OABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到四边形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2021次得到四边形202120212021OA B C ，那么点2021B 的坐标是（）A ．()1+B ．()3,0C ．()0,1-D ．()3,0-10．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m二、填空题11．若一元二次方程20x c -=的一个根为x =，则另一个根为______．12．将抛物线()232y x =--向右平移1个单位长度后经过点()2,A m ，则m 的值为______．13．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，可列方程为______．14．如图，以O 为圆心的圆与直线2y x =-+相交于A ，B 两点，若OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为______．15．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．三、解答题16．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()4,5A -，()3,0B -，()2,2C -．（1）若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点1C 的坐标为()3,2，写出顶点1A ，1B 的坐标，并画出111A B C △．（2）将ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到222A B C △，画出222A B C △．（3）若ABC 和333A B C △关于原点O 成中心对称，画出333A B C △．17．如图，在半圆O 中，P 是直径AB 上一动点，且6AB cm =，过点P 作PC AB ⊥交半圆O 于点C ，连接BC ，过点P 作PD BC ⊥于点D ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，CP ，PD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP ，CP ，PD 的长度的几组值，如下表：位置长度位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10/AP cm 0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51/CP cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65/PD cm1.401.962.272.312.272.131.871.390.890.48在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，若确定AP 的长度是自变量，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当2CP PD =时，AP 的长度约为______cm ．（精确到0.1cm ）．18．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC 为⊙O 的直径，在线段OC 上取点D （不与端点重合），作DG ⊥BC ，分别交AC 、圆周于E 、F ，连接AG ，已知AG ＝EG ．（1）求证：AG 为⊙O 的切线；（2）已知AG ＝2，填空：①当四边形ABOF 是菱形时，∠AEG ＝°；②若OC ＝2DC ，△AGE 为等腰直角三角形，则AB ＝．19．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程32230x x x --=，通过因式分解可以把它转化为()2230x x x --=，解方程0x =和2230x x --=，可得方程32230x x x --=的解．问题：（1）方程32230x x x --=的解是10x =，2x =______，3x =______．（2）求方程32616x x x =+的解．拓展：（3）用“转化”x =的解．20．问题发现：（1）如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，90ACD ∠=︒，CA CD =，CB CE =，连接AE ，BD ，线段AE ，BD 之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：（2）如图2，把Rt ACD △绕点C 逆时针旋转，线段AE ，BD 交于点F ，则AE 与BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC CD =，BC CE =，90ACD BCE ∠=∠=︒，连接AB ，AE ，AD ，把线段AB 绕点A 旋转，若5,AB =，3AC =，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．21．用适当的方法解下列方程：（1）()2222x x -=-（2）21080x x -+=22．如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点．（1）求证：PN 与⊙O 相切；（2）如果∠MPC=30°，，求劣弧 BE的长．23．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若12AD =， 6.5DE =，求BC 的长．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠交x 轴于A ，B 两点，已知点A 的坐标为()4,0-，2AO BO =．（1）求抛物线的解析式．（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由，∠=∠，请直接写出点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得OPC OAC参考答案1．B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B：是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；C：不是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；故答案选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的分辨，熟记轴对称和中心对称的有关概念是解题的关键．2．C 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质可以得到解答．【详解】解：∵二次函数()2y a x h k =-+图象的顶点坐标为（h,k ），∴抛物线()2211y x =--+的顶点坐标是（1，1），故选C ．【点睛】本题考查抛物线的应用，熟记二次函数的顶点式及其对应性质是解题关键．3．C 【分析】先根据圆周角定理由AB 是O 的直径得到90ADB ∠=︒，再根据互余得到9034A ABD Ð=°-Ð=°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905634A ABD \Ð=°-Ð=°-°=°，34BCD A \Ð=Ð=°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟悉相关性质是解题的关键．4．D 【分析】把1x =代入一元二次方程220x ax b ++=，得到21a b +=-，代入求职即可；【详解】∵1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，∴120a b ++=，∴21a b +=-，∴()()2020242020222020212022--=-+=-⨯-=a b a b ；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，结合代数式求值是解题的关键．5．B 【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．【详解】解：连接OA 、OB 、如图所示：∵∠AOB ＝3606︒＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．6．D 【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k 的范围即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，∴△＝4+4k ≥0，解得：k≥﹣1．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．A【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．【详解】连接OA，∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，∴CO＝6，PO=4，∵AB⊥CD，∴，∴AB＝2AP＝2⨯=故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点．对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．9．A【分析】连接AC 交OB 于E ．解直角三角形求出点B 的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：连接AC 交OB 于E ．由题意，2OA OC ==，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，四边形AOCB 关于x 轴对称，30AOE ∴∠=︒，45ABE ∠=︒，cos30OE OA \=°=g ．sin 301AE EB OA ==°=g ，1B \，0)，11)B ，2(1B -，0)，3(0,1)B -，41B ，0)，观察图象可知，4次一个循环，202145051¸=Q L ，2021B \的坐标与1B 相同，故选：A ．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，熟悉探究规律的方法是解题的关键．10．B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+，代入得12a =-，12c =，∴抛物线的解析式为21122y x =-+．当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6B C B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．11．x =【分析】将一元二次方程20x c -=的一个根代入方程，求出c 的值，再利用直接开平方的方法解方程，求另一根即可．【详解】若一元二次方程20x c -=的一个根为x =，把x =20c -=，3c =，原方程为：230x -=，直接开平方得=x ±，则另一个根为x =故答案为：x =．【点睛】本题考查一元二次方程的根与解法问题，掌握一元二次方程的根的意义与方程的解法，会用已知根求待定系数，会解方程求其它根是解题关键．12．2【分析】根据“左加右减”的法则，求出抛物线的解析式，然后将点()2,A m 代入进行解答即可．【详解】解：将抛物线()232y x =--向右平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为()()2231242y x x =---=--，将点()2,A m 代入得：()22422m =--=，故答案是：2．本题考查的是二次函数图象平移的法则和根据二次函数关系式求参数，熟悉相关性质是解答此题的关键．13．()11452x x -=【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为(1)2x x -，即可列方程．【详解】解：设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：()11452x x -=故答案为：()11452x x -=．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．14．9【分析】设直线2y x =-+交坐标轴于点C 、D ，作OE ⊥CD 于点E ，根据直线解析式求得C 、D 点坐标，得到CD 长，根据三角形面积公式得到OE 长，然后利用弧长公式，即可得到弧AB 的长度．【详解】设直线2y x =-+交坐标轴于点C 、D ，作OE ⊥CD 于点E当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，故点C 的坐标为（0，2），点D （2，0），故CD=，∵根据三角形面积公式，得：22OD OC CD OE ∙∙=，∴，∵△OAB 是等边三角形，∴60AOB ∠=︒∴OA===︒sin 6032OE ，∴弧AB的长度为：π⨯603=1809，故答案为：26π9．【点睛】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质、一次函数与几何综合，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论．【详解】解：当BC BP =时，如图1．∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，∴140COP COB ∠=∠=︒，∴14040100θ=︒-︒=︒．故答案为40°或100°．【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．16．（1）1A ()1,5，1B ()2,0，见解析；（2）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据点C 平移后的坐标C 1，可以得到平移的规律，然后根据规律把A 、B 的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得；（2）把点A 、B 、C 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到A 2、B 2、C 2，连接三点坐标即可；（3）作出A 、B 、C 关于原点O 的中心对称点333A B C 、、，连接三点坐标即可．【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所作；因为点()2,2C -平移后的对应点1C 的坐标为()3,2，所以ABC 向右平移5个单位长度得到111A B C △，所以点1A 的坐标为()1,5，点1B 的坐标为()2,0；（2）如图，作A 、B 、C 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到A 2、B 2、C 2，连接三点坐标得222A B C △即为所作；（3）如图，作出A 、B 、C 关于原点O 的中心对称点333A B C 、、，连接333A B C △即为所作．【点睛】本题考查了图形的作法，图形的平移、图形的旋转和图形的中心对称的作法，熟练掌握作图是做题的关键．17．（1）图见解析；（2）4.5【分析】（1）先描点，再画出图象即可；（2）由函数图象推断即可得出答案．【详解】（1）由图表观察，可看出随着AP 的变化，CP 和PD 都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP 的长度是自变量，CP 和PD 的长度都是这个自变量的函数．所以通过秒点，连线作函数图象如下：（2）由图象可推断：当2CP PD 时，线段AP 的长度约为4.5．【点睛】此题主要考查函数的概念和图象，正确理解函数的概念是解题关键．18．（1）证明见解析；（2）①60，②2．【分析】（1）连接OA ，证明∠OAG=90°，即可证得AG 为⊙O 的切线；（2）①连接OA ，AF ，OF ，当四边形ABOF 为菱形，则△AOB 为等边三角形，从而求出∠ACB ，∠DEC 的度数，根据对顶角相等即可得到∠AEG 的度数；②若△AGE 为等腰直角三角形，则可以得出△DEC,△ABC 均为等腰三角形，通过证明四边形AODG 是矩形，得到DC=AG ，从而得到BC 的长度，根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB 的长．【详解】（1）证明：连接OA ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵GA ＝GE ，∴∠GAE ＝∠GEA ，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，连接OA．∵△AGE 是等腰直角三角形，∴∠AEG ＝∠DEC ＝∠DCE ＝45°，∴△EDC ，△ABC 都是等腰直角三角形，∵OB ＝OC ，∴AO ⊥OC ，∴∠AOD ＝∠ODG ＝∠G ＝90°，∴四边形AODG 是矩形，∴AG ＝OD ＝2，∴OC ＝2OD ＝4，∴BC ＝2OC ＝8，∴AB ＝AC ＝2，故答案为2．【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．19．（1）1-，3；（2）10x =，22x =-，38x =；（3）3x =【分析】（1）32230x x x --=各项都有x ，提出公因式x ，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为()()130x x x +-=，解之即可，（2）方程32616x x x =+，化为一般形式326160x x x --=，各项都有x ，提出公因式x ，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为()()280x x x +-=解之即可，（3215x x -+=，方程两边平方，整理得22150x x +-=，利用十字相乘法分解为()()530x x +-=，解之求出x ，要注意无理方程的条件限定2150,0,x x -+≥⎧⎨≥⎩，进行取舍即可．【详解】解：（1）32230x x x --=，2(23)0x x x --=()()130x x x +-=123=0=13x x -=，，x 故答案为：1-；3．（2）方程32616x x x =+，可化为326160x x x --=，()26160x x x --=，()()280x x x +-=．∴0x =或20x +=或80x -=，∴10x =，22x =-，38x =．（3x =，方程两边平方，得2215x x -+=，即22150x x +-=，()()530x x +-=，∴50x +=或30x -=，15x =-，23x =．∵2150,0,x x -+≥⎧⎨≥⎩得07.5x ≤≤，∴3x =是原方程的解．【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键．20．问题发现：（1）AE BD =；AE BD ⊥；拓展探究：（2）成立，理由见解析；拓展延伸：（3）5+【分析】问题发现：（1）根据题目条件证△ACE ≌△DCB ，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：（2）依然用SAS 证ACE DCB ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得；拓展延伸：（3）如图2，连接BD ，证明()ACE DCB SAS ≌，再通过ADB △的三边关系即可求解.【详解】解：问题发现：（1）如下图，延长BD ，交AE 于点F ，∵90ACD ∠=︒∴90,ACE DCB ︒∠=∠=又∵,CA CD CB CE==∴B ACE DC ≅∆ （SAS ），∴AE=BD ，∠CAE=∠CDB∵90CDB CBD ∠+∠=︒∴90CAE CBD ∠+∠=︒∴90AFD ∠=︒∴AF FB⊥∴AE ⊥BD ，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥拓展探究：（2）成立．理由：如图1，设CE 与BD 相交于点G ．∵90ACD BCE ∠=∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠．又∵CB CE =，AC CD =，∴()ACE DCB SAS ≌，∴AE BD =，AEC DBC ∠=∠．∵90CBD CGB ∠+∠=︒，∴90AEC EGF ∠+∠=︒，∴90AFB ∠=︒，∴BD AE ⊥．拓展延伸：（3）AE 的最大值为5+．提示：如图2，连接BD ．∵90ACD BCE ∠=∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠，又∵CB CE =，AC CD =，∴()ACE DCB SAS ≌，∴AE BD =，∵3AC CD ==，90ACD ∠=︒，∴=AD 在ADB △中，BD AD AB ≤+，∴5BD ≤，故AE 的最大值为5+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，有2个形状相同的图形，有一个公共点，就是手拉手模型，手拉手模型必有全等，证明方法都是用“SAS”，所以熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．21．（1）12x =，2 2.5x =；（2）15x =25x =【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【详解】解：（1）22(2)2x x -=- ，22(2)(2)0x x ∴---=，则(2)(25)0x x --=，20x ∴-=或250x -=，解得12x =，2 2.5x =；（2）21080x x -+= ，2108x x ∴-=-，则21025825x x -+=-+，即2(5)17x -=，5x ∴-=则15x =25x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（1）证明见解析（2）43π【分析】（1）连接OE ，过O 作OF ⊥PN ，如图所示，利用AAS 得到△PEO ≌△PFO ，得到OF=OE ，即可确定出PN 与圆O 相切；（2）在Rt △POE 中，由∠MPC=30°，PE=，得到∠EOP=60°，OE=2，∠EOB=120°，利用弧长公式即可求出劣弧 BE的长．【详解】解：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∵∠EPO=∠FPO，∠OEP=∠OFP，OP=OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则 BE的长l=1202180π⨯=43π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．23．（1）证明见解析；（2）15.2 BC=【分析】（1）连接OD，利用切线的性质与已知的直角，结合互余的性质可得答案，（2）连接CD，结合（1）问的结论，利用直径所对的圆周角是直角，证明AE=CE，设BD x=，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，DE是切线，90ODE ∴∠=︒，90ADE BDO ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OD OB =，B BDO ∴∠=∠，ADE A ∴∠=∠．（2）解：连接CD ．ADE A ∠=∠，AE DE ∴=，BC 是⊙O 的直径，90ACB ∠=︒，EC ∴是⊙O 的切线，ED EC ∴=，AE EC ∴=，5DE =，210AC DE ∴==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，22226(8)10x x ∴+=+-，解得92x =，152BC ∴==．【点睛】本题考查圆的基本性质，切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）233384y x x =+-；（2）存在，32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）3211,22⎛--+ ⎪⎝⎭或3211,22⎛--- ⎪⎝⎭【分析】（1）点A 的坐标为()4,0-，2AO BO =求出BO =2，设抛物线的解析式为()()24228y a x x ax ax a =+-=+-，由题意得83a -=-，解出即可，（2）存在．先求出AC 的解析式，设点D 的坐标为233384m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，点E 的坐标为334m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，求出DE 距离解析式233333484DE y m m m ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用配方法求y 的最值即可，（3）点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎪⎝⎭或3211,22⎛--- ⎪⎝⎭．以线段AC 为直径作M ，分别交抛物线的对称轴于P ，Q 两点，求出AC 中点M 的坐标．过M 作MN ⊥PQ 于N ，求出弦心距MN 的长，连接PM 、QM ，利用勾股定理PN ，QN 即可．【详解】解：（1）∵点A 的坐标为()4,0-，AO =4,2AO BO =，BO =2，∴点B 的坐标为()2,0，设抛物线的解析式为()()24228y a x x ax ax a =+-=+-，∴83a -=-，解得38a =，∴抛物线的解析式为()()3428y x x =+-，即233384y x x =+-；（2）存在．理由：如图1，设直线AC 的解析式为3y kx =-，将点()4,0A -代入3y kx =-得34k =-，∴直线AC 的解析式为334y x =--，设点D 的坐标为233,384m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，点E 的坐标为3,34m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()22233333333324848282DE y m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵308-<，∴当2m =-时，DE y 有最大值，∴点E 的坐标为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭或3211,22⎛--- ⎝⎭．如图2，以线段AC 为直径作M ，分别交抛物线的对称轴于P ，Q 两点，连接MP ，MQ ，作MN PQ ⊥，垂足为N ，∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,3-，∴AC 中点M 的坐标为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∵抛物线233384y x x =+-的对称轴为直线1x =-，∴()121MN =---=．由勾股定理得5AC =，故1522MP MQ AC ===．在Rt MNP △中，52MP =，1MN =，∴212PN ==．∵点N 的坐标为31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭，点Q 的坐标为3211,22⎛--- ⎝⎭．由圆周角定理知OPC OQC OAC ∠=∠=∠，故点P 的坐标为3211,22⎛--+ ⎝⎭或3211,22⎛--- ⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线解析式，直线解析式，满足条件点坐标问题，掌握抛物线的性质，会求抛物线的解析式，直线解析式，会利用配方法求距离函数的最值，会利用同弧圆周角确定对称轴的交点，利用勾股定理求弦长是关键．。
人教版九年级上册数学期中考试试题带答案
人教版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程2x x =的解是（）A ．1x =B ．0x =C ．11x =-，20x =D ．11x =，20x =3．下列方程中，没有实数根的是（）A ．20x x +=B ．23410x x -+=C ．24520x x -+=D ．25410x x --=4．抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是()A ．（3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3，1）D ．（﹣3，﹣1）5．在平面直角坐标系中，点(2,1)A -与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（）A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)D ．(2,1)--6．已知⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．87．已知抛物线243y x x =+-，（1，y 1）与（2，y 2）是该抛物线上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．不确定8．如图，已知在⊙O 中，点A ，B ，C 均在圆上，∠AOB ＝80°，则∠ACB 等于()A ．130°B ．140°C ．145°D ．150°9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=10．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将一元二次方程x 2-8x -1＝0配方得___________________．12．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________°.13．若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为______．14．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况是________.15．如图,圆O 的半径为2.C 1是函数y=x 2的图象,C 2是函数y=−x 2的图象，则阴影部分的面积是___.16．如图，将等边ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD △，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是_______．17．如图所示，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．如果抛物线C1的解析式为y＝34(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为:___________________________三、解答题18．解方程x2＋4x－5＝019．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连结EF，则△AEF是三角形；并证明20．如图，AB为⊙O的弦，C，D为直线AB上的两点，OC=OD．（1）尺规作图：过点O作直线AB的垂线，垂足为点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件上，求证：AC=BD．21．某商店在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.如果要盈利1200元,那每件降价多少元?22．如图，⊙O的直径AB为5，弦AC为3，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求AD的长．23．已知抛物线y＝ax2＋b x＋c经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y＝ax2＋b x＋c当x＜0时的图象．24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当△AOD是直角三角形且∠ADO=90°时，求α的度数；（3）当α=110°或125°或140°时，判断△AOD的形状，请选择其中一种情况说明理由．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm2．（1）y与t之间的函数关系式；（2）求自变量t的取值范围；（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．参考答案1．D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】A选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；B选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；C选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；D选项是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．2．D【解析】试题分析：∵20x x -=，∴x （x ﹣1）=0，∴x=0或x ﹣1=0，∴11x =，20x =．故选D ．考点：解一元二次方程-因式分解法．3．C【分析】根据根的判别式逐个判断即可．【详解】解：A 、20x x +=，△＝12−4×1×0＝1＞0，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、23410x x -+=，△＝(-4)2−4×1×3＝4＞0，即方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、24520x x -+=，△＝(-5)2−4×2×4＝−7＜0，方程没有实数根，故本选项符合题意；D 、25410x x --=，△＝（−4）2−4×5×(-1)＝36＞0，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2−bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，a≠0），当△＝b 2−4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝b 2−4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＝b 2−4ac ＜0时，方程没有实数根．4．A【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.【详解】抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是（3，1）.故选A.5．B【详解】试题解析：∵点A坐标为（-2，1），且点B与点A关于原点对称，∴点B的坐标为（2，-1）．故选B．考点：关于原点对称的点的坐标．6．D【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AM=12AB，再根据勾股定理求出AM的值．【详解】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=12AB，由勾股定理可得，，所以AB=2AM=8．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.也考查了勾股定理的应用.7．B【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，在根据对称轴两侧的增减性即可得出结论．【详解】解：抛物线243y x x =+-的对称轴为直线x=4221-=-⨯，开口向上∴当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大∵-2＜1＜2∴y 1<y 2故选B ．【点睛】此题考查的是比较二次函数上两点的纵坐标大小，掌握二次函数图象对称轴求法和对称轴两侧的增减性是解决此题的关键．8．B【分析】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA ，EB ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB 的度数．【详解】解：设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA ，EB,∵∠AOB=80°,∴∠E=12∠AOB=40°,∴∠ACB=180°-∠E=140°．故选B ．【点睛】本题主要考查了利用了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．C【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列方程即可，设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据“2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元”，可得出方程．【详解】设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．10．C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B.∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．11．（x-4）2=17【分析】先移项，然后根据完全平方公式配方即可【详解】解：x 2-8x -1＝0x 2-8x ＝1x 2-8x +16＝1+16（x -4）2=17故答案为：（x -4）2=17．【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．12．60【解析】解：∵同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，111206022ACB AOB ∴∠=∠=⨯= .点睛：本题考查了圆周定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．13．6或12或10【分析】由等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【详解】解：∵2680x x -+=，∴()()240x x --=，解得：2x =或4x =，∵等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，∴当2是等腰三角形的腰时，2＋2＝4，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，2＋4＞4，则这个三角形的周长为2＋4＋4＝10．当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2＋2＋2＝6．当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4＋4＋4＝12．∴这个三角形的周长为6或12或10．故答案为6或12或10．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论思想的应用．特别注意不要忘记三边都是2或都是4的情况.14．有两个不相等的实数根【解析】根据抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有两个交点，即ax 2+bx +c =0时，有两个不相等的实数根，从而可以得到本题答案．解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有两个交点，∴ax 2+bx +c =0时有两个不相等的实数根．故答案为两个不相等的实数根.15．2π【分析】根据圆和二次函数图象的对称性，用割补法和圆的面积公式，即可求解.【详解】把x 轴下方阴影部分关于x 轴对称后，原图形阴影部分的面积和，变为一个半圆的面积，即2222ππ⋅=【点睛】利用图形的对称性，把不规则的阴影部分，补成规则的图形，再用圆的面积公式求解.16．60︒【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF 的度数．【详解】∵将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，∴旋转角为60°，E ，F 是对应点，则∠EAF 的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．17．y=-34(x -2)2+1【详解】试题解析：抛物线C 1的解析式为23(2)14y x =+-，抛物线1C 的开口向上，顶点坐标为：()2,1.--抛物线C 1，抛物线C 2关于原点中心对称．抛物线C 2的开口向下，顶点坐标为：()2,1.∴抛物线C 2的解析式为23(2) 1.4y x =--+故答案为23(2) 1.4y x =--+18．11x =，25x =-.【解析】x 2＋4x －5＝0，b 2-4ac=42-4×(-5)=36，2b x a-==4362-±=462-±，11x =，25x =-.19．（1）A ；90；（2）△AEF 是等腰直角三角形，【解析】试题分析：（1）利用旋转的定义直接填写即可；（2）可证明△ADE ≌△ABF ，可得出AE=AF ，且可求得∠EAF=90°；试题解析：（1）由旋转的定义可知旋转中心为A ，AD 从AD 到AB ，可知旋转了90°．（2）△AEF 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=90°，∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB=∠EAF=90°，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形；考点：1.旋转的性质；2.点与圆的位置关系；3.作图—复杂作图．20．（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P即可；（2）根据三线合一和垂径定理可得PC=PD，PA=PB，然后根据等式的基本性质即可得出结论．【详解】解：（1）分别以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P，根据圆的性质和作图方法，OP⊥AB，如下图所示，点P即为所求．（2）∵OC=OD，OP⊥AB于点P∴PC=PD，PA=PB∴PC-PA=PD-PB，即AC=BD【点睛】此题考查的是用尺规作图作线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和垂径定理，掌握线段垂直平分线的作法、三线合一和垂径定理是解决此题的关键．21．每件童装应降价20元.【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【详解】如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件．设每件童装应降价x元，依题意得（40-x）（20+2x）=1200，整理得x2-30x+200=0，解之得x1=10，x2=20，因要减少库存，故x=20．答：每件童装应降价20元．【点睛】首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）4；（2）52 2【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，然后根据勾股定理即可求出BC；（2）根据角平分线的定义即可求出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠DAB和∠DBA，从而得出△ADB是等腰直角三角形，【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ACB中，由勾股定理，得4BC===（2）∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°∴∠DAB =∠BCD=45°，∠DBA =∠ACD=45°∵∠ADB =90°∴△ADB 是等腰直角三角形∴AD=BD根据勾股定理可得222AD BD AB +=22525222AD AB ∴==⨯=【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等和勾股定理是解决此题的关键．23．（1）213222y x x =-++；325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）见解析【分析】（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入解析式中即可求出抛物线的解析式，然后将一般式转化为顶点式即可求出其顶点坐标；（2）列表、描点、连线即可．【详解】解：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得201643255c a b c a b c =⎧⎪=++⎨⎪-=++⎩解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，将其化为顶点式213222y x x =-++=21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴该抛物线的顶点坐标为325,28⎛⎫⎪⎝⎭（2）列表x-2-10y -302描点，连线，当x ＜0时的图象如下图所示．【点睛】此题考查的是求抛物线的解析式、顶点坐标和画二次函数的图象，掌握利用待定系数法求二次函数的解析式、将二次函数的一般式转化为顶点式和画二次函数的图象是解决此题的关键．24．（1）证明见解析；（2）150°；（3）△AOD 是等腰三角形，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，然后根据旋转的性质可得∠OCB =∠DCA ，OC=DC ，即可证出∠ACB=∠OCD=60°，从而证出结论；（2）根据等边三角形的性质和已知条件即可求出∠ADC ，然后根据旋转的性质即可求出结论；（3）根据α的度数、旋转的性质、周角的定义、三角形的内角和定理分别求出△AOD 的三个内角即可得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形∴∠ACB=60°∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC∴∠OCB=∠DCA，OC=DC∴∠OCB＋∠ACO=∠DCA＋∠ACO∴∠ACB=∠OCD=60°∴△COD是等边三角形（2）解：∵△COD是等边三角形∴∠CDO=60°∵∠ADO=90°∴∠ADC=∠CDO+∠ADO=60°+90°=150°∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC∴α=∠ADC=150°（3）解：当α=110°或125°或140°时，△AOD均是等腰三角形当α=110°时，理由如下：∴α=∠ADC=110°∵∠ADO=∠ADC-∠CDO=50°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD=80°∴∠OAD=180°-∠ADO-∠AOD=50°=∠ADO∴△AOD是等腰三角形；当α=125°时，理由如下：∴α=∠ADC=125°∵∠ADO=∠ADC-∠CDO=65°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD=65°∴∠ADO=∠AOD∴△AOD是等腰三角形；当α=140°时，理由如下：∴α=∠ADC=140°∵∠ADO=∠ADC-∠CDO=80°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD=50°∴∠OAD=180°-∠ADO-∠AOD=50°=∠AOD∴△AOD是等腰三角形以上证明方法任选其一即可．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、旋转的性质和等腰三角形的判定，掌握等边三角形的性质、旋转的性质和等角对等边是解决此题的关键．25．（1）y＝4t2﹣24t+144；（2）0＜t＜6；（3）四边形APQC的面积不能等于172mm2，见解析.【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．【详解】解：（1）∵出发时间为t，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，∴PB＝12﹣2t，BQ＝4t，∴y＝12×12×24﹣12×（12﹣2t）×4t＝4t2﹣24t+144．（2）∵t＞0，12﹣2t＞0，∴0＜t＜6．（3）不能，4t2﹣24t+144＝172，解得：t1＝7，t2＝﹣1（不合题意，舍去）因为0＜t＜6．所以t＝7不在范围内，所以四边形APQC的面积不能等于172mm2．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．。
湖北省荆州市监利市2024-2025学年上学期九年级期中学业水平监测数学试题(含答案)
监利市2024—2025学年度上学期九年级期中学业水平监测数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔.一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题要求）1.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意.月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样，下列月饼图案中，为中心对称图形的是A. B. C. D.2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为A.-2B.2C.4D.-44.如图，内接于，是的直径，若，则A. B. C. D.5.关于二次函数的性质，下列说法错误的是A.该函数图象的开口向上B.该函数图象的对称轴是C.该函数的最小值为-1D.当时，随的增大而减小90︒60︒45︒30︒3x =230x bx +-=b ABC △O CD O 50B ∠=︒ACD ∠=30︒40︒50︒60︒()2321y x =--2x =2x >y x6.用配方法解方程时，配方正确的是A. B.C. D.7.若，是方程的两个根，则的值为A.2026B.C.2022D.-20268.如图，以原点为圆心的圆交轴于点，两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是A. B. C. D.9.掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目.如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处.该男生在此项考试中的成绩是A. B. C.D.10.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间.则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根：④.其中正确的结论是A.①②B.②③④C.①②④ D.③④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.抛物线的顶点坐标是________.2620x x +-=()2311x +=()237x +=()2638x +=()2634x +=m n 2220240x x +-=23m m n ++2022-O x A B y C D O 65OCD ∠=︒DAB ∠40︒20︒50︒25︒()m y ()m x 9m 54m 3m 10m()4m ()4m +()20y ax bx c a =++≠()1,n x ()3,0()4,0240b ac ->20a b +=21ax bx c n ++=+420a b c -+<()223y x =-++12.在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则=________.13.如图，是的半径，弦于点，连接，若的长为8cm ，的长为，则的半径长为________cm.14.在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有________支.15.在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知函数是关于的二次函数.（1）求的值；（2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标.18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，.（1）画出关于原点成中心对称的；（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的.19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；(),2m -()1,n m n +OA O BC OA ⊥D OB BC AD 2cm O ABCD 6AB =E BC F 2BE =3EF =AF AF A 90︒AP PE 2420x x +-=22150x x +-=()214m m y m xx -=-+x m m ()5,1A -()3,4B -()1,2C -ABC △O 111A B C △ABC △O 90︒222A B C △x ()222110x m x m --++=m（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值.20.（8分）如图，抛物线与直线相交于和，（1）求和的值，及抛物线的解析式：（2）结合图象直接写出不等式的解集.21.（8分）如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，.（1）求证：；（2）若，求的半径.22.（10分）阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价（元/千克）222426销售量（千克）20018016（1）求与之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？（3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？23.（11分）【问题情境】活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定的数量关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于的角）.如图1，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段的夹角.如图2，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角.1x 2x 12111x x +=-m 21y ax bx =+22y kx =+()2,0-()1,n k n 12y y >AB O C D AB //OD BC AC E 30BAC ∠=︒ CDBC =AC =O y x x y y x w 90︒ABC △A 20︒ADE △BC DE 20BMD ∠=︒ABC △A 100︒ADE △BC DE 80BMD ∠=︒【特例分析】（1）如图1，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为度；如图2，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为度；【类比分析】（2）如图3，若将等边绕点逆时针旋转得到，连接交于，求与的数量关系；【延伸应用】（3）如图4，已知是等边三角形，，分别在边和上截取和，使得，连接.将绕点逆时针旋转，连接，当和所在直线互相垂直时，请直接写出的长.24.（12分）如图，抛物线交轴于，两点在左边），交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为.（1）直接写出点，，的坐标；（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点.当线段的长度最大时，求点的坐标；（3）如图2，连接，，过点作直线，交轴于点.若平分线段，求直线的解析式.ABC △A 30︒ADE △BC DE ABC △A 130︒ADE △BC DE ABC △A 120︒ADE △CE AB F AB CE ABC △6AB =AB AC ADAE AD AE ==DE ADE △A CD BC DE CD 211242y x x =--+x A B A B y C P n A B C AC P //PD y AC D PD P AC BC P //PQ BC y Q AC PQ PQ监利市2024-2025学年度上学期九年级期中学业水平监测九年级数学答案与评分说明（请各位教师在阅卷前先做题审答案）一、选择题1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.B9.D 10.C二、填空题11.（-2，3） 12.11 13.5 14.6 15.三、解答题（其他解法，正确即可.）16.解：（1），，，，……（1分），3分）（2）因式分解，得，……（4分）或，，.……（6分）17.解：（1）函数是关于的二次函数，，解得，；……（2分）（2）抛物线有最高点，，，当时，抛物线有最高点，……（4分）二次函数的解析式为，当时，取最大值为2，最高点的坐标为.……（6分）18.解：（1）如图，即为所求；……（3分）31a =4b =2c =-()2441224∆=-⨯⨯-=2x ==-12x =-22x =-()()350x x -+=30x -=50x +=13x =25x =- ()214m m y m x x -=-+x 22m m ∴-=12m =21m =- 10m ∴-<1m ∴<∴1m =-∴224y x x =-+∴4124b m a =-=-=-y ∴()1,2111A B C △（2）如图，即为所求.……（6分）19.解：（1）根据题意得，，……（2分）解得，所以的取值范围是；……（4分）（2）根据题意得，，，……（5分）所以，……（6分）解得，，……（7分）又，所以.……（8分）20.解：（1）将代入得，，解得，……（1分），将代入得，，……（2分）将和分别代入得，解得，……（4分）抛物线的解析式为；……（5分）（2）不等式的解集为或.……（8分，答对一个结果得2分，答对两个结果得3分）21.解：（1）连接，222A B C △()()2221410m m ⎡⎤∆=---+>⎣⎦34m <-m 34m <-()1221211m x x m --+=-=-2212111m x x m +⋅==+1221212112111x x m x x x x m +-+===-+10m =22m =-34m <-2m =-()2,0-22y kx =+022k =-+1k =22y x ∴=+()1,n 22y x =+3n =()2,0-()1,321y ax bx =+0423a b a b =-⎧⎨=+⎩12a b =⎧⎨=⎩∴212y x x =+12y y >2x <-1x >OC是直径，，……（1分），，……（2分），……（3分），，，……（4分）；……（5分）（2），，……（6分）设的半径为，则，在中，，即，……（7分）解得或（舍），答：的半径为2.……（8分）22.解：（1）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入得，解得，与之间的函数关系式为；……（3分）（2）根据题意得，……（4分）解得，（舍），……（5分）答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元；……（6分）（3）由题意得，……（7分），AB O 90ACB ∴∠=︒//OD BC OD AC ∴⊥ AD CD∴=30BAC ︒∠= 60AOD COD ∴∠=∠=︒260BOC BAC ∠=∠=︒ CDBC ∴=OD AC ⊥ AC =12AE AC ∴==O r 12OE r =Rt AOE △222AE OE AO +=22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2r =2r =-O y x y kx b =+22x =200y =24x =180y =y kx b =+2002218024k b k b=+⎧⎨=+⎩10420k b =-⎧⎨=⎩y ∴x 10420y x =-+()()16104201600x x --+=126x =232x =()()21610420105806720w x x x x =--+=-+-100a =-<当时，取最大值，……（8分）当时，随的增大而增大，当时，最大为1680，……（9分）答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元.……（10分）23.解：（1）30；50；……（2分）（2）根据旋转的性质可得，，，……（3分）是等边三角形，，，，，，……（5分），，在中，，即，，；……（7分）（3）如图，①当在直线的上方时，过点作于点，；……（9分）②当在直线的下方时，过点作于点，延长线交的延长线于点，……（11分）24.解：（1），，；……（3分）（2）设直线的解析式为，将代入得，解得，直线的解析式为，……（4分）点在第二象限的抛物线上，点在直线上，∴58029220bxa=-=-=-w∴1628x≤≤w x∴28x=w120EAC∠=︒ABC ADE△≌△ABC△60BAC∴∠=︒AB AC AE==60BAE EAC BAC BAC∴∠=∠-∠=︒=∠90AFE∴∠=︒EF CF=30AEF∴∠=︒2AE AF∴=Rt AEF△222AF EF AE+=()2222AF EF AF+=EF∴=2CE EF∴====DE AC D DH AC⊥H CD=DE AC D DH AC⊥H ED BC G CD=()4,0A-()2,0B()0,2CAC2y kx=+()4,0A-420k-+=12k=∴AC122y x=+P D AC，，，，……（5分）当时，最大，……（6分）此时点的坐标为；……（7分）（3）设直线的解析式为，将代入得，解得，直线的解析式为，……（8分），设直线的解析式为，将代入得，，，直线的解析式为，……（9分），线段的中点坐标为，……（10分）平分线段，线段的中点在直线上，将代入得，解得：，，（舍去）……（11分）直线的解析式为.……（12分）211,242P n n n ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭()40n -<<1,22D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭221111224224PD n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴12122b n a -=-=-=--PD P ()2,2-BC 2y mx =+()2,0B 220m +=1m =-∴BC 2y x =-+//PQ BC PQ y x b =-+211,242P n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭211242n n n b ∴--+=-+211242b n n ∴=-++∴PQ 211242y x n n =--++2110,242Q n n ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭∴PQ 211,224n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭AC PQ ∴PQ AC 211,224n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭122y x =+2112244n n -+=+11n =-20n =∴PQ 54y x =-+。
河南省郑州外国语中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024--2025学年上期九年级期中考试数学试题考试范围：九年级上册考试时间：100分钟试卷满分：120分一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为( )A. x2+1xB.x²-xy=0C.x²+2x=1D.ax²+bx=0(a、b为常数)2.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图（）3. 已知线段a 、b 、c, 作线段x, 使b:a=x:c, 则正确的作法是( )A B C D4.将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中(每个小球上仅标一个汉字),这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是( )A. B. C. D5. 若把方程x²-4x-1=0 化为(x+m)²=n 的形式，则n的值是( )A.5B.2C.-2D.-56. 如图，已知矩形ABCD中，E 为BC 边上一点，DF⊥AE 于点F, 且AB=6,AD=12, AE=10, 则DF的长为( )A.5B.113 C.365D.8数学试卷第1页(共6页)7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m,宽 为22m. 停车场内车道的 宽都相等，若停车位的占地面积为520m ².求车道的宽度(单位：m). 设停车场内车道 的宽度为xm, 根据题意所列方程为（ )A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520C.(40-x)(22-2x)=520D.(40x)(22+x)=520 8.下列给出的条件不能得出△ABD O △ACB 的是( )A.ADAB =BDBC B.∠ADB=∠ACB C.AB 2=AD.AC D.∠ADB=∠ABC9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比13, 点A 、B 、E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点D 的坐标为( )A. (12,2) B. (13,1) C. (14,2)D.(1,2)图一 图二第9题 第10题10.如图(1).正方形ABCD 的对角线相交于点O. 点 P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM,过 点O 作OM 的亚线交CD 于点N, 点 M 从点B 出发匀速 运动到点C, 设BM=x.PN=y.y 随 x 变化的图象如图(2)所示，图中m 的值为( )A.22B.1C.2D.2数学试卷第2页(共6页)二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11.已 知x=1 是关于x 的一元二次方程x+kx-6=0 的一个根，则k 的值为12.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料(如 图①),使AB=CD 、EF=GH:然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一 个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4),说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是：13.如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB=46°, 对角线AC,BD 于点O ，DH ⊥AB 于H, 连接OH, 则∠DHO= 度.14.如图，在平行四边形ABCD 中 ，E 是线段AB 上一点，连接AC,DE,A C 与 DE 相交于点F,若AE EB=23则S △ADFS△AEF=15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AD=22,AB=2, 点P 是AB 的中点，点Q 是BC边上的一个动点，将△PBQ 沿PQ 所在直线翻折，得到△PE Q,连 接DE,CE, 则当 △DEC 是以DE 为腰的等腰三角形时，BQ 的长是 三、解答题(共8小题，共75分) 16. (8分)解方程：(1)x ²-6x+3=0; (2)3x ²-2x-1=0.数学试卷第3页(共6页)17. (8分)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602摸到黑球的频m0.590.630.620.6030.602n a(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近(精确到0.1);(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率.18. (9分)一张矩形纸ABCD, 将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E. 将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F, 折叠出四边形AECF.(1)求证；AF//CE;(2)当∠BAC= _度时，四边形AECF是菱形.数学试卷第4页(共6页)19 . (9分)已知关于x 的一元二次方程x²-ax+a-1=0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根x1、x₂满足| x1-x₂|=3, 求a 的值；20 . (8分)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500 个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个.若商场计划一周的利润达到 8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱?21. (11分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：①根据给出的△ABC 及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A), 以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△AB'C, 使得△A'B'C'心△ABC, 不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线(不用尺规作图),并据此写出已知、求证和证明过程.数学试卷第5页(共6页)22. (10分)一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到点D 处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m ( 即FC=4m)放 在F 处 . 从 点 F 处向后退1.8m 到 点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得 的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m, 已 知 点B,C,D,F,H 在同一水平线上，且GH ⊥FH,ED ⊥CD,AB ⊥BH. (平面镜的大小忽略不计)方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m, 测 得DE=2m,CE= 2.5m.方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE 与点M 在同一直线上，已知 两条边CE=0.4m,EF=0.2m,测得边CE 离地面距离DC=0.3m.三种方案中，方案 不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度.23 . (12分)在△ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=α,点 D 为线段CA 延长线上一动点，连接 DB, 将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为α,得到线段DE, 连 接 BE,CE.(1)如图1,当α=60°时， ADCE 的值是 ;∠DCE 的度数为 ;(2)如图2,当α=90°时，请写出 ADCE的值和∠DCE 的度数，并就图2的情形说明 理由；(3)如图3,当α=120°时，若AB=8,BD=7,请直接写出点E 到 CD 的距离.数学试卷第6页(共6页)参考答案1--10DCBDCBACB11.5 12.矩形 有一个角是90度的平行四边形是矩形 13.23度 14.5/2 15.1或216.x1=3+ 6 x2=3-617. （1）0.25 （2）略18.(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC,∴∠DAC=∠BCA.由翻折知，, ∠BCE =∴∠HAF=∠MCE,∴AF//CE.(2)【解】当∠BAC=30° 时，四边形 A E CF 为菱形.理由如下：∵四边形AB CD是矩形，∴∠D=∠BAD=90°,AB// CD,由(1)得AF//CE,∴四边形A ECF 是平行四边形.∵当四边形AECF 是菱形时，CF=AF,∴∠FCA=∠FAC.∵FC//AE, ∴∠FCA=∠CAB.又∵∠DAF=∠FAC,∴∠DAF=∠FAC=∠CAB.∵∠DAB=90°,∴∠BAC=30° .(2)30度19.(1)证明：∵△=(-a)²-4(a- 1)=a²-4a+4=(a-2)²≥0,∴该方程总有两个实数根；……………(2)解：由根与系数的关系得x₁+x₂=a,x₁x₂= a-1,∵Ix₁-x₂I=√(x₁-x₂)²=√a²-4(a-1)=√(a-2)²=3, ∴a-2=3 或a-2=-3,解得a=5 或a=-1.20.(1)设售价应定为x元，由题意可得：c²-100x+2400=0,解得：x₁=40,X₂=60,更大优惠让利消费者，∴x=40,答：售价应定为40元；(2)设这两周的平均增长率为y,由题意：解得：y₁=0.1=10%,y2=-2.1 (不合题意舍去),答：这两周的平均增长率为10%.21.(1)如图所示，△A'B'C '即为所求；(2)已知，如图，△A B C∽△A'B'C',D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，求证：证明：∵·D是A B的中点，D'是A'B'的中点，△ABC∽△A'B'C',△A'C'D'△ACD,22. 方案二、三不可行选方案一，∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, ∴△ABC∽△EDC,设BC=xm,则AB=1.5xm,同理可得△ABF∽△GHF,·AB=1.5cm,BF=BC+CF=(4+x)m,GH=1.5m ,FH=1.5m,解得：x=8,∴AB=1.5x=12(m).23.∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC,同理可得：△BDE 是等边三角形，∴∠BDE=60°,BD=BE, ∴∠BDE=∠ABC,∴∠BDA=∠EBC,∴△ABD≌△CBE(SAS), ∴AD=CE,∠BCE=∠BAD=180°—∠BAC=120°,∠DCE=∠BCE一∠ACB=60°,故答案为：1,60;(2))∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ACB=∠ABC=45°,同理可得：∠BDE=40°,∴∠BDA=∠EBC, ∴△ABD∽△CBE,∠BCE=∠BAD=180°-∠BAC=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠ACB=45°;(3)如图1,图1作BF⊥CD于F,作EG⊥CD于G,作DHLCE, 交CE 的延长线于H,在Rt△AEF 中，AB=8,∠EAF=180°—∠BAC=60°, ∴AF=8·cos 60°=4,BF=8 sin 60°=4√3,在Rt△BDF 中，BD=7,BF=4√3,∵DF=√7²-(4√3)²=1,∴AD=AF 一DF=3, ∴CD=AD+AC=11,同理(2)可得：∠BCE=∠BAD=60°, ∴CE=√3AD=3√3,∠DCE=∠BCE—∠ACB=30°,在Rt△CDH 中，CD=11,∠DCE=30°,如图2,图2由上知：DF=1, AF=4,∴CD=13,AD=5,CE=√3AD=5√3,综上所述：点E 到CD 的距离为：。
人教版九年级上册数学期中考试试题含答案
人教版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．下列图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程x 2+2x ﹣1＝0，原方程应变形为（）A ．（x+1）2＝0B ．（x ﹣1）2＝2C ．（x+1）2＝2D ．（x ﹣1）2＝53．若方程x 2+kx ﹣2＝0的一个根是﹣2，则k 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣24．顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y ＝13x 2的图象相同的抛物线是（）A ．2153y x =-B ．21(5)13y x =-+C ．21(5)13y x =--D ．21(5)13y x =+-5．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A ．16B ．12C ．16或12D ．246．新能源汽车越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量逐年增加，2018年销量为95万辆，到2020年销量为120万辆，设年平均增长率为x ，可列方程为（）A ．952(1)x -＝120B ．952(1)x +＝120C ．1202(1)x -＝95D ．95（1+2x ）＝1207．抛物线y ＝x 2+4x ﹣m 2+2（m 是常数）与坐标轴交点的个数为（）A ．0B ．1C ．3D ．2或38．如图，将Rt ∆ABC 以直角顶点C 为旋转中心顺时针旋转使点A 刚好落在AB 上（即：点A’），若∠A=55︒则图中∠1=（）A ．110︒B ．102︒C ．105︒D ．125︒9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象上部分点的坐标(x ，y)的对应值如表所示，则方程ax 2+bx+2.32＝0的根是（）A ．0或4B ．1或5C 4D 210．如图，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点P ，若点P 的横坐标为﹣1，则一次函数y ＝（a ﹣b ）x+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．已知坐标系中点()2,A a -和点(),3B b 关于原点中心对称，则a b +=__________．12．将二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2的图象沿x 轴向左平移2个单位，得到的函数表达式为___．13．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是___．14．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是___．15．将边长为3的正方形ABCD 绕点C 顺时针方向旋转45°到FECG 的位置（如图），EF与AD相交于点H，则HD的长为___．（结果保留根号）16．已知矩形的周长为18cm，绕它的一边旋转成一个圆柱，则旋转成的圆柱的最大侧面积为___m2．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(2，0)，对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②8a+c＝0；③对于任意实数m，总有a（m2﹣1）+b（m+1）≥0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是___．三、解答题18．解方程：2x2﹣5x+1=019．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．20．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy， ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标(4，4)，若将 ABC绕点O逆时针旋转90°．（1）画出旋转后的 111A B C；（2）点1A坐标为，1B坐标为，1C坐标为．21．甲、乙两人同解方程组515410ax yx by+=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31xy=-⎧⎨=⎩，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为54xy=⎧⎨=-⎩．（1）求a，b的值；（2）若关于x的一元二次方程a2x﹣bx+m＝0两实数根为1x，2x，且满足71x﹣2x＝6，求实数m的值．22．观察下列两个三位数的乘积，其中百位上的数字都是901×999，902×998，903×997，……，998×902，999×901．解决以下问题：（1）根据上面的规律填空，912×；（2）若某个三位数中，十位上的数字与个位上的数字组成的两位数为x，则这个三位数可以表示为，当x取何值时，以上两个三位数的乘积最大．23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，建立直角坐标系，抛物线可用y＝﹣16x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式和拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载集装箱后高为6m，宽为4m，若隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？24．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（3）当售价为多少时，公司能获得最大利润，最大利润是多少？25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DM//y轴交AC于点M ，求 DMN 周长的最大值及此时点D 的坐标；（3）如图2，点P 为抛物线第一象限上的点，连接OP 与直线AC 相交于点Q ，若:COQ AOQ S S △△＝3：5，求点P 的坐标．参考答案1．C 【详解】试题分析：A 、是轴对称图形，故错误；B 、是轴对称图形，故错误；C 、不是轴对称图形，故正确；D 、是轴对称图形，故错误．故选C ．考点：轴对称图形．2．C 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程移项得：x 2+2x ＝1，配方得：x 2+2x+1＝2，则方程变形为（x+1）2＝2．故选：C ．3．B 【解析】将x ＝﹣2代入方程即可求出k 的值．【详解】解：将x ＝﹣2代入x 2+kx ﹣2＝0，∴4﹣2k ﹣2＝0，∴k ＝1，故选：B ．4．D 【分析】根据抛物线的顶点和开口方向、形状与函数y ＝13x 2的图象相同，可得出抛物线解析式为21(5)13y x =+-．【详解】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，∴抛物线解析式为2(5)1y a x =+-；∵开口方向、形状与函数y ＝13x 2的图象相同，∴13a =，抛物线解析式为：21(5)13y x =+-；故选：D ．5．A 【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1＝3，x 2＝4，再根据菱形的性质可确定边AB 的长是4，然后计算菱形的周长．【详解】（x ﹣3）（x ﹣4）＝0，x ﹣3＝0或x ﹣4＝0，所以x 1＝3，x 2＝4，∵菱形ABCD 的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．故选A．6．B【分析】根据平均增长率问题列出方程即可．【详解】∵2018年销量为95万辆，到2020年销量为120万辆，年平均增长率为x，(1)x+＝120∴952故选B．7．D【解析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线y＝x2+4x﹣m2+2的图象与坐标轴的交点个数．【详解】解：y＝x2+4x﹣m2+2∵△＝42−4×（﹣m2+2）＝4m2+8＞0，∴抛物线与x轴有2个公共点，∵x＝0时，y＝x2+4x﹣m2+2＝﹣m2+2，∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣m2+2），当﹣m2+2=0时，即m=时，抛物线与坐标轴交于原点，此时抛物线y＝x2+4x﹣m2+2（m 是常数）与坐标轴交点的个数为2个，∴抛物线y＝x2+4x﹣m2+2的图象与坐标轴的交点个数为3或2个．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．C解：根据旋转图形可得：AC=A′C ，则∠CA′A=∠A=55°，则∠A′CA=70°，即选择的角度为70°，所以∠BCB′=70°，根据∠ACB=90°，∠A=55°可得∠B=35°，根据旋转可得：∠B′=∠B=35°，根据三角形外角的性质可得：∠1=∠B′+∠BCB′=35°+70°=105°．故选C 9．C 【解析】【分析】利用抛物线经过点(0,0.32)得到0.32c =，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线经过点2)-，由于方程2 2.320ax bx ++=变形为20.322ax bx ++=-，则方程2 2.320ax bx ++=的根理解为函数值为2-所对应的自变量的值，所以方程2 2.320ax bx ++=的根为1x =，24x =【详解】解：由抛物线经过点(0,0.32)得到0.32c =，所以二次函数解析式为20.32y ax bx =++，因为抛物线经过点(0,0.32)、(4,0.32)，所以抛物线的对称轴为直线2x =，而抛物线经过点2)-，所以抛物线经过点(42)-，方程2 2.320ax bx ++=变形为20.322ax bx ++=-，所以方程20.322ax bx ++=-的根理解为函数值为2-所对应的自变量的值，所以方程2 2.320ax bx ++=的根为1x =24x =故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．D 【解析】先求出a ＜0，b ＜0，再求出a ﹣b ＜0，最后判断函数图象即可．【详解】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b ＜0，∴y ＝（a ﹣b ）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a ﹣b ＜0是解题的关键．11．-1【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】解：∵坐标系中点A （-2，a ）和点B （b ，3）关于原点中心对称，∴b=2，a=-3，则a+b=2-3=-1．故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．12．y ＝﹣2(1)x +【解析】【分析】根据平移的规律左加右减计算即可．【详解】∵二次函数y ＝﹣2(1)x -的图象沿x 轴向左平移2个单位，∴得到的函数表达式为y ＝﹣2(12)x -+即y ＝﹣2(1)x +．故答案为：y ＝﹣2(1)x ．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．13．k≥0且k≠1【解析】【分析】由关于x 的方程（k−1）x 2＋2x−1＝0有两个实数根，知22−4×（k−1）×（−1）≥0且k−1≠0，解之即可．【详解】解：∵关于x 的方程（k−1）x 2＋2x−1＝0有两个实数根，∴22−4×（k−1）×（−1）≥0且k−1≠0，解得k≥0且k≠1，故答案为：k≥0且k≠1．【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2−4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．14．x ＜﹣1或x ＞3##x ＞3或x ＜﹣1【解析】【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x 轴的另一个交点，从而可以得到当y ＞0时，x 的取值范围．【详解】解：由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为（﹣1，0），故抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），故当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜﹣1或x ＞3，故答案为：x ＜﹣1或x ＞3．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．15．﹣3【解析】【分析】先根据正方形的性质得到CD＝3，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝3，∠CDA＝90°，∵边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．16．812π##40.5π【解析】【分析】设矩形的长是a，宽为9-a，旋转形成的圆柱侧面积得到关于a的二次函数，根据二次函数的性质确定最大值即可．【详解】解：设矩形的长为a，宽为9-a，∵旋转形成的圆柱侧面积是S=2πa（9﹣a）＝﹣2π（a﹣92）2+812π，∴当a＝92时，侧面积有最大值为812π，故答案为：81 2π【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练列出二次函数并掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．17．①②③④【解析】【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，可得28b ac a=⎧⎨=-⎩，由图可知a＜0，即有b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，可判断①；由c＝﹣8a可判断②；把a（m2﹣1）+b（m+1）变形为a（m+1）2，可判断③；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p（P为常数，且p＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x＝﹣1，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），可判断④．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴04212a b cba=++⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得28b ac a=⎧⎨=-⎩，∴抛物线y＝ax2+bx+c为y＝ax2+2ax﹣8a，由图可知：a＜0，∴b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，∴abc＞0，故①正确；由c＝﹣8a得8a+c＝0，故②正确；∵a（m2﹣1）+b（m+1）＝a（m2﹣1）+2a（m+1）＝a（m+1）（m﹣1）+2a（m+1）＝a（m+1）（m﹣1+2）＝a（m+1）2，且a＜0，（m+1）2≥0，∴a（m+1）2≤0，即a（m2﹣1）+b（m+1）≤0，故③正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y ＝p （p 为常数，且p ＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x ＝﹣1，且抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）经过点（2，0），∴交点横坐标可能是﹣1，0或﹣2，1或﹣3，∴P 的值有且只有三个，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二次函数图象的性质的综合应用，涉及图象上点坐标的特征、函数与方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象性质，利用数形结合解决问题．18．【解析】【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【详解】解：∵2x 2-5x=-1，∴25122x x -=-，∴2525125216216x x -+=-+，即2517()416x -=，则54x -=，∴．19．（1）证明见解析，（2）2【解析】（1）计算判别式的值得到△＝﹣8，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设抛物线沿y 轴向下平移k （k ＞0）个单位长度后得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y ＝x 2﹣2mx+m 2+2﹣k ，然后根据判别式的意义得到△＝（﹣2m ）2﹣4（m 2+1﹣k ）＝0，从而解关于k 的方程即可．【详解】解：（1）证明：△＝（﹣2m ）2﹣4（m 2+2）所以不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点；（2）设抛物线沿y轴向下平移k（k＞0）个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+2﹣k，△＝（﹣2m）2﹣4（m2+2﹣k）＝0，解得k＝2，即把该函数图象沿y轴向下平移2个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点．故答案为：2．20．（1）见解析；（2）1A(-4，4)，，1B(-1，1)，1C(-1，3)．【分析】（1）分解坐标，构造全等三角形即可；（2）根据全等三角形的性质，得到线段长，根据点所在象限，确定坐标即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）根据作图，得1A(-4，4)，，1B(-1，1)，1C(-1，3)．【点睛】本题考查了旋转，坐标的确定，三角形的全等，熟练掌握旋转的性质，灵活运用三角形的全等是解题的关键．21．1）a=7，b=-2；（2）-5．【分析】（1）根据题意，-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的，求解即可；（2）代入a ，b 的值得到72x +2x+m ＝0，运用根与系数关系定理，综合计算即可．【详解】（1）∵甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=-⎩，∴-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的，解得a=7，b=-2；（2）把a=7，b=-2代入一元二次方程a 2x ﹣bx+m ＝0得到72x +2x+m ＝0，∵一元二次方程a 2x ﹣bx+m ＝0两实数根为1x ，2x ，∴1x +2x =27-即71x +72x =-2，1x 2x =7m 即m=71x ×2x ，∵71x ﹣2x ＝6，∴71x ＝6+2x ，∴6+2x +72x =-2，解得2x =-1，71x ＝5，∴m=-5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元二次方程根与系数关系定理，正确理解方程组的解，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．22．（1）988；（2）900x +；50x =【解析】【分析】（1）根据已知数据可得两个数的后两位数字加起来是100，即可得解；（2）根据三位数的表示方法计算即可；【详解】（1）由题可得：两个数的后两位数字加起来是100，∴1001288-=，∴912988⨯，故答案是：988．（2）某个三位数中，十位上的数字与个位上的数字组成的两位数为x ，则这个三位数可以表示为900x +，则第二个两位数的后两位是100x -，第二个数是900100x +-，设两个三位数的乘积为y ，则，()()()290090010050902500y x x x =++-=--+,∵0a <，∴50x =时，y 有最大值，∴当50x =时，1001005050x -=-=，∴950950⨯最大．故答案是900x +．【点睛】本题主要考查了数字规律和二次函数的应用，准确计算是解题的关键．23．（1）y ＝﹣16x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（2）能安全通过；【解析】【分析】（1）根据题意得出点B （0，4）、C （12，4），再利用待定系数法求解可得；（2）根据题意求出x ＝6﹣4＝2时的函数值，比较可得；【详解】解：（1）根据题意将点B （0，4）、C （12，4）代入解析式得：411441246c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得：24b c =⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣16x 2+2x+4＝﹣16（x ﹣6）2+10，∴拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（2）∵隧道内设双向行车道，故每条车到宽6m ，货运汽车宽为4m ，x＝6﹣4＝2，代入解析式得y＝﹣16（2﹣6）2+10＝﹣16×16+10＝223＞6，∴如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能安全通过；【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．24．（1）y与x之间的函数关系式y＝−2x＋60（10≤x≤18）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元；（3）当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】（1）设函数关系式y＝kx＋b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润，找出等量关系列一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值；（3）根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润，得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可．【详解】解：（1）设函数关系式y＝kx＋b，把（10，40），（18，24）代入得：1040 1824k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：260 kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式y＝−2x＋60（10≤x≤18）；（2）由题意知：（x−10）（−2x＋60）＝150，整理得：−2x2＋80x−600＝150，解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．（3）W＝（x−10）（−2x＋60）＝−2x 2＋80x−600＝−2（x−20）2＋200，对称轴x ＝20，在对称轴的左侧W 随着x 的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x ＝18时，W 最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．25．（1）234y x x =-++；（2）DMN周长的最大值为，(2,6)D ；（3）P ⎝⎭【解析】【分析】将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中，建立方程组求解即可；（2）延长DM 交x 轴于点H ，通过分析证明DMN是等腰直角三角形，得到1)DMN C DM =△，用待定系数法求得直线AC 的解析式，设2(,34)D m m m -++，点4(),M m m -+，求得DM 的表达式，配方求得DM 最大值，分析得到周长的最大值和点D 的坐标；（3）过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，由面积比求得35CQ AQ =，由平行线段分线段成比例得到35OE CQ AE AQ ==，从而知道点Q 的横坐标，代入直线AC 求得纵坐标，用待定系数法求得直线OQ 的解析式，与抛物线建立方程组即可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点∴将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中得：164004a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：134a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：234y x x =-++（2）如图1，延长DM 交x 轴于点H ∵(4,0)A 、(0,4)C ∴4OA OC ==又∵90AOC ∠= ，∴45OCA OAC ∠=∠=∵//DM y 轴∴90AHM ∠= ，45AMH ACO ∠=∠= ∴=45DMN AMH ∠=∠∵DN AC⊥∴90DNM ∠=∴45NDM ∠=∴DMN 是等腰直角三角形∴=2DN MN =设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠将(4,0)A 、(0,4)C 两点坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩解得：14k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为：4y x =-+设2(,34)D m m m -++，则点4(),M m m -+∴()22234(4)424DM m m m m m m =-++--+=-+=--+∴当2m =时，DM 取的最大值2，此时(2,6)D ∵DMN 为等腰直角三角形∴1)22DMN C DN MN DM DM DM DM DM=++++=+△∴DMN 周长的最大值为：1)+=，此时(2,6)D （3）如图2：过点Q 作QE x ⊥轴于点E∵:=3:5COQ AOQ S S △△∴35CQ AQ =∵QE x ⊥轴∴90AQE ∠=o又∵90ACO ∠=∴//QE CO ∴35OECQAE AQ ==又∵4OA =∴32OE =,即32Q x =∵点Q 在直线AC 上∴35+4=22Q y =-∴35(,)22Q 设直线OQ 的解析式为：(0y mx m =≠）将点Q 代入得：53m =∴直线OQ 的解析式为：53y x =又∵点P 是直线OQ 与抛物线的交点∴25334y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-++⎩∴234120x x --=234120x x --=即()60x -=或20x +=解得：122,33x x -==又∵P 为抛物线第一象限上的点∴点P的横坐标为：=3P x∴510=339P y +⨯=∴P ⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质，二次函数的最值求法等知识点，能够数形结合分析是解题关键．。
山东济南高新区2024—2025学年九年级数学第一学期期中考试试题(含答案)
高新区2024-2025学年第一学期九年级数学期中学业水平测试试题（满分150分时间120分钟）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是( )A. B. C. D.2.若a4=b3，则ab的值是( )A.34B.43C.12D.1123.对于反比例函数y=﹣6x的图象，下列说法正确的是（）A.它的图象分布在一、三象限B.它的图象与坐标轴可以相交C.它的图象经过点（-4，-1.5）D.当x<0时，y的值随x的增大而增大4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则sinB=( )A.35B.45C.√74D.34（第4题图）（第5题图）（第7题图）5.如图，DE∥BC，且EC:BD=2:3，AD=6，则AE的长为（）A.1B.2C.3D.46.函数与y=kx与y=kx-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )7."今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？"这是我国古代数学著作《九章算术》中的"井深几何"问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD ,设井深为x 尺，下列所列方程中，正确的是( )A.5x =0.45B.x5+x=50.4C.x5﹣x=0.45D.x5+x=0.45A. B. C. D.9.根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点；②△OPO的面积为定M作PQ平行x轴交图象于点P、Q，连接OP、OQ，则以下结论：①x<0时，y=2x值；③x>0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POO可以等于90°。
其中正确结论是（）A.①②⑤ B.②④⑤ C.③④⑤ D.②③⑤（第9题图）（第10题图）10.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以为对角线BE作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下结论：①∠ABF=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF ⊥BD；④2BG2=BH·BD，你认为其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。
浙江省温州市瓯海区部分学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023学年第一学期温州市瓯海区部分学校期中考试九年级数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题3分，共30分）1．下列各式中，y 是关于x 的二次函数的是（）A ．23y x =+B ．2y x =C ．()221y x x =--D ．231y x =-2．已知：如图OA ，OB 是O 的两条半径，且OA OB ⊥，点C 在O 上，则ACB ∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．15︒3．已知粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（）．A ．15B ．25C ．35D ．234．如果将抛物线221y x =-向左平移1个单位，那么得到的新抛物线的表达式为（）A ．22y x =B ．()2211y x =+-C ．()2211y x =+-D ．()2211y x =--5．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y 米与飞行时间x 秒的关系式为21105=-+y x x ，当炮弹落到地面时，经过的时间为（）A ．40秒B ．45秒C ．50秒D ．55秒6．下列说法正确的是（）A ．等弧所对的弦相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．相等的圆心角所对的弦相等7．抛物线()2237y x =--的顶点坐标是（）A ．()37，B ．()37-，C ．()37-，D ．()37--，8．如图，CD 是O 是直径，AB 是弦且不是直径，CD AB ⊥，则下列结论不一定正确．．．．．的是（）A ．AE BE =B ．OE DE=C ．AO CO =D ． AD BD =9．已知二次函数()231y x =--，则当14x ≤≤时，该函数（）A ．只有最大值3，无最小值B ．有最大值3，有最小值0C ．有最小值1-，有最大值3D ．只有最小值1-，无最大值10．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知6,10OE DO ==，则CD 的长为（）A ．16B ．12C ．10D ．8二、填空题（每题3分，共24分）11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．一个盒子中有m 个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是14，则m =．13．已知抛物线()()223y x m x m =+--+的对称轴是y 轴，则m =．14．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上的一点，若102A ∠=︒，则DCE ∠的度数为．15．如下图，函数2()y x h k =--+的图象，则其解析式为．16．如图，ABCD 是正方形，边长为2，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影面积为．17．把二次函数2241y x x =-+通过配方化成2()y a x h k =-+的形式为．18．如图，A 、B 、C 为O 上的点，OC AB ∥，连接OA ，BC 交于点D ，若AC CD =，2OC =，则AB 的长为．三、计算题46分）19．（6分）已知拋物线2y x bx c =-+经过点()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式．20．（6分）如图，O 中，弦AB 与CD 相交于点H ，AB CD =，连接AD 、BC ．求证：AH CH =．21．（8分）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x 米矩形花圃的面积为y 平方米．(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为多少时，矩形花圈的面积最大？22．（8分）已知二次函数的解析式223y x x =+-，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．x…－3－2－101…223y x x =+-…0_________0…23．（8分）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．(1)甲坐在①号座位上的概率是______．(2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．．24．（10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF AD(1)证明：E是OB的中点；AB ，求CD的长．(2)若6参考答案1．D解：A 、23y x =+是一次函数，故不符合题意；B 、2y x=是反比例函数，故不符合题意；C 、()22121y x x x =--=-+是一次函数，故不符合题意；D 、231y x =-是二次函数，故符合题意；故选D ．2．B解：OA OB ⊥ ，90AOB ∠=︒∴，1452ACB AOB ∴∠=∠=︒．故选：B ．3．C解：粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，共5支粉笔，从中任取一支粉笔，有5种等可能的结果，取出黄色粉笔的结果有3种，∴取出黄色粉笔的概率是35p =，故选：C ．4．C解：将抛物线221y x =-向左平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()2211y x =+-．故选：C5．C解：令0y =，则211005x x -+=，解得10x =（舍去），250x =，故选C ．6．A解：A 、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确；B 、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；D 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误；故选：A ．7．C解：抛物线()2237y x =--的顶点坐标是()37-，．故选：C ．8．B解：如图所示，∵CD AB ⊥,∴AE BE =, AD BD=,O 的半径都相等，那么AO CO =,不能得出OE DE =.故选:B .9．C解： 二次函数()231y x =--，开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴当14x ≤≤时，在3x =时，函数取得最小值，此时1y =-，当1x =时，函数取得最大值，此时()21313y --==，故选：C ．10．A解： 弦CD AB ⊥于点E ，12CE DE CD ∴==，90OED ∠=︒，8DE ∴==，216CD DE ∴==，故选：A ．11．()0,5-解：将0x =代入22(1)3y x =---，得：22(01)35y =-⨯--=-，∴与y 轴交点的纵坐标为()0,5-．故答案为：()0,5-．12．9解：3134m =+，∴9m =，经检验9m =是原方程的解，∴9m =，故答案为：9．13．2解：根据题意可得()2022m b a ---==，解得2m =，故答案为：2．14．102︒解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180A DCB ∠+∠=︒，又180DCE DCB ∠+∠=︒，∴102DCE A ∠∠==︒，故答案为102︒．15．2(1)5y x =-++解：由图象可知抛物线的顶点坐标为()15-，，∴函数的解析式为2(1)5y x =-++．故答案为：2(1)5y x =-++．16．4π-解：∵ABCD 是正方形，边长为2，∴ 2290224360BACS S S ππ⨯=-=-=-阴影面积正方形扇形．故答案为：4π-．17．()2211y x =--解：()()22224122121211y x x x x x =-+=-+-+=--，故答案为：()2211y x =--18．解：过点O 作OE AB ⊥交于点E ，如图：设ABC α∠=，∵ AC AC =，∴22AOC ABC α∠=∠=，∵OC AB ∥，∴2BAO AOC α∠=∠=，则23ADC BAO ABC ααα∠=∠+∠=+=，∵AC CD =，∴3ADC DAC α∠=∠=，∵=2OA OC =，∴3OCA OAC α∠=∠=，∵180AOC OCA OAC ∠+∠+∠=︒，即233180ααα++=︒，解得：22.5α=︒，∴222.545BAO ∠=⨯︒=︒，∵OE AB ⊥，∴90AEO ∠=︒，AE BE =，∴90EAO EOA ∠+∠=︒，即45EAO EOA ∠=∠=︒，∴AE OE =，在Rt AEO △中，222AE OE AO +=，即224AE =，解得：AE =∵OE AB ⊥，∴AE BE =，∴2AB AE ==故答案为：19．2=23y x x --解：将()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-+得：01093b c b c =++⎧⎨=-+⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：2=23y x x --．20．22(2)3y x =--解：根据题意，设二次函数的解析式为2(2)3y a x =--，把()5,15代入得215(52)3a =--，解得2a =，所以二次函数的解析式为22(2)3y x =--．21．（1）解：由题意可知，平行于墙的一边BC 的长为()202x -米，∴()2202220y AB BC x x x x =⋅=-=-+，2020x ->，∴010x <<，∴y 关于x 的函数表达式为2220y x x =-+()010x <<；（2）解： ()222202550y x x x =-+=--+(010)x <<，∴当5x =时，y 取得最大值，此时50y =，即当5x =时，苗圃的面积最大，最大值是50平方米．22．解：填表如下：x…－3－2－101…223y x x =+-…0－3－4－30…描点、连线，如图所示：23．（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同故甲坐在①号座位上的概率是：13（2）解：画树状图如下∶由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为4263=24．（1）证明：直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接AC ，∴ AC AD =，∴AC AD =，∵过圆心O 的直线CF AD ⊥，∴AF DF =，即CF 是AD 的中垂线，∴AC CD =，∴AC AD CD ==．即：ACD 是等边三角形，∴30FCD ∠=︒，在Rt COE △中，有12OE OC =，∴12OE OB =，∴点E 为OB 的中点；（2）解：∵6AB =，∴132OC OB AB ===，又∵BE OE =，∴32OE =，∴CE =AB CD ⊥ ，∴2CD CE ==。
重庆市字水中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
数学试题（全卷三个大题，满分150分，考试时间：120分钟）一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.下列各数中，2023的相反数是（）A.2023B.12023-C.12023D.2023-答案：D2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：B3.已知蓄电池两端电压U 为定值，电流I 与R 的函数关系为UI R=．当3A I =时，8ΩR =，则当6A I =时，R 的值为（）A.4ΩB.6ΩC.8ΩD.10Ω答案：A4.估计(+⨯）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间答案：C5.下列图形都是由同样大小的正方形按规律拼成的，其中第①个图形有5个正方形，第②个图形有7个正方形，第③个图形有9个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图形中正方形的个数为（）A.15B.17C.19D.21答案：C6.电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（）A.()217x +=B.()2217x +=C.()22217x ++= D.()()2221217x x ++++=答案：D7.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y cx b =-+在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D.答案：C8.如图，矩形ABCD 中，点E 为CD 边的中点，连接AE ，过E 作EF AE ⊥交BC 于点F ，连接AF ，若BAF α∠=，则EFC ∠的度数为（）A.αB.452α︒+C.452α︒-D.90α︒-答案：B9.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：C10.对于多项式：26,32,41,53x x x x ---+，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算山结果，称之为“全差操作”例如：()264125x x x ---=--，()()533225,2525410x x x x x x +--=+---+=--，给出下列说法：①不存在任何“全差操作”，使其结果为0；②至少存在一种“全差操作”，使其结果为28x +；③所有的“全差操作”共有5种不同的结果．以上说法中错误的是（）A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C二、填空题：（本大题8个小题，每个小题4分，共32分）11.计算：()213.14253π-⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭___________．答案：5225+12.如图，直线,45,20AB CD ABE D ∠=∠=︒︒∥，则E ∠的度数为________．答案：25︒##25度13.关于x 的一元二次方程()222310x a x a +-++=有两个实数根，则a 的最大整数解是________．答案：114.如图，直线1y kx b =+与抛物线22y ax bx c =++交于点()23A -，和点()2,1B -，若21y y <，则x 的取值范围是______．答案：22x -<<##22x >>-15.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，连接OA ，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，反比例函数ky x=的图象分别与OA AB 、交于点M 、N ，连接MN ，若M 为OA 的中点，且四边形OMNB 的面积为5，则k 的值为________．答案：416.如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=15H 是BD 上的一个动点，则HG+HC 的最小值为______________.答案：5617.若关于x 的一元一次不等式组2123,325x x x a x -⎧+<-⎪⎨⎪+≤+⎩的解集为2x >，且关于y 的分式方程531222y a y y y -+=-+--的解为非负整数，则所有满足条件的a 的值之积为_____________．答案：3518.一个各位数字都不为0的四位正整数m ，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m 为“双胞蛋数”．将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m '，并规定()11m m F m '-=则F (8228)=_______；若已知数m 为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，()54F m 是一个完全平方数，则满足条件的m 的最小值为_______．答案：①.486②.7117三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20-26题各10分，共78分）19.计算：（1）()()223x y y x y +--（2）2434433a a a a a a --+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭答案：（1）224x y +（2）22a a +-20.如图，在ABCD Y 中，CE BC ⊥分别交AD ，BD 于点E ，F ．（1）用尺规完成以下基本作图：过点A 作BC 的垂线，分别交BD ，BC 于点G ，H ，连接AF ，CG ；（保留作图痕迹，不写作法和结论）（2）根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF 是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD =，①，∴ABG CDF ∠=∠．∵AH BC ⊥，CE BC ⊥，∴AHB ECB ∠=∠=②度，∴AG CF ∥，∴BGA EFB ∠=∠．又∵③，∴BGA DFC ∠=∠，在△ABG 和△CDF 中，ABG CDE BGA DFC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABG CDF AAS ∆∆≌．∴④，又∵AG CF ∥，∴四边形AGCF 是平行四边形．答案：（1）见解析（2）①AB CD ∥；②90；③EFB DFC ∠=∠；④AG CF=【小问1详解】：如图所示【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB =CD ，AB//CD，∴∠ABG =∠CDF ．∵AH ⊥BC ，CE ⊥BC ，∴∠AHB =∠ECB =90度，∴AG ∥CF ，∴∠BGA =∠EFB ．又∵∠EFB =∠DFC，∴∠BGA =∠DFC ，在△ABG 和△CDF 中，ABG CDE BGA DFC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABG ≌ΔCDF (AAS)．∴AG//CF，又∵AG ∥CF ，∴四边形AGCF 是平行四边形．故答案为：AB CD ∥，90，EFB DFC ∠=∠，AG CF =.21.为了宣传垃圾分类从我做起活动，我校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：收集数据初一的20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）6568707677788788888889898989939597979899初二的20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）6972727374747474767678899697979898999999整理数据（成绩得分用x 表示）分数年级6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤<初一（人数）24a 6初二（人数）11018分析数据（平均数、中位数、众数、方差）平均分中位数众数方差初一8688.5c 10.3初二84.2b7412.1请根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：=a ________，b =________，c =________；（2）根据以上数据，你认为哪个年级的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，请说明你的理由（一条理由即可）（3）该校初一有1800名学生和初二有1500名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？答案：（1）8；77；89（2）见解析（3）1140人【小问1详解】解：由初一的20名同学的竞赛成绩统计知8a=，众数89c=，由初二的20名同学的竞赛成绩统计知其中位数7678772b+==，故答案为：8；77；89；【小问2详解】根据以上数据，你认为初一的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，理由是初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高（答案不唯一）；【小问3详解】估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有68 1800150011402020⨯+⨯=（人）．22.中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍.（1）求商家购买笔和圆规的进价；（2）商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？答案：（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元；（2）每个圆规的售价为11元【小问1详解】解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，由题意得：16001200210x x=⨯-，解得：x=4，经检验：x=4是方程的解，∴10-x =6，答：商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元．【小问2详解】设每个圆规的售价为m 元，由题意得：(8-4)×50+（m -6）×（5300.512m⨯+-）=400，解得：m =10或m =11，∵降价幅度不超过10%，∴m =11，答：每个圆规的售价为11元．23.3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A 处发现，航标B 在A 处的北偏东45°方向200米处，以航标B 为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．（1）由于水位下降，巡航船还发现在A 处北偏西15°方向300米的C 处，露出一片礁石，求B 、C 两地的距离；（精确到1米）（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由． 1.414≈， 2.646≈）答案：（1）265米（2）会影响，长度为100米，理由见解析【小问1详解】如图，过点B 作,BD AD BE AC ⊥⊥，垂足分别为,D E ，根据题意可得45,15BPA PAC ∠=︒∠=︒，60BAE ∴∠=︒，Rt ABE △中，200AB =米，3sin 6020010032BE AB ∴=⋅︒=⨯=米，1cos602001002AE AB =⋅︒=⨯=米，300AC = 米，200EC AC AE ∴=-=米，Rt BCE 中，()222220010037265BC EB EC =+=+米；【小问2详解】会影响，长度为100米，理由如下，200AB = 米，Rt △ABD 中，2sin 2001412BD AB ABC =⋅∠=⨯≈米，141150< ，∴该条航道被这片浅滩区域影响，根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，设150BF =米，Rt BFD 中，()2222150100250FD BF BD =-=-米，根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．24.如图1，在矩形ABCD 中，3AD =，2AB =，动点P 从点B 出发，沿折线B C D --运动，到达点D 时停止运动，设点P 的运动路程为x ，由点A B P 、、、D 围成的图形的面积为1,y BPD △面积为2y ．请解答下列问题：（1）请直接写出12y y 、与x 之间的函数表达式及x 的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出12y y 、的函数图象；（2）根据函数图象，写出函数1y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当15y =时x 的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．答案：（1）13(03)321(35)22x x y x x +≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，2(03)315(35)22x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，图象见解析（2）见解析（3） 3.7x ≈或2【小问1详解】解：当点P 在BC 上时，根据题意可知：BP x =，111()(3)23(03)22y BP AD AB x x x ∴=⨯+⋅=+⨯=+≤<，211222y BP CD x x =⋅=⋅=；当点P 在CD 上时，根据题意可知：5DP x =-，111321()(52)3(35)2222y DP AB AD x x x ∴=⨯+⋅=-+⨯=-+≤≤，211315(5)32222y PD BC x x =⋅=-⋅=-+．综上所述：13(03)321(35)22x x y x x +≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，2(03)315(35)22x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；函数图象如图所示：【小问2详解】由图象可得1y 的最大值为6；【小问3详解】当点P 在BC 上时，53x =+，解得2x =，当点P 在CD 上时，321522x =-+，3.7x ∴≈，综上所述：当15y =时， 3.7x ≈或2．25.如图：已知直线:24l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，且与x 轴交于点()4,0C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，四边形OAMB 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）若点P 在平面内，点Q 在直线AB 上，平面内是否存在点P 使得以,,,O B P Q 为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）234y x x =-++（2）254S m m =-++，414（3）⎛ ⎝⎭或,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或168,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,2-【小问1详解】解：当0x =时，2044y =-⨯+=，∴点B 的坐标为(0,4)B ，将(0,4)B ，(4,0)C 代入抛物线解析式可得：41640c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：43c b =⎧⎨=⎩，∴该抛物线的解析式为：234y x x =-++；【小问2详解】连接OM ，点M 的横坐标为m ，2(,34)M m m m ∴-++，当0y =时，240x -+=，解得2x =，(2,0)A ∴，22112(34)45422OAMB OBM OAM S S S m m m m m ∴=+=⨯⨯-+++⨯⨯=-++△△， 10-<，∴当()55212m =-=⨯-时，S 最大，414max S =；【小问3详解】设点Q 的坐标为(,24)m m -+，而点B 和点O 的坐标分别为(0,4)和(0,0)，①当OB 是菱形的一条边时，4OB BQ == ，或4OB OQ ==，2216(0)(244)m m ∴=-+-+-，或222(24)4m m +-+=，455m ∴=±或165m =或0m =（舍），∴点Q 的坐标为4585,455⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或4585455⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或1612,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标为⎛ ⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或168,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当OB 是菱形的对角线时，PQ 必在OB 的中垂线上，2Q P y y ∴==，∴点()1,2Q ，此时()1,2P -，综上所述，点P 的坐标为4585,55⎛- ⎝⎭或,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或168,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,2-．26.如图1，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 、F 分别是线段AC 、AB 上两点，且AE ＝AF ，连接BE 交AD 于点Q ，过点F 作FG ⊥BE 交BE 于点P ，交BC 于点G ；（1）若BF ＝2，求DQ 的长；（22AQ BG -=；（3）如图1，4AE =，连接EF ，将△EAF 绕点A 顺时针旋转，点M 为EF 中点，连接BM ，CM ，以BM 为直角边构造等腰Rt △BMN ，过点N 作NR ⊥BC 交BC 于点R ，连接RM ，当NR 最小时，直接写出MR的长度．答案：（1）7；（2）见解析；（3）解：（1）∵BF =2，AB =AC =8，AE ＝AF ，∴AE ＝AF=6，∵AB =AC =8，∠BAC =90°，∴==BC ∵AD ⊥BC ，∴AD =CD =BD=，∠BAD =∠CAD =45°，∴Q 到AB ，AC 边的距离相等，∴8463ABQAEQ S BQ AB S EQ AE ∆∆====，∴47BQ BE =在Rt △ABE 中，∠BAF =90°，AB =8，AE =6，∴10===BE ，∴4010774BQ =⨯=；在RtBADQ中，∠BDQ=90°，7 DQ===；（2）过点C作CH⊥BC，交BE的延长线于H，∵CH⊥BC，AD⊥BC，∴AD//CH，∵BD=CD，∴BQ=HQ，∴DQ是△ACG的中线，BH=2BQ，∴CH=2DQ，∵∠ABC=∠BCA=45°，∠DCH=90°，∴∠ACH=∠DCH-∠BAC=45°，∴∠FBG=∠ACH，∵FG⊥BE，∴∠ABE+∠BFG=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠BFG=∠AEB∵∠HEC=∠AEB，∴∠BFG=∠HEC，∵AB=AC，AE=AF，∴CE=BF，在△BFG与△CEH中，BFG HECBF CEFBG ACH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BFG ≌△CEH （ASA ），∴BG =CH ，∴BG =2DQ ，∵BC =2AD =2（AQ +DQ ）=2AQ +2DQ =2AQ +BG ，∵BC =，=2AQ +BG ，2AQ BG -=；（3）连接AM ，过点B 作BK ⊥AB ，且BK =AB ，连接NK，∵4AE AF ==，∠EAF =90°，∴.==EF ∵M 为EF 中点，∴===AM EM FM ，∴∠ABK =90°，∵BM 绕点B 逆时针旋转90°得BN ，∴BM =BN ，∠MBN =90°，∴∠ABM =∠KBN ，在△ABM 与△AKN 中，AB KB ABM KBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△KBN （SAS ），∴AM =KN =，∠BAM =∠BKN ，∴N 在以K 为圆心，为半径的圆上移动，∴当且仅当K ，N ，R 三点共线时，NR 长度最小，如图∵当NR 取最小值时，∠RBK =∠ABK -∠ABC =45°，∵NR ⊥BC∴∠BRK =90°∴2===BR RK BK BKR =45°，∵△ABM ≌△KBN ，∴∠MAB =∠BKR =45°，∴点E 在AB 上，且为AB 的中点，延长FE 交BC 于P ，在Rt △BPE 中，PE =BEsin 45°=BP ，∴=PR∴==MR ，19。
人教版九年级上册数学期中考试试题及答案
人教版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．一元二次方程22x x =的根是（）A ．0x =B ．122,2x x ==-C ．120,2x x ==D ．120,2x x ==-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A ．210x +=（）B ．210x -=（）C ．212x +=（）D ．212x -=（）3．已知抛物线21219y ax x =+-的对称轴是直线3x =，则实数a 的值是（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-4．抛物线222,31,23y x y x y x =-=-+=-共有的性质是（）A ．开口向上B ．都有最高点C ．对称轴是y 轴D ．y 随x 的增大而减小5．对于二次函数2(3)1y x =--+，下列结论正确的是（）A ．图象的开口向上B ．当3x <时，y 随x 的增大而减小C ．函数有最小值1D ．图象的顶点坐标是(3,1)6．已知()10y ,，()21,y ，()34,y 都是抛物线223y x x m =-+上的点，则（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>7．等腰△ABC 的一边长为4,另外两边的长是关于x 的方程x 2−10x+m=0的两个实数根,则m 的值是（）A ．24B ．25C ．26D ．24或258．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =，则下列结论中正确的是（）A ．0abc >B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．21a b +=D ．3x =是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根9．如图，二次函数22y x x =--的图象与x 轴交于点A O 、，点P 是抛物线上的一个动点，且满足3AOP S = ，则点P 的坐标是（）A ．()3,3--B ．()1,3-C ．()3,3--或()1,3-D ．()3,3--或()3,1-10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数2(0)y ax a =+≠与22(0)y ax x a =--≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．一元二次方程2218x =的根为______________________．12．将抛物线22y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线____．13．用配方法将抛物线261y x x =++化成顶点式()2y a x h k =-+得_____________．14．若关于x 的一元二次方程220210ax bx --=有一个根为2x =，则代数式842021a b --的值是_________．15．如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于()123,,1,)(A y B y -两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +>-+的解集是__________________．16．如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上．点A 从点N 出发，以2cm/s 的速度向左运动，运动到点M 时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积()2cm y 与时间x 之间的函数关系式为___________________．17．如图，抛物线21:0()L y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()1,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为______________．三、解答题18．用适当的方法解一元二次方程：22410x x --=19．在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．()1求6、7两月平均每月降价的百分率；()2如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．20．设一元二次方程260x x k -+=的两根分别为12,x x ．（1）若方程有两个相等的实数根，求k 的值；（2）若5k =，且12,x x 分别是Rt ABC 的两条直角边的长，试求Rt ABC 的面积．21．如图，在一次足球训练中，球员小王从球门前方10m 起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线，当球飞行的水平距离是6m 时，球到达最高点，此时球高约3m ．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知球门高2.44m ，问此球能否射进球门？22．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两个实数根1x ，2x 满足12120x x x x ++⋅=，求k 值．23．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙长a 无限制）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃宽AB 为()m x ，面积为()2m S ．（1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）求花圃面积的最大值；（3）请说明能否围成面积是260m 的花圃？24．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售价x （元/件）之间满足一次函数的关系（如图所示）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若该商店每天可获利225元，求该商品的售价x ；（3）已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴分别交于点(),4,0A B （点A 在点B 的左侧），且经过点()3,7-，与y 轴交于点C ．（1）求,b c 的值．（2）将线段OB 平移，平移后对应点O '和B '都落在拋物线上，求点B '的坐标．参考答案1．C 【分析】根据方程特点，利用因式分解法，即可求出方程的解．【详解】解：移项得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴020x x =-=，则1202x x ==，．故选：C ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程的基本步骤及方法．2．D 【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．【详解】根据配方的正确结果作出判断：()222221021211112x x x x x x x --=⇒-=⇒-+=+⇒-=．故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。