2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟考试
的值为
4 (0 x ), 则函数y的最小值为 sin x 2
C.5 D.6
A. 2
B.1
C. 2
D.
2 2
6. 已知F1、F2是双曲线 E： 2
x a
2
y 1, 的左右两个焦点, 点M在E上 ， b2
2
1 MF1与x轴垂直 ， sin MF2 F1 , 则 E 的离心率为 3 3 A. 2 B. C. 3 2 2 2 1 2 7.已知tanx 3, 则 sin x cos x为 3 4
（1）求 C2 的方程； （2）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 异于极点的交点为 B ，求 AB .
与 C1 的异于极点的交点为 A ，与 C2 的 3
21.（12 分） 已知函数 f ( x) ln ax
xa 分）《选修 4—5：不等式选讲》 设函数 f ( x) x a 3x ,其中 a 0 . （1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集； （2）若不等式 f ( x) 0 的解集为 {x | x 1} ，求 a 的值.
12.已知函数 f ( x) 0 在 0, 上恒成立且处处可导，若 f ( x) f ( x) tan x ，则 2 A. 3 f 2 f B. f (1) 2 f sin1 C. 2 f f D. 3 f f 4 3 6 6 4 6 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卡的指定位置上. y x, 13.已知 z 2 x y ， x, y 满足 x y 2, 且 z 的最大值是最小值的 6 倍，则 a 的值是 x a,
f (1) f (2) f (55)
A0 B.1 C.2 D.-2
1 3.在等差数列 {an } 中， a8 a11 6 ，则 a1 a5 a9等于 2
A.96
B.48
C.36
D.12
11.设 e1 , e2 为焦点在 x 轴且具有公共焦点 F1 , F2 的标准椭圆和标准双曲线的离心率， O 为坐标原点， P 是两
2
A.
7 12
B.
5 8
C.
3 16
D.
1 7
8.下列有关数学用语或结论的叙述中，正确的个数为
（1 ）在任意 ABC内，都有 tanA tanB tanC tan A : tan B : tan C ; x2 y2 2 1, (a 0, b 0)的面积S 2 ab; 2 a b x2 5 (3)函数y 的值域为{y | y 2}; x2 4 (2)椭圆 (4)任何时候均有 e x x 1； (5)若sinx cos x 0, 则x在第一象限
20.（12 分） 如图甲所示，BO 是梯形 ABCD 的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，现将梯形 ABCD 沿 OB 折起如图乙所示的四 棱锥 P﹣OBCD，使得 PC= ，点 E 是线段 PB 上一动点．
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（I）证明：DE 和 PC 不可能垂直； （II）当 PE=2BE 时，求 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值．
2.已知复数 z A。 i 1
i 2019 1 ，则 z 的共轭复数为 , (其中i为虚数单位） i2
B. i 1 C. i 1 D. i 1
C.A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最大的数 D.A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 10.已知 f ( x )是定义域为（ ， ）的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x), 若f (1) 2, 则
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2
(II) 设动直线 L 与抛物线 E 相切于点 P， 与直线 y 1 相交于点 Q， 求证： 以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。
已知在锐角 ABC中，两向量 a （2 2sinA，cosA sinA ), b (sin A cos A,1 sin A) , 且 a 与 b 是共
（二）选考题：共 10 分。
请考生在第 23、24 二题中任选一题做答，如果多做。则按所做的第一题记分．答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.（10 分）《选修 4—4：坐标系与参数方程》
x 2 cos 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) M 是 C1 上的动点， P 点满足 y 2 2sin OP 2OM ， P 点的轨迹为曲线 C2 .
曲线的一个公共点，且满足 2 | OP || F1F2 | ，则 e1e2
2 e12 e2
4.用 0、1、2、3、4 这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中 1 不在个位数的情况为 A.64 种 5.已知函数 y sin x A.3 B.4 B.63 种 C.40 种 D.39 种
【任何学校不得提前或者在网上传播、泄露试题信息，一旦发现取消联考资格，并予以罚金 5000 元】
2019 年普通高等学校招生全国统一考试第一次模拟考试 理科数学试卷
本试卷共 23 题，共 150 分，共 3 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项符合题目要求． 1.已知集合 A 为 {x | y log 2 ( 2 x 1), 集合 B 为 {x | x 5 x 6 0}. 则 A B A. [
（I）求此函数的单调区间及最值；
1 1 1 e ln （ e 为自然对数的底数）； 2 3 n n! （III）当 a 1 时，是否存在过点 (1, 1) 的直线与函数 y f ( x ) 的图象相切？若存在，有多少条？
（II）求证：对于任意正整数 n ，均有 1 若不存在，说明理由.(无需证明）
A.1 B.2 C.3 D.4 9.如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a1，a2，…，an，输出 A，B，则（ A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． ）
1 , 2] 2
B. (
1 , 2) 2
C (
1 , 2] 2
D. [
1 , 2) 2
A B 为 a1，a2，…，an 的算术平均数 2
线向量。 （I）求 A 的大小； （II）求函数 y 2 sin B cos(
2
C 3B )取最大值时， B的大小并写出最大值。 2
18. （12 分） 某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 0.15，乙河流 发生洪水的概率为 0.24（假设两河流发生洪水与否互不影响)．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备， 施工部门提出以下三种方案：
D.2
.
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{b n }前n项和为S n 和Tn，且满足 14.已知等差数列{a n }、
a S n 7n 2 , 则 5 ______ Tn 2n 3 b5
x 2 ax , x 1, 15.已知函数 f ( x) 若 x1 , x2 R ， x1 x2 ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围 x 1, ax 1,
是
.
a11 16.由 9 个正数组成的数阵 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 每行中的三个数成等差数列，且 a11 a12 a13 ， a21 a22 a23 ， a33
方案 1：运走设备，此时需花费 5000 元； 方案 2：建一保护围墙，需花费 2000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设 备仍将受损，损失约 54000 元； 方案 3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达 50000 元，只有一条河流发生洪水时，损失为 10000 元． （I）试求方案 3 中损失费 X(随机变量)的分布列； （II）通过比较，说明哪一种方案较好．
a31 a32 a33 成等比数列.给出下列结论：
①第二列中的 a12 , a22 , a32 必成等比数列； ②第一列中的 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列； ③ a12 a32 a21 a23 ； ④若 9 个数之和大于 81，则 a22 9 其中正确的序号有 .（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. (12 分） (I) 19.（12 分） 如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ，且其三个顶点均在抛物线 E： x 2 py （p>0)上。 求抛物线 E 的方程；
2019年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷理科数学(一)
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷-理科数学（一）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x|-3x+2≤0}，B={x|x²-x≥0}，则A∩B的取值范围是（B）[-1,0)2.设复数z满足z+2i=1+i，则z的值为（C）2/3-4i/33.一组数据：1，3，5，7，9，11，则这组数据的方差是（B）104.若二项式(ax+3)的展开式的常数项为160，则实数a的值为（C）35.若函数f(x)=a+x-log₅3的零点落在区间(k,k+1)(k∈Z)内，若2a=3，则k的值为（D）16.设p:4>2；q:log₂x -17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为3，a₅=14，若Sm+2=Sm+37，则m的值为（B）68.宋元时期数学名著《算术启蒙》中关于“松竹并生”的问题：a≤b。
松长四尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。
如图是根据此问题设计的一个程序框图，若输入a=4，b=1，则输出的n=2.9.函数f(x)=3cosx-xe，x∈[-π/2,π/2]的图象大致是（D）10.若存在实数x，y满足不等式组{x-2y-2≥0.x+3y-2≥0.2x+y-9≤0.y=logₐx}，则实数a的取值范围是{a|a≥2}11.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，g(x)=x³-2x²-5x+6，则f(x)与g(x)的零点个数之和为（C）412.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=2cosx，则f(x)与g(x)的零点个数之和为（A）3注：第11、12题已被删除。
1)过抛物线y=-2px(p>0)的焦点F的直线l(斜率小于0)交该抛物线于P，Q两点，已知PQ=5FQ(Q在x轴下方)，且三角形POQ(O为坐标原点)的面积为10，则p的值为（A）22.（解析：由于Q在x轴下方，所以PQ=5FQ=5p，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则有y1=-2px1,y2=-2px2，又F(0,-p)，所以PQ=|y2-y1|=2p|x2-x1|=5p，即|x2-x1|=2.5，又由于三角形POQ面积为10，所以|y1-y2|*x1/2=10，解得x1=5，x2=2.5，代入y1=-2px1中可得p=22.）2)若函数f(x)=e^(ax+3)，函数y=f(f(x))-2有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（B）(-e,e)。
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0(C ．]1,21(D ．]21,0(2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+ 5．若)()1(*3N n xx x n∈+的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ）A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为11S=A.211 B.25 C.21 D.239．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面 SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.411．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)3312．在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量,满足)3,2(,3||,2||=-==, 则=+|| . 14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中的条件m i <中的整数m 的值是 .15. 已知 ， 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为 ，最小值为 ，则acb a ++= . 16. 已知0a ＞，若不等式(2)2xax x e +-＞恰好有两个整数解，则a 的取值范围是的 .三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知(2cos ,)=a x x ，(cos ,cos )b x x =-，b a x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f y =的最小正周期以及单调递增区间；（2）若锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1)(-=A f ，1a =，求A B C∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在2018年高考数学的全国I 卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲 某校高三质量检测的命题采用了全国I 卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下已知每名学生只做了一道题 ：（第22题的得分统计表） （ 第23题的得分统计表）(1) 完成如下2x 2列联表，并判断能否有 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 现有4求这4名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.得分率 题目平均分 题目满分 ，结果精确到附：)(22bc ad n K -=，其中.d c b a n +++=20已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，2MNF ∆的周长为8，且2F 到M,N 两点的距离之和的最大值为5. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左，右顶点分别为A ，B ，证明：直线MA ，NB 的交点P 在定直线m 上，并求出直线m 的方程.21．（本小题满分12分）设函数22ln )(x a x x x f -= （1）当),0(+∞∈x ，02)(≤+x ax f 恒成立，求实数a的取值范围； （2）设x x f x g -=)()(在],1[2e 上有两个极值点1x ，2x ．① 求实数a 的取值范围； ② 求证：.2ln 1ln 121ae x x >+(二)选考题（共10分。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(四)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（四）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i+等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，3b =， π6A =，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）33555．[2019·重庆]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．23C ．43D ．839．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A 3B 6C ．13D ．22310．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·青岛质检]已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()f x a =（a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．9,e 16⎛⎫⎪⎝⎭C ．(]9,0,e 16⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·江南十校]已知在直角坐标系xOy 中，()4,0A ，30,B ⎛⎫，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos cos12sin sinB C B C+=．（1）求A∠的大小．（2）若4b c+=，求ABC△的面积的最大值．18．（12分）[2019·贵阳期末]如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业（以下简称外卖A、外卖B）的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数人数种类[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100外卖A50 150 100 400 300外卖B100 100 300 200 300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：视频率为概率，解决下列问题：（1）从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，求X 的数学期望．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；②在M 市工作的小王决定从外卖A 、外卖B 这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ， 使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立． （1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（四）答 案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ， 设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ， 由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B = 故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ． 5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤．故选D ．【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=， 故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-， 直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或． 故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ， 抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上， 若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-， 准线与x 轴的交点为N ，则2tan233πAN ==，()1,23A -，则()33,2M ， ∴114234322MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角， 即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角， 在直角1ACA △中，1126cos 3AC ACA AC ∠===， 即m 与1A C 6B ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-， 即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】D【解析】当0x >时，函数()()2ln 11ln f x x x '=-+=-， 由()0f x '>得1ln 0x ->得ln 1x <，得0e x <<，由()0f x '<得1ln 0x -<得ln 1x >，得e x >，当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()e 2e eln e 2e e e f =-=-=，当0x ≤时，()223392416f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数()f x 的图象如图：要使()f x a =（a 为常数）有两个不相等的实根，则0a <或9e 16a <<，即实数a 的取值范围是()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可） 【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<， 又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=， 即121210a d +=，即1765a d a +==，()113713721313136522a a a S a +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】1010-【解析】角ϕ终边经过点()2251,2sin 55P ϕ--⇒==-，15cos 55ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=， 即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+， 2522510sin sin cos cos sin 1244425251πππ0πf ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 本题正确结果1010-． 16．【答案】3【解析】由()4,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(),M x y ，则()()()()2222124,2242124P x y x y x y -⇒-+=⇒-+=， M 的轨迹为圆()2,0D ，半径为12，故BM 的最大值为1513222BD +=+=，故答案为3．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（23 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =．（2）22π113334sin sin 322344242ABCb c S bc A bc bc +⎛⎫⎛⎫===≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △面积的最大值为3． 18．【答案】（1）3.5；（2）①0.24；②见解析． 【解析】（1）对外卖A 服务质量评价较高的概率()4003000.71000P A +==，从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，则()5,0.7X B ～，X ∴的数学期望()50.7 3.5E X =⨯=．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率：()20020010030040020030030010001000100010001000100010001000P B =⨯+⨯+⨯+⨯0.040.030.080.09=+++0.24=．②()2001004003000123 1.81000100010001000A E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()2003002003000123 1.61000100010001000B E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()A B E X E X >，A ∴的服务质量指标的期望高于B ，故选外卖A 更合适．19．【答案】（1）见解析；（2）22． 【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥， 又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角， 故45CBO ∠=︒，所以2AB 1AO BO CO ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，设平面11A B D 的法向量为()111,,x y z =n ，则1100A D B D ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=n n ，所以111100z x y z =-+=⎧⎨⎩，令11x =，得()1,1,0=n ，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以OB 为平面11AC D 的一条法向量， ()0,1,0OB =，2cos ,2OB OB OB⋅==⋅n n n 所以二面角111B A D C --2． 20．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意． 【解析】（1）因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为222222b a=，且离心率是22，所以2c a =24b =，28a =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+==()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-， 上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增； 当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增； 当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减． （2）由题意得()()1e x f x x =-， 即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'， 当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意； 当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>， 00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由0012x x +≥，得02k <<， 又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->，01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x xx x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =． 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点， 所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα， 因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=． 联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号， 47a b ∴+的最小值为9．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(五)附参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（五）本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合2{|ln }{|0}1x A x y x B x x -===<+， ，则A B =I A ．{|0}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x >-D ．{|10}x x -<<2． 已知复数z 满足1i2i iz -+=，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 下列命题中，是真命题的是A ．(01)cos x x x ∀∈>， ，B ．22210x R x x ∀∈-+>，C ．000(0)tan 2x x x π∃∈=， ，D ．00210xx R ∃∈+=，4． 已知a b ，r r 均为单位向量，若a b +r r 与a r 的夹角为3π，则a b ⋅=r r A．2- B ．12-C ．12 D．25． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13B ．23C ．1D ．436． 张老师有学生A B C ， ， ，李老师有学生D E ， ，王老师有学生F 共6人参加一次高三数学对抗赛，赛前丁老师还辅导了学生B C D ， ， 。
赛后，四位老师在未公布成绩前预测谁得第一名，张老师：“应该是我的学生”；李老师：“会是我的学生”；王老师：“我那学生不可能”；丁老师：“我辅导过的学生都不可能”。
成绩公布后，四位老师中只有一位老师预测正确，则得第一名的学生是 A ．AB ．CC ．ED ．F7． 在一次采用“五局三胜制”的乒乓球决赛中，已知同学甲以2:1的优势暂时领先于同学乙，若两同学每局获胜的概率相同，则在剩下的比赛中，同学甲获得冠军的概率是 A ．12B ．35C ．23D ．341211正视图侧视图俯视图9．已知奇函数()y f x=对任意x R∈都有(2)()f x f x+=-，(1)2f=，则(2018)(2019)f f+的值为A．2-B．0C．2D．410．对于函数22()(sin cos)2sinf x x x x=+-，下列说法正确的是A．()f x的最大值为2B．()f x的最小正周期为2πC．()f x的图象可由曲线2y x=向左平移8π个单位得到D．()f x的单调增区间为5[]()88k k kππ+π+π∈Z，11．已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的右焦点为(0)F c，，若它关于直线by xa=的对称点恰好落在直线2x y c-=上，则该双曲线的离心率为A．3B C D12．已知定义域为R的函数()f x满足(2)(2)f x f x+=-，且函数()f x的图象与x轴至多一个交点．若2x≥时，2422()e(4)e1x xf x x x a--=+--+，则实数a的取值范围为A．(2]-∞-，B．(2)-∞-，C．[)2-+∞，D．(2)-+∞，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题(天津卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题（天津卷）一、选择题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4} 【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D. 【考点】集合运算2．设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B. 【考点】线性规划3．在△ABC中，若AB ，120C ∠= ,则AC= （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 【考点】余弦定理4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B【解析】试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B.【考点】循环结构流程图5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n ＜0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系6．已知双曲线2224=1x y b -（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x - （B ）22344=1y x - （C ）2224=1x y b - （D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线渐近线7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811 【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.【考点】向量数量积8．已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a ＞0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C【解析】试题分析：由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C. 【考点】函数性质综合应用二、填空题9．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【考点】复数相等10．281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．【考点】二项式定理11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2．【考点】三视图12．如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC =AD =BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =1x=，解得x =【考点】相交弦定理13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->或化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22．【考点】利用函数性质解不等式14．设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得EF CFEA AB=，即2EF CF EA AF ==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=所以132p ⨯=，p =【考点】抛物线定义三、解答题15．已知函数f （x ）=4tanxsin （2x π-）cos （3x π-）（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性 试题解析：（Ⅰ） 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （Ⅱ）解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式16．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：（Ⅰ）由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===，()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】概率，概率分布与数学期望 17．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O-EF-C 的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）21【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n A D n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面C E F 的法向量，则220n E F n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin,OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为（Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫=⎪⎝⎭，因此222cos ,BH n BH n BH n⋅<>==-⋅所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为21. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题18．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.（Ⅰ）设22*1,n n nc b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列； （Ⅱ）设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k k T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论. 试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和19．设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程20．设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ） 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa .试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20ax =-， 进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x a b x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300 )(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当343<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+，因此|}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a a b a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(a f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。
普通高等学校招生模拟考试理科数学试题 四 答案
…………………10 分 …………………12 分
....................2 分 ...................4 分
直线 EA 与抛物线 C 相切， (2kt 4)2 4k 2t2 0 ，即 kt 1
代入 1 x2 2x t2 0 ， x t2 ，即 A(t2 , 2t) t2
…………………………………8 分
PX
4
2 4 5
16 ， P( X 625
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)3
216 625
P( X
2)
C41
(
2 5
)3
(
3 5
)
96 625
P( X
0)
C42
(
2 5
)
2
(
3 5
)
2
216 ； 625
P( X
2)
C43
(
2 5
)1
(
3 5
)
3
216 625
PX
4
..........................12 分
18．解：
（1）取 AB 的中点 O ，连 CO, DO ，
理科数学试题答案 第 1 页 共 8 页
在 RT ACB, RT ADB ， AB 2 ，则 CO DO 1 ，又 CD 2 ，
CO2 DO2 CD2 ，即 CO OD ， 又 CO AB ， AB OD O ， AB,OD 平面 ABD
f
( x)min
f
(x0 ) ex0
x0 2
(e x0
2) 2x0
(1
普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟考试参考答案
则 x=|OB|sin30°=4 ，y=|OB|cos30°=12...........2 分
∵B（4 ，12）在 x2=2py（p＞0）上，
∴
∴p=2，∴抛物线 E 的方程为 x2=4y；...........4 分
【方法不唯一，只要抛物线方程与答案正确均给 4 分】
P 0.646
0.318
0.036
.............6 分
1
（II）对方案 1 来说，花费 5000 元；.............7 分 对 方 案 2 来 说 ，建 围 墙 需 花 费 2000 元 ，它 只 能 抵 御 一 条 河 流 的 洪 水，但当两河流都发生洪水时，损失约 54000 元，而两河流同时 发生洪水的概率为 P=0.036． 所 以 ， 该 方 案 中 可 能 的 花 费 为 ： 2000+54000×0.036=3944 （元）．.........9 分 对于方案 3 来说，损失费的数学期望为： Eξ=10000×0.318+50000×0.036=4980（元），.............11 分 比较可知，方案 2 最好、方案 3 次之，方案 1 最差．...........12 分 【在计算花费时没写单位，在最终得分基础上减去 1 分】
射线
3
与
C1
的交点
A
的极径为Biblioteka 14sin 3，
射线
3
与
C2
的交点
B
的极径为
2
8sin
3
.
所以 | AB || 2 1 | 2 3 .………………10 分
23.解：（1）当 a 1 时， f (x) 3x 2 可化为 | x 1| 2 ，由此可得 x 3 或 x 1 . 故不等式 f (x) 3x 2 的解集为 {x | x 1 或 x 3} . （2）由 f (x) 0 得 | x a | 3x 0 ，
2019年全国高考数学模拟试卷和答案(理科)(3月份)(全国i卷)
2019年全国高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（全国I卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x﹣|x|，x∈R}，N＝{y|y＝，x∈R}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．∅2．（5分）设z＝2+，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③4．（5分）定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{a n}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2019﹣a2018的值是（）A．22019B．22018C．22017D．220165．（5分）如图所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）和f′（5）的值分别为（）A．B．C．D．6．（5分）己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π7．（5分）△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则等于（）A．B．C．3D．8．（5分）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的周期是πC．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）的图象关于（）对称9．（5分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则的值为（）A．﹣1B．0C．1D．211．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（）C．（1，）∪（2，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，β是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）A．1B．4+2C．2+2D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx+e x，若f（x2）＜f（2﹣x），则实数x的取值范围是．15．（5分）某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有种．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，且a4＝，若函数f（x）＝sin2x+2cos2，记y n＝f（a n），则数列{y n}的前7项和为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．（12分）如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A、B，在四边形ABCD中，测得AB＝50米，∠BAC＝45°∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．（1）试求B、D之间的距离及B、C之间的距离；（2）求应开凿的隧道CD的长．18．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右顶点分别为A，B，Q为椭圆C上一点，△QAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）当点Q不为椭圆C的顶点时，设直线AQ与y轴交于点P，过原点O作直线AQ的平行线OM且与椭圆C交于点M，问是否存在常数λ使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．20．（12分）自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要．某市组织全体教师举行了一次“生涯规划知识竟赛”．为了解本次竟赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65]，第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．（1）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x﹣y|≤5的事件的概率；（2）为了奖励教师，该市决定给测试成绩在[90，100]内的教师发放奖金，其中测试成绩在[90，95]内的教师可获得奖金5000元，测试成绩在[95，100]内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在[90，100]内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和X（单位：元）的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣﹣（3﹣m）lnx（m＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝me x﹣x有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，记t＝，证明：x1+x2随t的增大而增大．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，A（2，0），以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．点P是曲线ρ＝2（0≤θ≤2π）上的动点，AP的中点为Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2：＝1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ＝（ρ＞0）分别与C1和C3交于M，N两点，求|MN|．[选修4-5:不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2解集为{x|﹣8≤x≤0}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3解集非空，求实数k的取值范围．2019年全国高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（全国I卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x﹣|x|，x∈R}，N＝{y|y＝，x∈R}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．∅【解答】解：M＝（﹣∞，0]，N＝[0，+∞）；∴M∩N＝{0}．故选：C．2．（5分）设z＝2+，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z＝2+＝，得．则在复平面上对应的点的坐标为（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选：D．4．（5分）定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{a n}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2019﹣a2018的值是（）A．22019B．22018C．22017D．22016【解答】解：在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2﹣a1＝1，即有数列{a n+1﹣a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n+1﹣a n＝2n﹣1，则a2019﹣a2018的值为22017．故选：C．5．（5分）如图所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）和f′（5）的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象可知：P是切点，x＝5是切点的横坐标，可得f（5）＝×5+6＝，f′（5）＝k＝，故选：A．6．（5分）己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【解答】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．7．（5分）△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：取AB，AC的中点E，F，则•＝•（﹣）＝•﹣•＝2•﹣2•＝2||||cos∠OAF﹣2||||cos∠OAE＝2||||﹣2||||＝2||2﹣2||2＝2×22﹣2×（）2＝，故选：D．8．（5分）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的周期是πC．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）的图象关于（）对称【解答】解：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则f（x）＝sin（x+）＝﹣cos x，其图象关于（﹣，0）对称，故选：D．9．（5分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设BC＝2，以B为圆心的扇形的面积为＝，∴ABC的面积为××2×2＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为×3﹣2＝2π﹣2，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为＝，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：如函数f（x）＝图象，∵a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），通过图象可得：a与b关于对称，∴a+b＝﹣1；由f（c）＝f（d），可得：；那么．即cd＝1；则＝﹣1；故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（）C．（1，）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线x2＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±bx，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y＝b（x+c），联立渐近线方程y＝﹣bx，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆外，可得（﹣c）2+（）2＞c2，即有b2＞3，可得双曲线的离心率e＝＝＞2，但e＞1，即e＞2．故选：D．12．（5分）如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，β是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）A．1B．4+2C．2+2D．4【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径＝+1．再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD为底，O到AD的距离投影，即（+1）cos45°＝+为高的等腰三角形，其面积＝×2×（+）＝+．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过点A（2，﹣2）时，目标函数取得最小值为2﹣2×2＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx+e x，若f（x2）＜f（2﹣x），则实数x的取值范围是{x|﹣2＜x＜1且x≠0}．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lnx+e x，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）＝+e x，当x＞0时，有f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（x2）＜f（2﹣x），则，解可得：﹣2＜x＜1且x≠0，即x的取值范围为{x|﹣2＜x＜1且x≠0}；故答案为：{x|﹣2＜x＜1且x≠0}．15．（5分）某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有30种．【解答】解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有C42C31＝18 种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有C41C32＝12种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有18+12＝30 种，故答案为：3016．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，且a4＝，若函数f（x）＝sin2x+2cos2，记y n＝f（a n），则数列{y n}的前7项和为7．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，则数列{a n}是等差数列，又由a4＝，则a1+a7＝a2+a6＝a3+a5＝2a4＝π，函数f（x）＝sin2x+2cos2＝sin2x+cos x+1，f（a1）+f（a7）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a7+cos a7+1＝sin2a1+cos a1+1+sin2（π﹣a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，同理可得：f（a2）+f（a6）＝f（a3）+f（a5）＝2，f（a4）＝sinπ+cos+1＝1，则数列{y n}的前7项和f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）＝7；故答案为：7．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．（12分）如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A、B，在四边形ABCD中，测得AB＝50米，∠BAC＝45°∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．（1）试求B、D之间的距离及B、C之间的距离；（2）求应开凿的隧道CD的长．【解答】解：（1）在ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD为为等腰三角形，∴AB＝AD＝50m．由余弦定理可得BD2＝502+502﹣2•50•50•cos120°＝502•3，∴BD＝50m．△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得＝．∴BC＝50m．AC＝∴AC＝25（）m．（2）在△BCD中，∠DAC＝75°，BC＝50m，BD＝50m，根据余弦定理可得CD＝＝25（）m．18．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC，又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，∴AC⊥平面BB1C1C；（2）解：连接B1C，∵AC⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1，∵AB1⊥BC1，AC∩AB1＝A，∴BC1⊥平面AB1C．∵B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥B1C，∴四边形BB1C1C为菱形．∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．∵B1在底面ABC上的射影是BC的中点，∴B1D⊥平面ABC，以D为坐标原点，过D平行于CA得直线为x轴，BC所在直线为y 轴，DB1所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设BC＝CA＝AA1＝1，由题意可知，B（0，，0），C（0，﹣，0），，A（1，﹣，0）．设C1（x，y，z），由，得C1（0，﹣1，）．设平面ABB1的法向量为，由，得；设平面AB1C1的法向量为．由，得．∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣AB1﹣C1为钝二面角，∴二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右顶点分别为A，B，Q为椭圆C上一点，△QAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）当点Q不为椭圆C的顶点时，设直线AQ与y轴交于点P，过原点O作直线AQ的平行线OM且与椭圆C交于点M，问是否存在常数λ使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得，e＝＝，a2﹣b2＝c2，当Q为椭圆的上顶点时，△AQB的面积取得最大值且为•b•2a＝2，解得，a＝2，b＝，c＝，所以椭圆方程为：…（4分）（2）依题意可得直线AQ的斜率存在，设直线AQ：y＝k（x+2），则P（0，2k）联立，并整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0．△＝64k2﹣4×（2k2+1）×（8k2﹣4）＝16＞0，…（6分）则﹣2x Q＝，∴x Q＝，|AQ|＝|x Q﹣（﹣2）|＝，|AP|＝2，|AQ||AP|＝…（8分）∵直线AQ的平行线OM，直线OM：y＝kx；联立消去y得：（1+2k2）x2﹣4＝0；|OM|2＝（1+K2）x＝（1+k2）•＝…（10分）∴，∴λ＝2．故存在常数λ＝2，使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立…（12分）20．（12分）自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要．某市组织全体教师举行了一次“生涯规划知识竟赛”．为了解本次竟赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65]，第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．（1）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x﹣y|≤5的事件的概率；（2）为了奖励教师，该市决定给测试成绩在[90，100]内的教师发放奖金，其中测试成绩在[90，95]内的教师可获得奖金5000元，测试成绩在[95，100]内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在[90，100]内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和X（单位：元）的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知第6组的频率为0.016×5＝0.08，第8组的频率为0.008×5＝0.04；所以第6组有4人，第8组有2人，从这6人中随机抽取2人，有＝15种情况，其中明显|x﹣y|≤5的2人必须来自同一组，共有+＝7种情况；所以求满足|x﹣y|≤5的事件的概率为P＝；（2）由频率分布直方图知，第7组的频率为1﹣（0.008×2+0.016×2+0.04×2+0.06）×5＝0.06；所以第7组共有3人，由（1）知第8组有2人，从这5人中随机抽取3人，此3人获得奖金的总和X（单位：元）的所有可能取值为15000，20000，25000；计算P（X＝15000）＝＝，P（X＝20000）＝＝，P（X＝25000）＝＝；所有X的分布列为：数学期望为E（X）＝15000×+20000×+25000×＝21000．21．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣﹣（3﹣m）lnx（m＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝me x﹣x有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，记t＝，证明：x1+x2随t的增大而增大．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，记h（x）＝mx2﹣（3﹣m）x+1，则△＝（3﹣m）2﹣4m＝m2﹣10m+9，当m∈[1，9]时，△≤0，f′（x）≥0，函数f（x）递增，当0＜m＜1时，△＞0，h（x）有2个大于0的根x1＝，x2＝，令f′（x）＞0，得x∈（0，x1）∪（x2，+∞），令f′（x）＜0，得x∈（x1，x2），当m＞9时，△＞0，h（x）有2个小于0的根，故f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当m≥1时，函数f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当0＜m＜1时，函数在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（2）由题意得m＝，m＝，故lnx1＝lnm+x1，lnx2＝lnm+x2，故x2﹣x1＝lnx2﹣lnx1，又＝t，x1＜x2，则t＞1，且，解得：x1＝，x2＝，故x1+x2＝，令r（x）＝，x∈（1，+∞），则r′（x）＝，令u（x）＝﹣2lnx+x﹣，则u′（x）＝﹣+1+＝＞0，故u（x）递增，故对任意x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）＝0，故r′（x）＞0，故r（x）在（1，+∞）递增，故x1+x2随t的增大而增大．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，A（2，0），以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．点P是曲线ρ＝2（0≤θ≤2π）上的动点，AP的中点为Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2：＝1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ＝（ρ＞0）分别与C1和C3交于M，N两点，求|MN|．【解答】解：（1）根据题意，曲线ρ＝2（0≤θ≤2π），即x2+y2＝4，设P（x1，y1），Q（x，y），则x＝，y＝，即x1＝2x﹣2，y1＝2y，代入x2+y2＝4可得（2x﹣2）2+（2y）2＝4，变形可得：（x﹣1）2+y2＝1，即点Q的直角坐标系方程为（x﹣1）2+y2＝1，（2）根据题意，⇒，将其代入C2：＝1可得：x′2+y′2＝1，则曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，所以|ON|＝1，又|OM|＝2cos＝，则|MN|＝|OM|﹣|ON|＝﹣1．[选修4-5:不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2解集为{x|﹣8≤x≤0}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3解集非空，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x﹣2a|+a，∴不等式f（x）≤2化为|x﹣2a|≤2﹣a，∴a﹣2≤x﹣2a≤2﹣a，解得3a﹣2≤x≤a+2；又f（x）≤2的解集为{x|﹣8≤x≤0}，∴，解得a＝﹣2；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＝|x﹣4|﹣2，不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3化为|x+4|+1≤（k2﹣1）x，令g（x）＝|x+4|+1＝，作出g（x）的图象，如图所示；由图象知，要使不等式的解集非空，应满足：k2﹣1＞1或k2﹣1≤﹣，即k2＞2或k2≤，解得k＜﹣或﹣≤k≤或x＞，所以实数k的取值范围是{k|k＜﹣或﹣≤k≤或k＞}．。
2019年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学 参考答案
解： （ Ⅰ ） 由题意知 B 0, b ， F2 1,0 ,设 D x, y 则 BF2 1,b ， F2 D x 1, y ∵ BF2 2 F2 D ，
3 x 2 1 2 x 1 ，即 b b 2y y 2
*
（ n 2 )，其 中 S n 为 {a n } 的
1 ， {bn } 的 前 n 项 和 (1 + log 4 an )(3 + log 4 an )
为 Tn ， 且 对 任 意 的 正 整 数 n 都 有 Tn m ， 求 m 的 最 小 值 ． 解： （ Ⅰ ） ∵ an = 3S n -1 + 1 ， n 2 ， ∴ an+1 = 3S n + 1 两式相减得 an+1 - an = 3an , n 2 ∴
(Ⅱ) 由柱状图知，流失的教师数不大于 18 的频率为 0.46；流失的教师数不大于 19 的频率为 0.7，所以 n 的 最 小 值 为 19. (Ⅲ)若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 48 万元,因此这 100 所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 :
高三理科数学答案 第
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取 x = 2，得 n =（2，0，﹣1） ， 由 DF =（﹣1，
，4） ．
设平面 DEF 的法向量为 m =（a，b，c） ，
ì ï m × DE = a + 3b + 2c = 0 ， ï 则í ï ï ï îm × DF = -a + 3b + 4c = 0
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(六)附参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（六）本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合2{e 1}{log 1}x A x B x x =>=>， ，则A B =IA ．{02}x x <<B ．{0}x x >C ．{2}x x >D ．∅2． 复数22i 1iz =--，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 已知x y <，则下列不等式一定成立的是A ．11x y>B ．1133x y < C ．33x y --<D ．22ln(1)ln(1)x y +<+4． 已知命题:p “已知1a >，若log log a a m n <，则m n <”，则命题p 的否命题为A ．已知1a ≤，若log log a a m n <，则m n ≥B ．已知1a ≤，若log log a a m n ≥，则m n ≥C ．已知1a >，若log log a a m n ≥，则m n ≥D ．已知1a >，若log log a a m n <，则m n ≥5． 设点O 是坐标原点，过双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的右焦点2F 作C 的一条渐近线 的垂线，垂足为P . 若2OPF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为A ．20x y ±=B ．0x y ±=C ．02xy ±=D0y ±=6． 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．12B ．15C ．18D ．217． 为迎接学校将开展的文艺汇演，某班在编排一个小品节目中，需要甲、乙、丙、丁四个同学扮演小品中主角、配角、小生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色. 下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演配角；②乙不扮演配角；③如果甲侧视图俯视图正视图不扮演小生，那么丁就不扮演配角.若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选择扮演的角色是 A ．主角B ．配角C ．小生D ．快递员8． 如图是为计算()y f x =的函数值所设计的一个程序框图，若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的解，则实数a 的取值范围是A ．(24]，B ．1[1]2，C ．1(1)(24]2U ， ，D ．1[1](24]2U ， ，9． 如果正方形内部到每个顶点的距离都超过边长的一半的点构成的图形叫该正方形的“星形”，在正方形内随机取一点，则此点恰在其“星形”内的概率为A ．14π-B．1 C ．4πD10．函数()cos cos 2[]f x x x x ππ=-∈-， ， 的图象大致是11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时()()0f x xf x '+>，且(1)2f =，则不等式2()0f x x->的解集是 A ．(10)(1)-+∞U ， ， B ．(10)-，C ．(1)(01)-∞-U ， ，D ．(1)(1)-∞-+∞U ， ，12．已知P 是函数1()e (1)2x f x x =-≤≤图象上的动点，点A (21)，，B (11)-， ，O 为坐标原 点，若存在实数λμ， 使得OA OP OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 成立，则λμ-的最小值是A ．1BC ．2e1e-+ D ．2(2e)1e-+A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。